PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN

(1)

i

DEKOMPOSISI ( )- -ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN

Mohamad Irvan Septiar Musti

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2016

(2)

ii

DEKOMPOSISI ( )- -ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh :

Mohamad Irvan Septiar Musti 1111094000014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2016 M/ 1437 H

(3)

(4)

iv

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN

Jakarta, 11 Januari 2016

Mohamad Irvan Septiar Musti

(5)

v ABSTRAK

Pada skripsi ini akan dikonstruksi sebuah dekomposisi ( )-H-antiajaib.

Dekomposisi ( ) -H-antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi pada graf G ke bilangan bulat positif ( ( ) ( ) ) yang memenuhi { ( )|

( ) untuk dua bilangan bulat positif dan tertentu serta adalah banyaknya subgraf di . Dalam skripsi ini yang dimaksud adalah .

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen ( ) untuk , ganjil dan . Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dan eksperimen. Penelitian ini menghasilkan 4 teorema dekomposisi ( ) - - antiajaib super pada graf generalized Petersen dengan nilai .

Kata Kunci: Dekomposisi, Antiajaib Super, Graf Generalized Petersen.

(6)

vi ABSTRACT

This research will construct a decomposition ( ) -H-antimagic.

Decomposition ( )- -antimagic is a bijective function which is mapping set of vertex and edge in graph to positive integer ( ( ) ( )

) that comply { ( )| ( ) for two certain positive integers and , and is the amount of subgraph in . In this research, H refers to

The aim of this research is to determine decomposition ( )- -super antimagic of generalized Petersen graph ( ) for , odd and m = 2. The author is using literature and experiment study as the research method. As the result, this research produced 4 theorems that explain decomposition ( )- - super antimagic in generalized Petersen graph with .

Keywords: Decomposition, Super Antimagic, , Generalized Petersen Graph.

(7)

vii

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim, segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat, taufiq dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi berjudul: “Dekomposisi ( ) - -Antiajaib Super pada Graf Generalized Petersen”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan program S1 pada Program Studi Matematika di Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini berhasil diselesaikan juga atas bimbingan, saran, dan motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

2. Ibu Dr. Nina Futriyati, M.Kom selaku Ketua Program Studi Matematika.

3. Ibu Dr. Nur Inayah, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irma Fauziah, M.Si selaku Dosen Pembimbing II yang senantiasa memberikan waktu, bimbingan, dan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Keluarga penulis, khususnya kepada Ayahanda dan Ibunda tercinta yang tidak pernah berhenti mengalirkan doa di setiap harinya. Kekuatan doa seorang ayah dan ibu yang selalu membuat kejutan terhadap proses penulisan skripsi ini. Terima kasih atas dukungan materi maupun non materi yang telah diberikan. Adik kandung penulis, M. Alen Aliansyah dan M.

(8)

viii Alvan Zulfikhar. Terima kasih atas dukungan dan inspirasi yang telah diberikan.

5. Sarah Astried, S.Sos, terima kasih karena telah menjadi partner hidup sekaligus experiences competitor yang senantiasa memberikan dukungan, bantuan, dan energi positif kepada penulis.

6. Sahabat penulis, Lukman Hakim, SE, Rahmanu Ganesya, S.Stat, Ridwan Aji, S.Ikom.

7. Teman seperjuangan bimbingan, Tri Prasetyo, Lasmanian Rezekina, dan Qashiratutharfi’in serta keluarga besar matematika 2011. Terimakasih atas pengalaman hidup bersama yang luar biasa.

8. Dewan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi dan Himpunan Mahasiswa Matematika, sebagai organisasi pilihan penulis selama masa kuliah. Terima kasih untuk teman-teman, kakak-kakak, dan adik-adik semua yang telah memberikan dukungan dan pengalaman yang luar biasa.

Akhirnya, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembacanya.

Saran dan kritik yang bersifat konstruktif untuk menyempurnakan skripsi ini dapat disampaikan melalui email [email protected].

Jakarta, Penulis

Mohamad Irvan Septiar Musti

(9)

ix DAFTAR ISI

PENGESAHAN UJIAN ... iii

PERNYATAAN ... iv

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR TABEL ... xiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Perumusan Masalah ... 3

1.3. Pembatasan Masalah ... 4

1.4. Tujuan Penelitian ... 4

1.5. Manfaat Penelitian ... 4

BAB II LANDASAN TEORI ... 6

2.1 Terminologi Graf ... 6

2.2 Jenis- Jenis Graf ... 7

2.3. Jalan, Lintasan dan Lintasan Tertutup ... 12

(10)

x

2.4 Subgraf ... 13

2.5 Graf yang Isomorfik ... 14

2.6 Fungsi ... 14

2.7 Pelabelan Graf ... 16

2.8 Dekomposisi Graf ... 25

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 27

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ... 42

4.1. Kesimpulan ... 42

4.2. Saran ... 42

REFERENSI ... 44 LAMPIRAN

(11)

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf……… 6

Gambar 2.2 (a) Graf Sederhana; (b) Graf Semu; (c) Graf Ganda ………… ... 8

Gambar 2.3 Graf A………. ... 9

Gambar 2.4 Graf Lengkap ………..10

Gambar 2.5 Graf Berarah... 10

Gambar 2.6 Graf generalized Petersen ……….….11

Gambar 2.7 Graf ... 12

Gambar 2.8 Graf G dan Subgraf dari G ………. 13

Gambar 2.9 Graf Isomorfik terhadap ……… 14

Gambar 2.10 (a) Fungsi Injektif; (b) Fungsi Surjektif; (c) Fungsi Bijektif; (d) Bukan Fungsi………. 15

