PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI

QR

Yuslenita Muda¹, Syafrina²

1,2) Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Suska Riau

1) ilen_77@hotmail.com; ²⁾ syafrina.queensha@gmail.com

ABSTRAK

Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX =Y. Telah diketahui bahwa koefisien sistem persamaan linear ada yang berupa bilangan real, bilangan kompleks dan ada yang berupa bilangan fuzzy . Pada makalah ini, sistem persamaan linear yang digunakan adalah sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks dan konstanta bilangan fuzzy kompleks serta menggunakan nilai keanggotaan fuzzy segitiga, sehingga disebut sistem persamaan linear fuzzy kompleks. Sistem persamaan linear fuzzy kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi QR. Metode dekomposisi QR merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks A menjadi matriks Q dan R, dengan Q adalah matriks yang vektor kolomnya merupakan basis ortonormal dan R adalah matriks segitiga atas. Berdasarkan pembahasan solusi 𝑢 dari sistem persamaan disebut solusi fuzzy kuat karena 𝑢_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑢_𝑖= 𝑥_𝑖, dan jika terdapat salah satu yang tidak sama maka 𝑢 adalah solusi fuzzy lemah untuk sistem persamaan linear fuzzy kompleks tersebut.

Kata kunci: basis ortonormal, dekomposisi QR, SPL fuzzy kompleks, solusi fuzzy kuat, solusi fuzzy lemah.

1. PENDAHULUAN

Salah satu permasalahan pada bidang aljabar linear adalah menyelesaikan suatu sistem persamaan 𝐴𝑋 = 𝑌, untuk suatu matriks 𝐴 serta vektor 𝑋 dan 𝑌 (Lipschutz, S, 2006). Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari koefisien dan variabel. Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berupa bilangan real, bilangan kompleks dan ada pula dalam bentuk bilangan fuzzy.

Secara bahasa, fuzzy diartikan “kabur”. Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy adalah 𝐴𝑋 = 𝑌 . Sistem persamaan linear fuzzy ini unsur 𝑌 masih dalam bentuk parameter yang berada pada interval tertentu. Untuk menyatakan hal tersebut maka digunakan teori himpunan fuzzy.

Dekomposisi QR merupakan cara memfaktorkan matriks 𝐴 menjadi 𝐴 = 𝑄𝑅 untuk suatu matriks Q dan matriks R. Dengan demikian sistem persamaan akan berubah menjadi 𝐴𝑋 = 𝑄𝑅 𝑋 = 𝑌, dengan Q adalah matriks yang vektor kolomnya merupakan basis ortonormal dan R adalah matriks segitiga atas.

Metode dekomposisi QR tidak hanya digunakan untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, tetapi juga dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linear kompleks, dan solusi sistem persamaan linear fuzzy.

Dalam penulisan ini, akan digunakan metode dekomposisi QR untuk menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks. Sedangkan metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur.

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 57 2. LANDASAN TEORI

2.1. Bilangan Kompleks

Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan ℂ. Dalam bilangan kompleks, notasi 𝑖 biasa digunakan sebagai lambang dari −1 sehingga 𝑖²= −1. Bilangan kompleks pada awalnya didefinisikan sebagai pasangan bilangan real (𝑥, 𝑦), namun secara umum notasi bilangan kompleks adalah 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 yang dilambangkan dengan titik (𝑥, 𝑦) yang merupakan kombinasi antara bilangan real dan imajiner. Bilangan 𝑥 merupakan bagian real dari 𝑧, dinotasikan dengan 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) dan nilai 𝑦 merupakan bagian imajiner dari 𝑧, dinotasikan dengan 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧).

2.2. Sistem Persamaan Linear Kompleks

Sistem persamaan linear kompleks (SPLK) merupakan SPL dengan koefisien atau konstantanya adalah bilangan kompleks. Berikut akan diberikan contoh untuk penyelesaian SPLK [3].

Contoh 1:

Selesaikan SPLK berikut:

𝑥₁ + 1 + 𝑖 𝑥₂ = 1 − 2𝑖 𝑖𝑥₁− 𝑥₂ + 𝑖𝑥₃ = 2

−1 + 𝑖 𝑥₁− 𝑥2 − 𝑥3= 2 + 3𝑖 Penyelesaian:

Berdasarkan sistem persamaan linear kompleks yang diberikan, akan ditentukan solusi 𝑥 dengan cara operasi baris elementer (OBE). Melalui proses OBE diperoleh matriks yang merupakan hasil dari SPLK, yaitu:

1 0 1 + 𝑖

0 1 −1

0 0 0

−3𝑖 1 0

Misalkan 𝑥₃= 𝑡, maka diperoleh solusi dari sistem persamaan linear di atas dengan 𝑥₁= −3𝑖 − 1 + 𝑖 𝑡, dan 𝑥₂= 1 + 𝑡.

