Subgraf - LANDASAN TEORI - PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN

BAB II LANDASAN TEORI

2.4 Subgraf

Sebuah graf H adalah subgraf dari graf G jika setiap titik pada H adalah titik di G dan setiap sisi pada H adalah sisi di G. Dengan kata lain, ( ) ( ) dan ( ) ( ) [7]. Sebuah subgraf H dikatakan spanning subgraf dari G jika semua titik pada graf G termuat di dalam graf H, ( ( ) ( )) Misalkan H merupakan subgraf dari G, dan mengandung semua sisi dari yang titik-titik ujungnya ada di , maka H dikatakan subgraf penuh dari G. Pada Gambar 2.8, karena graf mengandung semua titik pada graf G maka graf merupakan spanning subgraf dari graf G. Graf merupakan subgraf penuh dari graf G, sedangkan bukan merupakan subgraf penuh dari graf G.

Gambar 2.8 Graf G dan subgraf dari G

14 2.5 Graf yang Isomorfik

Suatu graf disebut isomorfik dengan graf ditulis jika terdapat suatu fungsi injektif 𝑓 dari ( ) ke ( ) sedemikian sehingga 𝑓 mengawetkan ketetanggaan yaitu, ( ) jika hanya jika 𝑓( )𝑓( ) ( ) [3].

2.6 Fungsi

Suatu fungsi f dari himpunan A dan himpunan B adalah sebuah himpunan dari pasangan berurut sedemikian sehingga untuk setiap terdapat tunggal dengan ( ) 𝑓 , dengan kata lain, jika ( ) 𝑓 dan ( ) 𝑓 , maka [12]. Pada pemetaan f ini, himpunan A disebut dengan daerah asal (domain) dan himpunan B disebut dengan daerah kawan (kodomain), sedangkan himpunan nilai dari hasil yang diperoleh dari fungsi f dinamakan daerah hasil (range).

Fungsi dapat dibedakan menjadi tiga jenis berdasarkan bayangannya, yaitu fungsi injektif (satu-satu), surjektif (pada) dan bijektif (satu-satu dan pada) serta terdapat fungsi lainnya, yaitu fungsi modulo.

Gambar 2.9 Graf 𝐺 isomorfik terhadap 𝐺

15 2.6.1 Fungsi Injektif

Misalkan adalah himpunan tak kosong, 𝑓 dikatakan fungsi injektif (satu-satu) jika untuk setiap dengan 𝑓( ) 𝑓( ) berlaku . Hal ini menunjukan bahwa f dikatakan satu-satu jika tidak ada dua elemen berbeda di himpunan yang memiliki bayangan yang sama [12].

2.6.2 Fungsi Surjektif

Misalkan adalah himpunan tak kosong, 𝑓 dikatakan fungsi injektif (pada) jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga 𝑓( ) . Hal ini menunjukan bahwa jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A maka f adalah fungsi pada [12].

2.6.3 Fungsi Bijektif

Misalkan adalah himpunan tak kosong, 𝑓 dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif [12].

Gambar 2.10 (a) Fungsi Injektif; (b) Fungsi Surjektif; (c) Fungsi Bijektif;

(d) Bukan Fungsi

16 2.6.4 Fungsi Modulo

Misalkan x adalah sebarang bilangan bulat dan y adalah bilangan bulat positif. Menurut Munir [10] fungsi modulo adalah fungsi dengan operator , dengan memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila x dibagi dengan y. Dengan kata lain, sedemikian sehingga , dengan . Sebagai contoh, misalkan dan , maka , karena dibagi dengan memberikan hasil dengan sisa ( ) , atau bisa ditulis dengan ( )

2.7 Pelabelan Graf

Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu dan pada yang memetakan himpunan titik, sisi maupun keduanya ke himpunan bilangan bulat positif.

Pelabelan pada suatu graf dapat dibedakan berdasarkan daerah asal suatu pemetaan tersebut. Terdapat tiga jenis pelabelan pada suatu graf yang diklasifikasikan berdasarkan daerah asal (domain), yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan titik ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan titik, sedangkan suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan sisi ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan sisi, dan suatu pemetaan yang mengaitkan himpunan titik beserta himpunan sisi ke suatu bilangan bulat positif dinamakan pelabelan total [1].

17 Pada Gambar 2.11 di atas memberikan suatu ilustrasi sebuah pelabelan titik yang di tunjukan oleh (a), pelabelan sisi yang di tunjukan oleh (b) dan pelabelan total yang di tunjukan oleh (c) pada suatu graf lintasan .

