Pengertian Linear Programming .…

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.6 Pengertian Linear Programming .…

Linear Programming merupakan suatu model umum yang dapat

digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang

terbatas secara optimal. Dalam memecahkan masalah diatas linear programming

menggunakan model matematis. Sebutan linear berarti bahwa semua

fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi-fungsi-fungsi linear.

Kata programming merupakan sinonim untuk perencanaan. (Siagian, 1987)

Jadi linear programming mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk

mencapai suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencerminkan

tercapainya sasaran tertentu yang paling baik (menurut model matematis) diantara

alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linear. (T.H.

Handoko, 1995).

Ada empat kondisi utama yang diperlukan bagi penerapan Linear

Programing, yaitu :

1. Haruslah ada sumber daya yang terbatas. Keterbatasa ini mencakup seperti

2. Ada suatu fungsi tujuan seperti memaksimalkan laba atau meminimalkan

biaya.

3. Haruslah ada linearitas misalnya jika diperlukan 5 jam untuk membuat

sebuah barang, maka dua buah barang akan membutuhkan waktu 10 jam.

4. Harus ada keseragaman, misalnya semua jam kerja yang tersedia dari

seseorang pekerja adalah sama produktifitasnya. (Subagyo dkk, 1995)

2.6.1. Konsep Linear Programming

Program Linear Programming adalah salah satu dari riset operasi

(maksimasi atau minimasi) dengan memakai persamaan atau tidak persamaan

Linear dalam rangka mencari pemecahan yang optimal dengan memperhatikan

pembatas yang ada atau dikatakan bahwa Program Linear merupakan metode

matematis yang digunakan untuk membantu manajemen dalam pengambilan

keputusan.

Program Linear Programming paling sering digunakan bila kita tengah

dihadapkan atau berusaha mengalokasikan sumber-sumber daya yang terbatas

atau langkah diantaranya berbagai kegiatan yang saling bersaing, sedemikian

hingga satu kriteria tertentu teroptimasi (secara maksimasi atau minimasi) metode

ini adalah salah satu teknik riset operasi yang paling banyak dipakai dan dapat

diterapkan ntuk beragam produksi dan operasi.

Linear Programming menggunakan suatu model matematis untuk

menjelaskan suatu masalah yang menjadi perhatian. Istilah Linear Programming

secara eksplisit telah menunjukkan karakteristiknya dimana seluruh fungsi

matematika model harus berupa fungsi matematika linear atau dalam pengertian

Hubungan-hubungan linear ini berarti bahwa bila salah satu faktor berubah, maka satu faktor

lain akan berubah dengan jumlah yang konstan proporsional konsep linearitas ini

dapat diartikan jika semakin bertambahnya sesuatu maka semakin berkurangnya

sesuatu yang lain. Sedangkan konsep program di sini sebenarnya didasarkan pada

suatu sinonim perencanaan sehingga Linear Programming dapat diartikan sebagai

berikut : “ Suatu maslah yang berhubungan dengan perencanaan alokasi

sumber-sumber langkah diantara kegiatan-kegiatan kompetitif dan layak dengan sasaran

mencapai suatu hasil yang optimal ”.

2.6.2. Asumsi-Asumsi Dasar Linear Programming

Asumsi-asumsi dasar linear programming dapat diperinci sebagai berikut:

(T.H. Handoko, 1995)

1. Proportionality

Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau

fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan

perubahan tingkat kegiatan.

Misal:

a. Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + … + CnXn

Setiap pertambahan satu unit X₁ akan menaikkan Z dengan C₁. Setiap

pertambahan satu unit X2 akan menaikkan nilai Z dengan C2, dan seterusnya.

b. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n < b_i

Setiap pertambahan satu unit X₁ akan menaikkan penggunaan sumber atau

Setiap pertambahan satu unit X₂ akan menaikkan penggunaan sumber atau

fasilitas satu dengan a₁₂, dan seterusnya. Dengan kata lain setiap ada kenaikan

kapasitas riil tidak perlu ada biaya persiapan (set up cost).

2. Additivity

Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi,

atau dalam linear programming dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z)

yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa

mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.

3. Divisibility

Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan

dapat berupa bilangan pecahan.

4. Deterministie (certainty)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model

linear programming (

a

ij

, b

i

, c

j) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan cepat.

