BAB II LANDASAN TEORI
2.7 Pelabelan Graf
Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu dan pada yang memetakan himpunan titik, sisi maupun keduanya ke himpunan bilangan bulat positif.
Pelabelan pada suatu graf dapat dibedakan berdasarkan daerah asal suatu pemetaan tersebut. Terdapat tiga jenis pelabelan pada suatu graf yang diklasifikasikan berdasarkan daerah asal (domain), yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan titik ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan titik, sedangkan suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan sisi ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan sisi, dan suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan titik beserta himpunan sisi ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan total [1].
17 Pada Gambar 2.11 di atas memberikan suatu ilustrasi sebuah pelabelan titik yang di tunjukan oleh (a), pelabelan sisi yang di tunjukan oleh (b) dan pelabelan total yang di tunjukan oleh (c) pada suatu graf lintasan .
Dalam suatu pelabelan graf dikenal istilah bobot. Bobot yang dimaksudkan di sini adalah suatu jumlah label yang terkait dengan elemen graf. Bobot sisi pada suatu pelabelan α, ( ) didefinisikan sebagai jumlah label sisi dengan label pada kedua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut, sedangkan suatu bobot titik pada suatu pelabelan α, ( ) didefinisikan sebagai jumlah label suatu titik dengan label semua sisi yang hadir pada titik tersebut.
Pelabelan graf dibagi menjadi 2 topik pembicaraan berdasarkan bobot dari suatu pelabelan, yaitu pelabelan ajaib dan antiajaib. Pada tahun 2005, ́ dan Llad ́ memperkenalkan konsep selimut-H yang diperlukan untuk mendefinisikan suatu graf G dikatakan H-ajaib, dan Nur Inayah dalam disertasinya yang berjudul pelabelan dan dekomposisi (a,d)-H-antiajaib (super) pada graf memperkenalkan konsep baru dalam pelabelan graf, yaitu konsep selimut-H antiajaib.
Gambar 2.11 Pelabelan Graf
18 2.7.1 Pelabelan Ajaib
Suatu pelabelan α dapat dikatakan sebagai pelabelan ajaib jika terdapat suatu bilangan yang mengakibatkan bobot untuk semua titik ataupun sisinya adalah , dimana dikenal dengan sebutan konstanta ajaib. Berikut adalah jenis-jenis pelabelan ajaib.
a. Pelabelan Titik (Sisi)- Ajaib
Pelabelan titik (sisi)-ajaib pada graf ( ) adalah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik pada graf G ke bilangan bulat positif ( 𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap sisi untuk sebarang sisi di G berlaku:
( ) 𝑓( ) 𝑓( ) , untuk suatu [9]
Pada gambar di atas kita peroleh bobot setiap sisi pada graf adalah 11, ( ( ) ).
b. Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib
Pelabelan sisi (titik)-ajaib pada graf ( ) adalah fungsi bijektif yang memetakan himpunan sisi pada graf G ke bilangan bulat
Gambar 2.12 Pelabelan Titik (Sisi)-Ajaib
19 positif ( 𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik di G dan y di N(x) berlaku:
( ) ∑ ( )𝑓( ) , untuk suatu
Pada gambar di atas kita peroleh bobot setiap titik pada graf adalah 24, ( ( ) ).
c. Pelabelan Total Titik Ajaib
Pelabelan total titik ajaib pada graf G adalah sebuah pemetaan bijektif dari himpunan titik dan sisi dari graf tersebut (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik x di G dan y di N(x) berlaku:
( ) 𝑓( ) ∑ ( )𝑓( ) , untuk suatu k [1]
Gambar 2.13 Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib
20 d. Pelabelan Total Sisi Ajaib
Pelabelan total sisi ajaib pada graf G adalah sebuah pemetaan bijektif dari himpunan titik dan sisi dari graf tersebut (f ( ) ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik x di G dan y di N(x) berlaku:
( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) , untuk suatu k [1]
Gambar 2.14 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf 𝐾
Gambar 2.15 Pelabelan Total (Sisi)-Ajaib
21 2.7.2 Pelabelan Antiajaib
Menurut Hartsfield dan Ringel [7] suatu graf G disebut antiajaib, jika sisi-sisinya dapat dilabeli dengan sehingga pada setiap titik mempunyai bobot yang berbeda. Berikut akan dibahas mengenai macam-macam pelabelan anti ajaib.
a. Pelabelan Titik ( )-Sisi-Antiajaib
Pelabelan titik ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik ke bilangan bulat positif ( ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah ( ) , dimana a dan [15].
Pada gambar di atas diperoleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika, yaitu ( ) ( ) ( ) .
b. Pelabelan Sisi ( )-Titik-Antiajaib
Pelabelan titik ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot titik
Gambar 2.16 Pelabelan Titik (𝑎 𝑑)-Sisi-Antiajaib
22 dari semua titik di G adalah ( ) , dimana a dan [15].
Pada gambar di atas diperoleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika, yaitu ( ) ( ) ( ) .
c. Pelabelan Total ( )-Titik-Antiajaib
Pelabelan total ( ) -titik-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot titik dari semua titik di G adalah ( ) , dimana a dan [1].
Pada gambar 2.18, kita peroleh bobot dari setiap titik yang membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 ( ), ( ) ( ) , dan ( ) .
Gambar 2.17 Pelabelan Sisi (𝑎 𝑑)-Titik-Antiajaib
23 d. Pelabelan Total ( )-Sisi-Antiajaib
Pelabelan total ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah ( ) , dimana a dan [1]. Pada Gambar 2.19, kita peroleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 ( ), yaitu ( ) ( ) ( )
2.7.3 Pelabelan Total ( )-H-Ajaib
Misalkan ( ( ) ( )) dan ( ( ) ( )) adalah graf berhingga, dan misalkan | ( )| , | ( )| | ( )| , | ( )|
Gambar 2.18 Pelabelan Total (𝑎 𝑑)-Titik-Antiajaib
Gambar 2.19 Pelabelan Total (𝑎 𝑑)-Sisi-Antiajaib
24
mendefinisikan graf G yang mempunyai selimut-H dikatakan H-ajaib, jika terdapat pelabelan total ( ) ( ) sedemikan sehingga bobot dari H’ (bobot-H’) yakni ( ) ∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( ), selalu bernilai sama untuk setiap subgraf H’ dari G yang isomorfik dengan H. Jika bobot titik adalah bobot terkecil dalam pelabelan maka kita katakan bahwa pelabelan tersebut adalah selimut-H ajaib super [11].
2.7.4 Pelabelan Total ( )-H-Antiajaib
Misalkan ( ( ) ( )) dan ( ( ) ( )) graf berhingga dan memiliki selimut-H. Pelabelan total ( ) -H-anti ajaib adalah fungsi bijektif ξ: ( ) ( ) sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H’ yang isomorfik dengan H, himpunan bobot dari H adalah
( ) ∑ ( ) subgraf isomorfik H, dimana a dan d adalah bilangan bulat positif. Kemudian ξ dikatakan pelabelan ( )-H-antiajaib super, jika ( ( )) atau
25 dengan kata lain pelabelan (a,d)-H-antiajaib dikatakan super jika titik merupakan label terkecil pada graf tersebut [11]. ditulis dekomposisi H-antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi pada graf G ke bilangan bulat positif ( ( )