Gambar 2.11 Pelabelan Graf……….. 17

Gambar 2.12 Pelabelan Titik (Sisi)-Ajaib……….. 18

Gambar 2.13 Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib……….. 19

Gambar 2.14 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf ……… 20

Gambar 2.15 Pelabelan Total Sisi Ajaib………. 20

Gambar 2.16 Pelabelan Titik (a,d)-Sisi-Antiajaib……….. 21

Gambar 2.17 Pelabelan Sisi (a,d)-Titik-Antiajaib……….. 22

Gambar 2.18 Pelabelan Total (a,d)-Sisi-Antiajaib……….. 23

Gambar 2.19 Pelabelan Total (a,d)-Sisi-Antiajaib……….. 23

Gambar 2.20 Dekomposisi - - pada graf Petersen………..………. 26

(12)

xii Gambar 3.1.1 Dekomposisi ( )- -antiajaib super pada dan

dengan ………. 29 Gambar 3.1.2 Bobot selimut pada G dan G dengan

………... 30 Gambar 3.2.1 Dekomposisi ( )- -antiajaib super pada dan

………... 40

(13)

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Eksistensi nilai a pada dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen………. 41 Tabel 4.1 Dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized

Petersen………. 42

(14)

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Salah satu cabang matematika yang pada saat ini banyak mengalami pengembangan adalah teori graf. Teori graf pertama kali muncul karena adanya permasalahan pada jembatan Konigsbreg, sebuah jembatan di kota Kaliningrad, Rusia (dahulu Prusia). Masalah pada jembatan Konigsbreg adalah kemungkinan bisa atau tidaknya melewati tujuh jembatan di kota tersebut dengan tepat satu kali yang menghubungkan empat buah daratan. Pada tahun 1763, Leonhard Euler memecahkan permasalahan tersebut dengan menggunakan titik sebagai representasi dari daratan dan garis yang menghubungkan titik sebagai representasi dari masing-masing jembatan. Representasi titik (vertex) dan sisi (edge) yang diperkenalkan oleh Euler pada permasalahan tersebut dikenal sebagai Graf.

Menurut Bondy dan Murty [2] sebuah graf ( ) adalah sebuah himpunan hingga tak kosong dan himpunan pasangan tak berurutan dari anggota-anggotanya Dalam graf, jika sebuah sisi menghubungkan suatu titik yang sama disebut dengan gelang (loop). Pengaitan titik pada suatu graf mengakibatkan terbentuknya sisi dan dapat dituangkan ke dalam bentuk gambar sehingga membentuk suatu pola graf tertentu.

Jenis-jenis dari suatu graf semakin banyak dan semakin beragam. Hal ini ditandai dengan adanya graf sederhana, graf berarah dan juga graf reguler. Graf reguler berderajat didefinisikan sebagai graf yang setiap titiknya mempunyai

(15)

2 derajat yang sama yaitu . Graf generalized Petersen ( ), , 1 ≤ ≤

⌊⌋, adalah sebuah graf regular dengan titik dan tiga macam sisi yaitu _{( )} (sisi dalam), (jeruji), dan _{( )} (sisi luar) dengan menyatakan banyaknya titik luar yang sama dengan banyaknya titik dalam dan nilai menyatakan lompatan sisi dalam pada graf tersebut. Graf generalized Petersen pertama kali diperkenalkan oleh Watkins [8].

Pelabelan graf merupakan suatu hal yang dipelajari dalam teori graf dan banyak mendapatkan perhatian. Hal ini dikarenakan pelabelan suatu graf memiliki dampak yang luas di dalam kehidupan. Pelabelan pada suatu graf pertama kali dikenalkan oleh Sedlacek (1964), Stewert (1966), Kotzig dan Rosa pada tahun 1970. Pelabelan graf itu sendiri adalah pemberian nilai atau label pada titik atau sisi ataupun keduanya yang merupakan pemetaan bijektif yang memetakan unsur himpunan titik atau sisi maupun keduanya ke bilangan asli yang disebut label.

Suatu pelabelan yang ditandai dengan sebuah pemetaan yang daerah asalnya adalah titik maka pelabelan ini disebut dengan pelabelan titik (vertex labeling), sedangkan suatu pelabelan yang ditandai dengan sebuah pemetaan yang daerah asalnya adalah sisi maka pelabelan ini disebut dengan pelabelan sisi (edge labeling) dan suatu pelabelan yang ditandai dengan sebuah pemetaan yang daerah asalnya adalah titik dan sisi maka pelabelan ini disebut dengan pelabelan total (total labeling).

Telah banyak berkembang jenis-jenis dari pelabelan suatu graf, di antaranya adalah pelabelan ajaib (magic) dan pelabelan antiajaib (anti magic). Dalam perkembangannya pula, pelabelan ajaib dapat dibagi ke dalam beberapa jenis,

(16)

3 di antaranya adalah pelabelan titik (sisi) ajaib, pelabelan sisi (titik) ajaib, pelabelan total titik ajaib, pelabelan total titik ajaib super, pelabelan total sisi ajaib dan pelabelan total sisi ajaib super. Pada tahuh 2005, Gutiérrez dan Llado [5]

mengembangkan pelabelan total ajaib menjadi pelabelan selimut ajaib. Di sisi lain, pelabelan total antiajaib pun berkembang dengan adanya pemenuan oleh Innayah menjadi pelabelan selimut - antiajaib.

Dekomposisi pada graf merupakan perluasan dari tema pelabelan dalam graf. Suatu pelabelan antiajaib pada graf G yang memuat suatu dekomposisi-H, ditulis dekomposisi ( ) -H-antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi pada graf G ke bilangan bulat positif ( ( ) ( ) ) yang memenuhi { ( )|

( ) untuk dua bilangan bulat positif dan tertentu serta adalah banyaknya subgraf di .

