BAB 3 PEMROGRAMAN STOKASTIK
3.3 Pengertian Dasar Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikon- disikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap sebelumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap
tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberik- an sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat di- kondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membu- at pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang ter- sedia mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui.
Penyelesaian optimisasi untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penye- lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputusan.
Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0,1, . . . , n untuk beberapa ruang kejadian elementer
ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product
Ωi, i = 1,2, . . . , k; ωk = (ω1, . . . , ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan
ukuran probabilistikpyang didefinisikan dengan cara : jikaA⊂Ωkmakapk(A) =
p(A×Ωk+1
×. . .×Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω,Σ, P) dengan P
berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik
pada Ωk Pk A|ωk− 1 ∈B = Pk(A×B) Pk(Ωk×B) untuk sembarang A⊂Ωk, B ⊂Ωk−1.
Xkdinyatakan sebagaidescartian productX
i, i= 1,2, . . . , k; Xk= (x1, . . . , xk)
∈ Xk, Xn ≡ X dimana X
0,X1, . . . ,Xn adalah barisan himpunan dari struktur
sembarangXk ∈Xk, k
= 0,1, . . . , ndan himpunan X termasuk satu titik X0.
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk,Xk) berdimensi
untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, . . . , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω
pada himpunan X fungsi ϕ0(ωn,Xn). Masukkan himpunan acak G0k = G0k(ωk)
danbk(ωk−1)mkfungsi vektorBkdinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk
pada fungsi vektor berdimensibk(ωk−1)Pki=1mi. Akhirnya,Eωk U(ω
k) ωk−1
me- nyatakan kondisi ekspektasi matematika U(ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1
yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda : Eϕ0 = ω n, Xn)→inf, (3.3.1) Eϕk = ω k, Xk)≥b k (3.3.2) Xk ∈G k, k= 1,2, . . . , n (3.3.3)
Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah ken- dala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian perso- alan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Per- soalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pa- da penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi pastikan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan infor-
masi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe
Pengamatan - Keputusan - Pengamatan - . . .- Keputusan Keputusan - Pengamatan - Keputusan - . . .- Keputusan
sikan adalah R Ωn ×Xnϕ0 ωn, Xn dFωn,Xn →inf, (3.3.4) R Ωk ×Xkϕk ω k, Xk dFωk,Xk, (3.3.5) Xk∈G k, k = 1,2, . . . , n (3.3.6)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (3.3.1)-(3.3.3) pada kasus perso- alan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
R Ωn ×Xnϕ0 ωn, Xn dFωn,Xn →inf, (3.3.7) R Ωk ×Xkϕk ωk, Xk dFωk |ωdFωk |ωk−1 ≥bk ωk−1 , (3.3.8) Xk ∈G k(ωk), k= 1,2, . . . , n (3.3.9)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk
|ωk. Biasa-
nya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika FXk
|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter
acak ωk, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan ωk.
Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika FXk
|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan ωk−1 te-
tapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung
pada Xk−1 dan ωk−1.
strategi murni, model konkrit (3.3.1)-(3.3.3) akan menjadi : R Ωn ×Xnϕ0 ωn, Xn dFωn →inf, (3.3.10) R Ωk ×Xkϕk ω k, Xk dFωk |ωk−1 ≥bk ωk−1 , (3.3.11) Xk ∈G k(ωk), k= 1,2, . . . , n (3.3.12)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari
persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatanωk;
aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hing- ga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang
ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya :
Xk =Xk(ωk−1)
Biasanya, persoalan (3.3.7) - (3.3.9) atau (3.3.10) - (3.3.12) dikenal seba- gai persoalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (3.3.8) atau (3.3.11) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kon- disi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikondi- sikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial li- near.
AndaikanU adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan sto- kastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U ={Xk∈Gi×. . .×Gn Eϕk(ωk, Xk)≥bk, k= 1,2, . . . , n} DanV bn ωn−1
adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 3.3.1 Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi
U = Xn∈V˜ bn ωn−1E˜bk ωk−1=bk, k= 1,2, . . . , n Bukti : V˜ = Xn ∈V˜ bn ωn−1 E˜bk ωk−1 =bk, k = 1,2, . . . , n . Andaikan
Xn ∈V˜. Yang menyatakan bahwa
Eωkϕk ωk, Xk = Eωk−1 Eωkϕk ωk, Xk ωk− 1 ≥ Eωk−1˜bk ωk−1 =bk; k = 1,2, . . . , n,
karena Xn ∈U. Andaikan Xn∈U, definisikan
˜ bk ωk−1 = Eωk ϕk ωk, Xk ωk− 1 + bk−Eωkϕk ωk, Xk ≤ Eωk ϕk ωk, Xk ωk− 1 , k = 1,2, . . . , n
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk. Sehingga Xn∈V˜.
Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1,2, . . . , n,
domain penyelesaian layak dari persoalan (3.3.4) - (3.3.6) dan (3.3.7) - (3.3.9) atau (3.3.10) - (3.3.12) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan
strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentunya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) =bk.
Pernyataan di atas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan dengan kelas tertentu dan untuk investigasi konstruktif pada persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat mena- rik. Jika fungsiϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf
pada X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimisasi dari fungsi objektif yang dica- pai pada distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konveksitas dari ϕ0 dan −ϕk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi opti-
misasi murni dan strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi tujuan.
Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimisasi sebelumnya pada persoalan sto- kastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penyelesaian optimisasi sebelumnya.
Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut.
Teorema 3.3.2 (a) Andaikan ukuran probabilistik Fω di dalam Ω ≡ Ωn ada-
lah kontinu (b) andaikan terdapat fungsi positif g0(ω) dan gk(ωk) berkendala atas
aturan optimisasi sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefinisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimisasi sesudahnya.
Teorema 3.3.2 untuk persoalan stokastik satu tahap telah dibuktikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional dapat disubstitusikan untuk sistem persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. An- daikan akan dibahas persoalan (3.3.10)-(3.3.12) yang diselesaikan dengan strategi murni (dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya).
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-iberkaitan dengan himpun- an : Ki = {Xi ∈G0|∃{yi+1 ∈G0i+1, . . . , yn ∈G0n}; Eωi[ϕi(ωi, Xi)|ωi−1]≥bi(ωi−1), Eωi+s[ϕi(ωi+s, xi, yi+1, . . . , yi+s)|ωi+s−1] ≥ bi+s(ωi+s−1), (3.3.13) jika ∀ωi+s−1, . . . , ωn−1, s = 1,2, . . . , n−1} G0
i menyatakan proyeksiGi terhadap hyper-plane dari kordinat yang didefi-
nisikan oleh komponen vektorXi. Persyaratan keberadaan dari vektoryi+s, s =
1,2, . . . , n−iyang memenuhi kondisi (3.3.13) adalah ekivalen terhadap keberada- an kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi dukup dan perlu untuk menye-
lesaikan persoalan (3.3.10)-(3.3.12) adalah kondisiK1 6= Φ (fungsi objektif (3.3.10)
dengan asumsi berkendala). Jika disamping K1 6= Φ, Ki 6= Φ, i= 2,3, . . . , n.
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke-i mengatakan kondi-
sional ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi semua tahapan sebelum
tahap ke-i, himpunanωi−1 merupakan parameter yang direalisasikan dengan kon-
disi persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahapan
ke-ikeputusan optimisasi berikutnya : X∗
i+1, . . . , Xn∗ :
Qi(Xi) =Eωn
|ωi−1(ωn, Xi−1, Xi, Xi+1, . . . , Xn∗). (3.3.14)
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimisasi pada tahap ke-i dari persoalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan persoalan program mate- matika berikut
inf
Xi∈Xi
Qi(Xi) (3.3.15)
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : Xi =Xi(ωi), yi+s=yi+s(ωi+s); s=
1,2, . . . , n−i, dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah :
Xi =Xi(ωi−1); yi+s =yi+s(ωi+s−1); s= 1,2, . . . , n−i.
Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) = Pjn=1ϕ0j(ωj, Xj) kita
mempunyai Qi(Xi) =Eωi |ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) +Q∗i+1(ωi, Xi)}. dimana Q∗i(ωi−1 , Xi−1) = inf Xi∈Ki Eωi |ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) +Q∗ i+1(ω i, Xi)}, i= 1,2, . . . , n−1,
dengan i=n Q∗n(ωn−1 , Xn−1) = inf Xi∈Ki Eωi |ωi−1{ϕ0n(ωn, Xn).
Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.