D. Himpunan Fuzzy
1. Pengertian Himpunan Fuzzy
Teori himpunan fuzzy merupakan pengembangan dari himpunan tegas. Teori ini pertama kali dikenalkan oleh Lotfi Asker Zaedah pada tahun 1965, seorang ilmuan dari Universitas California di Barkeley (Setiadji, 2009: 1).
Sedangkan himpunan tegas (crisp set) adalah himpunan yang membedakan anggota dan bukan anggota dengan batasan yang jelas. Dalam himpunan tegas setiap anggota himpunan (dinotasikan ) atau bukan anggota (dinotasikan ). Fungsi keanggotaan dinotasikan dengan sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut (Ibrahim, 2004: 23) :
Dapat dikatakan bahwa pada himpunan tegas hanya memiliki 2 kemungkinan derajat keanggotaan yaitu 0 dan 1.
32
Pada himpunan fuzzy keberadaan suatu elemen tidak lagi bernilai benar atau salah, tetapi akan selalu bernilai benar jika mempunyai derajat keanggotaan yang berada dalam rentang [0,1]. Setiap anggota pada himpunan fuzzy bersifat tunggal, artinya masing-masing anggota pada himpunan fuzzy pasti memiliki derajat keanggotaan (Klir, 1997: 7).
Definisi 2.1 (Wang, 1997: 21)
Suatu himpunan fuzzy pada himpunan semesta dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan yang mengambil nilai pada interval [0,1].
Suatu himpunan fuzzy pada himpunan semesta dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut elemen dan nilai keanggotaannya. Secara matematis pernyataan tersebut dapat ditulis (Wang, 1997: 22) :
Apabila elemen pada himpunan memiliki derajat keanggotaan fuzzy berarti tidak menjadi anggota himpunan , dan jika elemen pada himpunan memiliki derajat keanggotaan fuzzy berarti menjadi anggota penuh pada himpunan
Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu (Sri Kusumadewi & Hari Purnomo, 2013: 6) :
a. Lingistik yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami.
Contoh 2.1 :
Misalkan pada variabel rasio CAR yang dapat dikategorikan menjadi tidak sehat, kurang sehat, cukup sehat, sehat.
33
b. Numeris yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel.
Contoh 2.2 :
Misalkan pada variabel rasio CAR diperoleh data numeris seperti 0,32; 10,35; 21,1; 48,75 yang menunjukkan rasio CAR dari sebuah bank.
Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami logika fuzzy, yaitu :
a. Variabel Fuzzy
Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam membuat model berdasarkan logika fuzzy. Variabel fuzzy bertindak sebagai input untuk membuat aturan pada logika fuzzy.
Contoh 2.3 :
Misalkan variabel fuzzy yang akan dibahas adalah rasio CAR adalah sehat, rasio BDR adalah kurang sehat dan sebagainya.
b. Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy merupakan himpunan yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy atau input.
Contoh 2.4 :
Misalkan pada variabel rasio CAR terbagi menjadi 4 himpunan fuzzy yaitu tidak sehat, kurang sehat, cukup sehat dan sehat.
34
Himpunan universal adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang digunakan/dibicarakan pada sutu aplikasi tertentu (semesta pembicaraan) pada himpunan fuzzy (Ibrahim, 2004: 24).
Contoh 2.5 :
Misalkan semesta pembicaraan untuk rasio BDR yaitu [0,43]. d. Domain Fuzzy
Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam himpunan universal/semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy (Sri Kusumadewi & Hari Purnomo, 2013: 7).
Contoh 2.6 :
Domain untuk himpunan fuzzy rasio LDR adalah sehat=[0, 85], cukup sehat=[85, 100], kurang sehat=[100, 120], tidak sehat=[120, 621]. 2. Fungsi Keanggotaan Fuzzy
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) yang memiliki interval [0, 1] (Sri Kusumadewi & Hari Purnomo, 2013: 8). Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melakukan pendekatan fungsi.