Pada penelitian ini dibahas tentang Dekomposisi ( ) - -Antiajaib Super pada Graf Generalized Petersen. Penelitian ini bertujuan untuk mengkonstruksi dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf tersebut.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka permasalahan pada penelitian ini dapat dirumuskan tentang bagaimana mengkonstruksi dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen.

(17)

4 1.3. Pembatasan Masalah

Dalam penelitian ini, agar pembahasan tidak meluas maka penulis membatasi objek kajian pada:

1. Graf berhingga sederhana, yaitu graf yang tidak memiliki gelang dan sisi ganda.

2. Dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen, dengan ganjil, ≥ 5, , dan terdekomposisi atas graf .

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk mengkonstruksi dekomposisi ( )- - antiajaib super graf generalized Petersen.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang didapat dalam melakukan penelitian adalah : Bagi Penulis

1. Dapat mengkonstruksi dekomposisi ( )- - antiajaib super pada graf generalized Petersen

2. Menambah wawasan penulis tentang teori graf, khususnya mengenai dekomposisi ( )- - antiajaib super.

Bagi Universitas

1. Diharapkan sebagai sumbangan penelitian dalam disiplin ilmu khususnya dalam bidang teori graf.

(18)

5 2. Berguna sebagai penambah hasil-hasil penelitian yang dapat dijadikan bahan referensi bagi peneliti lain dalam mengkaji permasalahan atau topik serupa.

(19)

6 BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Terminologi Graf

Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( ) ditulis dengan notasi ( ). dalam hal ini merupakan himpunan tidak kosong dari titik- titik dan adalah himpunan sisi yang mungkin kosong dan menghubungkan sepasang titik [10].

Suatu graf dikatakan kosong (null graf) jika [6]. Dari definisi tersebut menyatakan bahwa dalam suatu graf, himpunan titik tidak boleh kosong, akan tetapi himpunan sisi dimungkinkan kosong. Hal ini menandakan bahwa sebuah graf harus memiliki paling sedikit satu buah titik dan dimungkinkan tidak memiliki sisi. Graf yang hanya memiliki sebuah titik disebut graf trivial. Gambar 2.1 menggambarkan bahwa himpunan titik pada graf tersebut adalah ( )= , , , } dan himpunan sisi pada graf tersebut adalah ( ) , , , , , , } dimana adalah sisi yang

Gambar 2.1 Graf G

(20)

7 menghubungkan titik , elemen ( ), maka ( ). Dari Gambar 2.1 di atas dapat dilihat bahwa ( ) dan ( ) begitupun sisi lainnya.

Banyaknya unsur pada himpunan titik disebut dengan size dan dinotasikan dengan ǀ ( )ǀ, sedangkan banyaknya unsur pada himpunan sisi disebut dengan order dan dinotasikan dengan ǀ ( ) ǀ. Graf yang memiliki size ( ) dan order

( ) dapat ditulis dengan ( ) Graf [7].

2.2 Jenis- Jenis Graf

Suatu graf dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis. Pengklasifikasian jenis graf ini bergantung kepada sudut pandang pengelompokan graf tersebut.

Pengelompokan graf dapat dilihat berdasarkan ada atau tidaknya sisi ganda, jumlah titik atau berdasarkan orientasi arah pada sisi dalam graf tersebut.

Pengklasifikasian graf berdasarkan ada atau tidaknya sisi ganda secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis graf, yaitu graf sederhana dan graf tak sederhana. Graf sederhana adalah suatu graf yang tidak mengandung gelang (loop) maupun sisi ganda (multiple edge), sedangkan graf tidak sederhana adalah suatu graf yang mengandung gelang dan sisi ganda.

Gelang adalah sisi yang memiliki titik ujung yang sama atau dengan kata lain sisi tersebut berawal dan menuju titik yang sama, sedangkan sisi ganda adalah keadaan dimana dua buah sisi menghubungkan dua buah titik. Terdapat dua jenis graf tak sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu.

Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Pada graf ini, sisi ganda yang menghubungkan sepasang titik diperbolehkan lebih dari dua sisi,

(21)

8 sedangkan graf semu adalah graf yang mengandung gelang dan sisi ganda. Graf semu lebih umum dibandingkan dengan graf ganda. Hal ini dikarenakan sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri [10].

Misalkan dan adalah dua buah titik pada ( ) . Bertetangga (adjacent) adalah keadaaan dimana terdapat sisi yang menghubungkan titik dan atau dengan kata lain titik bertetangga dengan titik , ditulis . Suatu sisi yang menghubungkan antara titik dengan titik dikatakan bersisian dari (incident from) dengan titik dan bersisian ke ( ) dengan titik . Sebagai contoh, dalam Gambar 2.3 di bawah, titik bertetangga dengan titik dan titik dengan menghubungkan sisi dari titik ke titik atau sebaliknya serta menghubungkan sisi dari titik ke titik ataupun sebaliknya. Akan tetapi, titik tidak bertetangga dengan titik maupun titik karena tidak ada sisi yang menghubungkan keduanya.

Gambar 2.2. (a) Graf Sederhana; (b) Graf Semu; (c) Graf Ganda

(22)

9 Banyaknya sisi yang bersisian dengan titik disebut derajat (degree) titik pada graf tersebut, biasanya ditulis dengan ( ), masing- masing gelang dihitung sebagai dua sisi [10]. Pada Gambar 2.3 dapat kita lihat bahwa ( ) dan ( ) . Jika titik tidak memiliki tetangga dengan titik lain pada suatu graf, maka titik dikatakan titik terisolasi (isolated vertex) dimana derajat dari titik ini adalah 0, sedangkan titik dalam suatu graf yang berderajat satu disebut dengan titik akhir (end vertex) atau sering disebut juga dengan daun (leaf). Derajat terkecil dalam suatu graf adalah derajat terkecil yang dimiliki oleh suatu titik di antara titik lainnya dalam graf tersebut yang dinotasikan dengan ( ), sedangkan derajat terbesar dalam suatu graf adalah derajat terbesar yang dimiliki oleh suatu titik di antara titik lainnya dalam graf tersebut yang dinotasikan dengan ( ).

