Getaran Struktur Unesco Bookpaper (127hlm)

GETARAN STRUKTUR

Didik Nurhadiyanto

Getaran Struktur

Copyright@Didik Nurhadiyanto

Desain Cover : den_nazz

Tata Letak Isi : Nasir Nur H

Copyright

©

_{2015 by Penerbit K-Media}

All right reserved

Hak Cipta dilindungi Undang-Undang No. 19 Tahun 2002.

Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun

tanpa izin tertulis dari Penerbit K-Media.

Cetakan Pertama: Maret 2015

Penerbit K-Media

Perum Pondok Indah Banguntapan, Blok B-15

Potorono, Banguntapan, Bantul. 55196. Yogyakarta

e-mail: kmedia.cv@gmail.com

Didik Nurhadiyanto

Getaran Struktur, Cet. 1

Yogyakarta: Penerbit K-Media, 2015

vi, 121 hlm; 15,5 x 23 cm

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah saya panjatkan ke hadlirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga buku Getaran Struktur ini dapat terselesaikan. Buku ini dibuat didasarkan karena kurangnya literatur tentang getaran struktur, yang sangat berguna bagi mahasiswa.

Buku ini bisa digunakan oleh mahasiswa program diploma maupun strata satu. Bila sekiranya mahasiswa kurang memahami, maka mahasiswa bisa membaca referensi lain. Isi dari buku ini mulai dari dasar-dasar getaran, baik getaran bebas maupun getaran paksa, baik getaran teredam maupun tidak teredam. Sebelumnya juga banyak membahas tentang massa, konstanta kekakuan pegas, dan konstanta kekakuan redaman ekivalen. Selain hal yang tersebut di atas juga banyak membahas tentang frekuensi diri.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada istri dan anak atas pengertian dan kesabarannya selama penulisan buku ini. Penulis merasa masih banyak kekurangan di sana-sini, oleh karena itu saran dan kritik dari pembaca sangat saya harapkan demi kebaikan buku ini. Mudah-mudahan buku ini bisa bermanfaat bagi kita semua. Amiiin.

Yogyakarta, Februari 2015

DAFTAR ISI

1.5 Prosedur Menganalisa Getaran ... 8

1.6 Elemen Pegas... 12

1.7 Massa atau Inersia Elemen ... 20

1.8 Elemen Redaman (Damping Element) ... 25

1.9 Gerak Harmonik ... 33

1.10 Gerak Periodik ... 38

BAB II GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN ... 43

2.1 Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi ... 43

2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman ... 52

2.3 Metoda Energi (Metoda Lagrange) ... 55

2.4 Kondisi Stablilitas ... 60

2.5 Metoda Energi Rayleigh ... 64

2.6 Resume ... 69

BAB III GETARAN BEBAS TEREDAM ... 71

3.1 Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping Ratio) ... 73

3.2 Pengurangan Logaritmik ... 82

3.4 Redaman Coulomb ... 88

3.5 Resume ... 91

BAB IV GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA HARMONIK ... 93

4.1 Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik ... 93

4.2 Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik ... 105

4.3 Resume ... 107

SOAL-SOAL ... 109

BAB I ... 109

BAB II ... 112

BAB III ... 115

BAB IV ... 117

DAFTAR PUSTAKA ... 119

BAB I

DASAR-DASAR GETARAN

Getaran adalah gerakan bolak-balik yang berulang dari bagian suatu benda atau mesin dari posisi kesetimbangan statisnya jika keadaan setimbang tersebut terganggu oleh gaya paksa (eksitasi) atau gerakan badan mesin tersebut. Gerakan bolak-balik ini biasa disebut sebagai osilasi. Semua benda yang mempunyai massa dan elastisitas mampu bergetar. Jadi mesin dan struktur rekayasa mengalami getaran sampai derajat tertentu dan rancangannya memerlukan pertimbangan sifat osilasinya.

Karakteristik getaran meliputi parameter-parameter utama, yaitu frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang. Pengukuran dasar dengan menggunakan instrumen penting dilakukan untuk memperoleh hubungan waktu dengan perpindahan, kecepatan dan percepatan. Dari analisis dapat diperoleh informasi seperti frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang.

1.1 Konsep Dasar Getaran

Pada umumnya sistem yang bergetar mengubah energi potensial menjadi energi kinetik atau kebalikannya mengubah energi kinetik menjadi energi potensial. Jika sistem mempunyai peredam maka beberapa energi diserap setiap siklus getaran dan harus diberi sumber dari luar untuk menjaga getaran yang tetap (steady state). Gerakan pendulum sederhana yang terlihat pada Gambar 1.1 merupakan contoh getaran.

ke kiri dari posisi 1. Pada keadaan ini massa m percepatan sudut searah jarum jam, dan dalam waktu tertentu akan mencapai pada kedudukan 2. Pada posisi ini seluruh energi potensial diubah menjadi energi kinetik. Kedudukan massa m terus bergerak dari posisi 2 ke posisi 3 di mana pada posisi 3 seluruh energi kinetik pada posisi 2 diubah menjadi energi potensial. Setelah itu massa m akan bergerak berlawanan arah jarum jam tetapi posisi tertingginya akan lebih rendah dari posisi 1 karena ada redaman dari udara. Gerakan ini akan berulang dari posisi 3 ke posisi 2 dan posisi 1 tetapi posisi 1 dan 3 akan semakin berkurang sampai pendulum akan berhenti.

