Simulasi Monte Carlo dikenal juga dengan istilah Sampling Simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Menurut Kakiay (2004), simulasi Monte Carlo merupakan simulasi yang mengikut-sertakan random sampling dengan distribusi probabilitas yang diketahui atau ditentukan. Selain itu, menurut Krajewski & Ritzman (2002), simulasi Monte Carlo adalah proses simulasi yang menggunakan
random numbers untuk membangkitkan kejadian-kejadian dalam simulasi. Simulasi ini merupakan salah satu metode yang cukup sederhana yang digunakan untuk menguraikan dan menyelesaikan berbagai persoalan. Adapun terdapat tiga
commit to user
II - 15
batasan dalam penggunaan simulasi Monte Carlo. Beberapa batasan dalam penggunaan simulasi Monte Carlo, antara lain:
1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis maka sebaiknya tidak menggunakan simulasi ini. Simulasi ini digunakan untuk perancangan-perancangan yang memerlukan perkiraan tertentu.
2. Apabila sebagian persoalan dapat diuraikan secara analitis, maka sebaiknya penyelesaian dilakukan secara terpisah, yaitu sebagian dilakukan secara analitis dan yang lainnya dengan smulasi Monte Carlo untuk kemudian disusun kembali keseluruhan sebagai penyelesaian akhir. Dalam hal ini, simulasi Monte Carlo hanya digunakan apabila benar-benar dibutuhkan. 3. Simulasi Monte Carlo terkadang digunakan untuk mensimulasikan dua sistem
dengan perbedaan-perbedaan parameter, distribusi dan cara-cara pelaksanaannya.
Beberapa persoalan yang dapat diselesaikan menggunakan Simulasi Monte Carlo adalah persoalan mengenai produksi suku cadang, studi keuntungan, investasi, penjualan, jaringan kerja, dan lain-lain.
2.7 Random Number Generator (RNG)
Metode simulasi Monte Carlo menghendaki pengembangan percobaan- percobaan secara sistematis dengan menggunakan random number. Random number generator (RNG) adalah suatu algoritma yang digunakan untuk menghasilkan urutan-urutan atau sequence angka-angka sebagai hasil perhitungan dengan komputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul secara random dan digunakan terus-menerus (Kakiay, 2004). Menurut Krajewski & Ritzman (2002), random number adalah angka yang memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih seperti angka yang lain. Ada beberapa metode untuk membangkitkan random number. Metode yang biasa digunakan untuk membangkitan random number antara lain :
1. Linier Congruential Generator (LCG)
Random number dengan metode ini dapat dibangkitkan dengan menggunakan rumus perhitungan pada Persamaan 2.1.
commit to user
II - 16
...(Persamaan 2.1)
Adapun dari Persamaan 2.1, diketahui: : random number yang baru
: random number yang lama/ yang sebelumnya
c : angka konstan yang bersyarat
a : pengali (multiplier)
m : angka modulo 2. Multiplicative Generator
Random number dengan metode multiplicative generator dapat dibangkitkan dengan rumus sebagai berikut:
...(Persamaan 2.2)
dengan:
: random number yang baru
: random number yang lama/ yang sebelumnya
c : angka konstan yang bersyarat
a : pengali (multiplier)
m : angka modulo 3. Mixed Pseudo RNG
Metode ini menggunakan Persamaan 2.3 untuk membangkitkan random number.
...(Persamaan 2.3) Penggunaan Persamaan 2.3 memiliki beberapa syarat, yaitu:
a. Syarat utama n harus sejumlah bilangan integer (bulat) dan lebih besar dari nol. Dengan syarat tersebut, rumus ini dapat menjadi rumus untuk LCG. b. Namun apabila nilai C=0 maka akan diperoleh rumus multiplicative
congruen RNG.
c. Dapat menjadi rumus mixed congruential generator, apabila terdapat syarat- syarat berikut:
commit to user
II - 17
b) a=1 (mod.q) untuk setiap faktor prima q dari m dan a=1 (mod4) apabila 4 adalah salah satu faktor dri m.
Selain metode-metode tadi yang sering digunakan, ada beberapa metode lain yang dapat digunakan untuk membangkitkan random number, antara lain :
1. More General Congruences
2. Composite Generators
3. Tausworthe and Related Generators
Cara lain yang lebih sederhana dibandingkan dengan semua metode-metode tersebut adalah membangkitkan random number dengan menggunakan fasilitas yang terdapat dalam Microsoft Excel.
