QR
Yuslenita Muda1, Syafrina2
1,2) Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Suska Riau
1) [email protected]; 2) [email protected]
ABSTRAK
Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX =Y. Telah diketahui bahwa koefisien sistem persamaan linear ada yang berupa bilangan real, bilangan kompleks dan ada yang berupa bilangan fuzzy . Pada makalah ini, sistem persamaan linear yang digunakan adalah sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks dan konstanta bilangan fuzzy kompleks serta menggunakan nilai keanggotaan fuzzy segitiga, sehingga disebut sistem persamaan linear fuzzy kompleks. Sistem persamaan linear fuzzy kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi QR. Metode dekomposisi QR merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks A menjadi matriks Q dan R, dengan Q adalah matriks yang vektor kolomnya merupakan basis ortonormal dan R adalah matriks segitiga atas. Berdasarkan pembahasan solusi dari sistem persamaan disebut solusi fuzzy kuat karena , dan jika terdapat salah satu yang tidak sama maka adalah solusi fuzzy lemah untuk sistem persamaan linear fuzzy kompleks tersebut.
Kata kunci: basis ortonormal, dekomposisi QR, SPL fuzzy kompleks, solusi fuzzy kuat, solusi fuzzy lemah.
1. PENDAHULUAN
Salah satu permasalahan pada bidang aljabar linear adalah menyelesaikan suatu sistem persamaan , untuk suatu matriks serta vektor dan (Lipschutz, S, 2006). Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari koefisien dan variabel. Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berupa bilangan real, bilangan kompleks dan ada pula dalam bentuk bilangan fuzzy.
Secara bahasa, fuzzy diartikan “kabur”. Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy adalah . Sistem persamaan linear fuzzy ini unsur masih dalam bentuk parameter yang berada pada interval tertentu. Untuk menyatakan hal tersebut maka digunakan teori himpunan fuzzy.
Dekomposisi QR merupakan cara memfaktorkan matriks menjadi untuk suatu matriks Q dan matriks R. Dengan demikian sistem persamaan akan berubah menjadi , dengan Q adalah matriks yang vektor kolomnya merupakan basis ortonormal dan R adalah matriks segitiga atas.
Metode dekomposisi QR tidak hanya digunakan untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, tetapi juga dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linear kompleks, dan solusi sistem persamaan linear fuzzy.
Dalam penulisan ini, akan digunakan metode dekomposisi QR untuk menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks. Sedangkan metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 57 2. LANDASAN TEORI
2.1. Bilangan Kompleks
Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan . Dalam bilangan kompleks, notasi biasa digunakan sebagai lambang dari sehingga . Bilangan kompleks pada awalnya didefinisikan sebagai pasangan bilangan real , namun secara umum notasi bilangan kompleks adalah yang dilambangkan dengan titik yang merupakan kombinasi antara bilangan real dan imajiner. Bilangan merupakan bagian real dari , dinotasikan dengan
dan nilai merupakan bagian imajiner dari , dinotasikan dengan . 2.2. Sistem Persamaan Linear Kompleks
Sistem persamaan linear kompleks (SPLK) merupakan SPL dengan koefisien atau konstantanya adalah bilangan kompleks. Berikut akan diberikan contoh untuk penyelesaian SPLK [3].
Contoh 1:
Selesaikan SPLK berikut:
Penyelesaian:
Berdasarkan sistem persamaan linear kompleks yang diberikan, akan ditentukan solusi dengan cara operasi baris elementer (OBE). Melalui proses OBE diperoleh matriks yang merupakan hasil dari SPLK, yaitu:
Misalkan , maka diperoleh solusi dari sistem persamaan linear di atas dengan
, dan .
2.4 Himpunan Fuzzy
Secara bahasa fuzzy dapat diartikan kabur atau semu. Himpunan fuzzy merupakan kumpulan dari entri-entri dengan suatu rangkaian tingkat keanggotaan. Untuk mengatasi permasalahan himpunan fuzzy, dikaitkan himpunan fuzzy dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan himpunan fuzzy.
