BAB IV GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA
4.2 Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik
Jika fungsi gaya eksitasi diberikan oleh F = F sin
Ωt, maka persamaan getarannya menjadi
t
Solusi partikulir pada persamaan juga merupakan persamaan harmonik, kita asumsikan dalam bentuk
di mana X dan ϕ adalah amplitudo dan sudut fase dari respon yang bisa dihitung. Dengan memasukkan persamaan ke persamaan diperoleh
[ ] Dalam persamaan trigonometri ada hubungan
(4.25) Persamaan (4.25) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) dan dengan
menyamakan koefisien cos Ωt dan sin Ωt pada kedua sisi, diperoleh
X [ ] X[ ] (4.26) Solusi persamaan X =[ ] (4.27) dan (4.28)
Bila kita masukan persamaan (4.27) dan (4.28) ke persamaan (4.23) akan diperoleh persamaan solusi partikul, yaitu
(t)=[
] cos (4.29)
Solusi partikulir di atas bisa digambarkan bersama-sama dengan gaya eksitasi seperti pada Gambar 4.8.
Gambar 4.8 Solusi partikulir dan gaya eksitasi 4.3 Resume
Getaran tereksitasi akan terjadi gaya paksa pada sistem yang bergetar. Analisis getaran ini harus diselesaikan dengan penyelesaian homogen dan partikulir. Bila kita tertarik untuk menganalisis respon yang
F(t), Xp(t) O t 2 2 F(t) Xp(t)
tergantung pada gaya pengganggu saja, maka disebut keadaan tunak dari getaran paksa (steady state forced vibration). Jika kita tertarik untuk menganalisis keseluruhan, maka disebut keadaan transien (transient state). Analisis yang kita pilih tergantung jenis gaya eksitasi.
SOAL-SOAL
BAB I
1.1 Suatu gerak harmonik mempunyai frekuensi 10 hz dan kecepatan maksimal 4.57 m/s. Tentukan amplitudo, perioda dan percepatan maksimumnya.
1.2 Motor bolak-balik dengan pondasi terlihat seperti pada Gambar S.1. Gaya dan momen bekerja saat motor dijalankan. Gaya dan momen tersebut diterima oleh frame dan pondasi. Elastispad ditempatkan di antara motor dan pondasi mereduksi getaran transmisi. Buat modal matematika untuk menyelesaikan persoalan getaran.
Gambar S.1 Motor bolak-balik pada pondasi
1.3 Tentukan konstanta kekuatan pegas torsional ekivalen dari sistem seperti terlihat pada Gambar S.2. Diasumsukan k1, k2, k3 dan k4 adalah
kekuatan torsional sedangkan k5 dan k6 adalah kekakuan linier.
Gambar S.2
1.4 Suatu mesin dengan massa m = 500 kg berada di atas beam baja yang mempunyai panjang l = 2 m. Beam mempunyai penampang empat persegi panjang dengan lebar = 1,2 m dan tebal 0,1 m serta modulus Young E = 2,06 x N/ . Untuk mengurangi defleksi vertikal diberikan pegas yang menyentuh bagian bawah tengah dari beam, seperti terlihat pada Gambar S.3. Hitung harga konstanta k pegas untuk mengurangi defleksi beam sampai 1/3 bila tanpa pegas. Asumsikan massa beam diabaikan.
Gambar S.3
θ
k
1k
2k
3k
4k
5k
6m
k
1.5 Hitung konstanta redaman ekivalen menurut kasus:
▪ Bila ketiga pegas disusun secara paralel
▪ Bila ketiga pegas disusun secara seri
▪ Bila ketiga pegas menempel pada batang seperti terlihat pada Gambar S.4 dan redaman ekivalen berada pada c .
Gambar S.4 l3 l2 l1
c
3c
2c
1 3 2 1pivot
BAB II
2.1 Suatu massa 0.453 kg digantungkan pada suatu pegas dan menyebabkan perpanjangan 7.87 mm. Tentukan frekuensi natural sistem ini.
2.2 Suatu sistem pegas-massa dengan konstanta pegas k dan massa m mempunyai frekuensi natural f . Jika pegas konstanta k dihubungkan secara seri dengan pegas pertama, frekuensi naturalnya akan turun menjadi 1/2f . Nyatakan k dalam k .
2.3 Suatu massa 4.53 kg diletakkan pada ujung bawah suatu pegas, sedangkan pada ujung atasnya tetap. Sistem ini bergetar dengan periode natural 0.45 sekon. Tentukan periode natural jika massa 2.26 kg dilekatkan di tengah-tengah pegas yang sama sedangkan ujung- ujung atas dan bawahnya tetap.
2.4 Suatu massa m kg yang dilekatkan pada ujung suatu pegas dengan konstanta pegas k memberikan frekuensi natural 94 cpm. Jika massa 0.453 kg ditambahkan pada m, frekuensi naturalnya turun menjadi 76.7 cpm. Tentukan massa m dan konstanta pegas k dalam N/m.
