Penyelesaian Model dengan Adanya Laju Vaksinasi

BAB IV PENYELESAIAN MODEL DENGAN METODE RUNGE-KUTTA

D. Penyelesaian Model dengan Adanya Laju Vaksinasi

Pada bagian ini akan ditentukan penyelesaian model dengan adanya laju vaksinasi, khususnya ketika 𝑅₀ < 1. Dalam bagian ini, model juga akan diselesaikan dengan metode Runge-Kutta orde empat sesuai dengan skema yang telah dibentuk pada bagian sebelumnya. Nilai awal yang digunakan adalah nilai awal pada Tabel 4.1, sedangkan nilai parameter yang digunakan adalah nilai parameter yang terdapat pada Tabel 4.3 di bawah ini.

Tabel 4.3. Nilai Parameter Model dengan Adanya Laju Vaksinasi Parameter Nilai Parameter Sumber

Λ 10⁷

365 × 65 Anggriani, N., et al., 2021 𝛽₁ 1.727 × 10⁻⁷ Anggriani, N., et al., 2021

𝛽₂ 7.478 × 10⁻⁷ Asumsi

𝜇₁ 1

365 × 65 Anggriani, N., et al., 2021

𝜇₂ 0.082 Anggriani, N., et al., 2021

𝛼 1

5.2 Anggriani, N., et al., 2021

𝑝 0.2 Anggriani, N., et al., 2021

𝜅 0.19 Anggriani, N., et al., 2021

𝛿₁ 1

10 Anggriani, N., et al., 2021

𝛿₂ 1

14 Anggriani, N., et al., 2021

𝜉 5 × 10⁻⁷ Asumsi

𝜎 0.005 Asumsi

Pada bagian sebelumnya, telah diperoleh bilangan reproduksi dasar dari sistem persamaan (3.2.1) adalah

𝑅₀ =𝐵₁ + 𝐵₆+ √𝐵₁²− 2𝐵₁𝐵₆+ 𝐵₆²+ 4𝐵₃𝐵₄ 2

dengan

𝐵₁= 𝛽₁Λ𝑝𝛼(𝛿₂+ 𝜇₂) + 𝛽₂Λ(𝛼(1 − 𝑝)(𝜅 + 𝛿₁+ 𝜇₂) + 𝑝𝛼𝜅) (𝜎 + 𝜇₁)(𝛿₂+ 𝜇₂)(𝛼 + 𝜇₂)(𝜅 + 𝛿₁+ 𝜇₂)

𝐵₃= 𝛽₁Λ

(𝜎 + 𝜇₁)(𝛿₂+ 𝜇₂)

𝐵₄=𝛽₁𝜉𝜎Λ𝑝𝛼(𝛿₂+ 𝜇₂) + 𝛽₂𝜉𝜎Λ(𝛼(1 − 𝑝)(𝜅 + 𝛿₁+ 𝜇₂) + 𝑝𝛼𝜅) 𝜇₁(𝜎 + 𝜇₁)(𝜉 + 𝜇₁)(𝛿₂+ 𝜇₂)(𝛼 + 𝜇₂)(𝜅 + 𝛿₁+ 𝜇₂)

𝐵₆= 𝛽₂𝜉𝜎Λ

𝜇₁(𝜎 + 𝜇₁)(𝜉 + 𝜇₁)(𝛿₂+ 𝜇₂)

Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 4.3, diperoleh bilangan reproduksi dasar berikut:

𝑅₀= 1.659490228

2 = 0.8297451141 < 1

Karena nilai 𝑅₀< 1, maka penyakit tidak dapat berkembang. Selanjutnya, akan diselidiki apakah penyelesaian akan menuju ke titik kesetimbangan bebas penyakit atau tidak. Perhatikan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit telah diperoleh pada persamaan (3.3.8), yaitu

𝐸⁰ = ( Λ

𝜎 + 𝜇₁, 0, 0, 0, 𝜎Λ

(𝜎 + 𝜇₁)(𝜉 + 𝜇₁), 𝜉𝜎Λ

𝜇₁(𝜎 + 𝜇₁)(𝜉 + 𝜇₁)) Sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 4.3, yakni sebagai berikut:

𝐸⁰= (𝑆⁰, 𝐸⁰⁰, 𝐼_𝐴⁰, 𝐼_𝑆⁰, 𝑍⁰, 𝑍₀⁰) dengan

𝑆⁰= 83594.56636, 𝐸⁰ = 0, 𝐼_𝐴⁰ = 0,

𝐼_𝑆⁰ = 0, 𝑍⁰ = 9800151.141, dan

𝑍₀⁰ = 116254.2929

Berdasarkan Teorema 3.1, titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸⁰ akan stabil asimtotik lokal ketika 𝜅 + 𝛿1 + 𝛿2+ 3𝜇2+ 𝛼 > 𝑢4, 𝑏₁> 𝑏₂ > 0, dan 𝑏₃ > 𝑏₄, dengan

