viii ABSTRAK
Raimundus Ciku Koten, 2015. Sistem Koordinat Kartesius Dalam Geometri
Dimensi Empat. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini bertujuan untuk menemukan dan memahami serta menjelaskan keadaan dan gambaran dari Geometri Euclides geometri dimensi empat baik secara umum maupun khusus. Penelitian ini dilakukan dengan metode studi pustaka dari beberapa teori seperti Geometri Euclides, Relativitas Einstein dan Ruang Minkowski. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori guna mencapai tujuan penelitian yang diinginkan.
Pada dasarnya Ruang Minkowski telah dikenal bukan sebagai suatu bentuk geometri dimensi empat. Akan tetapi, menanggapi pandangan Einstein bahwa Ruang Minkowski dapat dipandang sebagai suatu bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides peneliti berusaha untuk memahami, memperdalam serta mengkaji kembali pandangan tersebut berdasarkan data-data referensi yang ada. Peneliti menyadari adanya kejanggalan dalam pandangan tersebut. Berdasarkan pemahaman peneliti ini, peneliti berusaha untuk mempertegas pendapat peneliti untuk menunjukkan kejanggalan yang ada secara ilmiah yang dapat dipertanggungjawabkan nilai kebenarannya. Kejanggalan tersebut kemudian diperbaiki dengan cara penataan ulang kajian dimensi empat tersebut berdasarkan proses studi pustaka yang telah dilakukan, yaitu memposisikan Ruang Minkowski sebagai suatu bentuk kejadian khusus dari Geometri Euclides mengenai kerangka acuan inersia. Dalam upaya penataan ulang teori dan anggapan tersebut, peneliti juga menjelaskan gambaran umum keadaan Geometri Euclides dimensi empat sebagai hasil dari uji coba akulturasi teori. Gambaran umum tersebut meliputi elemen khusus geometri dimensi empat: “semesta“, sistem koordinat geometri dimensi empat dan bangun khusus geometri dimensi empat: “semesta tesseract“. Implikasi dari gambaran umum Geometri Euclides dimensi empat ini adalah terjelaskannya keberadaan vektor – vektor orthogonal pada Ruang Euclides yang merupakan hasil atau bentukkan dari vektor – vektor semu sebagai akibat ketidakmampuan dan tidak akuratnya pandangan mata manusia. Dengan kata lain, keorthogonalan vektor – vektor dalam Ruang Euclides merupakan sketsa sederhana yang dapat membantu manusia agar lebih memahami ruang dan elemen – elemennya.
ix ABSTRACT
Raimundus Ciku Koten. 2015. Four Dimensional Geometry in A Cartesian
Coordinate System. Thesis. Mathematic Education Study Program,
Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This study aims to find, understand and explain the situation and the picture of four-dimensional Euclidean Geometry either general or specific. This research was conducted by literature study of several theories such as Euclidean Geometry, Relativity Einstein and Minkowski Space. In addition, this study also uses an acculturation theory test method to achieve the desired objectives.
Basically the Minkowski Space when it is known today was not the four-dimension geometry. However, respond to Einstein’s idea that the Minkowski Space can be viewed as a form of a four-dimensional Euclidean Geometry researchers seek to understand, deepen and examine the claims based on available references data. Researches realized in view of the irregularities. Based on this view, researches are trying to reinforce the opinion of researches to demonstrate that there are irregularities scientifically with truth value justifiable. The irregularities can be fixed by means of a four-dimensional rearrangement of the literature study that has been done, with the rearrangement of the study to position Minkowski Space as a form of specific incidents of Euclidean Geometry in the inertial reference frames. In an effort rearrangement theory and assumptions, the researcher also explains the general picture of four-dimensional Euclidean Geometry state as a result of acculturation theory test. The general description includes specific elements of dimensional geometry: "universe", a four-dimensional geometries coordinate system and special element form of four-dimensional geometry: "tesseract universe ". The implications of the general description of the four-dimensional Euclidean Geometry is inexplicable presence of orthogonal vector to the Euclidean Space which the result or form of the vectors apparent as a result of incompetence and inaccurate view of the human eye. In other words, orthogonal vectors in Euclidean Space is a simple sketch that can help people to understand the space and its elements better.
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
RAIMUNDUS CIKU KOTEN 111414109
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
RAIMUNDUS CIKU KOTEN 111414109
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
iv
HALAMAN MOTTO
Orang hebat adalah dia yang mampu dan berani berimajinasi serta menerapkan imajinasinya dalam kehidupan sehari – hari.
Hanya ada satu kebenaran diantara banyak kebenaran di dunia ini. Hanya ada satu kebenaran nyata dimana kebenaran lain
hanyalah dibenar – benarkan alasannya.
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya tulis ini saya persembahkan secara khusus buat Kakek dan
Nenek terkasih yang sudah menjaga dan membimbing saya sejak kecil serta
memotivasi dan memantapkan hobi dan antusiasme yang luar biasa dalam
diri saya pada pelajaran matematika. Terkhusus buat Kakek Yohanes
Hale Mukin dan Nenek Margaretha Tukan.
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya, Raimundus Ciku Koten dengan ini menyatakan dengan sebenar – benarnya bahwa skripsi yang ditulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya suatu karya ilmiah.
Yogyakarta, 7 November 2015
vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Raimundus Ciku Koten
Nomor Induk Mahasiswa : 111414109
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM GEOMETRI DIMENSI EMPAT
Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Yogyakarta, 7 November 2015
viii ABSTRAK
Raimundus Ciku Koten, 2015. Sistem Koordinat Kartesius Dalam Geometri
Dimensi Empat. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini bertujuan untuk menemukan dan memahami serta menjelaskan keadaan dan gambaran dari Geometri Euclides geometri dimensi empat baik secara umum maupun khusus. Penelitian ini dilakukan dengan metode studi pustaka dari beberapa teori seperti Geometri Euclides, Relativitas Einstein dan Ruang Minkowski. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori guna mencapai tujuan penelitian yang diinginkan.
Pada dasarnya Ruang Minkowski telah dikenal bukan sebagai suatu bentuk geometri dimensi empat. Akan tetapi, menanggapi pandangan Einstein bahwa Ruang Minkowski dapat dipandang sebagai suatu bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides peneliti berusaha untuk memahami, memperdalam serta mengkaji kembali pandangan tersebut berdasarkan data-data referensi yang ada. Peneliti menyadari adanya kejanggalan dalam pandangan tersebut. Berdasarkan pemahaman peneliti ini, peneliti berusaha untuk mempertegas pendapat peneliti untuk menunjukkan kejanggalan yang ada secara ilmiah yang dapat dipertanggungjawabkan nilai kebenarannya. Kejanggalan tersebut kemudian diperbaiki dengan cara penataan ulang kajian dimensi empat tersebut berdasarkan proses studi pustaka yang telah dilakukan, yaitu memposisikan Ruang Minkowski sebagai suatu bentuk kejadian khusus dari Geometri Euclides mengenai kerangka acuan inersia. Dalam upaya penataan ulang teori dan anggapan tersebut, peneliti juga menjelaskan gambaran umum keadaan Geometri Euclides dimensi empat sebagai hasil dari uji coba akulturasi teori. Gambaran umum tersebut meliputi elemen khusus geometri dimensi empat: “semesta“, sistem koordinat geometri dimensi empat dan bangun khusus geometri dimensi empat: “semesta tesseract“. Implikasi dari gambaran umum Geometri Euclides dimensi empat ini adalah terjelaskannya keberadaan vektor – vektor orthogonal pada Ruang Euclides yang merupakan hasil atau bentukkan dari vektor – vektor semu sebagai akibat ketidakmampuan dan tidak akuratnya pandangan mata manusia. Dengan kata lain, keorthogonalan vektor – vektor dalam Ruang Euclides merupakan sketsa sederhana yang dapat membantu manusia agar lebih memahami ruang dan elemen – elemennya.
ix ABSTRACT
Raimundus Ciku Koten. 2015. Four Dimensional Geometry in A Cartesian
Coordinate System. Thesis. Mathematic Education Study Program,
Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This study aims to find, understand and explain the situation and the picture of four-dimensional Euclidean Geometry either general or specific. This research was conducted by literature study of several theories such as Euclidean Geometry, Relativity Einstein and Minkowski Space. In addition, this study also uses an acculturation theory test method to achieve the desired objectives.
