BAB II : LANDASAN TEORI
D. Sistem Koordinat Kartesius
Sebuah sistem koordinat terdiri dari empat elemen dasar, yaitu: titik asal, sumbu, arah positif sumbu dan vektor satuan sumbu.
Pada bagian ini, akan ditentukan sebuah titik asal O. Jika diberikan suatu obyek, maka pilihan titik asal biasanya adalah bertepatan dengan suatu titik khusus seperti titik tengah dari perpotongan garis – garis.
2. Sumbu
Pada bagian ini akan ditentukan suatu himpunan sumbu koordinat. Himpunan sumbu koordinat yang sederhana dikenal sebagai sumbu kartesius yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z. Pilihan himpunan sumbu ini dapat disesuaikan sesuai dengan obyek fisik yang hendak diamati. Sebagai contoh: ditentukan sumbu X sehingga garis terletak pada sumbu X seperti yang ditunjukkan pada gambar di samping.
Setelah itu, setiap titik P dalam ruang S dapat diberi nilai �, �, � yang merupakan Koordinat Kartesius dari titik P itu sendiri. Kumpulan titik – titik yang memiliki koordinat yang sama dengan � disebut permukaan. Himpunan titik – titik dalam ruang S yang memiliki nilai yang sama adalah = � sehingga himpunan titik – titik tersebut adalah:
Gambar 2.5: Tingkat Permukaan Ditetapkan Untuk Nilai Konstan �
Himpunan S merupakan suatu bidang, bidang XZ (Gambar 2.5) yang disebut tingkat konstan �. Dengan demikian, koordinat y untuk setiap titik sebenarnya memberikan gambaran sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu Y.
3. Arah Positif Sumbu
Pilihan ketiga adalah menentukan arah yang positif untuk setiap sumbu koordinat. Akan ditunjukkan pilihan dengan simbol + sepanjang sumbu positif. Secara umum, Koordinat Kartesius yang dilukis dengan bidang XY sesuai dengan bidang kertas. Arah horizontal dari kiri ke kanan diberi nilai sumbu X positif dan vertikal dengan arah dari bawah ke atas diberi nilai sebagai sumbu Y positif.
Dalam permasalahan fisika, kita dapat secara bebas memilih sumbu dan arah positif dengan cara apapun, pilihan tersebut disesuaikan dengan cara terbaik dalam menyelesaikan masalah yang ada. Masalah yang sangat sulit menggunakan pilihan konvensional dapat berubah menjadi lebih mudah untuk dipecahkan dengan membuat pilihan yang tepat pada sumbu.
4. Vektor Satuan Sumbu
Setiap titik P dalam ruang merupakan suatu himpunan yang terdiri dari tiga buah vektor satuan ( �, �, � . Besar suatu vektor satuan adalah satu, yaitu:
| �| = , | �| = , | �| =
Akan ditetapkan arah dari � semakin meningkat sepanjang sumbu X menuju titik P. Sehingga dapat didefinisikan arah � dan � semakin meningkat sepanjang sumbu koordinat Y dan sumbu koordinat Z secara berturut – turut menuju titik P.
21 BAB III
PENJELASAN MATEMATIS MENGENAI ANGGAPAN RUANG MINKOWSKI SEBAGAI GEOMETRI EUCLIDES DIMENSI EMPAT
Berdasarkan makna Ruang Minkowski dan kejanggalan seperti yang telah dijelaskan pada bab – bab sebelumnya, berikut akan dibahas penjelasan beberapa sudut pandang lain terhadap Ruang Minkowski guna menunjukan dan memberikan penjelasan matematis terhadap kekeliruan anggapan Ruang Minkowski sebagai Geometri Euclides dimensi empat. .
A. Penjelasan Berdasarkan Sistem Dimensi
Menurut artinya secara matematis, dimensi dapat didefinisikan sebagai jumlah arah perubahan yang dapat terjadi pada suatu sistem. Dengan kata lain, suatu dimensi n menggambarkan bahwa terdapat n arah dalam perubahannya yang terjadi bersamaan pada suatu sistem. Dalam hal ini banyaknya arah menekankan pada posisi mutlak perubahan itu terjadi pada suatu sistem yang digambarkan dengan pasti melalui vektor yang arahnya terdefinisi dengan jelas. Membahas mengenai sistem dimensi ini, kembali akan kita bahas mengenai Ruang Minkowski yang dipandang sebagai Geometri Euclides dimensi empat karena menggunakan sistem ruang tiga dimensi Geometri Euclides dan waktu t sebagai komponen – komponen vektornya.