Fungsi tersebut disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan fuzzy. Himpunan ini dicirikan dengan fungsi keanggotaan yang menegaskan suatu tingkatan (grade) keanggotaan yang bernilai 0 dan 1, dari penjelasan tersebut dapat dikatakan bahwa nilai keanggotaan pada fuzzy terletak pada interval
Himpunan fuzzy dalam semesta , dapat dinotasikan dalam bentuk
dengan adalah fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy , pada penulisan ini menggunakan fungsi keanggotaan segitiga. Fungsi keanggotaan segitiga ditandai dengan tiga parameter yang akan menentukan koordinat dari tiga sudut. Persamaan untuk fungsi keanggotaan segitiga ini adalah sebagai berikut:
(1)
Kurva yang dibentuk oleh fungsi keanggotaan segitiga pada persamaan (1) merupakan gabungan antara dua garis linear, untuk lebih jelas berikut adalah grafik fungsi keanggotaan segitiga:
58 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung
a b c
Gambar 1. Grafik fungsi keanggotaan segitiga
Bilangan fuzzy di dalam didefinisikan sebagai pasangan fungsi yang memenuhi sifat sebagai berikut [1]:
1) fungsi
u
monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0, 1],2) fungsi
u
monoton turun, terbatas, dan kontinu kanan pada [0, 1], dan 3) u(r) u(r) untuk setiap r dalam [0, 1].Himpunan bilangan-bilangan fuzzy dinyatakan dengan F, untuk setiap bilangan fuzzy ditulis dalam bentuk parameter Operasi aljabar bilangan fuzzy untuk setiap
dan bilangan real didefinisikan sebagai berikut [1]:
1)
2) jika dan hanya jika dan
3) untuk dan untuk
2.5 Sistem Persamaan Linear Fuzzy
Sistem persamaan linear fuzzy merupakan suatu sistem persamaan linear yang berparameter fuzzy atau semu yang berada pada interval tertentu. Bentuk umum dari sistem persamaan linear fuzzy adalah:
(2) Model sistem persamaan linear fuzzy dapat dijelaskan sebagai berikut :
(3)
dengan dan untuk . Sistem persamaan (3) dapat
ditulis dalam bentuk matriks , dengan:
(4)
Suatu vektor bilangan fuzzy dengan diberikan untuk dan disebut penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy jika memenuhi :
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 59 untuk sebarang persamaan dan merupakan kombinasi linear dari dan Akibatnya, untuk mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear , maka langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah koefisien matriks yang berukuran menjadi koefisien matriks yang berukuran dengan kolom sebelah kanan merupakan vektor
[2].
Persamaan dengan untuk adalah variabel yang tidak diketahui dan adalah ruas sebelah kanan, sehingga diperoleh persamaan linear fuzzy yang baru. Sistem persamaan linear fuzzy baru dapat dijelaskan sebagai berikut yaitu [4]:
(6)
Jika pada persamaan matriks koefisien berbentuk untuk , maka untuk menentukan entri ditentukan dengan ketentuan sebagai berikut:
Selanjutnya persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut : dengan,
dan,
sehingga
Diketahui untuk adalah penyelesaian tunggal dari . Jika
merupakan fungsi linear pada , maka ruang vektor bilangan fuzzy adalah didefinisikan oleh :
min
maks
disebut solusi fuzzy dari jika adalah semua bilangan fuzzy untuk setiap . Pada solusi fuzzy, disebut solusi fuzzy kuat (strong fuzzy solution) jika dan
60 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung , akan tetapi jika terdapat salah satu yang tidak sama maka adalah solusi fuzzy lemah (weak fuzzy solution).
