PENGGUNAAN STRATEGI PETA KONSEP PADA PERKULIAHAN ALJABAR LINIER
4. Strategi Peta Konsep dalam Perkuliahan Aljabar Linier
Dalam perkuliahan Aljabar Linier, strategi peta konsep dapat digunakan dengan tujuan memberikan gambaran kepada mahasiswa tentang keterkaitan antara konsep tertentu dengan konsep yang telah diterima mahasiswa sebelumnya. Peta konsep digunakan untuk menyatakan hubungan bermakna antara konsep-konsep dalam bentuk proporsi-proporsi. Proporsi-proporsi merupakan dua atau lebih konsep-konsep yang dihubungkan oleh kata-kata dalam suatu unit semantik. Dalam bentuknya yang paling sederhana, suatu peta konsep hanya terdiri atas dua konsep yang dihubungkan oleh satu kata penghubung untuk membentuk suatu proposisi (Dahar, 1988:123) Hal ini sebagaimana dikemukakan oleh Novak (dalam Indarto, 2006:5) bahwa peta konsep yang ia perkenalkan mempunyai keunggulan dalam menggambarkan jaringan proposisi. Keunggulan tersebut meliputi adanya percabangan konsep yang disebut sebagai diferensiasi progresif yang menunjukkan luasnya pembahasan suatu topik dan hirarki konsep yang menunjukkan kedalaman pembahasan konsep atau posisi diantara berbagai konsep-konsep lain dalam satu topik.
Peta konsep dapat merupakan suatu urutan kejadian, langkah-langkah dalam suatu prosedur atau tahap-tahap dalam suatu proses. Urutan (rantai) kejadian ini mengutamakan suatu kejadian pokok atau kejadian awal yang kemudian mengakibatkan kejadian lain sampai tertuju pada suatu hasil Misalnya pada topik Kebebasan Linier, untuk menyelesaikan permasalahan kebebasan linier, ide kuncinya berkaitan dengan sistem persamaan linier (SPL) homogen, sehingga mahasiswa harus mengetahui bahwa SPL homogen selalu punya himpunan jawab yaitu trivial dan non-trivial.
Selanjutnya dalam menyelesaikan SPL homogen tersebut berbagai cara dapat dilakukan diantaranya melalui operasi baris elementer atau tanpa memecahkan sistem tersebut tetapi cukup dengan memperlihatkan nilai determinan dari matriks koefisiennya. Trivial dan non-trivialnya dari suatu pemecahan SPL homogen saat berkaitan dengan teorema yang menyatakan bahwa jika suatu SPL homogen dengan lebih banyak bilangan takdiketahui daripada persamaan selalu mempunyai takhingga banyaknya pemecahan. Dalam proses penyelesaiannya juga berkaitan dengan teorema kebebasan linier yang melibatkan kombinasi linier dan merentang. Berikut ini peta konsep Kebebasan Linier
Pengertiann
Aplikasi
Invers
Transpos matriks
Determinan
Operasi matriks Kesamaan matriks Jenis-jenis matriks
MATRIKS
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 133 Gambar 3. Contoh Peta Konsep Kebebasan Linier
det ≠ 0 det = 0
S himpunan tak-bebas linear S himpunan bebas linear
Penyelesaian Non-Trivial (ada pemecahan lain, selain k1 = 0, k2 = 0, ... kr = 0 atau banyak himpunan jawab Penyelesaian Trivial
(hanya ada satu penyelesaian, yaitu, k1 = 0, k2 = 0, ... kr = 0)
Nilai determinannya periksa Matriks koefisien
berbentuk bujur sangkar Himpunan Penyelesaian (HP)
jika Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen ; Ax = 0 Teorema
Himpunan S dengan dua vector atau lebih adalah :
a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vector di S dapat dinyatakan kombinasi linear dari vector di S yang lain
b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vector S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vector S lainnya
Kebebasan Linier
k1 v1 + k2 v2 + ... + kr vr = 0, mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
Merentang
(Jika setiap vector di V dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear Kombinasi Linier
Sebuah vector dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor jika vector tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk
dimana adalah skalar S = { v1, v2, …………., vr } adalah himpunan vektor
134 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung Selanjutnya diperlihatkan peta konsep tentang ruang vektor umum.