𝑏₁=(𝜅 + 𝛿₁+ 𝛿₂+ 3𝜇₂+ 𝛼 − 𝑢₄) (𝛼(2𝜇₂+ 𝛿₁+ 𝛿₂+ 𝜅 − 𝑢₄ −(1 − 𝑝)𝑢₂− 𝑝𝑢₁)+ 3𝜇₂²− 𝜇₂(2𝑢₄− 2𝛿₂− 2𝜅 − 2𝛿₁)+(𝜅 + 𝛿₁)(𝛿₂− 𝑢₄)),

𝑏₂= (𝜇₂²+ 𝑢₂(𝛿₁ + 𝛿₂+ 𝜅 − 𝑢₄−(1 − 𝑝)𝑢₂− 𝑝𝑢₁)+(𝛿₂− 𝑢₄−(1 − 𝑝)𝑢₂)𝛿₁+ 𝛿₂(𝜅 − 𝑝𝑢₁)+ 𝜅(−𝑢₂− 𝑢₄)+ 𝑝(𝑢₁𝑢₄− 𝑢₂𝑢₃))𝛼 + 𝜇₂(𝜅 + 𝜇₂+ 𝛿₁)(𝛿₂− 𝑢₄+ 𝜇₂),

𝑏₃=𝛼(2𝜇₂+ 𝛿₁+ 𝛿₂+ 𝜅 − 𝑢₄ −(1 − 𝑝)𝑢₂− 𝑝𝑢₁)+ 3𝜇₂²+(𝜅 + 𝛿₁)(𝛿₂ − 𝑢₄), 𝑏₄ =𝜇₂(2𝑢₄ − 2𝛿₂− 2𝜅 − 2𝛿₁),

dan 𝑢₁= ^𝛽1Λ

𝜎+𝜇₁, 𝑢₂= ^𝛽2Λ

𝜎+𝜇₁, 𝑢₃ = ^{𝛽1𝜉𝜎Λ}

𝜇₁(𝜎+𝜇₁)(𝜉+𝜇₁), 𝑢₄= ^{𝛽2𝜉𝜎Λ}

𝜇₁(𝜎+𝜇₁)(𝜉+𝜇₁). Dapat diperoleh bahwa

𝑢₄= 0.08693496025,

𝜅 + 𝛿₁+ 𝛿₂+ 3𝜇₂+ 𝛼 = 0.7997362637 > 𝑢₄, 𝑏₁ = 0.09611790538 > 0.002665549498 = 𝑏₂ > 0, dan

𝑏₃ = 0.2079828395 > −0.04501695224 = 𝑏₄.

Karena semua kondisi terpenuhi, titik kesetimbangan bebas penyakit (4.4.1) stabil asimtot lokal. Dengan demikian, penyelasian akan menuju titik kesetimbangan bebas penyakit.

(4.4.1)

Selanjutnya, dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat, nilai awal pada Tabel 4.1, dan nilai parameter pada Tabel 4.3 diperoleh grafik penyelesaian yang diperlihatkan pada Gamber 4.4.1.

Gambar 4.4.1 Grafik penyelesaian numeris model untuk 𝑅₀ < 1

Berdasarkan Gambar 4.4.1, dapat diamati bahwa kelompok Susceptible akan mengalami penurunan pada waktu awal, lalu akan mengalami kenaikan menuju suatu nilai tertentu. Selanjutnya, kelompok Exposed akan mengalami kenaikan pada waktu awal dan akan mengalami penurunan menuju nilai nol.

Dapat diamati pula bahwa kelompok Infected Asymptomatic dan kelompok Infected Symptomatic akan mengalami kenaikan pada waktu awal dan akan mengalami penurunan menuju nilai nol. Dalam hal ini, penyelesaian untuk kelompok Exposed, Infected Asymptomatic, dan Infected Symptomatic menuju nilai nol menunjukkan bahwa individu dalam kelompok-kelompok tersebut akan habis. Hal ini berarti bahwa jumlah individu yang terpapar dan sedang dalam masa inkubasi, jumlah individu terinfeksi tanpa gejala, dan jumlah indi-vidu terinfeksi dengan gejala akan menghilang. Selain itu, kelompok Recovered akan mengalami kenaikan dan akhirnya akan menuju suatu nilai tertentu.

Berikutnya, kelompok Recovered that Previously Infected akan mengalami kenaikan secara perlahan menuju nilai tertentu.

Penyelesaian untuk masing-masing kelompok juga akan dianalisis secara terpisah. Perhatikan kembali bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit yang diperoleh adalah

𝐸⁰= (𝑆⁰, 𝐸⁰⁰, 𝐼_𝐴⁰, 𝐼_𝑆⁰, 𝑍⁰, 𝑍₀⁰) dengan

𝑆⁰= 83594.56636, 𝐸⁰ = 0, 𝐼_𝐴⁰= 0, 𝐼_𝑆⁰= 0, 𝑍⁰ = 9800151.141, dan

𝑍₀⁰ = 116254.2929

Selanjutnya, misalkan 𝑆⁰ adalah komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Susceptible , 𝐸⁰⁰ adalah komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Exposed, 𝐼_𝐴⁰ adalah komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Infected Asymptomatic, 𝐼_𝑆⁰ adalah komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Infected Symptomatic, 𝑍⁰ adalah komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Recovered, dan 𝑍₀⁰ adalah komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Susceptible that Previously Infected.