Graf reguler dan graf lengkap dengan titik merupakan hasil dari pengelompokan graf berdasarkan jumlah titik atau derajat titik pada suatu graf.

Graf reguler yang dimaksudkan di sini adalah suatu keadaan dimana semua titik pada graf memiliki derajat yang sama, yaitu [4]. Graf lengkap dengan titik merupakan suatu graf yang semua titiknya bertetangga, dengan kata lain, graf lengkap dengan titik juga merupakan bagian dari graf reguler.

Gambar 2.3 Graf A

(23)

10 Pada Gambar 2.4, adalah suatu graf lengkap. Hal ini ditunjukkan karena pada graf tersebut titiknya selalu memiliki sisi yang menghubungkan satu titik ke titik yang lain.

Suatu graf yang merupakan hasil pengelompokan graf berdasarkan ada atau tidaknya orientasi arah pada sisi adalah graf berarah dan tidak berarah. Graf berarah adalah suatu graf yang di dalamnya terdiri dari himpunan titik yang tak kosong dan himpunan pasangan terurut titik yang memiliki arah atau yang dikenal dengan sisi berarah (arc) [10]. Graf berarah sering juga dikenal dengan sebutan digraph. Berikut adalah sebuah contoh digraph yang akan diperlihatkan pada Gambar 2.5

.

Di sisi lain, terdapat graf tidak berarah yang merupakan suatu graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah (arc). Himpunan pasangan terurut titik

Gambar 2.5 Graf Berarah Gambar 2.4 Graf Lengkap

𝐾 𝐾 𝐾

(24)

11 pada graf ini tidak diperhatikan. Oleh karena itu, ( ) ( ) adalah sisi yang sama [10].

Jenis graf juga dapat diklasifikasikan berdasarkan definisi graf secara umum, di antaranya adalah graf yang akan dibahas dalam skripsi ini, yaitu graf generalized Petersen dan graf lintasan. Graf lintasan yang dinotasikan adalah suatu graf dengan n titik yaitu dan sisi ( ) ( ) ( ). Kemudian, Graf generalized Petersen ( ) , 1 ≤ ≤ ⌊⌋ adalah sebuah graf regular dengan titik dan tiga macam sisi yaitu _{( )} (sisi dalam), (jeruji), dan _{( )} (sisi luar) dengan menyatakan banyaknya titik luar yang sama dengan banyaknya titik dalam dan nilai menyatakan lompatan sisi dalam pada graf tersebut [13].

Gambar 2.6 Graf generalized Petersen 𝐺𝑃_𝑛

(25)

12 2.3. Jalan, Lintasan, dan Lintasan Tertutup

Jalan (walk) dari suatu graf adalah sebuah barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari titik-titik dan sisi-sisi dalam suatu graf dengan ketentuan setiap sisi menempel pada dan dimana dan bukan suatu gelang. Jalan biasanya dinotasikan dengan [7].

Jalan dari suatu graf dibentuk dari barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari titik-titik dan sisi-sisi pada graf tersebut dengan ketentuan titik dan sisi dapat diulang, atau dilewati lebih dari satu kali.

Sebuah jalan merupakan trial jika jalan tersebut tidak memiliki sisi yang terulang, sedangkan lintasan (path) adalah sebuah jalan yang titik dan sisinya tidak boleh terulang atau trial yang titiknya tidak boleh terulang [7], dengan kata lain lintasan adalah keadaan dimana titik-titik dan sisi-sisi pada jalan semuanya berbeda. Lintasan tertutup atau biasanya dikenal dengan sikel adalah sebuah lintasan jika titik awal dari lintasan juga merupakan titik akhir dari lintasan tersebut, ( ) [7].

Pada Gambar 2.7, Graf memiliki 5 titik dimana adalah jalan yang memiliki panjang 7 yang bukan lintasan dan

Gambar 2.7 Graf 𝐺

(26)

13 adalah trial yang memiliki panjang 6, sedangkan adalah lintasan yang memiliki panjang 4 dan adalah lintasan tertutup yang memiliki panjang 5.

2.4 Subgraf

Sebuah graf H adalah subgraf dari graf G jika setiap titik pada H adalah titik di G dan setiap sisi pada H adalah sisi di G. Dengan kata lain, ( ) ( ) dan ( ) ( ) [7]. Sebuah subgraf H dikatakan spanning subgraf dari G jika semua titik pada graf G termuat di dalam graf H, ( ( ) ( )) Misalkan H merupakan subgraf dari G, dan mengandung semua sisi dari yang titik-titik ujungnya ada di , maka H dikatakan subgraf penuh dari G. Pada Gambar 2.8, karena graf mengandung semua titik pada graf G maka graf merupakan spanning subgraf dari graf G. Graf merupakan subgraf penuh dari graf G, sedangkan bukan merupakan subgraf penuh dari graf G.

Gambar 2.8 Graf G dan subgraf dari G

(27)

14 2.5 Graf yang Isomorfik

Suatu graf disebut isomorfik dengan graf ditulis jika terdapat suatu fungsi injektif 𝑓 dari ( ) ke ( ) sedemikian sehingga 𝑓 mengawetkan ketetanggaan yaitu, ( ) jika hanya jika 𝑓( )𝑓( ) ( ) [3].

