BAB II TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL
D. Penurunan Numeris
E. Persamaan Diferensial Hiperbolik F. Karakteristik Persamaan Akustik G. Bentuk Umum Hukum Kekekalan
H. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik I. Kondisi CFL
J. Nilai Eigen dan Vektor Eigen K. Matriks Jacobian
BAB III. PERSAMAAN AKUSTIK DAN METODE NUMERISNYA A. Hukum Kekekalan
B. Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial C. Persamaan Adveksi
D. Persamaan Nonlinear dalam Dinamika Fluida E. Akustik Linear
F. Gelombang Suara
H. Masalah Pecahnya Membran dalam Pipa I. Metode Beda Hingga
J. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs K. Residual Lokal Lemah
BAB IV. PERBANDINGAN HASIL SIMULASI NUMERIS A. Hasil Metode Beda Hingga Grid Kolokasi
B. Hasil Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling C. Hasil Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA
8 BAB II
TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pada bab ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial, aturan rantai, integral, penurunan numeris, nilai dan vektor eigen, persamaan diferensial hiperbolik, karakteristik persamaan akustik, bentuk umum hukum kekekalan, domain dependen dan range influence untuk persamaan hiperbolik, kondisi CFL, serta matriks Jacobian. Penjabaran dalan bab ini akan menjadi landasan teori bagi Bab III dan Bab IV.
A. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan menyatakan relasi kesetimbangan antara dua hal. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan menyatakan hubungan suatu fungsi terhadap turunan-turunannya. Klasifikasi persamaan diferensial bisa didasarkan pada banyaknya variabel bebas yang terlibat, orde persamaan diferensial, dan berdasarkan sifat linear/nonlinear.
1. Klasifikasi berdasarkan variabel bebas yang terlibat
Fungsi bisa mempunyai satu variabel bebas atau lebih. Jika fungsi hanya mempunyai satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial biasa. Jika fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial parsial.
Contoh 2.1
Contoh persamaan diferensial biasa (Ross, 1989)
+ ( ) = .
Persamaan di atas merupakan contoh persamaan diferensial biasa. Terlihat bahwa variabel adalah variabel bebas tunggal dan adalah variabel tidak bebas.
Contoh 2.2
Contoh persamaan diferensial parsial
+ = .
Persamaan di atas merupakan contoh dari persamaan diferensial parsial. Terlihat bahwa variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tidak bebas.
2. Klasifikasi berdasarkan orde persamaan diferensial
Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan fungsi yang terlibat dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial biasa contoh 2.1 mempunyai orde dua, sebab turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan diferensial parsial contoh 2.2 mempunyai orde satu.
3. Klasifikasi berdasarkan sifat linear/nonlinear
Persamaan diferensial dapat terbagi menjadi dua, yaitu linear dan nonlinear. Persamaan diferensial biasa linear orde dengan variabel tak bebas dan variabel bebas adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
+ −− + + − + = ,
dimana tidak sama dengan nol. Jadi, linear disini adalah linear terhadap variable tak bebas dan turunan-turunannya. Persamaan diferensial di atas linear, sebab tidak ada perkalian antara fungsi dan atau dengan turunannya, dan tidak ada fungsi transendental dari atau turunannya.
Contoh 2.3
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear
+ + = ,
+ + = .
Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear.
Contoh 2.4
+ + = ,
+ ( ) + = ,
+ + = .
B. Aturan Rantai
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan suatu fungsi komposisi.
1. Aturan Rantai Kasus I (Leithold, 1986)
Misalkan fungsi dalam , didefinisikan oleh persamaan = , ada dan fungsi dalam didefinisikan oleh persamaan = dengan ada, maka merupakan fungsi dalam , ada dan memenuhi:
= ∙
atau
= ∙ .
Contoh 2.5
Carilah ⁄ dari persamaan = − dan = +
Penyelesaian:
= ( ) . ( )
= ∙
= .
Karena = + , diperoleh �
� = + .
2. Aturan Rantai Kasus II
Berikut ini merupakan aturan rantai untuk fungsi dua variabel dengan masing-masing variabel juga merupakan fungsi dua variabel. Misalkan fungsi dalam dan , didefinisikan oleh persamaan = , , dan = , , =
, dengan �
�
,
��,
��,
dan ��
semuanya ada. Maka juga merupakan fungsi dalam dan , dan memenuhi:
= ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ). Contoh 2.6
Misalkan = , dengan = dan = . Tentukan ⁄
Penyelesaian:
= ( ) ( ) + ( ) ( )
= +
= +
=
C. Integral
Ada dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
1. Integral Tentu
Definisi 2.1
Sebuah fungsi disebut antiturunan pada interval jika = pada , yakni jika ′ = untuk dalam .
Teorema (Varberg Purcell Rigdon, 2007)
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali − , maka
∫ = + + .+
Bukti:
Untuk membuktikan ′ = , maka akan dicari turunan untuk ruas kanan
[ + + ] = ++ + = .
Contoh 2.7 (Anton, 2012)
Fungsi = adalah antiturunan dari = pada interval −∞, +∞
karena untuk semua di interval
′ = [ ] = = .
Namun, = bukan satu-satunya antiturunan dari pada interval. Jika ditambahkan sebarang konstan ke , maka fungsi = + juga antiturunan dari pada interval −∞, +∞ , sebab
′ = [ + ] = + = .