Basically the Minkowski Space when it is known today was not the four-dimension geometry. However, respond to Einstein’s idea that the Minkowski Space can be viewed as a form of a four-dimensional Euclidean Geometry researchers seek to understand, deepen and examine the claims based on available references data. Researches realized in view of the irregularities. Based on this view, researches are trying to reinforce the opinion of researches to demonstrate that there are irregularities scientifically with truth value justifiable. The irregularities can be fixed by means of a four-dimensional rearrangement of the literature study that has been done, with the rearrangement of the study to position Minkowski Space as a form of specific incidents of Euclidean Geometry in the inertial reference frames. In an effort rearrangement theory and assumptions, the researcher also explains the general picture of four-dimensional Euclidean Geometry state as a result of acculturation theory test. The general description includes specific elements of dimensional geometry: "universe", a four-dimensional geometries coordinate system and special element form of four-dimensional geometry: "tesseract universe ". The implications of the general description of the four-dimensional Euclidean Geometry is inexplicable presence of orthogonal vector to the Euclidean Space which the result or form of the vectors apparent as a result of incompetence and inaccurate view of the human eye. In other words, orthogonal vectors in Euclidean Space is a simple sketch that can help people to understand the space and its elements better.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis haturkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat dan tuntunan-Nya penulis dapat menyelesaikan penelitian dan penulisan karya ilmiah ini.
Karya tulis ini merupakan uraian gagasan yang memberikan penjelasan dan pemahaman mengenai geometri dimensi empat. Ketika matematika sebagai ilmu dasar, akar dari setiap ilmu tidak berkembang, bagaimana ilmu kajiannya yang lain seperti fisika dan astronomi dapat berkembang dengan baik dan pesat jika tidak ada dasar kuat yang mewadahinya. Penulis mencoba mengumpulkan dan menganalisah data-data yang ada mengenai geometri dimensi empat, menjelaskan kembali space-time secara terperinci dan memberikan gambaran mengenai Geometri Euclides dimensi empat.
Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini dapat terselesaikan dengan baik karena bantuan, bimbingan dan dorongan dari teman – teman dan bapak ibu dosen sekalian. Penulis menghaturkan limpah terimakasih kepada:
1. Dr. Yansen Marpaung yang telah menyetujui rancangan penulisan karya ilmiah ini dan membimbing penulis untuk pembahasaan dan representasi gagasan.
3. Antonius Yudhi Anggoro, M.Si, yang telah memberikan pengarahan dan pertanyaan-pertanyaan logika kritis yang dapat membantu mempertajam analisis penulisan karya ilmiah ini.
4. Beni Utomo, M.Sc, yang telah memberikan masukan-masukan baru dan beberapa pertimbangan nyata guna mempertajam pemahaman pendukung dalam bahasan karya ilmiah ini.
5. Aprianus Paskalis Priska, sahabat dan saudara terbaik yang tak pernah lupa memberikan dorongan semangat dan mendengarkan keluh kesah penulis. 6. Teman – teman Himpunan Keluarga Besar Flobamorata Kampus III
Paingan yang bersedia mendukung penulis dalam berbagai hal baik secara langsung maupun tidak langsung.
Singkat kata, matematika adalah ilmu dasar dalam kehidupan ini. Pengembangan ilmu matematika adalah sama dengan pengembangan kualitas dan kemajuan peradaban umat manusia. Menyadari segala kekurangan yang dimiliki, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca sekalian demi pengembangan lebih lanjut.
xi DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ……… i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………. ii
HALAMAN PENGESAHAN ………. iii
HALAMAN MOTTO ……….. Iv HALAMAN PERSEMBAHAN ………. v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………. vi
PERSETUJUAN PUBLIKASI ……… vii
ABSTRAK ……….…………. viii
B. Teori Relativitas Einstein ……… 11
C. Ruang Minkowski ………... 12
BAB III : RUANG MINKOWSKI BUKAN SEBAGAI GEOMETRI
EUCLIDES DIMENSI EMPAT ...
21
A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi ... 21
B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat ... 27
C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides ... 30
D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein ... 34
BAB IV : SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA DIMENSI EMPAT ... 38 A. Sistem Koordinat Kartesius ... 41
B. Koordinat Bidang ... 47
C. Posisi Titik Semesta ... 54
D. Bangun Semesta Sederhana ... 65
E. Hubungan Antara Dimensi Empat dan Ruang Euclides ... 68
BAB V : PENUTUP ... 72
A. Kesimpulan ... 72
B. Saran ... 74
DAFTAR PUSTAKA ... 75
xiii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Dimensi Dua ... 1
Gambar 1.2 Koordinat Kartesius Dimensi Tiga ... 1
Gambar 2.1 Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga ... 16
Gambar 2.2 Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Dua ... 16
Gambar 2.3 Tesseract ... 17
Gambar 2.4 Garis pada Sumbu X Koordinat Kartesius ………. 18
Gambar 2.5 Tingkat Permukaan Nilai Konstan Y ………. 19
Gambar 3.1 Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi ... 31
Gambar 3.2 Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi ... 31
Gambar 3.3 Posisi Ruang Euclides dan Ruang Minkowski ... 37
Gambar 4.1 Meja Biasa ………. 43
Gambar 4.2 Meja Biasa dengan Keadaan Yang Diinginkan ……… 43
Gambar 4.3 Vektor Arah dalam Kubus ……… 43
Gambar 4.4 Sistem Koordinat Dimensi Empat ……… 43
Gambar 4.5 Sistem Koordinat Dimensi Empat ... 45
Gambar 4.6 Segitiga ... 45
Gambar 4.15 Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ... 48
Gambar 4.16 Sistem Koordinat dan Bidang Vektornya ... 48
Gambar 4.18 Sistem Koordinat dengan Bidang Vektor dan Vektor Semu ... 49
Gambar 4.19 Sistem Koordinat Kartesius dan Bidang Koordinatnya ... 50
Gambar 4.20 Heksan I ... 51
Gambar 4.26 Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat ... 53
Gambar 4.49 Perpotongan Bidang ��� ……….. 64
Gambar 4.50 Garis …..……… 64
Gambar 4.51 Perpotongan Bidang ��� ………. 64
Gambar 4.52 Garis ..………..………. 64
Gambar 4.53 Perpotongan Garis ��� ………. 64
Gambar 4.54 Titik (Titik Asal) ..………..……….. 64
Gambar 4.55 Semesta Paralletesse dari Berbagai Sudut Pandang ……… 67
Gambar 4.56 Semesta Rhotesse dari Berbagai Sudut Pandang ………. 67
Gambar 4.57 Vektor Nyata dan Semu Pada Sistem Dimensi Empat ... 68
xvi
DAFTAR ISTILAH
Aksioma : Suatu pernyataan yang nilai kebenarannya adalah mutlak sebagai suatu kejelasan ataupun asumsi.
Basis : Suatu himpunan � dari vektor-vektor yang mencakup himpunan dari beberapa vektor yang dapat ditulis sebagai suatu kombinasi linier dari himpunan tersebut dalam �.
Geometri Euclides : Ranah kajian matematika yang berkaitan dengan studi geometri berdasarkan defenisi dan aksioma yang ditetapkan dalam buku Euclides “The Element”.
Kerangka Acuan : Sarana yang digunakan pengamat untuk menentukan posisi dan menggambarkan gerak tubuh.
Rhotesse : Bangun semesta tesseract yang sisi – sisinya berbentuk belah ketupat.
Ruang-waktu : Suatu dimensi empat yang dibentuk dari gabungan waktu dan ruang tiga dimensi, menggantikan kerangka konseptual mekanika klasik di mana ruang dan waktu ada secara terpisah.
Sistem Koordinat : Sebuah sistem untuk mengidentifikasi titik-titik pada bidang atau ruang dengan menggunakan koordinatnya, misalnya koordinat kartesius atau koordinat kutub. Tesseract : Bangun semesta sederhana yang dibatasi oleh dua belas
sisi segi empat. Dalam dimensi ruang waktu, tesseract diartikan sebagai pergerakan balok pada selang waktu tertentu.