2.6 Fungsi

Suatu fungsi f dari himpunan A dan himpunan B adalah sebuah himpunan dari pasangan berurut sedemikian sehingga untuk setiap terdapat tunggal dengan ( ) 𝑓 , dengan kata lain, jika ( ) 𝑓 dan ( ) 𝑓 , maka [12]. Pada pemetaan f ini, himpunan A disebut dengan daerah asal (domain) dan himpunan B disebut dengan daerah kawan (kodomain), sedangkan himpunan nilai dari hasil yang diperoleh dari fungsi f dinamakan daerah hasil (range).

Fungsi dapat dibedakan menjadi tiga jenis berdasarkan bayangannya, yaitu fungsi injektif (satu-satu), surjektif (pada) dan bijektif (satu-satu dan pada) serta terdapat fungsi lainnya, yaitu fungsi modulo.

Gambar 2.9 Graf 𝐺 isomorfik terhadap 𝐺

(28)

15 2.6.1 Fungsi Injektif

Misalkan adalah himpunan tak kosong, 𝑓 dikatakan fungsi injektif (satu-satu) jika untuk setiap dengan 𝑓( ) 𝑓( ) berlaku . Hal ini menunjukan bahwa f dikatakan satu-satu jika tidak ada dua elemen berbeda di himpunan yang memiliki bayangan yang sama [12].

2.6.2 Fungsi Surjektif

Misalkan adalah himpunan tak kosong, 𝑓 dikatakan fungsi injektif (pada) jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga 𝑓( ) . Hal ini menunjukan bahwa jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A maka f adalah fungsi pada [12].

2.6.3 Fungsi Bijektif

Misalkan adalah himpunan tak kosong, 𝑓 dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif [12].

Gambar 2.10 (a) Fungsi Injektif; (b) Fungsi Surjektif; (c) Fungsi Bijektif;

(d) Bukan Fungsi

(29)

16 2.6.4 Fungsi Modulo

Misalkan x adalah sebarang bilangan bulat dan y adalah bilangan bulat positif. Menurut Munir [10] fungsi modulo adalah fungsi dengan operator , dengan memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila x dibagi dengan y. Dengan kata lain, sedemikian sehingga , dengan . Sebagai contoh, misalkan dan , maka , karena dibagi dengan memberikan hasil dengan sisa ( ) , atau bisa ditulis dengan ( )

2.7 Pelabelan Graf

Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu dan pada yang memetakan himpunan titik, sisi maupun keduanya ke himpunan bilangan bulat positif.

Pelabelan pada suatu graf dapat dibedakan berdasarkan daerah asal suatu pemetaan tersebut. Terdapat tiga jenis pelabelan pada suatu graf yang diklasifikasikan berdasarkan daerah asal (domain), yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan titik ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan titik, sedangkan suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan sisi ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan sisi, dan suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan titik beserta himpunan sisi ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan total [1].

(30)

17 Pada Gambar 2.11 di atas memberikan suatu ilustrasi sebuah pelabelan titik yang di tunjukan oleh (a), pelabelan sisi yang di tunjukan oleh (b) dan pelabelan total yang di tunjukan oleh (c) pada suatu graf lintasan .

Dalam suatu pelabelan graf dikenal istilah bobot. Bobot yang dimaksudkan di sini adalah suatu jumlah label yang terkait dengan elemen graf. Bobot sisi pada suatu pelabelan α, ( ) didefinisikan sebagai jumlah label sisi dengan label pada kedua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut, sedangkan suatu bobot titik pada suatu pelabelan α, ( ) didefinisikan sebagai jumlah label suatu titik dengan label semua sisi yang hadir pada titik tersebut.

Pelabelan graf dibagi menjadi 2 topik pembicaraan berdasarkan bobot dari suatu pelabelan, yaitu pelabelan ajaib dan antiajaib. Pada tahun 2005, ́ dan Llad ́ memperkenalkan konsep selimut-H yang diperlukan untuk mendefinisikan suatu graf G dikatakan H-ajaib, dan Nur Inayah dalam disertasinya yang berjudul pelabelan dan dekomposisi (a,d)-H-antiajaib (super) pada graf memperkenalkan konsep baru dalam pelabelan graf, yaitu konsep selimut-H antiajaib.

Gambar 2.11 Pelabelan Graf

(31)

18 2.7.1 Pelabelan Ajaib

Suatu pelabelan α dapat dikatakan sebagai pelabelan ajaib jika terdapat suatu bilangan yang mengakibatkan bobot untuk semua titik ataupun sisinya adalah , dimana dikenal dengan sebutan konstanta ajaib. Berikut adalah jenis-jenis pelabelan ajaib.

a. Pelabelan Titik (Sisi)- Ajaib

Pelabelan titik (sisi)-ajaib pada graf ( ) adalah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik pada graf G ke bilangan bulat positif ( 𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap sisi untuk sebarang sisi di G berlaku:

( ) 𝑓( ) 𝑓( ) , untuk suatu [9]

Pada gambar di atas kita peroleh bobot setiap sisi pada graf adalah 11, ( ( ) ).

b. Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib

Pelabelan sisi (titik)-ajaib pada graf ( ) adalah fungsi bijektif yang memetakan himpunan sisi pada graf G ke bilangan bulat

Gambar 2.12 Pelabelan Titik (Sisi)-Ajaib

(32)

19 positif ( 𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik di G dan y di N(x) berlaku:

( ) ∑_{( )}𝑓( ) , untuk suatu

Pada gambar di atas kita peroleh bobot setiap titik pada graf adalah 24, ( ( ) ).