Dalam suatu pelabelan graf dikenal istilah bobot. Bobot yang dimaksudkan di sini adalah suatu jumlah label yang terkait dengan elemen graf. Bobot sisi pada suatu pelabelan α, ( ) didefinisikan sebagai jumlah label sisi dengan label pada kedua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut, sedangkan suatu bobot titik pada suatu pelabelan α, ( ) didefinisikan sebagai jumlah label suatu titik dengan label semua sisi yang hadir pada titik tersebut.

Pelabelan graf dibagi menjadi 2 topik pembicaraan berdasarkan bobot dari suatu pelabelan, yaitu pelabelan ajaib dan antiajaib. Pada tahun 2005, ́ dan Llad ́ memperkenalkan konsep selimut-H yang diperlukan untuk mendefinisikan suatu graf G dikatakan H-ajaib, dan Nur Inayah dalam disertasinya yang berjudul pelabelan dan dekomposisi (a,d)-H-antiajaib (super) pada graf memperkenalkan konsep baru dalam pelabelan graf, yaitu konsep selimut-H antiajaib.

Gambar 2.11 Pelabelan Graf

18 2.7.1 Pelabelan Ajaib

Suatu pelabelan α dapat dikatakan sebagai pelabelan ajaib jika terdapat suatu bilangan yang mengakibatkan bobot untuk semua titik ataupun sisinya adalah , dimana dikenal dengan sebutan konstanta ajaib. Berikut adalah jenis-jenis pelabelan ajaib.

a. Pelabelan Titik (Sisi)- Ajaib

Pelabelan titik (sisi)-ajaib pada graf ( ) adalah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik pada graf G ke bilangan bulat positif ( 𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap sisi untuk sebarang sisi di G berlaku:

( ) 𝑓( ) 𝑓( ) , untuk suatu [9]

Pada gambar di atas kita peroleh bobot setiap sisi pada graf adalah 11, ( ( ) ).

b. Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib

Pelabelan sisi (titik)-ajaib pada graf ( ) adalah fungsi bijektif yang memetakan himpunan sisi pada graf G ke bilangan bulat

Gambar 2.12 Pelabelan Titik (Sisi)-Ajaib

19 positif ( 𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik di G dan y di N(x) berlaku:

( ) ∑_{( )}𝑓( ) , untuk suatu

Pada gambar di atas kita peroleh bobot setiap titik pada graf adalah 24, ( ( ) ).

c. Pelabelan Total Titik Ajaib

Pelabelan total titik ajaib pada graf G adalah sebuah pemetaan bijektif dari himpunan titik dan sisi dari graf tersebut (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik x di G dan y di N(x) berlaku:

( ) 𝑓( ) ∑_{( )}𝑓( ) , untuk suatu k [1]

Gambar 2.13 Pelabelan Sisi (Titik)-Ajaib

20 d. Pelabelan Total Sisi Ajaib

Pelabelan total sisi ajaib pada graf G adalah sebuah pemetaan bijektif dari himpunan titik dan sisi dari graf tersebut (f ( ) ( ) ) sedemikian sehingga bobot setiap titik untuk sebarang titik x di G dan y di N(x) berlaku:

( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) , untuk suatu k [1]

Gambar 2.14 Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf 𝐾

Gambar 2.15 Pelabelan Total (Sisi)-Ajaib

21 2.7.2 Pelabelan Antiajaib

Menurut Hartsfield dan Ringel [7] suatu graf G disebut antiajaib, jika sisi-sisinya dapat dilabeli dengan sehingga pada setiap titik mempunyai bobot yang berbeda. Berikut akan dibahas mengenai macam-macam pelabelan anti ajaib.

a. Pelabelan Titik ( )-Sisi-Antiajaib

Pelabelan titik ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik ke bilangan bulat positif ( ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah ( ) , dimana a dan [15].

Pada gambar di atas diperoleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika, yaitu ( ) ( ) ( ) .

b. Pelabelan Sisi ( )-Titik-Antiajaib

Pelabelan titik ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot titik

Gambar 2.16 Pelabelan Titik (𝑎 𝑑)-Sisi-Antiajaib

22 dari semua titik di G adalah ( ) , dimana a dan [15].

Pada gambar di atas diperoleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika, yaitu ( ) ( ) ( ) .

c. Pelabelan Total ( )-Titik-Antiajaib

Pelabelan total ( ) -titik-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot titik dari semua titik di G adalah ( ) , dimana a dan [1].