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri Euclides merupakan geometri yang diperkenalkan dan dikembangkan oleh matematikawan dari Alexandria, Euclides, sekitar tiga ratus tahun sebelum masehi. Menurut Coxeter (1969), Euclides menyusun secara rapi pemahaman mengenai geometri berdasarkan konsep, teorema dan pembuktiannya sebagai identitas asli dari geometri[ ]. Penyusunan pemahaman geometri yang tertata rapi tersebut diperkenalkan pada masyarakat luas dalam tiga belas buku yang dikenal sebagai Euclid’s Elements. Secara ringkas, pada penataan tersebut Euclides memperkenalkan 10 prinsip utama yang terdiri dari lima postulat dan lima pembuktian sebagai dasar dari The Elements, (Burton, David M. 2011)[�]. Berdasarkan prinsip utama itulah, dapat dilihat dan dipahami bahwa Euclides memfokuskan geometri pada kelima postulat tersebut kemudian dikembangkan menjadi beberapa bagian menurut hubungan sebab akibatnya.
Gambar 1.1 Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Dua
Secara matematis dimensi dapat diartikan sebagai jumlah arah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem. Mengacu pada Geometri Euclides, perubahan yang terjadi dalam suatu sistem tersebut digambarkan pada beberapa sumbu yang membagi sistem menjadi beberapa bagian yang sama. Sebagai contoh, pada geometri dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu dan yang membagi sistem dimensi dua menjadi 4 (empat) bagian yang sama, sistem kajian yang dibentuk dalam satu kesatuan koordinat yang diperkenalkan pertama kali oleh Rene Descartes dan dikenal umum sebagai Koordinat Kartesius.
Sejak awal mula munculnya era baru geometri yang ditandai dengan lahirnya Geometri Euclides, geometri mulai berkembang pesat seiring dengan perkembangan jaman. Dari perkembangan tersebut ide – ide dan teori – teori baru mulai bermunculan untuk membantu manusia dalam memaknai hidup dan mengukur segala sesuatu yang ada di bumi bahkan yang ada pada alam semesta. Salah satu ide atau teori tersebut adalah teori mengenai ruang – waktu atau
yang melanjutkan Teori Relativitas Einstein, yang secara singkat dimaknai sebagai geometri dimensi empat ruang – waktu. Teori ruang – waktu ini dipandang dan diyakini sebagai bentuk dari dimensi empat Geometri Euclides yang dapat dilihat dari dimensi tiga Geometri Euclides dan waktu yang dijalankan dalam suatu sistem, mengutip Einstein, Albert (1921) …, we can regard the space-time continuum as a “Euclidean” four-dimensional
continuum,… [ ]
Berdasarkan Einstein, dimensi ruang-waktu dapat dianggap sebagai dimensi empat Geometri Euclides jika diteliti lebih mendalam pada pencapaian persamaan jarak yang ada pada dimensi ruang-waktu. Adapun persamaan jarak
pada dimensi ruang-waktu adalah = + + − . Apabila
Menanggapi fakta yang ada, peneliti mencoba mengikuti alur pemikiran teori tersebut secara keseluruhan dan memahaminya. Dari proses pemahaman tersebut peneliti merasa bahwa terdapat kejanggalan ide atau teori tersebut. Secara hakiki, peneliti tidak menyalahkan teori tersebut tetapi yang menjadi inti dari permasalahannya adalah “Apakah dimensi ruang – waktu benar merupakan geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides? Apakah waktu memang tepat untuk dijadikan subjek pengamatan dalam suatu sistem berpadanan dengan koordinat pada sistem Koordinat Kartesius? Ataukah dimensi ruang – waktu hanyalah merupakan penerapan dari dimensi tiga?
pemahaman teori ruang – waktu? Dalam pengkajian yang lebih mendalam mengenai dimensi, dimensi adalah bagian utama dari geometri yang diteliti. Pengamatan geometri, khususnya dimensi selalu berada pada keadaan statis di mana pada keadaan dinamis yaitu bergerak pada selang waktu tertentu, dianggap dan diyakini sebagai suatu penerapan yang dipelajari pada cabang ilmu fisika.
Berdasarkan penalaran – penalaran di atas, peneliti meyakini bahwa waktu tidak dapat dijadikan sebagai bagian dari sistem koordinat untuk menunjukan adanya geometri dimensi baru. Dari keyakinan tersebut, yang menjadi pertanyaan baru adalah seperti apakah bentuk geometri dimensi empat yang dapat dianggap sebagai lanjutan dimensi tiga Geometri Euclides tersebut? Pertanyaan tersebut menjadikan peneliti terinspirasi untuk menemukan jawabannya.
B. Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi masalah dalam penelitian ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Apakah Ruang Minkowski adalah tepat jika dianggap sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan dimensi tiga Geometri Euclides?
C. Batasan Masalah
Adapun dalam penelitian ini, secara khusus akan dibahas mengenai:
1. Pandangan Ruang Minkowski secara geometris khususnya penggunaan sumbu waktu sebagai sumbu keempat sistem dimensi dalam kaitannya terhadap asumsi Ruang Minkowski sebagai geometri dimensi empat yang melanjutkan Geometri Euclides. 2. Geometri Euclides, khususnya representasi grafik dalam bentuk
sistem Koordinat Kartesius.
D. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam melakukan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menjelaskan secara matematis ketepatan ataupun ketidaktepatan asumsi mengenai Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides Dimensi Empat.
E. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat yang dapat diperoleh dalam melakukan penelitian ini adalah : 1. Dari segi teoritis
Penelitian ini diharapkan memberikan gambaran pemahan yang jelas mengenai geometri dimensi empat, baik space-time maupun Geometri Euclides dimensi empat..
2. Dari segi praktis
Penelitian ini diharapkan mampu memberikan jawaban dan penjelasan mengenai asumsi yang tepat akan pemahaman geometri dimensi empat dan dimensi ruang dan waktu.
3. Dari segi peneliti
Penelitian ini diharapkan mampu mengasah kemampuan peneliti untuk selalu berpikir kritis dan cepat tanggap terhadap permasalahan faktual yang tengah terjadi dewasa ini.
4. Dari segi pembaca
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca, mempelajari, mengkaji dan menganalisis materi dari buku – buku ataupun – jurnal yang berkaitan dengan topik skripsi. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan metode uji coba akulturasi teori , yaitu penggabungan ide dari teori – teori yang berkaitan dengan topik skripsi guna menghasilkan sesuatu yang baru dengan maksud pencapaian tujuan skripsi yang ada.
G. Sistematika Penulisan
Tulisan ini mengkaji tentang sistem geometri dimensi empat dalam representasi sistem Koordinat Kartesius dan sifat - sifatnya yang dapat dianggap sebagai lanjutan Geometri Euclides. Tulisan ini terbagi menjadi lima bab. Pada Bab I, akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan. Pada Bab II akan diingatkan dan dijelaskan mengenai konsep – konsep utama yang berkaitan erat dengan pembahasan dan analisis dalam tulisan ini, yaitu meliputi: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein dan Ruang Minkowski.
dijelaskan berdasarkan konsep – konsep ilmu lainnya untuk mengetahui tingkat kebenaran asumsinya sebagai geometri dimensi empat lanjutan Geometri Euclides. Pada Bab IV, akan ditampilkan gagasan baru mengenai geometri dimensi empat dalam bentuk representasi sistem koordinat dan sifat - sifatnya yang dapat dianggap sebagai lanjutan Geometri Euclides. Secara lebih lanjut, pada bab ini akan dibahas mengenai hubungan geometri dimensi empat dan Ruang Euclid.
10 BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa konsep yang sangat diperlukan sebagai landasan teori dalam pembahasan mengenai geometri dimensi empat sebagai lanjutan Geometri Euclides. Pembahasan pada bagian ini dibagi menjadi empat bagian utama, yaitu: Geometri Euclides, Teori Relativitas Einstein, Ruang Minkowski dan Sistem Koordinat Kartesius.
