Edi Kurniadi
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran [email protected]
Setiap Grup Dihedral dibangun oleh suatu rotasi dan refleksi. Jika suatu rotasi bukan kelipatan rasional dari rotasi penuh maka tidak ada bilangan bulat n. Hal ini mengakibatkan banyaknya unsur grup tersebut tak hingga dan disebut dengan Grup Dihedral Tak Hingga. Dalam makalah ini dibahas penyajian Grup Dihedral Tak Hingga dan diberikan juga penerapannya dalam masalah aliasing sinyal bernilai real.
Kata Kunci : Grup simetris, Grup dihedral tak hingga, aliasing
1. Pendahuluan
Grup Dihedral adalah Grup Simetri segi banyak beraturan yang memuat rotasi dan refleksi. Grup Dihedral Hingga adalah sugrup dari dan order dari adalah . Grup ini memberikan peranan yang sangat penting dalam Teori Grup, Geometri, dan Kimia. Pola Grup Simetris dapat dilihat dalam gambar berikut ini.
Gambar 1. Pola Grup Simetri Pada Bidang
Dalam [Hitzer dan Ichikawa, 2008] telah dibahas penyajian Grup Simetri secara Geometri. Selain itu penyajian Grup Hingga juga telah dibahas oleh [Curtis dan Reiner, 1988].
Pada Umumnya, penelitian-penelitian tersebut hanya membahas tentang Grup Hingga dan aplikasinya seperti dalam masalah Kristalografik dan belum banyak membahas Grup Simeris Tak Hingga. Oleh karena itu, dalam makalah ini dibahas penyajian Grup Dihedral Tak Hingga dan aplikasinya dalam aliasing sinyal bernilai real.
2. METODELOGI PENELITIAN
Metodelogi penelitian yang digunakan di sini berupa kajian pustaka terhadap jurnal-jurnal yang relevan dengan topik penelitian ini yang diperoleh secara online dari internet.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 71 3. PEMBAHASAN
Ada dua masalah yang menjadi fokus dalam makalah ini yaitu penyajian dari Grup Dihedral Tak Hingga dan aplikasinya dalam masalah aliasing sinyal bernilai real.
3.1 PENYAJIAN GRUP DIHEDRAL TAK HINGGA
Grup Dihedral Tak Hingga adalah Grup Tak Hingga yang sifat-sifatnya analog dengan Grup Dihedral Hingga. Beberapa sifat tersebut adalah
Teorema 1.[Wahyudin, 2000] Grup Dihedral adalah subrup dari dan order dari adalah .
Sifat ke dua ini sangat penting dalam pemahaman terhadap Grup Dihedral Tak Hingga.
Teorema 2.[Wahyudin, 2000] Grup Dihedral dengan memuat semua produk dari dua buah elemen (rotasi) dan (refleksi) yang memenuhi dan .
Bukti :
Simetri yang mungkin dari sebuah segi – beraturan adalah refleksi dan rotasi . Pada sebuah segi – beraturan terdapat n buah rotasi yaitu
Rotasi membangun semua rotasi yang mungkin untuk segi – beraturan. Sehingga kita peroleh bahwa . Selanjutnya misalkan ada buah refleksi yang mungkin. Katakan refleksi tersebut dengan adalah refleksi yang sumbu simetrinya melalui titik sudut . Dalam kasus n genap maka dua titik sudut yang dilalui sumbu simetri tetap demikian juga jika n ganjil maka sumbu simetri melalui satu titik sudut dan titik sudut tersebut akan tetap. Jadi kita peroleh bahwa untuk sembarang refleksi berlaku . Selanjutnya dapat dilihat bahwa r dan s keduanya membangun .
Grup Dihedral Tak Hingga dinotasikan oleh dan didefinisikan oleh (1)
Dengan menotasikan elemen identitas. Secara ekuivalen, grup dihedral tak hingga ini merupakan perluasan grup dihedral yang berkorespondensi dengan grup bilangan bulat.
Dalam makalah ini dibahas penyajian Grup Dihedral atas lapangan yang karakteristiknya tidak sama dengan 2. Penyajian yang lebih detail dapat dilihat di [Dokovic, 1986].