Fungsi keanggotaan yang dapat dibangun dan digunakan untuk mempresentasikan himpunan fuzzy antara lain (Sri & Hari, 2013: 8-23) : a. Representasi Linear
35
Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Terdapat 2 keadaan pada himpunan fuzzy yang linear, yaitu :
1) Representasi linear naik
Representasi linear naik dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi. Representasi linear naik dapat dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Representasi Linear Naik Fungsi keanggotaan untuk representasi linear naik, yaitu :
ontoh 2.7 : Domain Derajat keanggotaan 1 0 b a
36
Fungsi keanggotaan linear naik untuk himpunan fuzzy tidak sehat pada variabel rasio BDR dengan himpunan universal ,
yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Tidak Sehat pada
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 8 pada himpunan fuzzy tidak sehat maka perhitungannya sebagai berikut :
2) Representasi linear turun
Representasi linear turun merupakan kebalikan dari representasi linear naik. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah. Representasi linear turun dapat dilihat pada gambar 2.4.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Tidak Sehat
37
Gambar 2.4 Representasi Linear Turun Fungsi keanggotaan untuk representasi linear turun, yaitu :
Contoh 2.8 :
Fungsi keanggotaan linear turun untuk himpunan fuzzy sehat pada variabel rasio BDR dengan himpunan universal , yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.5.
Gambar 2.5 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Sehat pada
5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Sehat Domain Derajat keanggotaa 1 0 a b
38
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 3,25 pada himpunan fuzzy sehat maka perhitungannya sebagai berikut :
b. Representasi Kurva Segitiga
Representasi kurva segitiga pada dasarnya terbentuk dari gabungan 2 garis linear, yaitu linear naik dan linear turun. Kurva segitiga hanya memiliki satu nilai dengan derajat keanggotaan tertinggi [1], hal tersebut terjadi ketika . Nilai yang terbesar dipersekitaran memiliki perubahan derajat keanggotaan menurun dengan menjauhi 1. Representasi kurva segitiga dapat dilihat pada Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Representasi Kurva Segitiga Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva segitiga, yaitu :
a b c Derajat keanggotaan Domain 1 0
39 Contoh 2.9 :
Fungsi keanggotaan degitiga untuk himpunan fuzzy kurang sehat pada variabel rasio BDR dengan himpunan universal , yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.7.
Gambar 2.7 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Kurang Sehat pada
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 5,5 pada himpunan fuzzy kurang sehat maka perhitungannya sebagai berikut :
c. Representasi Kurva Trapesium
Representasi kurva trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Kurang Sehat
40
keanggotaan 1. Representasi kurva trapesium dapat dilihat pada gambar 2.8.
Gambar 2.8 Representasi Kurva Trapesium Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva trapesium, yaitu :
Contoh 2.10 :
Fungsi keanggotaan trapesium untuk himpunan fuzzy cukup sehat pada variabel rasio BDR dengan himpunan universal , yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.9. Derajat keanggotaa n 0 a Domain b c d 1
41
Gambar 2.9 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Cukup Sehat pada
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 2,5 pada himpunan fuzzy cukup sehat maka perhitungannya sebagai berikut :
d. Representasi Kurva Bentuk Bahu
Daerah yang terletak di tengah-tengah suatu variabel yang dipresentasikan dalam bentuk kurva segitiga, pada sisi kanan dan kirinya akan naik dan turun. Namun terkadang salah satu sisi dari variabel tidak mengalami perubahan. Representasi kurva bentuk bahu, bigunakan untuk mengakhiri variabel suatu daerah fuzzy, dimana bahu kiri bergerak dari benar ke salah dan bahu kanan bergerak dari salah ke benar. Representasi kurva bentuk bahu dapat dilihat pada Gambar 2.10. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Cukup Sehat
42
Gambar 2.10 Representasi Kurva Bentuk Bahu Contoh 2.11 :
Fungsi keanggotaan kurva bahu pada variabel rasio BDR dengan himpunan universal , yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.11. Derajat
keanggotaa 0
a b c d Domain
43
Gambar 2.11 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR pada Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 5,5 pada variabel rasio BDR maka perhitungannya sebagai berikut :
e. Representasi Kurva-S
Kurva Pertumbuhan dan Penyusutan merupakan kurva-S atau sigmoid yang berhubungan dengan kenaikan dan penurunanpermukaan secara tak linear. Kurva-S didefinisikan dengan menggunakan 3 parameter, yaitu : nilai keanggotaan nol ( ), nilai keanggotaan lengBDR ( ) dan titik infleksi atau crossover ( ) yaitu titik yang memiliki domain benar.