Analisis dilakukan sebagai berikut:

1. Kelompok 𝑆usceptible (𝑆)

Gambar 4.4.2 Grafik-1 penyelesaian numeris kelompok 𝑆 untuk 𝑅₀ < 1

Berdasarkan Gambar 4.4.2, kelompok Susceptible mengalami penurunan dari 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 21. Penurunan dapat terjadi karena adanya penyebaran COVID-19, vaksinasi yang dilakukan, dan kematian alami. Setelah mengalami penurunan, lalu akan mengalami kenaikan menuju ke komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Susceptible, yakni 𝑆⁰= 83594.56636, seperti pada Gambar 4.4.3.

Gambar 4.4.3 Grafik-2 penyelesaian numeris kelompok 𝑆 untuk 𝑅₀ < 1

2. Kelompok Exposed (𝐸)

Gambar 4.4.4 Grafik penyelesaian numeris kelompok 𝐸 untuk 𝑅₀< 1

Berdasarkan Gambar 4.4.4, kelompok Exposed mengalami kenaikan pada saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 12. Kenaikan terjadi karena perpindahan

individu dari kelompok Susceptible ke kelompok Exposed. Setelah mengalami kenaikan, lalu akan mengalami penurunan. Dapat diamati bahwa penyelesaian akan menuju ke komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Exposed, yaitu menuju 𝐸⁰= 0. Hal ini berarti bahwa jumlah individu kelompok Exposed akan habis.

3. Kelompok Infected Asymptomatic (𝐼_𝐴)

Gambar 4.4.5 Grafik penyelesaian numeris kelompok 𝐼_𝐴 untuk 𝑅₀< 1

Berdasarkan Gambar 4.4.5, kelompok Infected Asymptomatic mengalami kenaikan pada saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 14. Kenaikan terjadi karena perpindahan individu dari kelompok Exposed ke kelompok Infected Asymptomatic. Setelah mengalami kenaikan, lalu akan mengalami penurunan. Dapat dilihat bahwa penyelesaian akan menuju ke komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Infected Asymptomatic, yaitu menuju 𝐼_𝐴^∗= 0. Hal ini berarti bahwa jumlah individu kelompok Infected Asymptomatic, yakni individu terinfeksi tanpa gejala, akan habis.

4. Kelompok Infected Symptomatic (𝐼_𝑆)

Berdasarkan Gambar 4.4.6, kelompok Infected Symptomatic mengalami kenaikan pada saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 16. Kenaikan terjadi karena perpindahan individu dari kelompok Exposed, Infected

Asymptomatic, dan Susceptible that Previously Infected ke kelompok Infected Symptomatic. Setelah mengalami kenaikan, lalu akan terjadi penurunan. Selain itu, dapat diamati pula bahwa penyelesaian akan menuju ke komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Infected Symptomatic, yaitu menuju 𝐼_𝑆^∗ = 0. Hal ini berarti bahwa jumlah individu kelompok Infected Symptomatic, yakni individu terinfeksi dengan gejala, akan habis.

Gambar 4.4.6 Grafik penyelesaian numeris kelompok 𝐼_𝑆 untuk 𝑅₀ < 1

5. Kelompok Recovered (𝑍)

Gambar 4.4.7 Grafik-1 penyelesaian numeris kelompok 𝑍 untuk 𝑅₀ < 1

Berdasarkan Gambar 4.4.7, kelompok Recovered mengalami kenaikan dari 𝑡 = 0. Kenaikan terjadi karena masuknya individu yang

memiliki risiko terinfeksi tetapi sudah divaksin, sembuhnya individu terinfeksi tanpa gejala, dan sembuhnya individu terinfeksi dengan gejala.

Dengan kata lain, kenaikan terjadi karena perpindahan individu dari kelompok Susceptible, Infected Asymptomatic, dan Infected Symptomatic ke kelompok Recovered. Pada akhirnya, dapat diamati bahwa penyelesaian akan menuju ke komponen titik kesetimbangan untuk kelompok Recovered, yaitu 𝑍⁰ = 9800151.141 seperti yang diperlihatkan pada Gambar 4.4.8.

Gambar 4.4.8 Grafik-2 penyelesaian numeris kelompok 𝑍 untuk 𝑅₀ < 1

6. Kelompok Susceptible that Previously Infected (𝑍₀)

Gambar 4.4.9 Grafik penyelesaian numeris kelompok 𝑍₀ untuk 𝑅₀ < 1

Berdasarkan gambar 4.4.9, dapat diamati bahwa kelompok Susceptible that Previously Infected mengalami kenaikan secara perlahan menuju nilai kesetimbangannya, yaitu 116254.2929. Kenaikan terjadi karena berubahnya individu sembuh menjadi individu yang memiliki risiko terinfeksi kembali akibat turunnya kekebalan tubuh.