Gambar 4. Contoh Peta Konsep Ruang Vektor Umum
Ide-ide pokok dibuat dalam persegi empat, sedangkan beberapa kata lain dituliskan pada garis-garis penghubung. Garis-garis pada peta konsep menunjukkan hubungan antar ide-ide itu. Kata-kata
Ruang Vektor Umum
definisi Misalkan V sebarang himpunan tak-kosong dari
dua operasi yang didefinisikan, yaitu penjumlahan (u+v) dan perkalian dengan skalar (ku)
terdapa 10 aksioma t
jika dipenuhi oleh
Semua objek u,v,w dan V dan semua
skalar k dan l
Aksioma 1
Aksioma 3 Aksioma 2
Aksioma 5 Aksioma 4
Aksioma 6
Aksioma 7
Aksioma 8
Aksioma 9
Aksioma 10
terdiri dari
Jika u dan v adalah objek-objek dalam V, maka u + v berada dalam V
V sebagai ruang vektor umum dan objek dalam V
sebagai vektor maka
u + v = v + u
u + ( v + w) = (u + v) + w
Ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut vektor nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek – u dalam V yang disebut negatif dari u, sedemikian sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka ku ada dalam V
k (u + v) = k u + k v ( k + l ) u = k u + l u k (l u ) = ( k l) u
1 u = u
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 135 yang ditulis pada garis memberikan hubungan antara konsep-konsep. Hubungan konsep tersebut menunjukkan kedalaman pembahasan konsep atau posisi konsep diantara berbagai konsep-konsep lain dalam satu topik.
Penyusunan peta konsep sangat dipengaruhi oleh pembuat dan cara penyampaian materi yang akan dilakukan pengajar ( Indarto, 2006 : 7). Dalam pengembangannya peta konsep dapat dimodifikasi tanpa harus mengikuti hirarki. Sebagaimana dikemukakan oleh Irvine et.al. (dalam Indarto, 2006:7) bahwa membuat peta konsep dalam bentuk gambar atau kumpulan konsep tanpa penghubung.
Demikian juga Mas dan Bruce (dalam Indarto, 2006 :7) membuat peta konsep akutansi untuk tujuan pengajaran dengan model yang lebih bebas. Dalam proses pengajaran Mass dan Bruce justru meminta mahasiswa untuk membuat sendiri peta konsep dari materi yang diajarkan, misalnya untuk topik Ruang Vektor Umum mahasiswa dapat mengilustrasikannya dalam bentuk gambar/diagram dengan simbol-simbol matematika seperti gambar di bawah ini.
Aksioma-aksioma :
Untuk operasi + (penambahan)
1) u,v V , (u+v) V (tertutup) V
2) u,v V , u + v = v + u V (komutatif) 3) u, v V , u + (v+w) = (u+v) +w (assosiatif) 4) O V dan u V u + O = O + u = u (identitas)
V
5) u V, (-u) V u + (-u) = (-u) + u = O
V
u v u+v
O
O u,-u v,-v
u + (-u) = O v + (-v) = O w + (-w) = O
I. V II. Real III. Operasi
Terpenuhinya aksioma 1 s/d 10 maka V adalah Ruang Vektor (rV)
u v w
k l
136 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung Gambar 3. Contoh Peta Konsep Ruang Vektor Umum tanpa hirarki dan kata penghubung
5. Penutup
Berdasarkan uraian yang telah dikemukakan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : a) Melalui peta konsep dosen dapat mengetahui apa yang telah diketahui oleh mahasiswanya
dan dapat membantu mahasiswa dalam mengembangkan kemampuan berpikirnya.
b) Dosen dapat memberikan kebebasan kepada mahasiswa untuk mengembangkan pikirannya yang selanjutnya dituangkan ke dalam peta konsep
c) Pemetaan konsep merupakan cara belajar yang mengembangkan proses belajar yang bermakna, yang akan meningkatkan pemahaman siswa dan daya ingat belajarnya, d) Dalam pengembangannya peta konsep dapat dimodifikasi tanpa harus mengikuti hirarki, e) Peta konsep dapat dibuat dalam bentuk gambar atau kumpulan konsep tanpa penghubung.
DAFTAR PUSTAKA
Buzan, Tony (2009). Buku Pintar Mind Map. Jakarta : Gramedia Dahar, R. W. (1988). Teori-Teori Belajar. Jakarta: Erlangga
Suparno, A. Suhaenah (2000) Membangun Kompetensi Belajar. Jakarta : Ditjen Dikti
Dwi Martani Indarto (2006) . Rancangan Peta Konsep Akuntansi. Jakarta: Pusat. Perbukuan, Sekjen Depdiknas RI.
Setiadji. (2007). Aljabar Linier. Yogyakarta : Graha Ilmu Untuk operasi x (perkalian) :
6) u V , k R k u V (tertutup)
V R
7) u, v V , k R k ( u + v ) = k u + k v (Distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor) 8) u V, k dan l R (k + l ) u = ku + l u (Distributif perkalian vektor terhadap penjumlahan skalar) 9) u V, k dan l R k (l u) = (k l ) u
(Assosiatif perkalian skalar terhadap vektor) 10) u V, 1 u = u (Perkalian dengan bilangan 1)
u k u
k
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 137