Pada gambar 2.18, kita peroleh bobot dari setiap titik yang membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 ( ), ( ) ( ) , dan ( ) .

Gambar 2.17 Pelabelan Sisi (𝑎 𝑑)-Titik-Antiajaib

23 d. Pelabelan Total ( )-Sisi-Antiajaib

Pelabelan total ( ) -sisi-antiajaib pada graf G adalah sebuah fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif (𝑓 ( ) ( ) ) sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah ( ) , dimana a dan [1]. Pada Gambar 2.19, kita peroleh bobot setiap sisi pada graf tersebut membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 ( ), yaitu ( ) ( ) ( )

2.7.3 Pelabelan Total ( )-H-Ajaib

Misalkan ( ( ) ( )) dan ( ( ) ( )) adalah graf berhingga, dan misalkan | ( )| , | ( )| | ( )| , | ( )|

Gambar 2.18 Pelabelan Total (𝑎 𝑑)-Titik-Antiajaib

Gambar 2.19 Pelabelan Total (𝑎 𝑑)-Sisi-Antiajaib

mendefinisikan graf G yang mempunyai selimut-H dikatakan H-ajaib, jika terdapat pelabelan total ( ) ( ) sedemikan sehingga bobot dari H’ (bobot-H’) yakni ( ) ∑₍ ₎ ( )

∑₍₎ ( ), selalu bernilai sama untuk setiap subgraf H’ dari G yang isomorfik dengan H. Jika bobot titik adalah bobot terkecil dalam pelabelan maka kita katakan bahwa pelabelan tersebut adalah selimut-H ajaib super [11].

2.7.4 Pelabelan Total ( )-H-Antiajaib

Misalkan ( ( ) ( )) dan ( ( ) ( )) graf berhingga dan memiliki selimut-H. Pelabelan total ( ) -H-anti ajaib adalah fungsi bijektif ξ: ( ) ( ) sedemikian sehingga untuk setiap subgraf H’ yang isomorfik dengan H, himpunan bobot dari H adalah

( ) ∑ ( ) subgraf isomorfik H, dimana a dan d adalah bilangan bulat positif. Kemudian ξ dikatakan pelabelan ( )-H-antiajaib super, jika ( ( )) atau

25 dengan kata lain pelabelan (a,d)-H-antiajaib dikatakan super jika titik merupakan label terkecil pada graf tersebut [11]. ditulis dekomposisi H-antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan himpunan titik dan sisi pada graf G ke bilangan bulat positif ( ( )

26 Gambar 2.20 Dekomposisi -𝑃 -pada graf Petersen

27 BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan tentang hasil penelitian dekomposisi ( )- - antiajaib super pada graf generalized Petersen. Langkah awal yang dilakukan peneliti dalam penelitian ini adalah menentukan selimut pada graf generalized Petersen berupa graf lintasan ( ) kemudian melabeli titik-titik dan sisi-sisi graf generalized Petersen dengan bilangan bulat positif pada graf tersebut. Setelah itu, peneliti menghitung bobot masing-masing selimut sehingga membentuk deret aritmatika dan kemudian mengkonstruksi dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen.

Graf generalized Petersen memiliki titik luar dan titik dalam , dan juga terdapat tiga macam sisi yaitu ( _{( )}) sisi dalam, ( )

jeruji, dan ( _{( )}) sisi luar. Setiap titik dan sisi pada graf ini akan dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh suatu fungsi yang disesuaikan dengan nilai Fungsi tersebut digunakan untuk melabeli setiap unsur himpunan titik dan sisi pada graf generalied Petersen.

Hasil dari penelitian ini berupa empat teorema baru yang ditemukan secara eksperimental yang akan disajikan dengan paparan teorema dan diikuti dengan bukti pendukung lainnya berupa ilustrasi gambar sebagai visualisasi kebenaran pembuktian teorema. Empat teorema yang merupakan hasil dari penelitian ini dikelompokkan sesuai dengan nilai yang didapat dalam penelitian ini.

28 TEOREMA 3.1 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut ( )- -antiajaib super.

Bukti. Setiap titik dan sisi dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh fungsi 𝑓 seperti pelabelan (3.1) di bawah ini,

𝑓( ) = ( ) [ ]

29 Berdasarkan pola bobot pelabelan di atas diperoleh ( ) masing-masing selimut ( ) pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

{

[ ]

( ) =

Di bawah ini akan disajikan gambar ilustrasi dekomposisi ( ) - -antiajaib super dengan pada graf generalized Petersen dan .

Gambar 3.1.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃 -antiajaib super pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

30 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada lampiran 1. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 1 dan

Contoh 3.1 Sebagai ilustrasi Teorema 3.1, diberikan sebuah dekomposisi pelabelan selimut ( )- -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.1.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.1), maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika . Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti Gambar 3.1.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

Gambar 3.1.2 Bobot selimut 𝑃 pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

31 TEOREMA 3.2 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut ( ( ) ))- -antiajaib super.

Bukti. Setiap titik dan sisi dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh fungsi 𝑓 seperti pelabelan (3.2) di bawah ini,

𝑓( ) =

Berdasarkan pola bobot pelabelan di atas diperoleh ( ) masing-masing selimut ( ) pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

{

33 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada

lampiran 2. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 2 dan ( ).

Contoh 3.2 Sebagai ilustrasi Teorema 3.2, diberikan sebuah dekomposisi

pelabelan selimut ( ( )) - -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.2.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.2) maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

Gambar 3.2.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃-antiajaib super pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

34 Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti gambar 3.2.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

TEOREMA 3.3 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut (13n+5,3)- -antiajaib super.

Bukti. Setiap titik dan sisi dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh fungsi 𝑓 seperti pelabelan (3.3) di bawah ini,

𝑓( ) = ( ) [ ]

𝑓( ) = {

[ ] [ ] 𝑓( _{( )}) = [ ]

𝑓( _{( )}) = {

[ ]

Gambar 3.2.2 Bobot selimut 𝑃 pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

Berdasarkan pola bobot pelabelan di atas diperoleh ( ) masing-masing selimut ( ) pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

{

36 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada lampiran 3. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 3 dan .

Contoh 3.3 Sebagai ilustrasi Teorema 3.3, diberikan sebuah dekomposisi pelabelan selimut ( ) - -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.3.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.3), maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari

Gambar 3.3.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃 - antiajaib super pada G𝑃 dan 𝐺𝑃 dengan 𝑑

37 masing-masing selimut ( ) yang merupakan sebuah deret aritmatika . Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti gambar 3.3.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

TEOREMA 3.4 Pada Graf Generalized Petersen ( ) terdapat dekomposisi selimut ( ( ) ))- -antiajaib super.

Bukti. Setiap titik dan sisi dipetakan ke himpunan bilangan bulat positif oleh fungsi 𝑓 seperti pelabelan (3.4) di bawah ini,

𝑓 ( ) =

{

( )

[ ]

Gambar 3.3.2 Bobot selimut 𝑃 pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

Berdasarkan pola bobot pelabelan di atas diperoleh ( ) masing-masing selimut ( ) pada graf generalized Petersen adalah sebagai berikut:

39 {

( )

[ ]

( ) =

Di bawah ini akan disajikan gambar ilustrasi dekomposisi ( ) - -antiajaib super dengan pada graf generalized Petersen dan .

Gambar 3.4.1 Dekomposisi (𝑎 𝑑)-𝑃-antiajaib super pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

40 Penjelasan uraian untuk formula ( ) untuk teorema ini dilampirkan pada

lampiran 4. Berdasarkan uraian formula ( ) diperoleh nilai adalah 4 dan ( ).

Contoh 3.4 Sebagai ilustrasi Teorema 3.4, diberikan sebuah dekomposisi

pelabelan selimut ( ( )) - -antiajaib super pada seperti pada Gambar 3.4.1. Jika tiap titik dan sisi pada graf diberikan label yang sesuai dengan Pelabelan (3.4) maka akan diperoleh sebuah himpunan bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika . Hal ini juga berlaku jika diterapkan pada seperti gambar 3.4.1, sehingga akan diperoleh juga bobot dari masing-masing selimut ( ) yang membentuk sebuah deret aritmatika .

Dari keempat teorema yang telah dipaparkan sebelumnya, didapatkan empat macam yang sesuai dengan nilai yang diperoleh. Berikut akan disajikan eksistensi nilai a dari keempat teorema tersebut dalam bentuk tabel.

Gambar 3.4.2 Bobot selimut 𝑃 pada G𝑃 dan G𝑃 dengan 𝑑

42 BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa graf generalized Petersen dengan ganjil, dan memiliki dekomposisi ( ) - - antiajaib super dengan nilai dan yang berbeda seperti Tabel 5.2. Penelitian ini menghasilkan empat teorema yang disesuaikan dengan nilai dan yang diperoleh dalam penelitian ini.