c. Pelabelan Total Titik Ajaib

Pelabelan total titik ajaib pada graf G adalah sebuah pemetaan bijektif dari himpunan titik dan sisi dari graf tersebut (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik x di G dan y di N(x) berlaku:

( ) 𝑓( ) ∑_{( )}𝑓( ) , untuk suatu k [1]

Gambar 2.13 Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib

(33)

20 d. Pelabelan Total Sisi Ajaib

Pelabelan total sisi ajaib pada graf G adalah sebuah pemetaan bijektif dari himpunan titik dan sisi dari graf tersebut (f ( ) ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik x di G dan y di N(x) berlaku:

( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) , untuk suatu k [1]

Gambar 2.14 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf 𝐾

Gambar 2.15 Pelabelan Total (Sisi)-Ajaib

(34)

21 2.7.2 Pelabelan Antiajaib

Menurut Hartsfield dan Ringel [7] suatu graf G disebut antiajaib, jika sisi-sisinya dapat dilabeli dengan sehingga pada setiap titik mempunyai bobot yang berbeda. Berikut akan dibahas mengenai macam- macam pelabelan anti ajaib.

a. Pelabelan Titik ( )-Sisi-Antiajaib

Pelabelan titik ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik ke bilangan bulat positif ( ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah ( ) , dimana a dan [15].

Pada gambar di atas diperoleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika, yaitu ( ) ( ) ( ) .

b. Pelabelan Sisi ( )-Titik-Antiajaib

Pelabelan titik ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot titik

Gambar 2.16 Pelabelan Titik (𝑎 𝑑)-Sisi-Antiajaib

(35)

22 dari semua titik di G adalah ( ) , dimana a dan [15].

Pada gambar di atas diperoleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika, yaitu ( ) ( ) ( ) .

c. Pelabelan Total ( )-Titik-Antiajaib

Pelabelan total ( ) -titik-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot titik dari semua titik di G adalah ( ) , dimana a dan [1].

Pada gambar 2.18, kita peroleh bobot dari setiap titik yang membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 ( ), ( ) ( ) , dan ( ) .

Gambar 2.17 Pelabelan Sisi (𝑎 𝑑)-Titik-Antiajaib

(36)

23 d. Pelabelan Total ( )-Sisi-Antiajaib

Pelabelan total ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah ( ) , dimana a dan [1]. Pada Gambar 2.19, kita peroleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 ( ), yaitu ( ) ( ) ( )

2.7.3 Pelabelan Total ( )-H-Ajaib

Misalkan ( ( ) ( )) dan ( ( ) ( )) adalah graf berhingga, dan misalkan | ( )| , | ( )| | ( )| , | ( )|

Gambar 2.18 Pelabelan Total (𝑎 𝑑)-Titik-Antiajaib

Gambar 2.19 Pelabelan Total (𝑎 𝑑)-Sisi-Antiajaib

(37)

24 . Selimut sisi dari G adalah kumpulan subgraf-subgraf yang berbeda sedemikian sehingga untuk sebarang sisi di E(G) adalah sisi pada subgraf , . Oleh karenanya, G dikatakan memuat selimut H jika isomorfik ke suatu graf H.

Misalkan ( ) memuat selimut-H. ́ dan Llad ́ [5]

mendefinisikan graf G yang mempunyai selimut-H dikatakan H-ajaib, jika terdapat pelabelan total ( ) ( ) sedemikan sehingga bobot dari H’ (bobot-H’) yakni ( ) ∑₍ ₎ ( )

∑₍₎ ( ), selalu bernilai sama untuk setiap subgraf H’ dari G yang isomorfik dengan H. Jika bobot titik adalah bobot terkecil dalam pelabelan maka kita katakan bahwa pelabelan tersebut adalah selimut-H ajaib super [11].

2.7.4 Pelabelan Total ( )-H-Antiajaib

Misalkan ( ( ) ( )) dan ( ( ) ( )) graf berhingga dan memiliki selimut-H. Pelabelan total ( ) -H-anti ajaib adalah fungsi bijektif ξ: ( ) ( ) sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H’ yang isomorfik dengan H, himpunan bobot dari H adalah

( ) ∑ ( )

( )

∑ ( )

( )

Dimana bobot tiap selimutnya membentuk barisan aritmatika ( ) dengan d menyatakan jarak dan l adalah suatu bilangan subgraf isomorfik H, dimana a dan d adalah bilangan bulat positif. Kemudian ξ dikatakan pelabelan ( )-H-antiajaib super, jika ( ( )) atau

(38)

25 dengan kata lain pelabelan (a,d)-H-antiajaib dikatakan super jika titik merupakan label terkecil pada graf tersebut [11].

2.8 Dekomposisi Graf

Suatu graf G dikatakan terdekomposisi menjadi , jika dua buah subgraf dan dengan tidak memiliki sisi yang bersisian dan gabungan semua subgraf adalah G [7]. Suatu keluarga dari subgraf G dikatakan suatu dekomposisi-H dari G, jika isomorfik dengan ( ) ( ) untuk dan ⋃ ( ) ( ). Dalam hal ini, ditulis ⨁ ⨁ dan G dikatakan terdekomposisi- atau dengan kata lain G memuat suatu dekomposisi-H.

Suatu pelabelan antiajaib pada graf G yang memuat suatu dekomposisi-H, ditulis dekomposisi H-antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi pada graf G ke bilangan bulat positif ( ( ) ( ) ) yang memenuhi { ( )|

( ) untuk dua bilangan bulat positif dan tertentu serta adalah banyaknya subgraf di . Dalam hal ini ( ) dikatakan bobot dari (bobot-H), didefinisikan sebagai ( ) ∑_{( )} ( ) ∑ _{( )} ( ) Kemudian, dikatakan dekomposisi ( )- -antiajaib super, jika ( ( )) atau dengan kata lain bobot titik merupakan bobot terkecil pada graf tersebut.

