BAB II : LANDASAN TEORI
C. Ruang Minkowski
Ruang Minkowski merupakan implikasi dari pandangan teori relativitas ruang dan waktu sehingga disebut juga ruang dimensi ruang – waktu. Teori ini digagaskan Hermann Minkowski. Pada dasarnya Ruang Minkowski ini hanyalah merupakan penerapan Teori Relativitas Einstein pada Geometri Euclides. Ruang dimensi empat ruang – waktu ini dijelaskan oleh Hermann Minkowski sebagai “dunia”.
Melalui cara yang sama dengan ruang dimensi tiga yang dijelaskan melalui sumbu – sumbu ruang dimensi tiga, Ruang Minkowski dapat juga dipandang sebagai ruang dimensi empat. Perluasan ruang dimensi tiga menjadi ruang dimensi empat mengakibatkan perpanjangan vektor r dengan komponen – komponen vektornya , , dapat menjadi vektor dimensi
empat dengan komponen – komponen vektornya , , , , di mana t merupakan komponen waktu. Dalam hal untuk mendapati bentuk fisik dimensi yang sama untuk keseluruhan keempat sumbu dalam Ruang Minkowski diperkenalkan suatu koordinat waktu dengan panjang dimensi = , di mana c merupakan kecepatan cahaya. Koordinat ruang – waktu dapat dinyatakan dalam notasi sebagai berikut:
= = = =
Vektor posisi dari suatu titik ruang – waktu adalah, sebagai berikut: � = , , ,
Dan juga dapat dinyatakan dalam bentuk � = , � , di mana r merupakan komponen ruang vektor R.
Untuk mengetahui sifat matematis dari Ruang Minkowski, perlu diketahui elemen garisnya. Terdapat beberapa syarat untuk menentukan elemen garis pada Ruang Minkowski, yakni sebagai berikut:
1. Semua obyek dan peristiwa yang terjadi pada garis cahaya terjadi secara simultan. Karena matahari 8 menit yang lalu dan proxima centaury 4,2 tahun yang lalu terjadi secara bersamaan (isyaratnya sampai terjadi bersamaan), maka jaraknya adalah sama dengan nol. Dengan begitu “jarak” pada garis cahaya adalah sama dengan nol. 2. Jika jarak antara dua obyek yang selang komponen waktunya adalah
nol, maka elemen garisnya haruslah tereduksi menjadi elemen garis dalam Ruang Euclides yang bila dinyatakan dalam Koordinat Kartesius menjadi:
= + + … Berdasarkan kedua syarat di atas, dapat diperoleh dua kemungkinan elemen garis dari Ruang Minkowski yaitu:
= − = − + …
Di mana ialah elemen garis dalam Ruang Euclides, = + + dan kecepatan cahaya ditambahkan untuk kesetaraan dimensi dari Sistem Internasional. Meskipun demikian sering dinyatakan = , sehingga = dan nampak tidak ada perbedaan. Jika digunakan ketentuan pertama, elemen garis dalam Ruang Minkowski dapat ditulis lengkap menjadi:
= − + + … Sebagai catatan, dalam menyatakan keempat vektor R dalam hubungan antara ruang dan waktu yang dinyatakan dalam persamaan (2) dan persamaan (3), digunakan bentuk spesifik inersia sebagai bahan acuan. Meskipun representasi dari hubungan komponen – komponen tersebut sesuai, akan tetapi belum tertata dengan baik saat menganggap bahwa vektor R adalah pilihan independent dari bentuk koordinat. Hal ini akan berlaku sama pada vektor r yang dianggap sebagai pilihan independent dari sumbu koordinat. Hubungan dari suatu himpunan vektor basis dapat dinyatakan melalui persamaan berikut: � = ∑�= �, di mana merupakan suatu vektor bagian dari sumbu waktu dan �, � = , , merupakan suatu himpunan dari vektor bagian vektor orthogonal dalam ruang tiga dimensi. Hal ini dapat diidentifikasi melalui bentuk sederhana
vektor bagian, yaitu i, j dan k dari bentuk suatu Koordinat Kartesius dimensi tiga. Perubahan bentuk akan berkorespondensi pada perubahan vektor basis { �} dan hal ini dapat tergantikan dengan transformasi koordinat � sehingga vektor R dibiarkan tanpa perubahan. Vektor R dapat dinyatakan dalam bentuk matriks kolom:
� = ) .
