Osilasi Pegas Massa

BAB II DASAR TEORI

A. Osilasi Pegas Massa

Sistem ini terdiri dari sebuah massa dan pegas yang disusun secara

vertikal seperti pada gambar 1. Sebuah massa 𝑚 digantungkan pada ujung bebas pegas yang mempunyai konstanta 𝑘. Sedangkan ujung pegas lainnya berada pada titik tetap. Ketika massa 𝑚 disimpangkan sejauh 𝑥 dari titik seimbang 𝑂 akan timbul suatu gaya 𝐹 yang menarik benda kembali ke posisi seimbangnya. Akan tetapi setelah benda mencapai posisi seimbangnya

benda tersebut memiliki energi kinetik sehingga melampaui posisi tersebut.

Benda lalu mencapai simpangan maksimal, untuk kemudian kembali lagi ke

posisi seimbangnya [Young dan Freedman, 2002]. Gerakan ini akan terus

berulang-ulang dan dinamakan sebagai gerak osilasi.

Gambar 1. Sistem osilasi pegas-massa. Benda bermassa m dijauhkan dari titik keseimbangan. Gaya pemulih F menjaga benda tetap berosilasi.

Suatu gaya yang memulihkan benda ke posisi seimbangnya disebut

sebagai gaya pemulih. Gaya pegas merupakan gaya pemulih pada sistem

ini. Apabila benda disimpangkan sejauh 𝑥⃗ dari kedudukan seimbangnya,

x F F O -x m

pegas yang memiliki konstanta 𝑘 mengerjakan gaya pemulih 𝐹. Sesuai dengan Hukum Hooke, vektor gaya tersebut yaitu:

𝐹⃗ = −𝑘𝑥⃗ (2.1)

keterangan:

𝐹⃗: gaya pemulih (𝑁)

𝑘: konstanta pegas (𝑁 𝑚⁄ )

𝑥⃗: simpangan benda (𝑚)

Gaya pemulih inilah yang menjaga agar benda tetap berosilasi

[Young dan Freedman, 2002]. Benda akan terus berosilasi selama tidak ada

gesekan dengan udara. Selama berosilasi benda bermassa 𝑚 bergerak dengan percepatan 𝑎⃗. Hubungan gaya pemulih dengan gerak benda dinyatakan pada persamaan (2.2).

𝑚𝑎⃗ = −𝑘𝑥⃗ (2.2)

Persamaan (2.2) dapat diubah menjadi bentuk:

𝑑²𝑥

𝑑𝑡2 +_𝑚^𝑘𝑥 = 0 (2.3)

Solusi dari persamaan (2.23) adalah,

𝑥 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃) (2.4)

dengan 𝐴 adalah amplitudo, 𝜃 adalah sudut fase dan 𝜔 adalah frekuensi sudut yang besarnya:

𝜔 = √_𝑚^𝑘 (2.5) dengan 𝑘 adalah konstanta pegas dan 𝑚 adalah massa benda.

Percepatan benda yang berosilasi dapat dinyatakan pada persamaan

(2.6).

𝑎 = −𝐴𝜔2sin(𝜔𝑡 + 𝜃) (2.6)

keterangan:

𝑎: percepatan benda yang berosilasi (𝑚 𝑠⁄ 2)

𝐴: amplitudo (𝑚)

𝜔: frekuensi sudut (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )

𝑡: waktu osilasi (𝑠)

𝜃: sudut fase (𝑟𝑎𝑑) B. Osilasi Gandeng

Osilasi gandeng mempunyai susunan yang lebih kompleks dari

osilasi sederhana. Osilasi gandeng dengan dua derajat kebebasan memiliki

dua koordinat linier untuk menentukan gerakan semua benda.

Sistem ini terdiri dari dua buah benda dan tiga buah pegas yang

disusun secara horizontal seperti pada gambar 2. Pegas 1 menghubungkan

massa 𝑚₁ dengan titik tetap. Pegas 2 menghubungkan antara 𝑚₁ dengan

sisi lainnya. Pegas yang menghubungkan antara dua massa disebut sebagai

pegas penggandeng.

Gambar2. Kedua benda masing-masing dijauhkan dari titik keseimbangannya sebesar 𝑥1^dan 𝑥2 ^{sehingga mengalami gaya pemulih} 𝐹1 ^dan 𝐹2^.

Seperti yang telah diketahui, hukum Hooke menyatakan perubahan

panjang pada pegas mengakibatkan gaya pemulih sebesar 𝐹. Ketika benda 1 dengan massa 𝑚₁ disimpangkan ke arah kanan sejauh 𝑥₁, pegas 1 mengalami pertambahan panjang sebesar 𝑥₁. Pertambahan panjang pada pegas 1 mengakibatkan massa 𝑚1 mengalami gaya pemulih sebesar 𝐹𝑝1 ^ke

arah kiri.

Benda dengan massa 𝑚₁ disimpangkan ke arah kanan sejauh 𝑥₁

mengakibatkan pegas 2 mengalami pengurangan panjang sebesar 𝑥₁. Pengurangan panjang pada pegas 2 menyebabkan massa 𝑚1 mengalami gaya pemulih sebesar 𝐹_𝑝21 ke arah kiri.

Smentara itu, benda dengan massa 𝑚₂ disimpangkan ke arah kanan sejauh 𝑥₂. Simpangan tersebut mengakibatkan pertambahan panjang pegas 2 sebesar 𝑥2. Pertambahan panjang pada pegas 2 menyebabkan 𝑚1

m₁ m₂

k₁ k₂ k₃

x₁ O₂ x₂ O₁

mengalami gaya pemulih sebesar 𝐹_𝑝22 ke arah kanan. Oleh karena itu resultan gaya pada massa 𝑚₁ besarnya:

𝐹₁ = 𝐹_𝑝1+ 𝐹_𝑝21− 𝐹_𝑝22 (2.7) Sehingga persamaan geraknya adalah:

𝑚₁𝑎₁ = (−𝑘₁𝑥₁) + (−𝑘₂𝑥₁) + 𝑘₂𝑥₂ (2.8)

𝑚1^𝑑2𝑥1

𝑑𝑡 = −𝑘1𝑥1− 𝑘2(𝑥1− 𝑥2) (2.9)

Pada massa 𝑚2, pegas 3 mengalami pengurangan panjang ketika massa disimpangkan ke arah kanan sejauh 𝑥2. Pengurangan panjang pada pegas 3 mengakibatkan massa 𝑚₂ mengalami gaya pemulih sebesar 𝐹₃ ke arah kiri. Simpangan pada massa 𝑚₂ mengakibatkan pegas 2 mengalami pertambahan panjang sejauh 𝑥2. Pertambahan panjang pada pegas 2 menyebabkan massa 𝑚2 mengalami gaya pemulih sebesar 𝐹22 ^{ke arah kiri.}

Selain itu, pegas 2 mengalami pengurangan panjang sejauh 𝑥₁ sehingga muncul gaya pemulih sebesar 𝐹₂₁ ke arah kanan. Oleh karena itu resultan gaya pada massa 𝑚₂ besarnya:

𝐹2 = 𝐹𝑝3 + 𝐹𝑝22− 𝐹𝑝21 ^(2.10)

Sehingga persamaan geraknya adalah:

𝑚₂𝑎₂ = −𝑘₂𝑥₂ − 𝑘₃𝑥₂ + 𝑘₂𝑥₁ (2.11)

𝑚2^𝑑2𝑥2

Jika kedua massa benda sama (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚) dan ketiga konstanta pegas sama (𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 𝑘0), persamaan (2.9) dan (2.12) menjadi:

𝑚^𝑑2𝑥1

𝑑𝑡 = −2𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 (2.13)

𝑚^𝑑2𝑥2

𝑑𝑡 = −2𝑘𝑥₂+ 𝑘𝑥₁ (2.14)

Persamaan (2.13) dan (2.14) masih menunjukkan kedua tipe dari

kopling dan dapat dipisahkan dengan mengenalkan persamaan baru:

𝑞₁ = (𝑥₁+ 𝑥₂) (2.15)

𝑞₂ = (𝑥₂− 𝑥₁) (2.16) Pengaturan persamaan (2.15) dan (2.16) menghasilkan:

𝑚^𝑑2𝑞1

𝑑𝑡2 + 𝑘₀𝑞₁ = 0 (2.17)

𝑚^𝑑2𝑞2

𝑑𝑡2 + 3𝑘0𝑞2 = 0 (2.18)

Solusi dari persamaan (2.17) adalah:

𝑞₁ = 𝐴₁𝑠𝑖𝑛(𝜔₁𝑡 + 𝜃₁) (2.19) dengan 𝐴₁ adalah amplitudo 1, 𝜃₁ adalah sudut fase 1 dan 𝜔₁ adalah frekuensi sudut 1 yang besarnya:

keterangan:

𝜔₁ : frekuensi sudut (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )

𝑘 : konstanta pegas (𝑁/𝑚)

𝑚 : massa (𝑘𝑔)

Atau bisa dalam bentuk persamaan:

𝜔1 = ^2𝜋_𝑇

1 (2.21)

keterangan:

𝑇1 ^{: periode osilasi 1 (}𝑠)

Solusi dari persamaan (2.18) adalah:

𝑞₂ = 𝐴₂𝑠𝑖𝑛(𝜔₂𝑡 + 𝜃₂) (2.22) dengan 𝐴₂ adalah amplitudo 2, 𝜃₂ adalah sudut fase 2 dan 𝜔₂ adalah frekuensi sudut 2 yang besarnya:

𝜔₂ = √^3𝑘_𝑚 (2.23) keterangan:

𝜔2 : frekuensi sudut (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ )

𝑘 : konstanta pegas (𝑁/𝑚)

𝑚 : massa (𝑘𝑔)

𝜔₂ =^2𝜋_𝑇

2 (2.24)

keterangan:

𝑇₂: periode osilasi 2 (𝑠)

Persamaan (2.15) dan (2.16) diubah menjadi:

𝑥1 = ¹₂(𝑞1+ 𝑞2) (2.25)

𝑥₂ =¹₂(𝑞₁− 𝑞₂) (2.26) Persamaan (2.19) dan (2.22) disubtitusikan pada persamaan (2.25)

dan (2.26). Kemudian hasil subtitusi persamaan tersebut diturunkan dua kali

terhadap waktu sehingga diperoleh persamaan:

𝑎₁ =^𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2 = −¹₂[𝐴₁𝜔₁2𝑠𝑖𝑛(𝜔₁𝑡 + 𝜃₁) + 𝐴₂𝜔₂2𝑠𝑖𝑛(𝜔₂𝑡 + 𝜃₂)] (2.27)

𝑎2 = ^𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2 = −¹₂[𝐴1𝜔12𝑠𝑖𝑛(𝜔1𝑡 + 𝜃1) − 𝐴2𝜔22𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡 + 𝜃2)] (2.28) dengan:

𝑎₁: percepatan pada benda 1 (𝑚 𝑠⁄ 2)

𝑎2: percepatan pada benda 2 (𝑚 𝑠⁄ 2)

Frekuensi sudut 𝜔1 dan 𝜔2 dinamakan frekuensi normal. Bentuk osilasi gandeng tergantung dari keadaan inisial atau keadaan awal kedua

benda. Kedua benda berosilasi pada satu frekuensi (𝜔1 atau 𝜔2) apabila simpangan awal kedua benda tertentu. Gerak osilasi pada salah satu

frekuensi ini dinamakan sebagai osilasi gandeng mode normal. Terdapat

dua mode normal yaitu mode simetris dan mode asimetris [Castro-Palacio,

2013].

B.1 Mode Normal Simetris

Dalam mode normal ini benda berosilasi hanya pada frekuensi

normal 𝜔₁. Pada mode ini simpangan awal kedua benda searah dan jarak simpangannya sama besar [Castro-Palacio, 2013].

Oleh karena simpangan awal 𝑥1 = 𝑥2 maka pada persamaan (2.16) besar 𝑞2 = 0. Persamaan (2.27) dan (2.28) menjadi:

𝑎1 = ^𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2 = −¹₂𝐴1𝜔12𝑠𝑖𝑛(𝜔1𝑡 + 𝜃1) (2.29)

𝑎₂ =^𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2 = −¹₂𝐴₁𝜔₁2𝑠𝑖𝑛(𝜔₁𝑡 + 𝜃₁) (2.30)

B.2 Mode Normal Asimetris

Dalam mode normal ini benda berosilasi hanya pada frekuensi

normal 𝜔₂. Pada mode ini simpangan awal kedua benda berlawanan arah dan jarak simpangannya sama besar [Castro-Palacio, 2013].