2.4 Himpunan Fuzzy

Secara bahasa fuzzy dapat diartikan kabur atau semu. Himpunan fuzzy merupakan kumpulan dari entri-entri dengan suatu rangkaian tingkat keanggotaan. Untuk mengatasi permasalahan himpunan fuzzy, dikaitkan himpunan fuzzy dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan fuzzy.

Fungsi tersebut disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan fuzzy. Himpunan ini dicirikan dengan fungsi keanggotaan yang menegaskan suatu tingkatan (grade) keanggotaan yang bernilai 0 dan 1, dari penjelasan tersebut dapat dikatakan bahwa nilai keanggotaan pada fuzzy terletak pada interval [0,1].

Himpunan fuzzy 𝑈 dalam semesta 𝑋, dapat dinotasikan dalam bentuk 𝑈 = {(𝑥, 𝜇_𝑈 𝑥 )|𝑥 ∈ 𝑋}

dengan 𝜇_𝑈 adalah fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy 𝑈 , pada penulisan ini menggunakan fungsi keanggotaan segitiga. Fungsi keanggotaan segitiga ditandai dengan tiga parameter yang akan menentukan koordinat 𝑥 dari tiga sudut. Persamaan untuk fungsi keanggotaan segitiga ini adalah sebagai berikut:

𝜇_𝑈 𝑥 = 𝜇_𝑈 𝑥, 𝑎, 𝑏, 𝑐 =

(𝑥 − 𝑎)/(𝑏 − 𝑎), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (𝑐 − 𝑎)/(𝑐 − 𝑏), 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

(1)

Kurva yang dibentuk oleh fungsi keanggotaan segitiga pada persamaan (1) merupakan gabungan antara dua garis linear, untuk lebih jelas berikut adalah grafik fungsi keanggotaan segitiga:

58 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 𝜇_𝑈 𝑥

a b c

Gambar 1. Grafik fungsi keanggotaan segitiga 𝝁_𝑼(𝒙, 𝒂, 𝒃, 𝒄)

Bilangan fuzzy (𝑢) di dalam 𝑅 didefinisikan sebagai pasangan fungsi 𝑢, 𝑢 yang memenuhi sifat sebagai berikut [1]:

1) fungsi

u

monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0, 1],

2) fungsi

u

monoton turun, terbatas, dan kontinu kanan pada [0, 1], dan 3) u(r)u(r) untuk setiap r dalam [0, 1].

Himpunan bilangan-bilangan fuzzy dinyatakan dengan F, untuk setiap bilangan fuzzy 𝑢 ∈ 𝐹 ditulis dalam bentuk parameter 𝑢 = 𝑢, 𝑢 . Operasi aljabar bilangan fuzzy untuk setiap 𝑢 = 𝑢 𝑟 , 𝑢 𝑟 dan 𝑦 = 𝑦 𝑟 , 𝑦 𝑟 ∈ 𝐹 dan bilangan real 𝑘 didefinisikan sebagai berikut [1]:

1) 𝑢 + 𝑦 = (𝑢 𝑟 + 𝑦 𝑟 , 𝑢 𝑟 + 𝑦 𝑟 ) 2) 𝑢 = 𝑦 jika dan hanya jika 𝑢 = 𝑦 dan 𝑢 = 𝑦

3) 𝑘𝑢 = 𝑘𝑢, 𝑘𝑢 untuk 𝑘 ≥ 0 dan 𝑘𝑢 = 𝑘𝑢, 𝑘𝑢 untuk 𝑘 < 0 2.5 Sistem Persamaan Linear Fuzzy

Sistem persamaan linear fuzzy merupakan suatu sistem persamaan linear yang berparameter fuzzy atau semu yang berada pada interval tertentu. Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy adalah:

𝐴𝑋 = 𝑌 (2) Model sistem persamaan linear fuzzy dapat dijelaskan sebagai berikut :