Vektor posisi R pada ruang – waktu membentuk suatu sistem dimensi empat ruang vektor. Hal ini berguna untuk menggambarkan representasi dari ruang, akan tetapi karena tidak dapat dibuatnya suatu representasi yang baik dari keseluruhan dimensi empat maka dibuatlah suatu batasan pada ruang dua dimensi yang meliputi koordinat , atau ruang tiga dimensi yang meliputi , , . Pembatasan representasi ini mungkin cukup mengingat pergerakan dalam satu atau dua dimensi. Representasi secara grafik dari ruang bagian digunakan sebagai acuan yang disebut sebagai Diagram Minkowski dan geometri dimensi empat ruang – waktu dari teori relativitas khusus disebut sebagai Ruang Minkowski.
Gambar 2.1: Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga.
Gambar 2.2: Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Dua.
Pada diagram pertama, Gambar 2.1 sumbu dan sumbu yang ditonjolkan, sedangkan pada diagram kedua, Gambar 2.2 hanyalah sumbu yang ditonjolkan. Garis berarah dan sumbu koordinat menegaskan kerelatifan bentuk inersia yang diberikan. Pada kedua diagram, ditunjukkan kerucut cahaya depan dan kerucut cahaya belakang. Kerucut ini menegaskan kerelatifan pada titik ruang – waktu, akan tetapi hal ini sesuai dengan pilihan independen bentuk inersia. Kerucut cahaya depan menunjukan kepastian masa depan seperti yang ditunjukan oleh vektor � . Kerucut cahaya belakang menegaskan kepastian masa lalu. Di samping itu, kerucut cahaya juga menegaskan mengenai titik yang relatif simultan. Vektor � dipresentasikan dengan sebuah titik di mana titik tersebut berasal dari titik asal dan menunjukan bahwa ruang – waktu merupakan bagian dari masa depan dan masa lalu.
Secara sederhana, dimensi empat Ruang Minkowski menggunakan Geometri Euclides dan sisipan pemahaman baru mengenai relativitas dari Teori Relativitas Einstein. Dengan gabungan ini, Ruang Minkowski menunjukan dengan jelas ranah kajian Geometri Euclides ∆ = dan ranah tambahannya ∆ ≠ pada Ruang Minkowski ini, terlihat hubungan antara geometri dimensi tiga Ruang Euclides dan Relativitas Einstein, yaitu sebagai: � = � + .
Geometri dimensi empat yang dimaksud di atas adalah Ruang Minkowski yang terdiri dari dimensi tiga Ruang Euclides dan t waktu, vektor tambahan keempat dari Minkowski yang mengacu pada kecepatan
cahaya c di mana ≤ , dan ≪ sehingga ketika vektor t dimanipulasi dengan c maka akan mengakibatkan kajian sistem yang sama dalam Sistem Internasional dengan ketiga vektor lainnya.
Pada Ruang Minkowski telah dikenal suatu bangun yang merupakan bangun khas Ruang Minkowski itu sendiri yaitu Tesseract. Tesseract menurut Ruang Minkowski ini sendiri merupakan pergerakan sebuah bangun kubus pada selang waktu tertentu yang dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 2.3: Tesseract
Pada Gambar 2.3, jika garis putus – putus berarah menunjukan perubahan acuan kubus dari kubus bawah menuju kubus atas, maka dapat dikatakan bahwa Tesseract merupakan gambaran secara utuh dari perubahan tersebut.