Mengacu pada sistem SI, komponen – komponen vektor Ruang Minkowski , , , dioperasikan sedemikian hingga memiliki besaran
SI yang sama, yaitu dengan menggunakan parameter kecepatan cahaya. Hal ini mengakibatkan besaran SI untuk vektor beralih dari [T] (Time) menjadi [L] (Long) sebagai akibat bentuk di mana =[�][�][�] = [�].
Komponen vektor keempat ini dapat berlangsung dalam suatu sistem yang sama dengan vektor – vektor lainnya , , akibat pengaruh parameter . Akan tetapi, mengenai permasalahan ini, parameter yang digunakan pada dasarnya merupakan kecepatan sehingga saat dihubungkan terhadap waktu yang pada dasarnya merupakan komponen vektor ke empat yang ditambahkan maka nilai esensial dari waktu tersebut akan berubah sebagai akibat pengaruh penggunaan parameter .
Tabel Makna Esensial Waktu t.
, , , : Komponen vektor dimensi empat
, , , : Komponen vektor dimensi empat
[�], [�], [�], [�] : Komponen vektor dalam SI
, , , : Komponen vektor dengan penggunaan
parameter pada t
[�], [�], [�], [�] : Komponen vektor dalam SI setelah
menggunakan parameter pada t merupakan bagian
dari dimensi [�]
: makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter
merupakan bagian
dari dimensi [�] : Makna esensial t
Pada bagian makna t yang diperoleh akibat pengaruh parameter, terlihat jelas bahwa dalam komponen – komponen vektornya memang menggunakan
waktu sebagai vektor keempat, akan tetapi pada aplikasinya tidak ada penggunaan waktu yang sebenarnya sebagai akibat pengaruh parameter yang mengubah esensi vektor sebagai waktu menjadi panjang. Karena sangatlah jelas bahwa tidak ada waktu yang merupakan panjang ([�] ≠ [�] dan bukan merupakan bagian dari dimensi [�] .
Dalam hal ini, memang terasa benar bahwa kuantitas cara perubahan yang ditampilkan oleh Ruang Minkowski adalah empat yaitu ditunjukkan melalui vektor , , , dengan = , = , = , = . Akan tetapi, jika dilihat dari arah perubahan yang dapat terjadi pada sistem dimensi tersebut, komponen – komponen yang tersebutkan tidak terjelaskan secara rinci dan tepat mengenai arah pastinya seperti yang dapat dilihat dalam representasi grafik Ruang Minkowski (Lihat Gambar 2.1 dan Gambar 2.2).
Selain itu, arah yang tidak pasti tersebut lebih digambarkan oleh = , seperti yang diungkapkan oleh Minkowski sendiri melalui materi presentasinya saat pertemuan ke 80 dari fisikawan dan ilmuwan Jerman, Cologne, 21 september 1908 dengan nenyatakan bahwa:
“The time axis can hence be given a completely arbitrary direction towards the upper half of world, > ”[ ]
Pernyataan tersebut di atas menyatakan bahwa sumbu waktu dapat diberikan arah sembarang terhadap setengah bagian atas dunia, dengan dunia merupakan sebutan Minkowski untuk ruangnya. Jika berbicara mengenai arah yang sembarang, tanpa adanya spesifikasi yang jelas, maka akan sangat mudah dalam membuat geometri dimensi empat itu sendiri. Akan tetapi, ketika berbicara
mengenai geometri dengan anggapan Ruang Minkowski sebagai lanjutan Ruang Euclides, “Apakah terdapat arah sembarang tanpa memiliki spesifikasi yang jelas dari komponen – komponen vektor yang ditampilkan Euclides?” Tentu saja tidak, ketiga komponen vektor yang ditampilkan oleh Euclides tertata rapi dengan kejelasan arah dan spesifikasi rinci dari ketiga komponen vektor , , tersebut (lihat Gambar 1.2).
Apabila dipandang sebagai lanjutan Geometri Euclides maka Ruang Minkowski harus dapat terjelaskan menurut hukum dasar Geometri Euclides dan bahkan menambahkan ataupun memperbaikinya bukan menguranginya begitu saja.