2.8 Random Variate Generation (RVG)
Random variate generation merupakan aktivitas untuk memperoleh pengamatan (realisasi) dari suatu variabel acak berdasarkan distribusi yang diinginkan (Law & Kelton, 2000). Suatu random variate dapat diartikan sebagai nilai suatu random variable yang mempunyai distribusi tertentu (Kakiay, 2004). Ada beberapa pendekatan untuk membangkitan random variate, diantaranya: 1. Inverse Transform
Pendekatan inverse transform dalam membangkitkan random variate X yang memiliki distribusi fungsi F adalah dengan menginverskan fungsi distribusi F ( ) tersebut. Adapun salah satu langkah-langkah dalam pendekatan ini adalah:
a. Membangkitkan random number (U), dengan distribusi U(0,1)
b. Langkah selanjutnya setelah membangkitkan random number adalah menggunakan random number tersebut ke dalam Persamaan 2.4 untuk mendapatkan random variate.
...(Persamaan 2.4)
Langkah-langkah tersebut sesuai untuk kasus dengan distribusi kontinu yang memiliki keunggulan intuisi. Sedangkan untuk kasus diskret menggunakan langkah-langkah yang lebih rumit.
commit to user
II - 18 2. Composition
Pendekatan composition digunakan ketika distribusi fungsi F yang akan dibangkitkan dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari distribusi yang lain. 3. Convolution
Convolution ini digunakan untuk membangkitkan variabel X dengan asumsi bahwa random variable X merupakan hasil penjumlahan dari variabel-variabel random lain.
4. Acceptance-Rejection
Pendekatan acceptance-rejection dapat digunakan apabila tiga metode (inverse transform, composition, convolution) sebelumnya mengalami kegagalan atau kurang efisien.
5. Special Properties
Metode untuk membangkitkan random variate X yang memiliki karakteristik khusus (special property).
Random variate dibangkitkan dengan menggunakan dua jenis distribusi, yaitu: 1. Distribusi Kontinu
Terdapat beberapa distribusi yang termasuk dalam distribusi kontinu, antara lain:
a. Distribusi Uniform
Pembangkitan random variate X pada distribusi uniform dapat menggunakan metode inverse transform dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1)Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1).
2)Random variate kemudian dibangkitkan dengan memasukkan random number yang didapat ke dalam Persamaan 2.5.
...(Persamaan 2.5)
b. Distribusi Exponential
Random variate dengan distibusi exponential dapat dibangkitkan dengan menggunakan metode inversetransform dengan tahapan sebagai berikut: 1)Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1).
2)Random number yang didapat kemudian dimasukkan ke dalam Persamaan 2.6.
commit to user
II - 19
...(Persamaan 2.6) c. Distribusi m-Erlang
Pembangkitan random variate dengan distribusi m-Erlang digunakan metode convolution, dengan tahapan sebagai berikut:
1)Membangkitkan random number U1, U2,…., Um sebagai IID U(0,1).
2)Random number yang telah dibangkitkan kemudian digunakan di dalam Persamaan 2.7 untuk menmbangkitkan random variate distribusi m- Erlang.
∏ ...(Persamaan 2.7)
d. Distribusi Gamma
Pembangkitan random variate dengan distribusi Gamma lebih rumit dibanding dengan distribusi-distribusi yang lain. Beberapa metode digunakan untuk membangkitkan random variate tersebut, diantaranya
inverse transform, acceptance-rejection, dan computational. e. Distribusi Weibull
Random variate berdistribusi weibull dapat dibangkitkan dengan menggunakan metode inverse transform dengan tahapan sebagai berikut: 1) Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1).
2) Random number yang telah dibangkitkan kemudian digunakan dalam Persamaan 2.8 untuk membangkitkan random variatenya.
⁄ ...(Persamaan 2.8)
f. Distribusi Normal
Pembangkitan random variate untuk distribusi normal cukup rumit. Menurut Law & Kelton (2000), salah satu metode yang dapat digunakan
polar method atau dengan FORTRAN. Cara lain yang lebih sederhana untuk membangkitkan random variate berdistribusi normal adalah dengan fasilitas pada program Microsoft Excel.
g. Distribusi Lognormal
Metode yang digunakan untuk distribusi lognormal adalah special property
dengan kondisi jika Y berdistribusi N (μ,σ2) lalu eY berdistribusi LN (μ,σ2). Apabila kondisi tersebut dapat terpenuhi, maka tahapan-tahapan untuk
commit to user
II - 20
membangkitkan random variate dengan distribusi Lognormal sebagai berikut:
1) Membangkitkan random number (Y) yang berdistrbusi N (μ,σ2).