3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Bilangan fuzzy kompleks pada penulisan ini menggunakan dua bilangan fuzzy yang mewakili nyata dan imajiner, bentuk dari bilangan fuzzy kompleks sebagai berikut:
, dengan
dan
dengan,
Model permasalahan sistem persamaan linear fuzzy kompleks dijelaskan sebagai berikut :
(9)
dengan koefisian matriks adalah matriks kompleks dan
adalah bilangan fuzzy kompleks [5]. Sistem ini disebut penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy jika memenuhi :
untuk,
Dalam penyelesaian sistem ini menggunakan bilangan-bilangan kompleks sebagai berikut:
Sehingga penjabarannya dibentuk seperti:
Untuk penyelesaian sistem ini, dapat ditulis sebagai berikut:
(10)
untuk
Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk matiks seperti berikut:
(11) 3.1 Metode Dekomposisi QR
Metode QR dapat diaplikasikan dalam menentukan solusi dari nilai pada sistem persamaan linear fuzzy. Dekomposisi QR adalah proses pemfaktoran matriks menjadi untuk suatu matriks dan matriks . Dengan demikian sistem persamaan akan berubah menjadi ,
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 61 dengan adalah matriks vektor kolomnya basis ortonormal dan adalah matriks segitiga atas [7].
Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear menggunakan dekomposisi QR, hal-hal yang harus diperhatikan adalah sebagai berikut:
1) Input: Matriks atas
Matriks dimisalkan sebagai matriks yang dibentuk dari vektor-vektor kolom, yaitu , dengan .
2) Dibentuk basis ortonormal dari himpunan dengan
menggunakan algoritma Gram-Schmit sebagai berikut:
a) Dibentuk
b) Untuk dibentuk:
c) Jika , maka pilih sebarang vektor yang bukan merupakan kombinasi linier dari vektor dan dibentuk:
d) Dibentuk matriks uniter
e) Dibentuk matriks segitiga atas
(15)
3) Output: Matriks uniter Q dan matriks segitiga atas R sehingga dalam notasi matriks adalah sebagai berikut:
Definisi 1: Jika adalah dekomposisi QR dari , maka cara penyelesaian sistemnya dari dapat dijelaskan sebagai [2]:
. (16)
Selanjutnya akan diberikan contoh penyelesaian suatu sistem persamaan linear fuzzy kompleks menggunakan metode dekomposisi QR.
Contoh 2:
Diberikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks berikut:
Selesaikan SPLFK di atas dengan menggunakan metode dekomposisi QR.
Penyelesaian:
Berdasarkan contoh di atas maka SPLFK tersebut dibentuk ke dalam matriks menjadi:
Selanjutnya ditulis dalam bentuk matriks (10), sehingga diperoleh:
62 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung Selanjutnya mengubah matriks dan ke dalam bentuk matriks pada persamaan (11):
Selanjutnya menentukan matriks dari matriks berdasarkan ketentuan (7). Sehingga diperoleh matriks S adalah:
Berdasarkan sistem persamaan linear fuzzy kompleks yang diberikan diperoleh:
Dengan menggunakan persamaan (16) diperoleh solusi nilai sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (1) solusi sistem persamaan linear fuzzy kompleks ini dapat dinyatakan dengan bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut:
Gambar 2. Solusi untuk sistem persamaan dari contoh 2
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung 63 4. KESIMPULAN
Berdasarkan contoh di atas diperoleh bahwa metode dekomposisi QR dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy kompleks dengan solusi yang diperoleh untuk contoh 2 adalah:
5. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Beta Norita, “Sistem Persamaan Linear Fuzzy”. Vol. 11, No.2, Program Studi Ilmu Komputer, 9499, ISSN: 1410-8518, Agustus 2008, Semarang.
[2]. M. Matinfar, S. H. Nasseri and M. Shrabi, “Solving Fuzzy Linear System of Equations by Using Householder Decomposition Method‖. Applied Mathematical Sciences, Vol.2, No. 52, 2569-2575, 2008.
[3]. Nicholson, W. Keith. ―Elementary Linear Algebra‖. First Edition. McGraw-Hill, Singapore.
2001.
[4]. Seyed Hadi Nasseri, “Fuzzy Linear Systems: A Decomposition Method and Some New Results”. Vol.5, No.17, Summer, 2008.
[5]. Taher Rahgooy, dkk. ―Fuzzy Complex System of Linear Equations Applied to Circuit Analysis‖. Vol.1, No.5, December, 2009.
64 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika STKIP Siliwangi Bandung