Pada hakikatnya, mengikuti definisi ruang dan waktu, keduanya adalah independen untuk masing – masing dan hanya dapat berdampingan tetapi tidak dapat bersatu ataupun disatukan. Menyetujui pernyataan Minkowski juga dalam materi presentasinya (Cologne: 1908):
“Nobody has ever noticed a place except at a time, or a time except at a place”.[ ]
Memang benar bahwa tak seorangpun pernah melihat tempat kecuali pada suatu waktu atau waktu pada suatu tempat. Akan tetapi hal tersebut tidaklah berarti bahwa waktu dan ruang dapat dijadikan satu dalam hal sistem tinjauan. Ruang dan waktu dapat berdampingan akan tetapi kedua hal tersebut tidak dapat disatukan atau dianggap sama.
Waktu dapat terjadi dalam ruang akan tetapi ruang tidak dapat terjadi dalam waktu (hal ini dikarenakan ruang hanya dapat terjadi dalam selang waktu
tertentu, dengan kata lain saat tidak terdapat selang waktu maka tidak terdapat ruang). Disisi lain, ruang dapat ditinjau menurut waktu dan waktu dapat ditinjau menurut ruang. Pendapat tersebut di atas dapat dijadikan pernyataan tautologi sebagai berikut:
“Jika waktu terdapat pada suatu sistem maka ruang terdapat
pada sistem juga atau jika ruang terdapat pada suatu sistem maka waktu terdapat pada sistem tersebut juga” � → � � → � . “Jika Ruang terdapat dalam suatu sistem dan waktu terdapat dalam sistem tersebut juga maka ruang terdapat dalam suatu sistem atau waktu terdapat dalam suatu sistem” � � → � � .
Kedua pernyataan tersebut selalu bernilai benar, sehingga untuk pernyataan
“ruang dan waktu terjadi dalam suatu sistem (� � adalah selalu bernilai salah. Pernyataan tersebut akan dibuktikan melalui pembuktian berikut:
Pernyataan Pertama 1. � → � � → � Diketahui 2. �̅ � �̅ � 1, ekuivalen 3. �̅ � �̅ � 2, assosiatif 4. 5. 4, sifat disjungsi
Pernyataan Kedua 1. � � → � � Diketahui 2. �̅ �̅ � � 1, ekuivalen 3. �̅ � �̅ � 2, assosiatif 4. 5. 4, sifat disjungsi
Jadi, terbukti bahwa pernyataan kedua adalah benar.
Pernyataan Simpulan Tabel kebenaran � � � � � � 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
Dapat dilihat pada tabel kebenaran diatas bahwa nilai � � akan selalu salah kecuali untuk � = � = �. Dalam hal ini, untuk � = � = � meskipun bernilai benar, akan mengakibatkan pernyataan kedua yang telah terbukti tautologi bernilai salah. Maka dapat dikatakan bahwa � = � = � juga tidak memenuhi pernyataan yang diharuskan. Dengan kata lain, � � selalu bernilai salah.
Jadi, terbukti bahwa � � bernilai salah.
Karena terbukti bahwa � � bernilai salah maka dapat disimpulkan bahwa ruang dan waktu tidaklah dapat dijadikan satu atau dianggap sama sebagai satu sistem acuan.
Pernyataan tersebut dapat dikatakan sebagai suatu bentuk pernyataan yang selaras dengan pernyataan Stephen Hawking dalam The Grand Design.[ ] Stephen Hawking menyatakan bahwa pada kondisi awal mula semesta sesaat sebelum terjadinya Big Bang, yang ada hanyalah ruang tanpa adanya waktu. Jika ada waktu pada kondisi awal mula semesta, pada keadaan sebelum Big Bang, maka apa yang dilakukan oleh waktu? Lebih lanjut dijelaskan bahwa dalam kondisi dimensi empat ruang dan waktu (Ruang Minkowski) dalam hal keadaan Big Bang tentu saja waktu akan memiliki arah kedepan dan kebelakang. Dengan keadaan ini, maka apa yang terjadi saat waktu yang ada sebelum terjadinya Big Bang? Sedangkan ruang maupun semesta belum terbentuk saat belum terjadi Big Bang. Mendalami keadaan tersebut, lebih jauh lagi kita akan mempertanyakan bahwa bagaimana waktu bisa ada jika belum ada pembentukan ruang dan pendukungnya seperti gravitasi dan ruang. Jadi, terbukti bahwa dalam suatu bentuk sistem dimensi waktu tidak dapat dianggap sama dengan vektor ruang lain.