𝑎₁₁𝑥 ₁ + 𝑎₁₂𝑥 ₂+ ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥 _𝑛 = 𝑦 ₁

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 59 untuk sebarang persamaan 𝑦_𝑖 dan 𝑦_𝑖 merupakan kombinasi linear dari 𝑥_𝑗 dan 𝑥_𝑗. Akibatnya, untuk mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear (5), maka langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah koefisien matriks 𝐴 yang berukuran 𝑛 × 𝑛 menjadi koefisien matriks yang menentukan entri 𝑠_𝑖𝑗 ditentukan dengan ketentuan sebagai berikut:

𝑆

𝑠𝑖𝑗 = 𝑠𝑖+𝑛 ,𝑗 +𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 ≥ 0 𝑠_{𝑖+𝑛,𝑗} = 𝑠_{𝑖,𝑗 +𝑛} = −𝑎_𝑖𝑗, 𝑎_𝑖𝑗 ≤ 0

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

(7)

Selanjutnya persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

𝑆𝑋 = 𝑌 (8)

60 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 𝑢_𝑖 = 𝑥_𝑖 , akan tetapi jika terdapat salah satu yang tidak sama maka 𝑢 adalah solusi fuzzy lemah (weak fuzzy solution).

3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Bilangan fuzzy kompleks pada penulisan ini menggunakan dua bilangan fuzzy yang mewakili nyata dan imajiner, bentuk dari bilangan fuzzy kompleks sebagai berikut:

𝑍 = 𝑥 + 𝑖𝑦 , dengan

𝑥 = 𝑥_𝑖 𝑟 , 𝑥_𝑖 𝑟 𝑦 = 𝑦_𝑖 𝑟 , 𝑦_𝑖 𝑟 dan 0 ≤ 𝑟 ≤ 1

dengan,

𝑍 = 𝑥(𝑟) + 𝑖𝑦 𝑟 𝑍 = 𝑥(𝑟) + 𝑖𝑦 𝑟

Model permasalahan sistem persamaan linear fuzzy kompleks dijelaskan sebagai berikut : 𝑐₁₁𝑧₁+ 𝑐₁₂𝑧₂+ ⋯ + 𝑐_1𝑛𝑧_𝑛 = 𝑤₁

𝑐21𝑧1+ 𝑐22𝑧2+ ⋯ + 𝑐2𝑛𝑧𝑛 = 𝑤2 (9)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑐𝑚1𝑧1+ 𝑐𝑚2𝑧2+ ⋯ + 𝑐𝑚𝑛𝑧𝑛 = 𝑤𝑚

dengan koefisian matriks 𝐶 = 𝑐_𝑖𝑗 , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 adalah matriks kompleks 𝑛𝑥𝑛 dan 𝑤_𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 adalah bilangan fuzzy kompleks [5]. Sistem ini disebut penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy jika memenuhi :

𝑐_𝑖𝑗𝑧_𝑗 =

𝑛

𝑗 =1

𝑤_𝑖, untuk, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Dalam penyelesaian sistem ini menggunakan bilangan-bilangan kompleks sebagai berikut:

𝑐_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 + 𝑖𝑏_𝑖𝑗 𝑧_𝑖 = 𝑝_𝑖+ 𝑖𝑞_𝑖 𝑤_𝑖 = 𝑢_𝑖+ 𝑖𝑣_𝑖

Sehingga penjabarannya dibentuk seperti:

(𝑎𝑖𝑗 + 𝑖𝑏𝑖𝑗)(

𝑛

𝑗 =1

𝑝𝑗 + 𝑖𝑞𝑗) = 𝑢𝑖+ 𝑖𝑣𝑖

Untuk penyelesaian sistem ini, dapat ditulis sebagai berikut:

𝑉 = 𝑣_𝑖 𝑈 = 𝑢_𝑖

𝐴 = 𝑎𝑖 (10) 𝐵 = 𝑏_𝑖

𝑃 = 𝑝𝑖

𝑄 = 𝑞_𝑖 untuk 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk matiks seperti berikut:

𝐴 −𝐵

𝐵 𝐴 𝑃 𝑄 = 𝑈

𝑉 (11) 3.1 Metode Dekomposisi QR

Metode QR dapat diaplikasikan dalam menentukan solusi dari nilai 𝑥 pada sistem persamaan linear fuzzy. Dekomposisi QR adalah proses pemfaktoran matriks 𝐴 menjadi 𝐴 = 𝑄𝑅 untuk suatu matriks 𝑄 dan matriks 𝑅. Dengan demikian sistem persamaan akan berubah menjadi 𝐴𝑥 = 𝑄𝑅 𝑥 = 𝑦,

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 61 dengan 𝑄 adalah matriks vektor kolomnya basis ortonormal 𝑄 dan 𝑅 adalah matriks segitiga atas [7].