A. Geometri Euclides
Euclid dari Alexandria, Mesir adalah matematikawan kuno yang menghasilkan karya monumental dalam geometri, yaitu “The Elements”. Buku ini memuat geometri dan Teori Bilangan. Pada buku Euclid dibedakan antara aksioma dan postulat, postulat berlaku untuk sains tertentu sedangkan aksioma berlaku umum. Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat. Aksioma yang dikemukakan Euclid tersebut adalah:
1. Benda – benda yang sama dengan benda yang sama, satu dengan yang lain juga sama.
2. Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, jumlahnya sama.
3. Jika suatu yang sama dikurangi dengan suatu yang sama, sisanya sama.
5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.
Postulat – postulat yang dikemukakan Euclid adalah sebagai berikut: 1. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat tepat satu garis. 2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis. 3. Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis
lingkaran.
4. Semua sudut siku – siku sama.
5. Jika suatu garis memotong dua garis dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku – siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.
B. Teori Relativitas Einstein
Teori Relativitas Khusus Einstein membentuk landasan bagi konsep baru tentang ruang – waktu. Einstein menyatakan bahwa semua pengamat yang tidak mengalami percepatan seharusnya diperlakukan sama terhadap apapun, walaupun mereka bergerak (dalam kecepatan konstan) relatif satu terhadap lainnya. Teori ini didasarkan pada dua postulat berikut, yang diajukan Albert Einstein.
1. Postulat pertama (Asas Relativitas)
Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang
berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak
2. Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya)
Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua
pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.
Postulat pertama pada dasarnya menegaskan bahwa tidak ada satupun percobaan yang dapat kita gunakan untuk mengukur kecepatan terhadap ruang mutlak, yang dapat kita ukur hanyalah laju relatif. Postulat kedua, adalah sebuah konsekuensi dari foton yang tak bermassa bergerak dengan kecepatan cahaya pada ruang hampa. Postulat kedua menegaskan fakta bahwa laju cahaya adalah sama bagi semua pengamatan, sekalipun mereka dalam gerak relatif.
C. Ruang Minkowski
Ruang Minkowski merupakan implikasi dari pandangan teori relativitas ruang dan waktu sehingga disebut juga ruang dimensi ruang – waktu. Teori ini digagaskan Hermann Minkowski. Pada dasarnya Ruang Minkowski ini hanyalah merupakan penerapan Teori Relativitas Einstein pada Geometri Euclides. Ruang dimensi empat ruang – waktu ini dijelaskan oleh Hermann Minkowski sebagai “dunia”.
empat dengan komponen – komponen vektornya , , , , di mana t merupakan komponen waktu. Dalam hal untuk mendapati bentuk fisik dimensi yang sama untuk keseluruhan keempat sumbu dalam Ruang Minkowski diperkenalkan suatu koordinat waktu dengan panjang dimensi = , di mana c merupakan kecepatan cahaya. Koordinat ruang – waktu dapat dinyatakan dalam notasi sebagai berikut:
= = = =
Vektor posisi dari suatu titik ruang – waktu adalah, sebagai berikut: � = , , ,
Dan juga dapat dinyatakan dalam bentuk � = , � , di mana r merupakan komponen ruang vektor R.
Untuk mengetahui sifat matematis dari Ruang Minkowski, perlu diketahui elemen garisnya. Terdapat beberapa syarat untuk menentukan elemen garis pada Ruang Minkowski, yakni sebagai berikut:
1. Semua obyek dan peristiwa yang terjadi pada garis cahaya terjadi secara simultan. Karena matahari 8 menit yang lalu dan proxima centaury 4,2 tahun yang lalu terjadi secara bersamaan (isyaratnya sampai terjadi bersamaan), maka jaraknya adalah sama dengan nol. Dengan begitu “jarak” pada garis cahaya adalah sama dengan nol.
= + + … Berdasarkan kedua syarat di atas, dapat diperoleh dua kemungkinan elemen garis dari Ruang Minkowski yaitu:
= − = − + …
Di mana ialah elemen garis dalam Ruang Euclides, = + + dan kecepatan cahaya ditambahkan untuk kesetaraan dimensi dari Sistem Internasional. Meskipun demikian sering dinyatakan = , sehingga = dan nampak tidak ada perbedaan. Jika digunakan ketentuan pertama, elemen garis dalam Ruang Minkowski dapat ditulis lengkap menjadi:
vektor bagian, yaitu i, j dan k dari bentuk suatu Koordinat Kartesius dimensi tiga. Perubahan bentuk akan berkorespondensi pada perubahan vektor basis { �} dan hal ini dapat tergantikan dengan transformasi koordinat � sehingga vektor R dibiarkan tanpa perubahan. Vektor R dapat dinyatakan dalam bentuk matriks kolom:
� = ) .
Vektor posisi R pada ruang – waktu membentuk suatu sistem dimensi empat ruang vektor. Hal ini berguna untuk menggambarkan representasi dari ruang, akan tetapi karena tidak dapat dibuatnya suatu representasi yang baik dari keseluruhan dimensi empat maka dibuatlah suatu batasan pada ruang dua dimensi yang meliputi koordinat , atau ruang tiga dimensi yang meliputi , , . Pembatasan representasi ini mungkin cukup mengingat pergerakan dalam satu atau dua dimensi. Representasi secara grafik dari ruang bagian digunakan sebagai acuan yang disebut sebagai Diagram Minkowski dan geometri dimensi empat ruang – waktu dari teori relativitas khusus disebut sebagai Ruang Minkowski.
Gambar 2.1: Ruang Minkowski dengan Batasan Dimensi Tiga.
Pada diagram pertama, Gambar 2.1 sumbu dan sumbu yang ditonjolkan, sedangkan pada diagram kedua, Gambar 2.2 hanyalah sumbu yang ditonjolkan. Garis berarah dan sumbu koordinat menegaskan kerelatifan bentuk inersia yang diberikan. Pada kedua diagram, ditunjukkan kerucut cahaya depan dan kerucut cahaya belakang. Kerucut ini menegaskan kerelatifan pada titik ruang – waktu, akan tetapi hal ini sesuai dengan pilihan independen bentuk inersia. Kerucut cahaya depan menunjukan kepastian masa depan seperti yang ditunjukan oleh vektor � . Kerucut cahaya belakang menegaskan kepastian masa lalu. Di samping itu, kerucut cahaya juga menegaskan mengenai titik yang relatif simultan. Vektor � dipresentasikan dengan sebuah titik di mana titik tersebut berasal dari titik asal dan menunjukan bahwa ruang – waktu merupakan bagian dari masa depan dan masa lalu.
Secara sederhana, dimensi empat Ruang Minkowski menggunakan Geometri Euclides dan sisipan pemahaman baru mengenai relativitas dari Teori Relativitas Einstein. Dengan gabungan ini, Ruang Minkowski menunjukan dengan jelas ranah kajian Geometri Euclides ∆ = dan ranah tambahannya ∆ ≠ pada Ruang Minkowski ini, terlihat hubungan antara geometri dimensi tiga Ruang Euclides dan Relativitas Einstein, yaitu sebagai: � = � + .
cahaya c di mana ≤ , dan ≪ sehingga ketika vektor t dimanipulasi dengan c maka akan mengakibatkan kajian sistem yang sama dalam Sistem Internasional dengan ketiga vektor lainnya.
Pada Ruang Minkowski telah dikenal suatu bangun yang merupakan bangun khas Ruang Minkowski itu sendiri yaitu Tesseract. Tesseract menurut Ruang Minkowski ini sendiri merupakan pergerakan sebuah bangun kubus pada selang waktu tertentu yang dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 2.3: Tesseract
Pada Gambar 2.3, jika garis putus – putus berarah menunjukan perubahan acuan kubus dari kubus bawah menuju kubus atas, maka dapat dikatakan bahwa Tesseract merupakan gambaran secara utuh dari perubahan tersebut.
D. Sistem Koordinat Kartesius
Sebuah sistem koordinat terdiri dari empat elemen dasar, yaitu: titik asal, sumbu, arah positif sumbu dan vektor satuan sumbu.
Pada bagian ini, akan ditentukan sebuah titik asal O. Jika diberikan suatu obyek, maka pilihan titik asal biasanya adalah bertepatan dengan suatu titik khusus seperti titik tengah dari perpotongan garis – garis.