Penyajian Grup Dihedral Tak Hingga dalam yang telah diteliti oleh [J. Augade, J., Broto,C. & Saumell, L,2013] adalah sebagai berikut :
1. Ambil dengan , penyajian dari diberikan oleh
Dengan .
2. Sekarang ambil sedemikian sehingga tidak sama dengan nol atau bukan kuadrat.
Maka penyajian dari
72 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung Selanjutnya lapangan fraksional dari R yaitu lapangan bilangan rasional atau lapangan
adik . Semua penyajian tak tereduksinya adalah . Jadi himpunan semua penyajian tak tereduksi dari adalah dengan fungsi bernilai . Hasil tersebut dinyatakan dalam proposisis berikut.
Proposisi 1. [J. Augade, J., Broto,C. & Saumell, L, 2013] adalah korespondensi satu-satu antara himpunan semua penyajian tak tereduksi antara dalam dan .
3.2 PENERAPAN GRUP DIHEDRAL HINGGA PADA ALIASING SINYAL BERNILAI REAL
Contoh nyata dari Grup Dihedral Tak Hingga adalah aliasing sinyal bernilai real [Wikipedia, 2013]. Dalam pemrosesan sinyal dan disiplin terkait, aliasing mengacu pada sebuah efek yang menyebabkan sinyal yang berbeda menjadi tidak dapat dibedakan (atau alias satu sama lain) ketika sampled. Hal ini juga mengacu pada distorsi yang terjadi ketika sinyal direkonstruksi dari sample berbeda dari sinyal kontinyu asli. Aliasing dapat terjadi dalam sinyal sample pada waktunya, misalnya audio digital, dan disebut sebagai aliasing temporal. Aliasing juga bisa terjadi pada sinyal spasial sample, misalnya gambar digital. Aliasing dalam sinyal spasial sample disebut aliasing spasial.
Perhatikan gambar berikut
Gambar 2. Fenomena aliasing
Ketika secara berkala sampling sinyal, frekuensi terdeteksi dalam dihedral simetri, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2. Dalam Gambar 2 tersebut frekuensi terdeteksi dengan menggunkan kelas kesetaraan pada domain mendasar [0, 0.5fs]. Garis-garis horizontal menunjukkan fenomena aliasing satu dengan yang lainnya. Fenomena ini melewati 0.4fs, 0.6fs, 1.4fs dan 1.6fs .
Secara formal pembagian atas aliasing ini adalah suatu orbifold [0, 0.5fs] dengan suatu aksi pada titik ujung atau titik orbifold yang berkorespondensi dengan refleksi.
4. KESIMPULAN
Dalam makalah ini telah dibahas penyajian Grup Dihedral Tak Hingga dalam atas lapangan yang karakteristiknya tidak sama dengan 2. Diperoleh dua cara penyajian Grup Dihedral Tak Hingga dalam sebagai berikut :
1. Ambil dengan , penyajian dari diberikan oleh
Dengan .
2. Sekarang ambil sedemikian sehingga tidak sama dengan nol atau bukan kuadrat.
Maka penyajian dari
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 73 Masalah kedua juga tentang penerapan Grup Dihedral Tak Hingga telah diterapakan dalam aliasing sinyal bernilai real. Dalam aplikasi tersebut digunakan keisomorfikan dengan .
DAFTAR PUSTAKA
1. J. Augade, J., Broto,C. & Saumell, L.(..) Integral representations of infinite dihedral groups.
[Online]. Tersedia: hhtp://math.uab.es/~aguade/articles/Ref.pdf [19 Agustus 2013]
2. C.W. Curtis, Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebra, Wiley Classic Library, Wiley, New York, 1988
3. D.ˇZ. Dokoviˇc, Pairs of Involutions in the General Linear Group. J. Algebra 100 (1986), 214–
223.
4. Hitzer, Ichikawa, Representation of crystallographic subperiodic groups by geometry algebra, Electronic Proc. Of AGACSE 3, Leipzig, Germany, 2008
5. Wahyudin, Pengantar Aljabar Abstrak, Delta Bawean, 2000 6. Wikipedia.(...). Infinite Dihedral Group. [Online]. Tersedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_dihedral_Group [19Agustuas 2013]
74 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung