; , , Pada bagian ini akan dibahas penggunaan
metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode ini digunakan untuk menyelesaikan model matematika bagi proses daur ulang nutrisi dalam suatu kolam.
3.1Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu masalah taklinear, khususnya pada masalah ekosistem, digunakan metode perturbasi homotopi untuk menentukan penyelesaian pendekatannya.
Berikut ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar metode homotopi seperti yang diuraikan pada landasan teori. Untuk itu diperlukan fungsi , , , yang tidak hanya bergantung pada dan , tetapi juga bergantung pada parameter bantu dan fungsi bantu . Misalkan fungsi H dinyatakan sebagai berikut
; , ,
; , ,
; , , . (3.1)
Selanjutnya, misalkan fungsi , , , merupakan penyelesaian dari persamaan berikut: , , , atau ; , , ; , , atau ; , , ; , , . (3.2) Berdasarkan persamaan (3.1), maka untuk
dan masing-masing memberikan persamaan berikut:
; , , ; , ,
dan
; , , ; , , .
Berdasarkan persamaan (2.2) dan persamaan (2.3), maka penyelesaian dari
persamaan ; , , dan
; , , masing-masing adalah
dan
; , , .
Kedua penyelesaian di atas bergantung pada parameter bantu h dan fungsi bantu
yang dipilih sembarang, pemilihan parameter bantu h, fungsi bantu T (x), pendekatan awal , dan operator linear perlu memperhatikan validitas dari metode homotopi. Dengan pemilihan ini terjamin adanya fungsi ; , , dan turunan-turunannya terhadap untuk setiap , . Turunan ke dari fungsi ; , , terhadap yang dihitung di adalah:
; , , | dan dinotasika n ! ! ; , , | .
Deret Taylor dari fungsi ; , , di sekitar adalah ; , , ; , , ! ; , , | ∞ atau ; , , . ∞ (3.3) Selanjutnya dengan pemilihan , ,
, dan juga mengakibatkan kekonvergenan dari deret (3.3) di . Jadi untuk , dari persamaan (3.3) diperoleh
; , , .
∞
7
Karena ; , , , maka diperoleh ∞
. (3.5) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.2) dengan pendekatan awal dan ,
, , … yang akan ditentukan. Persamaan
untuk menentukan , , , … diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (3.3) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2), dengan menyamakan koefisien dari derajat kepangkatan , maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (3.5).
3.2Aplikasi Metode
Untuk lebih memahami metode yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya. Tinjau sistem persamaan diferensial berikut:
.
Secara umum sistem persamaan diferensial (3.6) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
. , dengan nilai awal
, , … ,
Berdasarkan persamaan (2.4) dan persamaan (3.6), diperoleh
. (3.8) Secara umum persamaan (3.8) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
, (3.9) dengan suatu operator linear dan operator taklinear. Berdasarkan persamaan (3.1) dan persamaan (3.6) diperoleh
.
(3.10) Secara umum persamaan (3.10) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
,
8
dengan , dan merupakan penyelesaian pendekatan awal. Parameter mengalami peningkatan dari 0 sampai 1. Misalkan penyelesaian dari persamaan (3.7) dinyatakan alam deret ku d asa be i ut r k :
, , , ,
dan
, ,
, ,
dengan , , , … , (3.12) Sebagai ilustarasi, misalkan .
Dimisalkan penyelesaian pendekatan awal , merupakan suatu konstanta. Jika persaman (3.12) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.11), kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka ko sien mem ikan persamaan berikut:
efi ber
, , , , , ,
(3.13) dengan syarat awal
, , , dan , .
(3.14) Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (3.13) adalah
, , , dan , . Koefisien , memberikan persamaan berikut: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . (3.15) Secara umum untuk sembarang koefisien memberikan persamaan berikut:
, , .
dengan syarat awal , . Koefisien , memberikan persamaan berikut:
,
, ,
dengan syarat batas , .
Koefisien , memberikan persamaan berikut:
,
, ,
, dengan syarat batas , .