2) Random number yang telah dibangkitkan digunakan untuk mebangkitkan random variate dengan menggunakan Persamaan 2.9.
...(Persamaan 2.9) h. Distribusi Beta
Pembangkitan random variate distribusi Beta apabila menggunakan metode
inverse transform akan rumit karena metodenya numerik seperti yang terjadi pada distribusi Gamma maupun Normal. Oleh sebab itu untuk pembangkitan random variate distribusi Beta dapat dibantu dengan menggunakan program komputer seperti FORTAN atau IMSL.
i. Distribusi Pearson Type V
Distribusi Pearson Type V dapat menggunakan metode special property
untuk membangkitkan random variate. j. Distribusi Pearson Type VI
Pembangkitan random variate pada distribusi ini, metode yang digunakan lebih ke metode numerikal seperti pada distribusi-distribusi sebelumnya (Gamma,Beta,Normal).
k. Distribusi Log-Logistic
Metode inverse transform dapat digunakan untuk menetukan random variate pada distribusi ini. Adapun tahapan-tahapannya adalah:
1) Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1).
2) Random number yang telah dibangkitkan digunakan dalam perhitungan pada Persamaan 2.10 untuk mendapatkan random variate.
[ ] ⁄ ...(Persamaan 2.10)
l. Distribusi Johnson Bounded
Distribusi Johnson Bounded menggunakan metode special property untuk membangkitakan random variate.
m.Distribusi Johnson Unbounded
Distribusi Johnson Unbounded hampir sama dengan distribusi Johnson Bounded yaitu menggunakan metode special property.
commit to user
II - 21 n. Distribusi Bézier
Distribusi Bézier dapat menggunakan metode numerical inverse-transform
untuk membangkitkan random variate. o. Distribusi Triangular
Random variate distribusi Triangular dapat dibangkitkan dengan metode
inverse transform atau composition. p. Distribusi Empiris
Distribusi Empiris dapat menggunakan inverse transform untuk membangkitakan random variate.
2. Distribusi Diskret
Distribusi Diskret terdiri dari beberapa macam distribusi, diantaranya : a. Distribusi Bernoulli
Pembangkitkan random variate distribusi bernoulli dapat menggunakan metode inverse transform dengan tahapan sebagai berikut:
1) Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1). 2) Jika U ≤ p, maka X = 1. Jika tidak X = 0.
b. Distribusi DiscreteUniform
Random variate dengan distribusi discrete uniform dapat dibangkitkan dengan metode inverse transform yang tahapan-tahapannya sebagai berikut:
1) Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1).
2) Random number yang didapat, digunakan dalam Persamaan 2.11 untuk membangkitkan random variate.
[ ] ...(Persamaan 2.11) c. Arbitrary Discrete Distribution
Random variate dengan distribusi ini dapat dibangkitkan melalui metode
inverse transform. d. Distribusi Binomial
Pembangkitkan random variate dengan distribusi binomial dapat menggunakan metode convolution.
commit to user
II - 22 e. Distribusi Geometric
Metode inverse transform dapat digunakan untuk membangkitkan random variate dengan tahapan sebagai berikut:
1) Membangkitkan random number (U) yang berdistrbusi U (0,1).
2) Random number yang telah dibangkitkan sebelumnya, digunakan dalam perhitungan pada Persamaan 2.12 untuk mendapatkan random variatenya.
[ ] ...(Persamaan 2.12) f. Distribusi Negative Binomial
Distribusi negative binomial merupakan hubungan antara distribusi negative binomial dan geometric. Oleh karena itu digunakan metode
convolution untuk membangkitkan random variate dengan distribusi negative binomial.
g. Distribusi Poisson
Pembangkitan random variate pada distribusi ini melibatkan hubungan dua ditribusi yaitu distribusi poisson dengan exponential. Oleh sebab itu untuk membangkitkan random variate dengan distribusi poisson dapat menggunakan metode composition maupun inverse transform.