2. Sumbu
Pada bagian ini akan ditentukan suatu himpunan sumbu koordinat. Himpunan sumbu koordinat yang sederhana dikenal sebagai sumbu kartesius yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z. Pilihan himpunan sumbu ini dapat disesuaikan sesuai dengan obyek fisik yang hendak diamati. Sebagai contoh: ditentukan sumbu X sehingga garis terletak pada sumbu X seperti yang ditunjukkan pada gambar di samping.
Setelah itu, setiap titik P dalam ruang S dapat diberi nilai �, �, � yang merupakan Koordinat Kartesius dari titik P itu sendiri. Kumpulan titik – titik yang memiliki koordinat yang sama dengan � disebut permukaan. Himpunan titik – titik dalam ruang S yang memiliki nilai yang sama adalah = � sehingga himpunan titik – titik tersebut adalah:
Gambar 2.5: Tingkat Permukaan Ditetapkan Untuk Nilai Konstan �
Himpunan S merupakan suatu bidang, bidang XZ (Gambar 2.5) yang disebut tingkat konstan �. Dengan demikian, koordinat y untuk setiap titik sebenarnya memberikan gambaran sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Y.
3. Arah Positif Sumbu
Pilihan ketiga adalah menentukan arah yang positif untuk setiap sumbu koordinat. Akan ditunjukkan pilihan dengan simbol + sepanjang sumbu positif. Secara umum, Koordinat Kartesius yang dilukis dengan bidang XY sesuai dengan bidang kertas. Arah horizontal dari kiri ke kanan diberi nilai sumbu X positif dan vertikal dengan arah dari bawah ke atas diberi nilai sebagai sumbu Y positif.
4. Vektor Satuan Sumbu
Setiap titik P dalam ruang merupakan suatu himpunan yang terdiri dari tiga buah vektor satuan ( �, �, � . Besar suatu vektor satuan adalah satu, yaitu:
| �| = , | �| = , | �| =
21 BAB III
PENJELASAN MATEMATIS MENGENAI ANGGAPAN RUANG MINKOWSKI SEBAGAI GEOMETRI EUCLIDES DIMENSI EMPAT
Berdasarkan makna Ruang Minkowski dan kejanggalan seperti yang telah dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, berikut akan dibahas penjelasan beberapa sudut pandang lain terhadap Ruang Minkowski guna menunjukan dan memberikan penjelasan matematis terhadap kekeliruan anggapan Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides dimensi empat. .
A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi
Menurut artinya secara matematis, dimensi dapat didefinisikan sebagai jumlah arah perubahan yang dapat terjadi pada suatu sistem. Dengan kata lain, suatu dimensi n menggambarkan bahwa terdapat n arah dalam perubahannya yang terjadi bersamaan pada suatu sistem. Dalam hal ini banyaknya arah menekankan pada posisi mutlak perubahan itu terjadi pada suatu sistem yang digambarkan dengan pasti melalui vektor yang arahnya terdefinisi dengan jelas. Membahas mengenai sistem dimensi ini, kembali akan kita bahas mengenai Ruang Minkowski yang dipandang sebagai Geometri Euclides dimensi empat karena menggunakan sistem ruang tiga dimensi Geometri Euclides dan waktu t sebagai komponen – komponen vektornya.
SI yang sama, yaitu dengan menggunakan parameter kecepatan cahaya. Hal ini mengakibatkan besaran SI untuk vektor beralih dari [T] (Time) menjadi [L] (Long) sebagai akibat bentuk di mana = [�]
[�][�] = [�].
Komponen vektor keempat ini dapat berlangsung dalam suatu sistem yang sama dengan vektor – vektor lainnya , , akibat pengaruh parameter . Akan tetapi, mengenai permasalahan ini, parameter yang digunakan pada dasarnya merupakan kecepatan sehingga saat dihubungkan terhadap waktu yang pada dasarnya merupakan komponen vektor ke empat yang ditambahkan maka nilai esensial dari waktu tersebut akan berubah sebagai akibat pengaruh penggunaan parameter .
Tabel Makna Esensial Waktu t.
, , , : Komponen vektor dimensi empat
, , , : Komponen vektor dimensi empat
[�], [�], [�], [�] : Komponen vektor dalam SI
, , , : Komponen vektor dengan penggunaan
parameter pada t
[�], [�], [�], [�] : Komponen vektor dalam SI setelah
menggunakan parameter pada t merupakan bagian
dari dimensi [�]
: makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter
merupakan bagian
dari dimensi [�] : Makna esensial t
waktu sebagai vektor keempat, akan tetapi pada aplikasinya tidak ada penggunaan waktu yang sebenarnya sebagai akibat pengaruh parameter yang mengubah esensi vektor sebagai waktu menjadi panjang. Karena sangatlah jelas bahwa tidak ada waktu yang merupakan panjang ([�] ≠ [�] dan bukan merupakan bagian dari dimensi [�] .
Dalam hal ini, memang terasa benar bahwa kuantitas cara perubahan yang ditampilkan oleh Ruang Minkowski adalah empat yaitu ditunjukkan melalui vektor , , , dengan = , = , = , = . Akan tetapi, jika dilihat dari arah perubahan yang dapat terjadi pada sistem dimensi tersebut, komponen – komponen yang tersebutkan tidak terjelaskan secara rinci dan tepat mengenai arah pastinya seperti yang dapat dilihat dalam representasi grafik Ruang Minkowski (Lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2).
Selain itu, arah yang tidak pasti tersebut lebih digambarkan oleh = , seperti yang diungkapkan oleh Minkowski sendiri melalui materi presentasinya saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908 dengan nenyatakan bahwa:
“The time axis can hence be given a completely arbitrary direction towards
the upper half of world, > ”[ ]
mengenai geometri dengan anggapan Ruang Minkowski sebagai lanjutan Ruang Euclides, “Apakah terdapat arah sembarang tanpa memiliki spesifikasi yang jelas dari komponen – komponen vektor yang ditampilkan Euclides?” Tentu saja tidak, ketiga komponen vektor yang ditampilkan oleh Euclides tertata rapi dengan kejelasan arah dan spesifikasi rinci dari ketiga komponen vektor , , tersebut (lihat Gambar 1.2).
Apabila dipandang sebagai lanjutan Geometri Euclides maka Ruang Minkowski harus dapat terjelaskan menurut hukum dasar Geometri Euclides dan bahkan menambahkan ataupun memperbaikinya bukan menguranginya begitu saja.
Pada hakikatnya, mengikuti definisi ruang dan waktu, keduanya adalah independen untuk masing – masing dan hanya dapat berdampingan tetapi tidak dapat bersatu ataupun disatukan. Menyetujui pernyataan Minkowski juga dalam materi presentasinya (Cologne: 1908):
“Nobody has ever noticed a place except at a time, or a time except at a
place”.[ ]
Memang benar bahwa tak seorangpun pernah melihat tempat kecuali pada suatu waktu atau waktu pada suatu tempat. Akan tetapi hal tersebut tidaklah berarti bahwa waktu dan ruang dapat dijadikan satu dalam hal sistem tinjauan. Ruang dan waktu dapat berdampingan akan tetapi kedua hal tersebut tidak dapat disatukan atau dianggap sama.
tertentu, dengan kata lain saat tidak terdapat selang waktu maka tidak terdapat ruang). Disisi lain, ruang dapat ditinjau menurut waktu dan waktu dapat ditinjau menurut ruang. Pendapat tersebut di atas dapat dijadikan pernyataan tautologi sebagai berikut:
“Jika waktu terdapat pada suatu sistem maka ruang terdapat
pada sistem juga atau jika ruang terdapat pada suatu sistem maka
waktu terdapat pada sistem tersebut juga” � → � � → � . “Jika
Ruang terdapat dalam suatu sistem dan waktu terdapat dalam sistem
tersebut juga maka ruang terdapat dalam suatu sistem atau waktu
terdapat dalam suatu sistem” � � → � � .