1) Kurva-S untuk Pertumbuhan
Kurva-S untuk Pertumbuhan akan bergerak dari sisi paling kiri (nilai keanggotaan = ) ke sisi paling kanan (nilai keanggotaan = ). Representasi kurva-S Pertumbuhan dapat dilihat pada gambar 2.12.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR S CS KS TS
44
Gambar 2.12 Representasi Kurva-S Pertumbuhan
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva-S Pertumbuhan, yaitu: Contoh 2.12 :
Fungsi keanggotaan kurva-S pertumbuhan untuk himpunan fuzzy cukup sehat pada rasio BDR dengan himpunan universal
, yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.13. 0 1 Derajat keanggotaan Domain 0,5
45
Gambar 2.13 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Cukup Sehat pada
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 5,5 pada variabel rasio BDR maka perhitungannya sebagai berikut :
2) Kurva-S untuk Penyusutan
Kurva-S untuk Penyusutan akan berhgerak dari sisi paling kanan (nilai keanggotaan = ) ke sisi paling kiri (nilai keanggotaan = ). Representasi kurva-S Penyusutan dapat dilihat pada Gambar 2.14.
Gambar 2.14 Representasi Kurva-S Penyusutan
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva-S Penyusutan, yaitu :
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Cukup Sehat 0,5 0 1 Derajat keanggotaan Domain
46 Contoh 2.13 :
Fungsi keanggotaan kurva-S penyusutan untuk himpunan fuzzy cukup sehat pada rasio BDR dengan himpunan universal
, yaitu :
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.15.
Gambar 2.15 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Cukup Sehat pada
5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Cukup Sehat
47
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 5,5 pada variabel rasio BDR maka perhitungannya sebagai berikut :
f. Representasi Kurva Bentuk Lonceng (Bell Curve)
Representasi kurva bentuk lonceng terbagi menjadi 3 kelas, yaitu: himpunan fuzzy Pi, Beta dan Gauss. Perbedaan ketiga kurva ini terletak pada gradiennya.
1) Kurva PI
Kurva Pi berbentuk lonceng dengan derajat keanggotaan terletak pada pusat dengan domain ( ), dan lebar kurva ( ). Representasi kurva Pi dapat dilihat pada gambar 2.16.
Gambar 2.16 Representasi KurvaPi Titik Infleksi ( ) Lebar Domain 0 1 Derajat keanggotaan 0,5 Pusat Titik Infleksi ( )
48
Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva Pi, yaitu :
2) Kurva Beta
Kurva Beta merupakan kurva seperti Pi yang berbentuk lonceng namun lebih rapat. Kurva ini juga didefinisikan dengan parameter, yaitu nilai pada domain yang menunjukkan pusat kurva ( ), dan stengah lebar kurva ( ). Representasi kurva Beta dapat dilihat pada Gambar 2.18.
Gambar 2.17 Representasi KurvaBeta Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva Beta, yaitu :
Titik Infleksi ( ) Domain 0 1 Derajat keanggotaan 0,5 Pusat Titik Infleksi ( )
49
Perbedaan kurva Beta dari kurva Pi adalah untuk kurva Beta fungsi keanggotaannya akan mendekati nol hanya jika nilai ( ) sangat besar.