Secara umum, untuk koefisien , , , … dapat dinyatakan dalam persaman berikut:
,
, ,
dengan syarat batas , .
(3.17) (Bukti dapat dilihat pada lampiran 2)
Berdasarkan ilustrasi yang telah djelaskan di atas diperoleh bahwa, jika diberikan masalah taklinear dengan persamaan diferensial pada sistem persamaan (3.6), maka dengan metode perturbasi homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan berbentuk
, . .
dengan , diperoleh dari persamaan (3.17)
3.3Contoh Kasus pada Masalah Daur
Ulang Nutrisi
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model ekosistem yang berupa ekosistem kolam. Model matematika yang ditinjau diberikan oleh sistem persamaan diferensial taklinear pada persamaan (2.1). Misalkan , dan masing-masing menyatakan banyaknya nutrisi abiotik dalam kolam nutrisi, banyaknya organisme autotrof dalam kolam nutrisi, dan banyaknya
9
organisme detritus dalam kolam nutrisi, maka persamaan (2.1) menja id persamaan berikut:
,
(3.19) dengan syarat awal
, . ,
dan . , (3.20) dan , , , , , , , , merupakan parameter-parameter pada persamaan (2.1). Dalam proses ini, dimisalkan: • , , , , , , • , , , , , , • , , , , , ,
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (3.19) dengan metode perturbasi homotopi yang telah diuraikan pada bagian sebelumnya. Sehingga, penyelesaian masalah nilai awal persamaan (3.19) hingga orde kelima berbentuk: , , , , , , , , , , , , , , , , , , (3.21) Berdasarkan persamaan (319), d peroleh i
, , , , , , , , , , , , d , , , , an , , , , , , , ,
Bentuk lain dari , dan , dengan , , , , ( ibukd tikan dalam lampiran 4).
Nilai , ditentukan berdasarkan persamaan (3.16) dan persamaan (3.17). Berdasarkan persamaan (3.16) dan persamaan (3.19 di) peroleh penyelesaian berikut:
, ,
, . ,
, . .
Berdasarkan persamaan (3.17) dan persamaan 19) dipero er maan berikut:
(3. leh p sa , , , , , , , , , , , , , , , , ( 3.22) Berikut ini akan dilakukan kajian tentang masalah daur ulang nutrisi untuk . ,
, . , . , . ,
. , . . Ditinjau dua kasus
berdasarkan tingkat pertumbuhan dan laju kematian autotrof. Kasus pertama bilamana tingkat pertumbuhan dan laju kematian autotrof berbeda. Sedangkan kasus kedua bilamana tingkat pertumbuhan dan laju kematian autotrof sama.
Kasus 1. Misal an k
. , . .
Berdasarkan persamaan (3.22) dan persamaan (3.20) diperoleh penyelesaian masalah nilai awal persamaan (3.19) berbentuk
10
, . t
, . t
, . t
Kasus 2. Mis la kan
. , . .
Berdasarkan persamaan (3.22) dan persamaan (3.20) diperoleh penyelesaian masalah nilai awal persamaan (3.19) berbentuk
, . t
, . t
, . t
Bentuk , , , dan , dengan , , , , (dibuktikan dalam lampiran 3). Dengan demikian penyelesaian masalah daur ulang nutrisi pada persamaan (2.1), untuk komponen N, X, D yang masing‐masing
menyatakan banyaknya nutrisi abiotik dalam
kolam nutrisi, banyaknya autotrof dalam kolam nutrisi, dan banyaknya detritus dalam olam nutrisi. Untuk kasus dan kasus
rde kelima adalah k
hingga o
Tabel T ngkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian numerik
pada kasu 1 . t . . . . . . t . . . . . . . . t . . dan . t . . t . t t . t . . t . t . t . t . t . . t . t . t . t . t
Tabel 1 berikut ini menunjukkan bahwa tingkat kesalahan untuk penyelesaian nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan organisme detritus (D) pada kasus 1 hingga orde kelima dengan penyelesaian numeriknya sangat kecil. i s t (satuan waktu) Tingkat kesalahan
Nutrisi biotik (N) Organism eautotrof (X) Organisme detritus (D)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
Berdasarkan Tabel dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi orde yang digunakan, maka semakin mendekati penyelesaian sebenarnya.