Kedua pernyataan tersebut selalu bernilai benar, sehingga untuk pernyataan
“ruang dan waktu terjadi dalam suatu sistem (� � adalah selalu bernilai salah. Pernyataan tersebut akan dibuktikan melalui pembuktian berikut:
Pernyataan Pertama
1. � → � � → � Diketahui
2. �̅ � �̅ � 1, ekuivalen
3. �̅ � �̅ � 2, assosiatif
4.
5. 4, sifat disjungsi
Pernyataan Kedua
Jadi, terbukti bahwa pernyataan kedua adalah benar.
Pernyataan Simpulan meskipun bernilai benar, akan mengakibatkan pernyataan kedua yang telah terbukti tautologi bernilai salah. Maka dapat dikatakan bahwa � = � = � juga tidak memenuhi pernyataan yang diharuskan. Dengan kata lain, � � selalu bernilai salah.
Jadi, terbukti bahwa � � bernilai salah.
Pernyataan tersebut dapat dikatakan sebagai suatu bentuk pernyataan yang selaras dengan pernyataan Stephen Hawking dalam The Grand Design.[ ] Stephen Hawking menyatakan bahwa pada kondisi awal mula semesta sesaat sebelum terjadinya Big Bang, yang ada hanyalah ruang tanpa adanya waktu. Jika ada waktu pada kondisi awal mula semesta, pada keadaan sebelum Big Bang, maka apa yang dilakukan oleh waktu? Lebih lanjut dijelaskan bahwa dalam kondisi dimensi empat ruang dan waktu (Ruang Minkowski) dalam hal keadaan Big Bang tentu saja waktu akan memiliki arah kedepan dan kebelakang. Dengan keadaan ini, maka apa yang terjadi saat waktu yang ada sebelum terjadinya Big Bang? Sedangkan ruang maupun semesta belum terbentuk saat belum terjadi Big Bang. Mendalami keadaan tersebut, lebih jauh lagi kita akan mempertanyakan bahwa bagaimana waktu bisa ada jika belum ada pembentukan ruang dan pendukungnya seperti gravitasi dan ruang. Jadi, terbukti bahwa dalam suatu bentuk sistem dimensi waktu tidak dapat dianggap sama dengan vektor ruang lain.
B. Penjelasan Berdasarkan Sistem Koordinat
sebagai representasi grafik yang jelas dalam menggambarkan sistem geometri dimensi dua dan sistem geometri dimensi tiga yang ditampilkan oleh Geometri Euclides (lihat Gambar 1.1 dan gambar 1.2).
Berbicara mengenai sistem koordinat ini, kembali akan dibahas mengenai sistem dimensi empat Ruang Minkowski yang dianggap sebagai lanjutan dari Geometri Euclides. Berdasarkan penjelasan Minkowski yang luar biasa, jelas kita sadari bahwa Geometri Euclides berada dalam ranah kajian
∆ = .
Dengan tanpa mempermasalahkan kelayakan keberadaan dalam suatu sistem seperti ketiga komponen vektor Ruang Euclides, berikut akan dibahas mengenai representasi grafik Ruang Minkowski (lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2).
Melalui sketsa tersebut, terlihat jelas bahwa pada titik asal O atau saat
∆ = merupakan ranah kajian dari Geometri Euclides yang telah kia ketahui
bersama, sedangkan itu untuk bagian yang dinamakan “future” dan “past” masing – masing merupakan keadaan lainnya yang digambarkan Minkowski saat ∆ > dan ∆ < sebagai tambahannya dalam upaya melengkapkan penalaran pada Geometri Euclides.
benda diam ∆ = dan tentu saja dimensi empat itu bukanlah merupakan suatu bentuk Ruang Minkowski.
Seperti halnya dengan Diagram Minkowski di atas, melalui materi representasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan jerman, Cologne, 21 september 1908, Minkowski menyatakan bahwa:
“We now want to introduce this fundamental axiom:
“The substance existing at any world-point may always, with the
appropriate fixation of space and time, be looked upon as at rest.”
The axiom signifies that at every world-point the expression −
− − always has a positive value, or, what comes to the same,
that any velocity � always proves less than .[ ]
Dengan fokus utama pada ekspresi dunia yang dinyatakan sebagai − − − , dengan kata lain jika � merupakan titik dunia, maka akan diperoleh persamaan elemen titik dalam Ruang Minkowski yang bila dinyatakan dalam Koordinat Kartesius akan menjadi: � = − −
− . Berdasarkan persamaan elemen titik dunia tersebut, maka dalam Ruang Minkowski (dimensi empat) akan diperoleh persamaan:
� = − − − Untuk ∆ =
Dan juga persamaan:
� = − − − Untuk ∆ ≠
dan untuk ∆ ≠ tetaplah merupakan dimensi empat Ruang Minkowski. Dengan kata lain bahwa tidak ada dimensi empat dalam keadaan tetap atau diam ∆ = karena hal ini pada Ruang Minkowski merupakan dimensi tiga Ruang Euclides.
C. Penjelasan Berdasarkan Geometri Euclides
Geometri Euclides merupakan gambaran dan penjelasan bangun – bangun geometri dalam peranan ukuran yang didasari pada definisi – definisi, postulat, aksioma dan teorema – teorema. Membahas Geometri Euclides ini, jika dihubungkan dengan keadaan (time) yang diperkenalkan oleh Minkowski, maka akan terdapat beberapa kerancuan yang dapat dilihat.
Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa setiap sistem dimensi memiliki elemen khususnya masing – masing, yaitu dimensi satu adalah garis, dimensi dua adalah bidang dan dimensi tiga adalah ruang. Di mana elemen untuk dimensi nol adalah titik, untuk dimensi satu adalah garis, untuk dimensi dua adalah bidang dan untuk dimensi tiga adalah ruang. Disisi lain, Minkowski menyebutkan elemen khusus dimensi empat sebagai “dunia” seperti yang
dipaparkannya pada materi presentasi saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908:
“But I respect the dogma that space and time each have an independent
meaning. I will call a point of space at a certain point of time, i. e. a system
Berdasarkan pemahaman dan penerimaan Ruang Minkowski sebagai geometri dimensi empat maka hubungan yang terjelaskan sebelumnya dapat digambarkan sebagai berikut:
Dimensi 0 Dimensi 1 Dimensi 2 Dimensi 3 Dimensi 4
Gambar 3.1: Elemen – Elemen Khusus pada Dimensi
Perhatikan gambar tersebut di atas. Kerancuan yang disinggung sebelumnya dapat dijelaskan sebagai berikut. Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides dimensi empat didefinisikan sebagai pergerakan Ruang Euclides dalam waktu tertentu. Disamping itu, dalam Geometri Euclides tidak digunakan waktu sebagai elemen vektornya akan tetapi dalam sistem dimensinya dapat dilihat seolah – olah bahwa (dengan catatan kita hilangkan makna dari tiap elemen khusus dimensi):
Gambar 3.2: Gerak dan Perpindahan Elemen Khusus Dimensi
“titik (sebagai elemen khusus dimensi nol) apabila digerakkan pada
satu) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk bidang. Bidang (sebagai elemen khusus dimensi dua) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk ruang. Ruang (sebagai elemen khusus dimensi tiga) apabila digerakkan pada waktu tertentu akan membentuk dunia. Di mana dunia merupakan elemen khusus dari dimensi empat (perhatikan Gambar 3.2).
Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan dalam bentuk pernyataan lain yang rancu sebagai berikut: elemen khusus dimensi nol adalah noktah, elemen khusus dari dimensi satu adalah garis yang dapat dipandang sebagai pergerakan noktah pada waktu tertentu, elemen khusus dari dimensi dua adalah bidang yang dapat dipandang sebagai pergerakan garis pada waktu tertentu, elemen khusus dari dimensi tiga adalah ruang yang dapat dipandang sebagai pergerakan bidang dalam waktu tertentu dan dimensi empat adalah dunia yang dapat dipandang sebagai pergerakan ruang dalam waktu tertentu. Melalui pernyataan tersebut dalam hal dimensi satu, dimensi dua dan dimensi tiga, Geometri Euclides tidak mengajarkan dan membenarkan hal tersebut.