2.5 Hitung frekuensi natural untuk sistem getaran massa-pegas pada papan yang miring seperti pada Gambar S.5.
Gambar S.5 m k1 k2 θ
2.6 Benda dengan berat W ditahan oleh tiga puli dan sebuah pegas yang mempunyai kekakuan k, seperti terlihat pada Gambar S.6. Gesekan dan massa puli diabaikan. Tentukan frekuensi natural benda pada simpangan yang kecil.
Gambar S.6
2.7 Skema diagram dari governor sentrifugal terlihat seperti pada Gambar S.7. Panjang setiap tali adalah l dan massa setiap bola adalah
m serta panjang bebas pegas adalah h. Jika kecepatan poros adalah ω,
tentukan posisi kesetimbangan dan frekuensi natural pada simpangan kecil.
W
BAB III
3.1 Sistem spring-mass-damper, m = 50 kg dan k = 5000 N/m. Carilah a) Konstanta redaman kritis b) Frekuensi natural teredam c) Pengurangan logaritmik.
3.2 Pendulum torsional mempunyai frekuensi natural 200 siklus/menit ketika digetarkan pada daerah vakum. Momen inersia massa disc
adalah 0,2 kg m . Jika digetarkan pada oli, frekuensi natural menjadi 180 siklus/menit. Tentukan konstanta redaman, jika disc pada oli diberikan simpangan awal 2⁰.
3.3 Bodi bergetar dengan redaman viskos terjadi 5 osilasi per sekon dan pada 50 siklus amplitudo menurun 10 persen. Tentukan pengurangan logaritmik dan rasio redaman.
3.4 Siklus redaman viskos mempunyai kekakuan 5000 N/m, konstanta redaman kritis 0.2 N s/mm dan pengurangan logaritmik 2. Jika sistem diberi kecepatan awal 1 m/s. Hitunglah simpangan maksimum pada sistem.
3.5 Sistem seperti terlihat pada Gambar S.8, mempunyai frekuensi natural 5 Hz. Data sistem m = 10 kg, J = 5 kg m², r = 10 cm, r = 25 cm. Ketika sistem diberi gangguan dengan simpangan awal, amplitudo getaran bebas berkurang 80% pada siklus ke-10. Tentukan harga k dan c.
3.6 Massa 20 kg bergetar sliding 4 kali pada permukaan kasar karena aksi dari pegas yang mempunyai kekakuan 10 N/mm. Setelah 4 siklus, amplitudonya menjadi 100 mm. Tentukan koefisien gesekan rata-rata antara dua permukaan jika amplitudo awal 150 mm. Tentukan juga waktu yang diperlukan untuk 4 siklus.
Gambar S.8.
m
k
x(t)
r
2r
1O
c
BAB IV
4.1 Sistem pegas – massa 100 N dan pegas dengan kekakuan 2000 N/m. Massa diberi gaya paksa F(t) = 25 cos t N. Tentukan amplitudo getaran paksa pada a) 0.25 siklus b) 2.5 siklus dan c) 5.75 siklus.
4.2 Sebuah massa digantungkan pada pegas dengan kekakuan 4000 N/m dan dikenai gaya harmonik dengan amplitudo 100 N dan frekwensi 5 Hz. Amplitudo getaran paksa massa adalah 20 mm. Tentukan harga m.
4.3 Sistem massa pegas dengan massa m = 10 kg dan k = 5000 N/m diberikan gaya harmonik dengan amplitudo 250 N dan frekuensi . Jika amplitudo maksimum massa adalah 100 mm. Hitung harga .
4.4 Pada Gambar S.9 diberikan gaya periodik F(t) = F0 cos t. Tentukan
steady state response dari massa m.
Gambar S.9.
m
k
x
c
DAFTAR PUSTAKA
1. Meirovitch, L. (1995), Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill Kogakusha, Ltd, Tokyo.
2. Morse, M. (1984), Vibration and Sound, McGraw Hill Book Company, Inc, New York.
3. Rao. S., S. (1995), Mechanical Vibration, Eddison-Wesley Publishing Company.
4. Thompson, W.T., (1981), Theory of Vibration with Application, NewYork-Prentice Hall, New York.
TENTANG PENULIS
Dr. Eng. Didik Nurhadiyanto, ST., MT. lahir di
Boyolali 4 Juni 1971. Setelah menamatkan pendidikan strata satu di Jurusan Teknik Mesin Undip pada tahun 1996 kemudian bekerja di Jurusan Pendidikan Teknik Mesin FPTK IKIP Yogyakarta sekarang menjadi Jurusan Pendidikan Teknik Mesin FT Universitas Negeri Yogyakarta sampai saat ini. Pada tahun 1998 melanjutkan pendidikan magister di Jurusan Teknik Mesin ITS lulus pada tahun 2001. Pada tahun 2011 melanjutkan pendidikan doktoral di Yamaguchi University Jepang lulus pada tahun 2014. Penulis aktif dalam penelitian di bidang Teknik Mesin. Di samping itu penulis banyak menulis di jurnal, baik nasional maupun internasional. Beberapa kali penulis juga mengikuti seminar nasional dan internasional sebagai pemakalah.