Gambar 3 dan Ganbar 4 berikut ini menunjukkan grafik penyelesaian untuk nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan organisme detritus (D) yang didekati hingga orde kelima.
11
Gambar 3 Grafik penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dari masalah nilai awal (2.1) orde kelima untuk kasus 1.
12
Gambar 3 dan Gambar 4 memperlihatkan perilaku nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan organisme detritus selama proses daur ulang nutrisi berlangsung. Pada kasus pertama perilaku nutrisi abiotik menunjukkan bahwa banyaknya nutrisi abiotik pada saat terjadi proses daur ulang nutrisi menurun dengan sangat lambat. Hal ini dikarenakan oleh beberapa hal, diantaranya banyaknya nutrisi yang hilang dari kolam karena keluarnya air dari kolam nutrisi yang disebabkan oleh kebocoran pada kolam. Penyebab lainnya adalah banyaknya nutrisi yang digunakan leh organisme autotrof untuk membuat
nya sendiri. Selain itu, tingginya
tingkat pertumbuhan autotrof mengakibatkan tingginya jumlah organisme autotrof. Seiring dengan penurunan nutrisi abiotik organisme autotrof mengalami peningkatan dengan lebih cepat. Sedangkan, untuk organisme detritus mengalami penurunan dengan lebih cepat, hal ini terjadi karena banyaknya organisme
autotrof yang telah mati tidak dapat
diuraikan oleh detritus. Detritus yang tidak dapat menguraikan autotrof disebabkan oleh adanya kebocoran pada kolam.
o makanan
Tabel T gkat kesalahan metode perturbasi homotopi orde kelima dengan penyelesaian numerik
pada kasu
Tabel 2 berikut ini menunjukkan bahwa galat untuk penyelesaian N, X, D pada kasus 2 hingga orde kelima dengan penyelesaian numeriknya sangat kecil.
in s 2 t (satuan waktu)
Tingkat kesalahan
Nutrisi biotik (N) Organisme autotrof (X) Organisme detri stu (D)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. .
Berdasarkan Tabel dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi orde yang digunakan, maka semakin mendekati
enyelesaian sebenarnya. p
Gambar 5 dan Gambar 6 berikut ini menunjukkan grafik penyelesaian untuk nutrisi biotik (N), organisme autotrof (X), dan
rganisme detritus (D) yang didekati hingga rde kelima.
o o
13 Gambar 5 Gam Grafik penyel mbar 6 Grafik lesaian dengan ord penyelesaian n metode pert de kelima untu numerik dari turbasi homoto uk kasus 2. masalah nilai
opi dari masal
awal (2.1) un
lah nilai awal
ntuk kasus 2. (2.1)
14
Gambar 5 dan Gambar 6 memperlihatkan perilaku nutrisi abiotik, organisme autotrof, dan organisme detritus selama proses daur ulang nutrisi berlangsung. Untuk kasus kedua perilaku nutrisi abiotik menunjukkan bahwa banyaknya nutrisi abiotik pada saat terjadi proses daur ulang nutrisi mengalami penurunan dengan sangat lambat. Untuk organisme autotrof pun mengalami penurunan dengan sangat lambat, hal ini dikarenakan oleh beberapa hal, diantaranya nutrisi yang digunakan untuk membuat
makanannya sendiri berkurang atau adanya kebocoran pada kolam sehingga nutrisi keluar dari kolam. Penyebab lain dari penurunan organisme autotrof adalah tingginya tingkat kematian autotrof atau rendahnya tingkat pertumbuhan autotrof. Dalam waktu yang bersamaan detritus pun mengalami penurunan seiring penurunan jumlah autotrof. Hal ini dikarenakan oleh jumlah organisme autotrof yang menurun mengakibatkan penguraian autotrof oleh detritus menjadi berkurang.