Pada umumnya setiap antiturunan merupakan suatu yang tunggal, antiturunan lainnya dapat diperoleh dengan menambahkan suatu konstanta untuk antiturunan yang diketahui. Dengan demikian,
, + , − , + √
merupakan antiturunan dari = .
2. Integral Tentu
Luas Daerah (Martono, 1999)
Pada Gambar 2.1 (a) daerah di bidang yang dibatasi grafik fungsi kontinu , garis = , garis = , dan sumbu , dengan pada [ , ], ditulis
Dengan menggunakan limit, luas daerah dihitung dengan langkah konstruksi sebagai berikut:
1. Selang tertutup [ , ] dibagi menjadi bagian yang sama panjang, sehingga
diperoleh titik pembagian
= < < < < − < < < = .
Himpunan titik-titik pembagian = { , , , … , } dinamakan partisi untuk
[ , ]. Selang bagian ke- dari partisi adalah [ − , ], = , , … , , dan panjang selangnya adalah ∆ = − − . Panjang partisi didefinisikan sebagai || || = max≤ ≤ ∆ .
2. Pilih [ − , ], = , , … , kemudian dibuat persegi panjang dengan ukuran
alas = ∆ = − − , = , , … , ,
dan
Gambar 2.1 (a) Ilustrasi kurva fungsi Gambar 2.1 (b) Ilustrasi partisi kurva fungsi
tinggi = , [ − , ], = , , … , .
Luas persegi panjang ke- pada Gambar. 2.1 (b) adalah ∆ = ∆ , sehingga luas daerah yang dihampiri oleh buah persegi panjang adalah
Luas ≈ ∑ ∆
=
.
3. Nilai eksak luas daerah dicapai bila ∞. Untuk partisi yang setiap
selang bagiannya sama panjang, ∞ sama artinya dengan || || , sehingga
Luas = lim∞∑ ∆ = lim||�|| ∑ ∆
= =
. Definisi 2.2
Integral tentu dari fungsi pada selang tertutup [ , ], ditulis dengan lambang ∫ , didefinisikan sebagai ∫ = lim||�|| ∑= ∆ .
D. Penurunan Numeris
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya. Deret Taylor dapat memberikan nilai hampiran bagi suatu fungsi pada suatu titik, berdasarkan nilai fungsi dan derivatifnya, dipandang deret Taylor pada persamaan (2.1), yaitu:
+ ≈ + ′ ℎ + ′′ ! ℎ + ′′′! ℎ + + ! ℎ
+ ,
(2.1)
dengan adalah:
= ++ ! ℎ� + , ℎ = + − .
Penurunan numeris pada metode beda hingga dapat diambil salah satu dari tiga pendekatan, yaitu
1. Beda maju Dipandang ′ = + − + − + + − (2.2) atau ′ = ∆ℎ + ℎ , (2.3) dengan ∆ = + − .
Persamaan (2.2) dan (2.3) menggunakan data ke- dan + untuk menghampiri turunan pertama dari . Persamaan ini disebut aproksimasi diferensiasi maju dari turunan pertama.
ℎ
turunan sebenarnya
aproksimasi
+
2. Beda mundur Dipandang
− = − ′ ℎ + ′′ ! ℎ − (2.4)
Persamaan (2.4) merupakan deret Taylor yang diperluas mundur untuk menghitung nilai sebelumnya menggunakan nilai sekarang. Deret (2.4) dipotong setelah suku turunan pertama, maka diperoleh:
′ ≈ −ℎ − + ℎ = ℎ + ℎ , (2.5)
dengan = − − .
Persamaan (2.5) merupakan aproksimasi diferensiasi beda mundur dari turunan pertama.
3. Beda Pusat
Akan dikurangkan persamaan (2.29) dari deret maju Taylor (2.26), maka:
− − + = ( − ) − ′ ℎ + ′ ℎ + ′′ ! ℎ − ′′ ! ℎ − ′′′ ! ℎ − ℎ turunan sebenarnya aproksimasi −
Setelah beberapa perhitungan dan operasi aljabar, maka diperoleh + = − + ′ ℎ + ′′′! ℎ + (2.6) ′ = + − − ℎ − ′′′ ℎ + (2.7) atau ′ = + −ℎ − − ℎ . (2.8)
Persamaan (2.8) merupakan aproksimasi diferensiasi tengah (pusat) dari turunan pertama.
Contoh 2.8
Gunakan aproksimasi beda maju, beda mundur dan beda pusat untuk menghampiri turunan pertama dari:
= − . − . − . − . + .
Pada titik = . dengan ukuran langkah ℎ = . . Turunan dari dapat dihitung secara langsung, yakni:
′ = − . − . − . − . ,
sehingga nilai eksak ′ . = − . . Untuk ℎ = . , maka: ℎ turunan sebenarnya aproksimasi + −
− = − = .
= . = .
+ = + = .
Aproksimasi beda maju dari persamaan (2.27), yaitu:
′ . = . − .. = − .
dengan error relatif sebesar � = − . %.
Aproksimasi beda mundur dari persamaan (2.30), yaitu:
′ . ≈ . .− . = − .
dengan error relatif sebesar � = . %.
Aproksimasi beda pusat dari persamaan (2.33), yaitu:
′ . ≈ . − . = −
dengan error relatif sebesar � = − . %.
Terlihat bahwa aproksimasi beda pusat memberikan hampiran bagi turunan pertama dengan error yang paling kecil, artinya aproksimasi beda pusat ini memberikan penyelesaian yang paling mendekati nilai eksaknya. Teori tentang penurunan numeris ini merujuk dari buku Setiawan (2006)