2.6.3. Model Program Linear Programing

Model Program adalah suatu problem yang sasarannya untuk

meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi linear. Fungsi linear ini

kondisinya dipengaruhi oleh batasan yang bersifat linear(Linear Constrain), baik

yang berbentuk pertidak samaan ataupun berbentuk persamaan. Dalam Model

Linear Programming dikenal dua macam “fungsi” yaitu fungsi tujuan (Objective

Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran

didalam permasalahan linear programming yang berkaitan dengan pengaturan

secara optimal sumber-sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal

atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan

sebagai “Z”.

Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis

batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai

kegiatan. (Subagyo dkk,1995).

Untuk mengetahui definisi-definisi dasar dari Linear Programming, maka

ditentukan problem Linear Programming sebagai berikut :

Minimize : C₁X₁ + C₂X₂ + … + C_nX_n

Subject to : a11X1 + a22X2 + … + a1nXn ≥ b1 a₂₁X₁ + a₂₂X₂ + … + a_2nX_n ≥ b₂

a_m1X₁ + a_m2X₂ + … + a_mnX_n ≥ b_n X_1, X_2, …, X_n ≥ 0

Dari problem diatas dapat didefinisikan sebagai berikut :

 C₁X₁ + C₂X₂ + … + C_nX_n disebut Objective Function dimana problem di atas harus diminimumkan. Objective Function diberi notasi Z.

 Sedangkan C_1, C_2, …, C_n disebut Cost Coefisients.

 Variabel X_1, X₂, …, X_n disebut Decision Variable yang harus dicari.

 Sistem pertidaksamaan, diartikan sebagai Constraints atau kendala atau pembatas ke-1.

 Kofisien-koefisien a_y untuk i = 1, 2, 3, … m dan untuk j = 1, 2, 3, … n disebut Technological Coefisients.

 Vektor-vektor kolom b1 disebut Right Hand Side Vector (RHS).

 Himpunan semua titik yang memenuhi semua Constrain akan membentuk suatu daerah penyelasaian yang disebut Feasible Space.

Agar memudahkan pembatasan model Linear Programming digunakan

simbol-simbol sebagai berikut :

m = macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.

n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut.

i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i = 1,2,3,…,m)

j = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang

tersedia (j = 1,2,3,…,n).

Xj = tingakat kegiatan ke-j (j = 1,2,3,…,n).

a_ij = banyaknya sumber I yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit

keluaran (output) kegiatan j (i= 1,2,3,…,m) dan (j=1,2,3,…,n).

b_i = banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan

kesetiap unit kegiatan (I = 1,2,3,…,n).

Z = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum).

Cj = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (Xj) dengan

satu satuan (unit), atau merupakan setiap satua keluaran kegiatan j terhadap

nilai(T.H. Handoko, 1995).

2.6.4. Manipulasi Pertidaksamaan Menjadi Persamaan dan Sebaliknya Seperti telah diuraikan di atas bahwa permasalahan minimize atau

berbentuk pertidaksamaan atau persamaan unuk keperluan pemecahan

permasalahan tersebut, maka diperlukan manipulasi, yaitu mengubah Constraints

pertidaksamaan atau mungkin sebaliknya, Missalnya :

Diketahui Constrain :







n j ij j ij

X b

a

1

Maka Constrain tersebut diubah menjadi bentuk persamaan dengan

mengurangi ruas kiri dengan X_n+1 yang non negatif atau disebut surplus variabel

yang dinotasikan S1, sehingga Constrain tersebut berubah menjadi :



 ^





n j i n j ij

X X b

a

1

1 , dimana X_n+1 ≥ 0 X_n+1 disebut fariabel Slack

Dan untuk persamaan :



  n j ij j ij X b a 1

dapat ditransformasikan kedalam

kedua peridaksamaan







n j ij j ij

X b

a

1 , dan







n j ij j ij

X b

a

1 manipulasi

inipun dapat diterapkan pada Objective Function. Yaitu dengan cara

menghasilkan koefisien-koefisien Objective Function dengan -1.

Sehingga : Minimize :



 n j j j

X

a

1 = - minimize



 n j j j

X

a

1 atau Minimize :



 n j j j

X

a

1 = - maximize



 n j j j

X

a

1 (Bazaara, 1977)