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear menggunakan dekomposisi QR, hal-hal yang harus diperhatikan adalah sebagai berikut:

Selanjutnya akan diberikan contoh penyelesaian suatu sistem persamaan linear fuzzy kompleks menggunakan metode dekomposisi QR.

Contoh 2:

Diberikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks berikut:

10 − 7.5𝑖 𝑋₁− (6 − 5𝑖)𝑋₂= 4 + 𝑟, 6 − 𝑟 − 𝑖 −1 + 𝑟, 1 − 𝑟

− 6 − 5𝑖 𝑋₁+ 16 + 3𝑖 𝑋₂= −2 + 𝑟, −𝑟 + 𝑖 −3 + 𝑟, −1 − 𝑟 Selesaikan SPLFK di atas dengan menggunakan metode dekomposisi QR.

Penyelesaian:

Berdasarkan contoh di atas maka SPLFK tersebut dibentuk ke dalam matriks menjadi:

10 − 7.5𝑖 −6 + 5𝑖

−6 + 5𝑖 16 + 3𝑖 𝑋1

𝑋₂ = 4 + 𝑟, 6 − 𝑟 + 𝑖(−1 + 𝑟, 1 − 𝑟) −2 + 𝑟, −𝑟 + 𝑖(−3 + 𝑟, −1 − 𝑟) Selanjutnya ditulis dalam bentuk matriks (10), sehingga diperoleh:

𝐴 = 10 −6

62 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 𝑃 = 𝑥₁

𝑥₂ , 𝑄 = 𝑦₁ 𝑦₂

Selanjutnya mengubah matriks 𝐴, 𝐵, 𝑃, 𝑄, 𝑈 dan 𝑉 ke dalam bentuk matriks pada persamaan (11):

10 −6 7.5 −5

Selanjutnya menentukan matriks 𝑆 dari matriks 𝐴 berdasarkan ketentuan (7). Sehingga diperoleh matriks S adalah:

Berdasarkan sistem persamaan linear fuzzy kompleks yang diberikan diperoleh:

𝑦 =

Dengan menggunakan persamaan (16) diperoleh solusi nilai 𝑥 sebagai berikut:

𝑥 = 𝑅⁻¹𝑄^𝑇𝑦 =

Berdasarkan persamaan (1) solusi sistem persamaan linear fuzzy kompleks ini dapat dinyatakan dengan bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut:

𝑥₁= 0.3542 + 0.1086𝑖 𝑥2 = 0.0654 − 0.2072𝑖

Gambar 2. Solusi untuk sistem persamaan dari contoh 2

𝑥

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₁ 𝑥2

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 63 4. KESIMPULAN

Berdasarkan contoh di atas diperoleh bahwa metode dekomposisi QR dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks dengan solusi yang diperoleh untuk contoh 2 adalah:

𝑢 ₁= 0.316355 + 0.03782𝑟, 0.392005 − 0.03782𝑟 + 𝑖(0.070777 +0.03782𝑟, 0.146428 − 0.03782𝑟)

𝑢 2= 0.034669 + 0.03073𝑟, 0.096135 − 0.03073𝑟 + 𝑖(−0.23795 +0.03073𝑟, −0.17648 − 0.03073𝑟)

5. DAFTAR PUSTAKA

[1]. Beta Norita, “Sistem Persamaan Linear Fuzzy”. Vol. 11, No.2, Program Studi Ilmu Komputer, 9499, ISSN: 1410-8518, Agustus 2008, Semarang.

[2]. M. Matinfar, S. H. Nasseri and M. Shrabi, “Solving Fuzzy Linear System of Equations by Using Householder Decomposition Method‖. Applied Mathematical Sciences, Vol.2, No. 52, 2569-2575, 2008.

[3]. Nicholson, W. Keith. ―Elementary Linear Algebra‖. First Edition. McGraw-Hill, Singapore.

2001.

[4]. Seyed Hadi Nasseri, “Fuzzy Linear Systems: A Decomposition Method and Some New Results”. Vol.5, No.17, Summer, 2008.

[5]. Taher Rahgooy, dkk. ―Fuzzy Complex System of Linear Equations Applied to Circuit Analysis‖. Vol.1, No.5, December, 2009.

64 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung

PENENTUAN KEBIJAKAN PERSEDIAAN DALAM COST