HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Hasil Penelitian
1) Penyajian Data Pemahaman Subjek S1 dalam menyelesaikan Soal-soal pada Materi Sistem Bilangan Real melalui Metode Tes Uraian
Berikut ini adalah hasil tes uraian Subjek S1 tentang pemahaman terhadap Materi Sistem Bilangan Real dalam menyelesaikan soal-soal pada materi tersebut, disertai dengan interpretasinya.
Pemahaman terhadap Materi Jenis-Jenis Bilangan Real
1. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 bisa menyebutkan dengan benar jenis-jenis bilangan real dan dapat menjelaskan definisi bilangan-bilangan tersebut dengan baik, namun belum dapat mendefinisikan secara simbolik dan sempurna khususnya untuk bilangan rasional, bilangan irrasional dan bilangan pecahan. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 1 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek pada soal tersebut adalah pemahaman relasional.
2. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 salah dalam menjawab soal dengan mengatakan bahwa ada bilangan real yang paling mendekati bilangan nol, yaitu 0,000 … 1, dengan melihat contoh karena contoh tersebut tidak diketahui berapa banyak 0 dibelakang koma maka subjek menyimpulkan bahwa inilah contoh bilangan real yang paling mendekati nol . Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 2 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa subjek tidak memahami karena tidak dapat menunjukkannya melalui bukti kontradiksi. Dengan demikian, Subjek S1 tidak memahami konsep bilangan real dengan menggunakan pembuktian kontradiksi, sehingga tidak termasuk ke dalam salah satu dari tiga kategori pemahaman menurut Skemp.
3. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu menjawab dengan benar bahwa diantara bilangan-bilangan real dari 1 sampai 3 tidak berhingga banyaknya bilangan dengan alasan bahwa diantara bilangan tersebut terdapat bukan hanya bilangan bulat positif akan tetapi terdapat bilangan pecahan, bilangan irrasional dan bilangan rasional namun belum dapat menunjukkan buktinya secara matematis. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 3 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek pada soal nomor 3 adalah pemahaman relasional.
4. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 dengan benar soal tersebut dengan langkah-langkah yang tepat yaitu mengubah bentuk desimal berulang 2,32110111011101 …menjadi bentuk dengan cara memisalkan 2,32110111011101 …, lalu mengalikannya dengan 100.000 dan 1.000.000.000 kemudian mengurangkannya sehingga angka dibelakang
koma yang sama akan habis dan menghasilkan bentuk namun demikian, subjek
belum dapat mengemukakan alasan mengapa memisalkan
2,32110111011101 … Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 4 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
.
5. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 tidak mampu menjawab dengan benar bahwa jumlah dua bilangan irrasional selalu menghasilkan bilangan irrasional, walaupun subjek memberikan beberapa contoh untuk menunjukkan bahwa jumlah dua bilangan irrasional selalu menghasilkan
bilangan irrasional dan mengganggap kalau contoh yang ia berikan berlaku untuk semua bilangan irrasional. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 5 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa subjek tidak memahami bukti melalui counter example (contoh penyangkal) sehingga tidak dapat memberi contoh bahwa dengan menjumlahkan bilangan irrasional dengan inversnya pada penjumlahan bisa menghasilkan bilangan rasional yaitu 0. Dengan demikian, Subjek S1 tidak memahami konsep penjumlahan bilangan irasional, sehingga tidak termasuk ke dalam salah satu dari tiga kategori pemahaman menurut Skemp.
6. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 menjawab dengan benar bahwa tidak selalu hasil kali dari dua bilangan irrasional adalah irrasional dengan bukti counter example yaitu memberikan contoh penyangkal yaitu
, 10 adalah
bilangan rasional dengan memberikan alasan bahwa dalam menyelesaikan soal tersebut digunakan sifat eksponen. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 6 pada materi jenis-jenis bilangan real di mana subjek memberikan bukti melalui counter example (contoh penyangkal) sehingga dapat memberi contoh bahwa dengan mengalikan dua bilangan irrasional yang sama berbentuk akar seperti
pada contoh di bawah bisa menghasilkan bilangan rasional maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman formal.
7. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 tidak mampu menjawab dengan benar bahwa hasil bagi dari dua bilangan rasional adalah bilangan rasional dengan alasan bilangan rasional itu termasuk bilangan pecahan, subjek mengambil contoh bilangan pecahan dibagi dengan bilangan pecahan hasilnya pasti bilangan pecahan yang juga merupakan bilangan rasional. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 7 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, subjek tidak memahami bukti melalui counter example (contoh penyangkal) sehingga tidak dapat memberi contoh bahwa bisa saja jika penyebutnya 0, 0 bilangan rasional maka hasilnya adalah tak terdefinisi dan syarat untuk mendapatkan bilangan rasional adalah . Dengan demikian, Subjek S1 tidak memahami konsep pembagian dua bilangan rasional, sehingga tidak termasuk ke dalam salah satu dari tiga kategori pemahaman menurut Skemp.
8. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 tidak mampu menjawab dengan benar bahwa jika a bilangan rasional dan b bilangan irrasional, maka hasil kali dari kedua bilangan tersebut adalah bilangan irrasional dengan memberikan satu contoh dan mengganggap kalau contoh yang ia berikan berlaku untuk semua hasil kali kedua bilangan tersebut. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 8 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, subjek tidak memahami bagaimana mengklasifikasikan perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan rasional dan menghasilkan bilangan irrasional. Dengan demikian, Subjek S1 tidak memahami konsep perkalian bilangan rasional dengan bilangan irrasional, sehingga tidak termasuk ke dalam salah satu dari tiga kategori pemahaman menurut Skemp.
9. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 menjawab dengan salah bahwa dengan alasan subjek menggunakan sifat eksponen
yaitu mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan mengalikan pangkat dengan pangkat, namun hasil tersebut mestinya untuk , dan untuk karena akar dari suatu bilangan positif haruslah positif tapi subjek tidak menyadari bahwa akar dari suatu bilangan positif haruslah positif. Dengan demikian, Subjek S1 tidak memahami pembuktian dengan menggunakan definisi nilai mutlak bahwa sehingga tidak termasuk ke dalam salah satu dari tiga kategori pemahaman menurut Skemp.
10. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 menjawab dengan
benar namun belum lengkap bahwa nilai dari tidak lebih besar daripada
( adalah , dengan cara mencoba-coba
memasukkan nilai a satu persatu ke dalam pertidaksamaan tapi tidak menggunakan aturan atau langkah-langkah berdasarkan aksioma, definisi, teorema atau sifat yang berkaitan dengan soal. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 10 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan
11. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 menjawab dengan benar bahwa kuadrat dari suatu bilangan real selalu lebih besar atau sama dengan bilangan real dengan cara mencoba-coba memasukkan nilai satu persatu ke dalam pertidaksamaan tersebut namun belum dapat mencari himpunan penyelesaian dan mengklasifikasikan himpunan penyelesaian yang berlaku dan tidak berlaku dengan menggunakan aturan atau langkah-langkah berdasarkan aksioma, definisi, teorema atau sifat yang berkaitan dengan soal. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 11 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman instrumental.
12. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 menjawab dengan benar bahwa akar dari suatu bilangan real positif selalu lebih kecil atau sama dengan bilangan itu cara mencoba-coba memasukkan nilai satu persatu ke dalam pertidaksamaan tersebut namun belum dapat mencari himpunan penyelesaian dan mengklasifikasikan himpunan penyelesaian yang berlaku dan tidak berlaku dengan menggunakan aturan atau langkah-langkah berdasarkan aksioma, definisi, teorema atau sifat yang berkaitan dengan soal. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 12 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat
disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman instrumental.
Pemahaman terhadap Materi Sifat Aljabar pada Bilangan Real
13. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 menjawab dengan benar dengan alasan yang tepat menggunakan teorema namun masih ada langkah yang terlewatkan yaitu subjek tidak memisalkan
terlebih dahului, tapi langsung saja menyamakan bentuk antara dengan – . Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 13 pada materi sifat aljabar pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
14. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 menjawab dengan benar soal dengan alasan yang tepat namun ada langkah-langkah yang terlewati (tidak sistematis). Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 14 pada materi sifat aljabar pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
Pemahaman terhadap Materi Pembuktian Bilangan Rasional 15. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu menjawab
dengan benar dengan langkah-langkah yang tepat namun ada langkah yang masih membutuhkan penjelasan. Setelah menganalisis hasil tes uraian soal nomor 15 pada materi pembuktian bilangan rasional, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek pada materi tersebut adalah pemahaman relasional.
Pemahaman terhadap Materi Sifat Urutan pada Bilangan Real
16. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 mampu membuktikan
soal dengan benar dengan langkah-langkah pembuktian yang tepat walaupun dengan alasan yang kurang jelas dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 16 pada materi sifat urutan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
17. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 dapat menjawab dengan benar namun tidak mampu memberikan alasan yang jelas untuk mencari himpunan penyelesaian berdasarkan aksioma, definisi, teorema, atau sifat berkaitan dengan soal. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 17 pada materi sifat urutan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis
Pemahaman terhadap Materi Sifat Kelengkapan Bilangan Real
18. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 mampu mendeskripsikan konsep-konsep yang terkait dengan lengkap dan mendalam, namun belum dapat menjelaskan secara simbolik konsep-konsep tersebut. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 18 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa, jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
19. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu memberikan contoh yang benar namun dengan alasan yang kurang tepat dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 19 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
20. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu memberikan contoh yang benar namun dengan alasan yang kurang tepat dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 20 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
21. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 mampu memberikan contoh yang benar namun dengan alasan yang kurang tepat dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 4 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek pada jawaban soal nomor 21 adalah pemahaman relasional.
22. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu memberikan contoh yang benar namun dengan alasan yang kurang tepat dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 22 pada materi jenis-jenis bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
23. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu memberikan contoh namun dengan alasan yang kurang tepat dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 23 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
24. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu memberikan contoh yang benar namun dengan alasan yang kurang jelas dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 24 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
25. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, subjek S1 mampu memberikan contoh yang benar namun dengan alasan yang kurang tepat. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 25 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa jenis pemahaman subjek adalah pemahaman relasional.
26. Berdasarkan jawaban dari tes uraian di bawah, Subjek S1 tidak mampu memberikan jawaban yang benar dengan langkah-langkah penyelidikan yang tepat disertai dengan alasan yang tidak jelas dan lengkap. Setelah menganalisis hasil tes uraian nomor 26 pada materi sifat kelengkapan pada bilangan real, maka dapat disimpulkan bahwa subjek tidak memahami bagaimana menemukan batas atas, batas bawah, supremum dan infimum pada suatu himpunan bilangan pada materi sifat kelengkapan. Dengan demikian, Subjek S1 tidak memahami konsep batas atas, batas bawah, infimum dan supremum pada suatu himpunan bilangan, sehingga tidak termasuk ke dalam salah satu dari tiga kategori pemahaman menurut Skemp.
2) Penyajian Data Pemahaman Subjek S1 dalam menyelesaikan Soal-soal pada