Tabel 4.1 Dekomposisi ( )- -antiajaib super pada graf generalized Petersen

( ) 2

( ) 4

4.2. Saran

Bagi para pembaca yang tertarik melakukan penelitian dekomposisi ( ) - -antiajaib super dapat mengembangkan penelitian ini. Sebagai ilustrasi, penelitian ini dapat dikembangkan kembali dengan mencari nilai

43 selain dan yang belum dibahas dalam penelitian ini, sehingga dapat ditentukan nilai secara umum. Pembaca juga dapat mengembangkan penelitian ini dengan menggunakan selimut yang berbeda dan untuk genap agar mendapatkan pola hasil dekomposisi ( )- - antiajaib super pada graf Petersen serta juga dapat mencari dekomposisi (a,d)-H-antiajaib dengan graf yang lainnya.

44 REFERENSI

[1] Baca, Martin., Miller, Mirka. 2008. Super Edge- Antimagic Graph, A Wealth of Ploblems and Some Solution. Brown Walker Press.

[2] Bondy, J.A. and Murty. U.S.R. 1976. Graph Theory with Applications.

London: The Macmillan Press Ltd

[3] Chartrand, G. dan Oellermann. 1993. Applied and Algoritmic Graph Theory. New York: Mac Graw-Hill, inc.

[4] Dafik, M. Miller., J. Ryan dan M. Baca. 2009. On Super ( )-Edge Antimagic Total Labeling of Disconnect Graph . Discrete Mathematics 309, 4909-4915. Elsevier B.V.

[8] M.E. Watkins. 1969. A Theorem on Tait colorings with an application to the generalized Petersen graph, J. Combin. Theory 6, 152-164.

[9] Miller, Mirka. 2000. Open Problems in Graph Theory: Labeling and Extremal Graph. Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut Teknologi Bandung.

[10] Munir, Rinaldi. 2010, Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Bandung:

Penerbit Informatika.

[11] Nur Inayah, A. N., M. Salman, R. Simanjuntak. 2009. On ( ) -H-Antimagic Coverings of Graph, The Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 71, 273-281.

[12] Robert G. Bartle dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis. Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.

45 [13] Sungeng, K.A. 2005. Magic and Antimagic Labeling of Graph. Ph.D Thesis. School of Information Technology and Mathematical Science University of Ballarat.

47 = ( ) ( )

= ( ) ( ( ) )

= 1

Jika ( ), maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= (( ) ) ( ( ( ))) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )

Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

= ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) = ( ) ( )

= ( ) ( ( ) )

= 1

48 LAMPIRAN 2

Bobot untuk subgraf dengan vertex pusat _{( )}. Misalkan Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( ) Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓( )

= ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

( ) ( ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) = ( ) ( )

= ( ( )) ( ( ))

50 = ( ) ( )

= ( ( ( ) )) ( ( ( ) ))

= 2

Jika [ ( )] , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( (

( ))) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Jika [ ( )] , maka bobot ( ) adalah ( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( _{( )}) 𝑓( )

𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓( _{( )})

= ( ( )) ( ( )) ( ( ( ))) ( ( ))

( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) untuk [ ]

51 = ( ) ( )

= ( ( ( ) )) ( ( ))

= 2

= ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) = ( ) ( )

= ( ) ( )

= 3

55 LAMPIRAN 4

Bobot untuk subgraf dengan vertex pusat _{( )}. Misalkan Jika [ ] , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )})

= (( ) )) (( ) ) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Jika [ ] , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓( ) 𝑓( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )})

= (( ) )) (( ) ) ( ( ( )))

( ( )) ( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) [ ] = ( ) ( )

= ( ( ( ) )) ( )

= 4

Jika ( ), maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓 ( ) 𝑓( _{( )}) 𝑓 ( _{( )}) 𝑓 ( ) 𝑓 ( _{( )} ) 𝑓 ( _{( )} _{( )}) 𝑓 ( _{( )})

= ( ) (( ) ) ( ( ( ))) ( ( ))

( ( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Jika ( ), maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓( ) 𝑓 ( ) 𝑓( )

= ( ) (( ) ) ( ) ( ( )) (

( )) ( ( ) ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) = ( ) ( )

= ( ( ( ) )) ( ( ( ) ))

= 4

57 Jika , maka bobot ( ) adalah

( ) = 𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓 ( ) 𝑓( ) 𝑓 ( )

= ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

= ( )

Nilai dapat diperoleh dari selisih ( ) dengan ( ) = ( ) ( )

= ( ( )) ( ( ( ) ))

= 4

Dalam dokumen PADA GRAF GENERALIZED PETERSEN (Halaman 26-0)