3) Kurva Gauss
Kurva Gauss menggunakan parameter ( )untuk menunjukkan nilai domain pada pusat kurva, dan ( ) yang menunjukkan lebar kurva. Representasi kurva Gauss dapat dilihat pada Gambar 2.18.
Gambar 2.18 Representasi KurvaGauss Fungsi keanggotaan untuk representasi kurva Gauss, yaitu :
Contoh 2.14 :
Fungsi keanggotaan kurva-S penyusutan untuk himpunan fuzzy cukup sehat pada rasio BDR dengan himpunan universal
, yaitu : Domain 0 1 Derajat keanggotaa n 0,5 Pusat Lebar
50
Grafik fungsi keanggotaan tersebut ditunjukkan pada gambar 2.19.
Gambar 2.19 Himpunan Fuzzy : Rasio BDR Cukup Sehat pada
Misalkan untuk mengetahui derajat keanggotaan rasio BDR 2,5 pada variabel rasio BDR maka perhitungannya sebagai berikut :
3. Operator untuk Operasi Himpunan Fuzzy
Seperti halnya himpunan tegas, ada beberapa operasi yang didefinisikan secara khusus untuk mengkombinasi dan memodifikasi himpunan fuzzy. Fire strength ( ) adalah nilai keanggotaan hasil dari operasi 2 himpunan. Ada 3 opeartor dasar yang diciptakan oleh Zaedah, yaitu (Sri Kusumadewi & Hari Purnomo, 2013: 23-25) :
a. Operator AND ( )
Operator AND merupakan operator yang berhubungan dengan operasi interaksi pada himpunan. sebagai hasil dengan operator AND diperoleh dengan mengambil derajat keanggotaan terkecil anatar elemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Rasio BDR Cukup Sehat
51
Misalkan dan adalah himpunan fuzzy pada , maka himpunan fuzzy didefinisikan dengan fungsi keanggotaan berikut :
Contoh 2.15 :
Misalkan derajat keanggotaan rasio CAR 12,3 pada himpunan fuzzy sehat adalah 1 dan derajat keanggotaan rasio BDR 5,5 pada himpunan fuzzy kurang sehat adalah 0,33. Dapat ditentukan untuk rasio CAR sehat dan rasio BDR kurang sehat adalah :
b. Operator OR (
Operator OR merupakan operator yang berhubungan dengan operasi union pada himpunan. sebagai hasil dengan operator OR diperoleh dengan mengambil derajat keanggotaan terbesar anatar elemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan. Misalkan dan adalah himpunan fuzzy pada , maka himpunan fuzzy didefinisikan dengan fungsi keanggotaan berikut,
Contoh 2.16 :
Misalkan derajat keanggotaan rasio CAR 12,3 pada himpunan fuzzy sehat adalah 1 dan derajat keanggotaan rasio BDR 5,5 pada himpunan
52
fuzzy kurang sehat adalah 0,33. Dapat ditentukan untuk rasio CAR sehat dan rasio BDR kurang sehat adalah :
c. Operator NOT
Operator NOT merupakan operator yang berhubungan dengan operasi komplemen pada himpunan. sebagai hasil dengan operator NOT diperoleh dengan mengurangkan derajat keanggotaan elemen pada himpunan yang bersangkutan dari 1. Misalkan adalah himpunan fuzzy pada , sedangkan merupakan komplemen dari suatu himpunan fuzzy , maka himpunan fuzzy didefinisikan dengan fungsi keanggotaan berikut :
Contoh 2.17 :
Misalkan adalah himpunan fuzzy rasio BDR 55 pada himpunan fuzzy kurang sehat dan merupakan komplemen dari himpunan fuzzy A. Misalkan derajat keanggotaan rasio BDR 55 pada himpunan fuzzy kurang sehat adalah 0,33 maka untuk adalah :