Oleh karena simpangan awal 𝑥1 = −𝑥2 maka pada persamaan (2.15) besar 𝑞₁ = 0. Persamaan (2.27) dan (2.28) menjadi:

𝑎1 = ^𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2 = −¹₂𝐴2𝜔22𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡 + 𝜃2) (2.31)

𝑎₂ =^𝑑2𝑥2

C. Osilasi Gandeng Mode Gabungan

Mode ini merupakan gabungan dari kedua mode simetris dan

asimetris [Castro-Palacio, 2013]. Pada mode ini masing-masing benda

bergerak dengan dua frekuensi yaitu 𝜔1 dan 𝜔2. Persamaan (2.27) dan (2.28) merupakan bentuk dari mode gabungan.

16

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Menghitung Nilai Konstanta Pegas Melalui Sistem Osilasi Pegas-Massa

Sistem osilasi pegas-massa terdiri dari sebuah pegas dan sebuah massa

yang disusun secara vertikal. Pegas digantung pada sebuah statif. Massa yang

digunakan adalah sebuah smartphone yang bermassa 𝑚 dan digantungkan pada ujung bebas pegas.

Foto set alat dan rangkaian alat yang dipakai saat penelitian ditunjukkan

pada gambar 3 dan 4.

Gambar 3. Set alat osilasi pegas massa saat penelitian. Smartphone digunakan sebagai beban sekaligus alat ukur percepatan.

Gambar 4 Sistem osilasi pegas-massa menggunakan smartphone sebagai massa dan sensor percepatan.

Keterangan alat:

1. Pegas 3. Statif

2. Smartphone

Alat-alat yang digunakan yaitu:

1. Pegas

Pegas yang akan diukur konstantanya.

2. Smartphone

Smartphone digunakan sebagai beban yang berosilasi. Selain itu,

smartphone juga berfungsi sebagai alat untuk mengukur percepatan benda

saat berosilasi.

3. Statif

Digunakan untuk menggantungkan pegas.

Saat berosilasi smartphone bergerak naik dan turun secara teratur.

Sensor percepatan pada smartphone mendeteksi percepatan yang dialami

selama berosilasi. Sensor ini mampu mendeteksi percepatan dalam tiga sumbu

1

2

3

yaitu sumbu X (𝑎_𝑥), Y (𝑎_𝑦) dan Z (𝑎_𝑧). Smartphone digantungkan pada keadaan tegak sehingga sensor mendeteksi percepatan osilasi pada sumbu Y.

Percepatan osilasi kemudian direkam menggunakan aplikasi yang telah

diinstal pada smartphone. Aplikasi bernama Accelerometer Monitor version

1.5 dan dapat diunduh dari PlayStore dengan mudah. Tampilan aplikasi

ditunjukkan pada gambar 5. Aplikasi ini dijalankan dengan menekan tombol

“start”. Setelah muncul tulisan “saving” artinya smartphone sudah mulai

merekam percepatan. Smartphone merekam percepatan secara realtime dan otomatis.

Gambar 5. Tampilan dari aplikasi Accelerometer Monitor version 1.5 ketika sedang merekam percepatan. Garis kuning menunjukkan percepatan pada sumbu Y smartphone.

Hasil rekaman dari aplikasi berupa file dengan format Text Document.

File tersebut berisi data percepatan pada tiga sumbu beserta waktu osilasinya

seperti yang ditampilkan gambar 6. Resolusi dari sensor percepatan yaitu 𝛿𝑎 = 0,038 𝑚 𝑠⁄ 2 dan waktu rata-rata merekam data setiap 20 milisekon. Data

tersebut bisa ditampilkan dalam bentuk grafik menggunakan software.

Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah LoggerPro versi 3.4.5.

Gambar 6. Tampilan isi dari file hasil rekaman percepatan oleh aplikasi Accelerometer Monitor version 1.5.

Data ditampilkan dalam bentuk grafik percepatan fungsi waktu

menggunakan software. Data waktu osilasi diset sebagai sumbu X grafik

sedangkan percepatan pada sumbu Y (𝑎_𝑦) diset sebagai sumbu Y grafik.

Grafik dianalisa dengan cara fiting persamaan (2.6) pada grafik. Hasil fiting menunjukkan nilai dari besaran amplitudo, frekuensi sudut (𝜔₀) dan sudut fase. Konstanta pegas dicari dengan memasukkan nilai 𝜔 dan massa 𝑚

(massa smartphone dan pengait) pada persamaan (2.5).

Metode yang sama juga dilakukan pada kedua pegas lainnya. Rata-rata

dari ketiga konstanta pegas ini mewakili satu nilai konstanta pegas yang akan

digunakan dalam eksperimen osilasi gandeng.