(39)

26 Gambar 2.20 Dekomposisi -𝑃 -pada graf Petersen

(40)

27 BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang hasil penelitian dekomposisi ( )- - antiajaib super pada graf generalized Petersen. Langkah awal yang dilakukan peneliti dalam penelitian ini adalah menentukan selimut pada graf generalized Petersen berupa graf lintasan ( ) kemudian melabeli titik-titik dan sisi-sisi graf generalized Petersen dengan bilangan bulat positif pada graf tersebut. Setelah itu, peneliti menghitung bobot masing-masing selimut sehingga membentuk deret aritmatika dan kemudian mengkonstruksi dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen.

Graf generalized Petersen memiliki titik luar dan titik dalam , dan juga terdapat tiga macam sisi yaitu ( _{( )}) sisi dalam, ( )

jeruji, dan ( _{( )}) sisi luar. Setiap titik dan sisi pada graf ini akan dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh suatu fungsi yang disesuaikan dengan nilai Fungsi tersebut digunakan untuk melabeli setiap unsur himpunan titik dan sisi pada graf generalied Petersen.

Hasil dari penelitian ini berupa empat teorema baru yang ditemukan secara eksperimental yang akan disajikan dengan paparan teorema dan diikuti dengan bukti pendukung lainnya berupa ilustrasi gambar sebagai visualisasi kebenaran pembuktian teorema. Empat teorema yang merupakan hasil dari penelitian ini dikelompokkan sesuai dengan nilai yang didapat dalam penelitian ini.

(41)

28 TEOREMA 3.1 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut ( )- -antiajaib super.

Bukti. Setiap titik dan sisi dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh fungsi 𝑓 seperti pelabelan (3.1) di bawah ini,

𝑓( ) = ( ) [ ]

𝑓( ) = {

[ ] 𝑓( _{( )}) = [ ]

𝑓( _{( )}) = {

[ ] [ ]

𝑓( ) = {

[ ]

Pola bobot ( ( )) masing-masing selimut pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

{

𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) [ ]

𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) ( ) =

(42)

29 Berdasarkan pola bobot pelabelan di atas diperoleh ( ) masing-masing selimut ( ) pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

{

[ ]

( ) =

Di bawah ini akan disajikan gambar ilustrasi dekomposisi ( ) - - antiajaib super dengan pada graf generalized Petersen dan .

Gambar 3.1.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃 -antiajaib super pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

(43)

30 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada lampiran 1. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 1 dan

Contoh 3.1 Sebagai ilustrasi Teorema 3.1, diberikan sebuah dekomposisi pelabelan selimut ( )- -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.1.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.1), maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika . Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti Gambar 3.1.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

Gambar 3.1.2 Bobot selimut 𝑃 pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

(44)

31 TEOREMA 3.2 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut ( ( ) ))- -antiajaib super.

𝑓( ) =

{

( )

[ ]

𝑓( ) = {

[ ] [ ]

𝑓( _{( )}) = {

[ ] [ ]

𝑓( _{( )}) = {

[ ]

𝑓( ) = {

( )

[ ]

Dalam dekomposisi ( ) - -antiajaib super pada graf generalized Petersen terdapat pola bobot selimut pada graf tersebut. Adapun pola bobot ( ( )) masing-masing selimut pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

(45)

32 {

𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) [ ]

𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) ( ) =

Berdasarkan pola bobot pelabelan di atas diperoleh ( ) masing-masing selimut ( ) pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

{

( )

[ ]

( ) =

(46)

33 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada

lampiran 2. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 2 dan ( ).

Contoh 3.2 Sebagai ilustrasi Teorema 3.2, diberikan sebuah dekomposisi

pelabelan selimut ( ( )) - -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.2.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.2) maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari masing- masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

Gambar 3.2.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃-antiajaib super pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

(47)

34 Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti gambar 3.2.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

TEOREMA 3.3 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut (13n+5,3)- -antiajaib super.

Bukti. Setiap titik dan sisi dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh fungsi 𝑓 seperti pelabelan (3.3) di bawah ini,

𝑓( ) = ( ) [ ]

𝑓( ) = {

[ ] [ ] 𝑓( _{( )}) = [ ]

𝑓( _{( )}) = {

[ ]

(48)

35

𝑓( ) = {

( )

[ ]

{

𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )})

𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )}) [ ] 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

𝑓( ) 𝑓( ) ( ) =

{

[ ]

( ) =

(49)

36 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada lampiran 3. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 3 dan .

Contoh 3.3 Sebagai ilustrasi Teorema 3.3, diberikan sebuah dekomposisi pelabelan selimut ( ) - -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.3.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.3), maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari

Gambar 3.3.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃 - antiajaib super pada G𝑃 dan 𝐺𝑃 dengan 𝑑

(50)

37 masing-masing selimut ( ) yang merupakan sebuah deret aritmatika . Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti gambar 3.3.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

TEOREMA 3.4 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut ( ( ) ))- -antiajaib super.

𝑓 ( ) =

{

( )

[ ]

(51)

38

𝑓 ( ) = {

[ ]

𝑓 ( _{( )}) = {

[ ] 𝑓 ( _{( )}) = [ ]

𝑓 ( ) = {

( )

[ ]

{

𝑓 ( ) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓 ( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( ) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓 ( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( ) 𝑓 ( _{( )} _{( )})

𝑓 ( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) [ ] 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( )

𝑓 ( ) 𝑓( ) ( ) =

(52)

39 {

( )

[ ]

( ) =

Gambar 3.4.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃-antiajaib super pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

(53)

40 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada

lampiran 4. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 4 dan ( ).