Berdasarkan pernyataan di atas, berkaitan dengan komponen t waktu dianggap sebagai suatu kerancuan yang fatal dikarenakan secara definisi titik merupakan simbol dari noktah di mana noktah hanyalah ada di dalam pemikiran kita (abstrak).
memiliki arah yang berbeda. Dilain pihak, berdasarkan fakta kita ketahui bahwa waktu hanyalah memiliki dua arah “future” dan “past”.
Berbicara mengenai makna essensial yang dimiliki oleh elemen – elemen khusus dimensi tersebut, berikut akan dijelaskan dan dicontohkan melalui elemen khusus dimensi dua. Dalam Geometri Euclides, elemen khusus dimensi dua adalah bidang dimana bidang yang dimaksud adalah sisi tertutup yang membatasi bangun (kurva) tanpa memiliki luas. Dalam bidang hanya terdapat luas permukaan bidang dan tidak ada luas bidang.
Dalam hal komponen vektor t waktu, bidang dapat dipahami sebagai pergerakan garis dalam suatu waktu tertentu. Dalam hal ini, dikarenakan pergerakan garis maka bidang yang dimaksud adalah keseluruhan bidang termasuk permukaan bidang itu sendiri sehingga luas bidang adalah sama dengan luas permukaan bidang itu sendiri. Dari hasil gambaran pemahaman yang kontradiksi ini, terbukti bahwa komponen vektor t hadir sebagai kerancuan yang dapat merusak makna essensial dari elemen dimensi itu sendiri.
D. Penjelasan Berdasarkan Teori Relativitas Einstein
Matematika merupakan proyeksi dasar, abstraksi pemikiran dan pemahaman manusia mengenai ukuran bumi dan semesta. Secara khusus, dalam penelitian dan pembahasannya fisika menggunakan matematika sebagai alat bantu untuk memahami, menjelaskan dan menganalisis obyek kajian fisika tersebut.
Pada teori relativitas terdapat dua postulat yang mendasarinya yang diungkapkan oleh Albert Einstein, yaitu:
Postulat pertama (Asas Relativitas)
Hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang
berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak
dengan kecepatan tetap satu dengan lainnya.
Postulat kedua (Asas Ketakubahan Kecepatan Cahaya)
Kecepatan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua
pengamat tidak tergantung dari keadaan gerak pengamat.
= √� � = × ��
yang tidak bergantung pada gerakan sumbernya.
Berdasarkan penjelasan singkat tersebut di atas maka dapat disimpulkan bahwa Einstein menyadari posisi relativitas sebagai bagian fisika yang menerapkan dan menggunakan matematika sebagai dasar memahami gejala alam di sekitar kita. Kerangka acuan inersial yang dimaksudkan Einstein di sini adalah geometri (khususnya sistem dimensi), di mana pada postulat pertama akan memberikan makna yang sama dengan pernyataan bahwa: “untuk setiap dimensi n yang bersifat inersial antara satu dengan yang lainnya akan memiliki
bentuk persamaan yang sama pada pada hukum –hukum fisika”.
Di samping itu, secara lebih lanjut dijelaskan bahwa untuk setiap kerangka acuan tersebut dalam hal fisika sebagai penerapannya maka kerangka acuan tersebut secara pasti akan diamati oleh pengamat. Dalam hal pengamatan ini, ditekankan oleh Einstein bahwa untuk setiap pengamat yang melakukan pengamatan terhadap setiap kerangka acuan tersebut memiliki kecepatan yang sama besar dalam ruang hampa dan tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu sendiri.
hal ini menunjukkan bahwa Ruang Minkowski bukanlah suatu bentuk geometri dimensi empat.
Apabila dianggap benar bahwa Ruang Minkowski merupakan suatu geometri dimensi empat maka Ruang Minkowski berhak untuk dipandang sebagai suatu kerangka acuan yang layak diamati. Dalam hal pengamatan kerangka acuan tersebut maka layaklah Ruang Minkowski ini diamati perpindahan, gerak, waktu, dan relativitasnya. Tentu saja apabila hal tersebut dilakukan maka akan terjadi kerancuan, terjadi gerak ganda yang menjadi suatu kemustahilan. Hal ini akan dimisalkan pada saat kita mencoba mengamati gerak suatu kerangka acuan. Anggap dimensi empat Ruang Minkowski sebagai suatu kerangka acuan dan akan diamati geraknya. Kerangka acuan yang berada pada waktu tertentu tidak mungkin digerakkan ataupun diamati pergerakannya dikarenakan setiap pergerakan tentu saja akan bergantung pada waktu. Akan menjadi suatu kemustahilan apabila benda yang berada pada suatu waktu tertentu bergerak dalam waktu tertentu pula.
Andaikan hal tersebut mungkin, maka tentu saja kita secara mudah dapat menghitung gerak geometri dimensi empat pada suatu selang waktu tertentu. Sebagai contoh:
“Diketahui diketahui suatu titik dunia (dimensi empat) terletak pada =
, = , = , = (di mana t = waktu) bergerak dari barat menuju timur
pada saat = hingga = sejauh 5 meter. Hitunglah kecepatan titik dunia
Seperti pada contoh, diketahui bahwa suatu titik dunia yang dapat diartikan sebagai titik � , , = , , pada saat = bergerak pada selang waktu ∆ = − = dengan = . Tentuk akan menjadi suatu hal yang sangat mustahil bahwa benda pada saat tertentu = dapat bergerak selama selang waktu tertentu.
Jadi terbukti bahwa Ruang Minkowski bukanlah merupakan bentuk Geometri Euclides dimensi empat, akan tetapi Ruang Minkowski merupakan Ruang pemahaman dan penerapan Teori Relativitas Einstein.
Berdasarkan analisah dari beberapa kajian ilmu lain seperti sistem dimensi, sistem koordinat, Teori Relativitas Einstein dan Geometri Euclides seperti yang telah diuraikan di atas maka dapat disimpulkan bahwa Ruang Minkowski adalah teori dan pemahaman yang salah jika dianggap sebagai Geometri Euclides dimensi empat, sebaliknya Ruang Minkowski adalah teori dan pemahaman yang benar jika diposisikan dan dipahami sebagai pelengkap kajian Ruang Euclides. Kelengkapan yang dimaksud ini adalah Ruang Minkowski melengkapi kajian dan bahasan Ruang Euclides dalam hal kerangka acuan geometris yang inersia. Secara lengkap, posisi Ruang Euclides terletak pada saat ∆ = (benda diam) dan Ruang Minkowki terletak pada saat ∆ ≠ (benda bergerak dengan kecepatan tetap).
38 BAB IV
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM SEMESTA DIMENSI EMPAT
Berdasarkan pembahasan bab sebelumnya, Ruang Minkowski bukan suatu bentuk Geometri Euclides dimensi empat melainkan suatu bentuk ruang pelengkap dari Ruang Euclides dalam hal kajian kerangka acuan inersia. Diketahui pula bahwa pada Sistem dimensi Geometri Euclides, kajian geometris kerangka acuannya adalah saat keadaan diam ∆ = . Lebih lanjut akan dibahas bentuk sistem Koordinat Kartesius Geometri Euclides dimensi empat dan sifat – sifatnya. Untuk membahas permasalahan ini, maka terlebih dahulu akan dibahas sistem dimensi Geometri Euclides itu sendiri.
Melalui keberadaan sistem koordinat tersebut munculah beberapa definisi yang disepakati ataupun dijabarkan sebagai suatu bentuk umum dari sistem dimensi tersebut. Dengan menggunakan definisi tersebut sebagai dasar kajian, maka dilakukan analisis lanjut yang kemudian digunakan untuk menentukan sifat – sifatnya.
Mengikuti pola pikir tersebut di atas, maka pada kajian pembahasan pada bab ini akan dimulai dengan penjabaran bentuk umum dari Geometri Euclides dimensi empat, kemudian akan dilanjutkan dengan analisis lanjut untuk menentukan sifat – sifatnya. Geometri dimensi empat ini merupakan geometri dimensi empat lanjutan dari bagian Geometri Euclides. Sebagai lanjutan dari Geometri Euclides maka geometri dimensi empat ini haruslah sesuai dengan dasar – dasar yang ada pada Geometri Euclides dengan hierarkis yang sesuai dengan Geometri Euclides juga.
khusus dari sistem geometri dimensi tiga. Ketika sistem koordinat dan elemen khusus telah ditentukan, maka selanjutnya akan dicontohkan suatu ilustrasi penggunaan sistem koordinat dalam menentukan posisi titik. Dalam hal ini, diketahui pula bahwa contoh ilustrasi penggunaan sistem koordinat geometri dimensi dua membentuk garis – garis bayang yang berbentuk persegi panjang dan juga pada sistem koordinat geometri dimensi tiga membentuk garis – garis bayang yang berbentuk balok, di mana kedua bangun tersebut merupakan salah satu bentuk elemen khusus dari masing – masing sistem dimensi.
A. Sistem Koordinat Kartesius
Sistem koordinat dalam kaitannya dengan sistem dimensi merupakan suatu bentuk wadah ataupun aturan dasar dalam representasi sistem dimensi secara grafis. Pada sistem Koordinat Kartesius, sistem koordinat ini menggunakan teknik yang lebih memperhatikan ukuran panjang dari masing – masing vektor yang ada dalam suatu keseluruhan sistem dimensi tersebut sebagai bagian penting dalam hal penentuan posisi titik yang kemudian dapat dikembangkan menjadi bentuk elemen khusus lainnya. Untuk setiap geometri sistem dimensi baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga memiliki perbandingan yang sama dengan jumlah vektor – vektor arah pada sistem koordinatnya. Untuk sistem dua dimensi memiliki dua buah vektor arah pada sistem koordinatnya yaitu vektor x dan vektor y, dan untuk sistem tiga dimensi memiliki tiga buah vektor arah pada sistem koordinatnya yaitu vektor x, vektor y dan vektor z. Di samping hal tersebut di atas, dilihat dari definisinya
sistem dimensi dapat dikatakan sebagai jumlah perubahan yang dapat terjadi dalam suatu sistem, dimana setiap perubahan tersebut dapat direpresentasikan oleh suatu vektor arah. Oleh sebab itu, untuk mendapatkan ataupun memperoleh bentuk sistem koordinat geometri dimensi empat dibutuhkan empat buah vektor yang berlainan arah. Dimisalkan keempat vektor tersebut adalah = , =
, = � = .
Merujuk pada sistem Koordinat Kartesius yang telah ada, baik geometri dimensi dua maupun geometri dimensi tiga terlihat bahwa setiap vektor arah yang ada membentuk suatu sistem koordinat yang utuh yang membagi sistem tersebut menjadi beberapa bagian sistem yang kongruen. Pada sistem Koordinat Kartesius dimensi dua, sistem dimensi terbagi menjadi empat bagian yang sama dan juga pada sistem Koordinat Kartesius dimensi tiga, sistem dimensi terbagi menjadi delapan bagian yang sama. Oleh sebab itu, dalam hal sistem Koordinat Kartesius dimensi empat, keempat vektor arah , , � haruslah membentuk suatu ruang sistem yang dapat terbagi menjadi beberapa bagian sistem yang sama.
diagonal – diagonal ruangnya. Dengan keadaan diagonal ruang kubus adalah vektor – vektor arahnya dan titik persekutuan diagonal ruang tersebut adalah titik pusat (titik asal) sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat tersebut.
Gambar 4.1: Meja Biasa Gambar 4.2: Meja Biasa Dengan Keadaan Yang Diinginkan
Gambar 4.4: Sistem Koordinat Dimensi Empat
Gambar 4.3: Vektor Arah Dalam Kubus
Definisi 1:
Sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat adalah suatu
sistem Koordinat Kartesius yang terbentuk dari empat buah vektor berlainan
arah dengan besaran pokok sama yang terjadi dalam suatu sistem melalui
suatu titik asal tertentu.
Lebih lanjut, elemen khusus geometri dimensi empat ini dinamakan sebagai “semesta”. Semesta dapat di definisikan sebagai berikut:
Definisi 2:
Semesta adalah himpunan dari beberapa ruang berbeda yang terletak
dalam suatu sistem yang sama.
Lebih lanjut berikut akan ditunjukkan beberapa sifat lain dari sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.
1. Besar sudut antar vektor yang berdekatan.
a. Diketahui: Gambar 4.5 : Sistem Koordinat Geometri Dimensi Empat pada Kubus ABCD.EFGH
Gambar 4.5: Sistem Koordinat Geometri Dimensi Empat
Gambar 4.6: Segitiga BOC
No Pernyataan Alasan
1 = = = = Diketahui pada
gambar
2 = =√ Diketahui pada
gambar
3 =
√ + √ −
√ √ Aturan Cosinus
4 = 3
5
= . 4
6 ≈ . 5
7 ∠ = ,
Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor – vektor yang berdekatan pada sistem koordinat kartesius dimensi empat adalah ,
Sifat 2 :
Sudut yang dibentuk oleh garis – garis vektor yang berdekatan pada
2. Besar sudut antar vektor yang berhadapan.
a. Diketahui: Gambar 4.7 : sistem koordinat geometri dimensi empat pada suatu kubus.
b. Akan dicari: ∠ =? c. Penyelesaian:
Gambar 4.7: Sistem Koordinat Geometri
Dimensi Empat Gambar 4.8: Segitiga BOD
Jadi, diperoleh bahwa besar sudut yang terdapat pada vektor – vektor yang berhadapan pada sistem koordinat – wxyz adalah ,
Sifat 3 :
Besar sudut antar garis – garis vektor yang berhadapan pada suatu
koordinat dimensi empat adalah sama dengan , .
B. Koordinat Bidang
Mengacu pada bentuk sistem bagian yang kongruen, vektor – vektor arah pada sistem tiga dimensi membentuk bidang vektor (bidang koordinat) agar dapat terlihat jelas sistem bagian yang terbentuk tersebut. Dengan kondisi yang sama tersebut, maka akan dilakukan hal yang sama pada vektor – vektor koordinat sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat.
Adapun pada suatu sistem koordinat dimensi empat dapat membentuk enam buah bidang koordinat, yaitu: bidang koordinat wx, bidang koordinat xy, bidang koordinat yz, bidang koordinat wz, bidang koordinat wy dan bidang koordinat xz seperti yang ditampilkan pada gambar berikut.
Gambar 4.11: Bidang Koordinat YZ Gambar 4.12: Bidang Koordinat WZ
Gambar 4.13: Bidang Koordinat WY Gambar 4.14: Bidang Koordinat XZ
Hasil bentukan kondisi ini secara keseluruhan dapat direpresentasikan melalui gambar berikut.
Gambar 4.15: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat
Gambar 4.16: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang
Gambar 4.18: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat dan Vektor
Semu
Gambar 4.17: Sistem Koordinat Kartesius Geometri Dimensi Empat Dengan Bidang
Vektornya dan Vektor Semu
Definisi 3:
Sumbu koordinat maya merupakan sumbu koordinat dalam suatu
sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat yang terbentuk dari
perpotongan dua buah koordinat bidang pada sistem koordinat tersebut.
Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat diketahui bahwa sistem bagian yang terbentuk adalah sebanyak 6 sistem bagian yang sama (masing – masing bagian disebut “heksan”) dengan setiap heksan terdiri dari 4 ruang sistem yang berbeda (masing – masing bagian disebut “heksakuadran”). Seperti pada Gambar 4.19.
Gambar 4.19: Sistem Koordinat Kartesius dan Bidang Koordinatnya
Pada suatu sistem Koordinat Kartesius geometri dimensi empat bidang – bidang koordinat yang terbentuk membagi semesta dimensi empat menjadi 6 bagian yang sama dan diberi nama sebagai berikut:
1. Heksan I
2. Heksan II
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang . − , bidang . − − , bidang . − dan bidang . .
3. Heksan III
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang . − − , bidang . − − , bidang . − − dan bidang . − − . 4. Heksan IV
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang . − , bidang . , bidang . − dan bidang . − − .
5. Heksan V
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang . − , bidang . − − , bidang . − dan bidang . .
6. Heksan VI
Merupakan bagian semesta yang dibatasi oleh bidang . − − , bidang . − , bidang . dan bidang . − .