Contoh 3.4 Sebagai ilustrasi Teorema 3.4, diberikan sebuah dekomposisi

pelabelan selimut ( ( )) - -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.4.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.4) maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari masing- masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika . Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti gambar 3.4.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

Dari keempat teorema yang telah dipaparkan sebelumnya, didapatkan empat macam yang sesuai dengan nilai yang diperoleh. Berikut akan disajikan eksistensi nilai a dari keempat teorema tersebut dalam bentuk tabel.

(54)

41 Tabel 3.1 Eksistensi nilai pada dekomposisi ( )- -antiajaib

super pada graf generalized Petersen

1 2 3 4

74 72 70 68

102 99 96 93

130 126 122 118

158 153 148 143

186 180 174 168

214 207 200 193

. . .

( ) ( )

𝑮𝑷_{𝒏 𝟐}𝒅

(55)

42 BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa graf generalized Petersen dengan ganjil, dan memiliki dekomposisi ( ) - - antiajaib super dengan nilai dan yang berbeda seperti Tabel 5.2. Penelitian ini menghasilkan empat teorema yang disesuaikan dengan nilai dan yang diperoleh dalam penelitian ini.

Tabel 4.1 Dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen

1

( ) 2

3

( ) 4

4.2. Saran

Bagi para pembaca yang tertarik melakukan penelitian dekomposisi ( ) - -antiajaib super dapat mengembangkan penelitian ini. Sebagai ilustrasi, penelitian ini dapat dikembangkan kembali dengan mencari nilai

(56)

43 selain dan yang belum dibahas dalam penelitian ini, sehingga dapat ditentukan nilai secara umum. Pembaca juga dapat mengembangkan penelitian ini dengan menggunakan selimut yang berbeda dan untuk genap agar mendapatkan pola hasil dekomposisi ( )- - antiajaib super pada graf Petersen serta juga dapat mencari dekomposisi (a,d)-H- antiajaib dengan graf yang lainnya.

(57)

44 REFERENSI

[1] Baca, Martin., Miller, Mirka. 2008. Super Edge- Antimagic Graph, A Wealth of Ploblems and Some Solution. Brown Walker Press.

[2] Bondy, J.A. and Murty. U.S.R. 1976. Graph Theory with Applications.

London: The Macmillan Press Ltd

[3] Chartrand, G. dan Oellermann. 1993. Applied and Algoritmic Graph Theory. New York: Mac Graw-Hill, inc.

[4] Dafik, M. Miller., J. Ryan dan M. Baca. 2009. On Super ( )-Edge Antimagic Total Labeling of Disconnect Graph . Discrete Mathematics 309, 4909-4915. Elsevier B.V.

[5] Gutierrez, A. dan Lando, A. 2005. Magic Coverings. The Journal of Combanitorial Mathematics and Combinatorial Computing 55, 4356.

[6] Harary, F. 1969. Graph Theory. Philipina: Addison- Wesley Publishing Company Inc.

[7] Hardsfields, N. dan Rigel, G. 1994. . London:

Accademic Press Limeted.

[8] M.E. Watkins. 1969. A Theorem on Tait colorings with an application to the generalized Petersen graph, J. Combin. Theory 6, 152-164.

[9] Miller, Mirka. 2000. Open Problems in Graph Theory: Labeling and Extremal Graph. Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut Teknologi Bandung.

[10] Munir, Rinaldi. 2010, Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Bandung:

Penerbit Informatika.

[11] Nur Inayah, A. N., M. Salman, R. Simanjuntak. 2009. On ( ) -H- Antimagic Coverings of Graph, The Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 71, 273-281.

[12] Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis. Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.

(58)

45 [13] Sungeng, K.A. 2005. Magic and Antimagic Labeling of Graph. Ph.D Thesis. School of Information Technology and Mathematical Science University of Ballarat.

(59)

46 LAMPIRAN 1

Bobot untuk subgraf dengan vertex pusat _{( )}. Misalkan . Jika [ ], maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= (( ) ) (( ) ) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

=

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) [ ] = ( ) ( )

= ( ( ) ) ( )

= 1

Jika ( ), maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= (( ) ) ( ( ( ))) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

=

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( )

(60)

47 = ( ) ( )

= ( ) ( ( ) )

= 1

( ) = 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= (( ) ) ( ( ( ))) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )

=

Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

= ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )

=

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) = ( ) ( )

= ( ) ( ( ) )

= 1

(61)

48 LAMPIRAN 2

Bobot untuk subgraf dengan vertex pusat _{( )}. Misalkan Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( ) Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

= ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

( ) ( ) ( )

= ( )

= ( ( )) ( ( ))

(62)

49

= 2

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

= ( ) ( ( )) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

= ( ( ) ) ( ( ))

= 2

( ) = 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ) ( ( )) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( )

(63)

50 = ( ) ( )

= ( ( ( ) )) ( ( ( ) ))

= 2

Jika [ ( )] , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( (

( ))) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Jika [ ( )] , maka bobot ( ) adalah ( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( )

𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( ( ( ))) ( ( ))

( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) untuk [ ]

(64)

51 = ( ) ( )

= ( ( ( ) )) ( ( ))

= 2

(65)

52 LAMPIRAN 3

Bobot untuk subgraf dengan vertex pusat _{( )}. Misalkan Jika ( ), maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ) ( ( )) ( ( ( ))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

=

( ) = 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ) ( ( )) ( ( ( ))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

=

= ( ( ) ) ( ( ) )

= 3

(66)

53 Jika [ ( )], maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

=

= ( ) ( ( ) )

= 3

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) )

=

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

(67)

54

= ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

=

= ( ) ( )

= 3