Gambar 1.1 Pendulum sederhana

1.2 Derajat Kebebasan

Massa m Gambar 1.2 adalah contoh sistem dengan satu derajat kebebasan. Pada Gambar 1.2(a) massa m hanya bergerak dalam arah sumbu x sedangkan pendulum pada Gambar 1.2(b) massa m hanya bergerak dalam arah θ untuk koordinat polar.

(a) sistem massa-pegas (b) sistem torsional

Gambar 1.2 Sistem satu derajad kebebasan

Beberapa contoh untuk sistem dengan dua dan tiga derajat kebebasan terlihat pada gambar 1.3 dan 1.4. Gambar 1.3(a) menunjukkan sistem dua massa dengan dua pegas yang digambarkan dengan dua koordinat, yaitu x1 dan x2. Sedangkan untuk gambar 1.3(b) sistem massa m

dan pendulum yang dibatasi oleh dua koordinat, yaitu X dan θ atau oleh x, y dan X. Pada kasus berikutnya x dan y diartikan bahwa x2 + x2 = l2, di mana l adalah konstan.

(a) sistem dua massa dengan dua pegas

(b) sistem massa dengan pendulum

Gambar 1.4(a) dan (c), koordinat xi (i = 1,2,3) dan θ i (i = 1,2,3)

dapat digunakan untuk menggambarkan posisi dan gerakan massa m1, m2

dan m3. Pada kasus 1.4(b) posisi dan gerakan massa mi (i = 1,2,3)

digambarkan dengan posisi θ i (i = 1,2,3).

Gambar 1.4 Sistem dengan tiga derajat kebebasan

1.3 Sistem Diskrit dan Kontinu

Di dalam getaran suatu sistem mekanik apabila kita anggap massa-massa dari bodi terkonsentrasi pada pusat gravitasinya disebut sistem getaran diskrit (discrete or lumped vibration System). Gambar 1.1 sampai 1.4 merupakan contoh untuk discrete vibration system. Sebagai gambaran kita ambil contoh pada Gambar 1.4(b). Sistem terdiri dari 3 massa, yaitu m1, m2 dan m3. Posisi masing-masing massa berada pada pusat massa m1,

m2 dan m3. Dalam sumbu kartesian posisi m1 dinyatakan dalam (x1,y1),

Sistem getaran yang kontinu (continous or distributed vibration system) adalah suatu sistem getaran yang terdiri dari molekul-molekul atau partikel-partikel yang berjumlah tak terhingga di mana partikel-partikel tersebut mempunyai pergerakan elastis yang relatif satu sama lain.

Continous vibration system mempunyai derajat kebebasan yang tak terhingga. Pada umumnya partikel-partikel terletak pada satu domain yang dianggap tidak berubah banyak. Perubahan bentuk dari domain disebabkan pergerakan elastik relatif dari partikel-partikel tersebut. Perubahan bentuk ini biasa disebut sebagai deformasi domain. Domain ini disebut sebagai

continous elastic body.

Dalam continous elastic body tidak ada pusat garvitasi yang tetap untuk seluruh bodi karena domain selalu berubah-ubah bentuk geomerinya. Dengan demikian massa untuk continous elastic body

merupakan distribusi massa partikel-partikel anggota di seluruh domain. Domain kedudukan partikel-partikel dan deformasi bentuk dapat dilihat pada Gambar 1.5.

(a) Domain kedudukan partikel-partikel (b) Deformasi bentuk dari domain

Gambar 1.5 continous elastic body

Analisis sistem getaran yang kontinu sangat susah dan biasanya dilakukan menggunakan:

1. Metode elemen hingga (finite elemen method)

2. Finite defference method

1.4 Klasifikasi Getaran

Getaran dapat diklasifikasikan dengan berbagai jalan. Beberapa klasifikasi yang penting adalah seperti uraian ini.

a. Getaran bebas dan getaran paksa

Getaran bebas terjadi jika setelah diberi gangguan awal sistem akan berosilasi sendiri karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri dan tidak ada gaya dari luar yang bekerja. Karena tidak ada gaya luar yang bekerja maka sistem akan berhenti dalam waktu tertentu. Hal ini disebabkan adanya redaman pada sistem getaran atau dari luar sistem getaran.

Getaran paksa terjadi karena rangsangan gaya dari luar atau biasa disebut eksitasi. Jika rangsangan itu berosilasi maka, sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem, maka akan didapat keadaan resonansi, dan osilasi yang besar dan berbahaya akan terjadi. Kerusakan pada struktur seperti jembatan, gedung, sayap pesawat terbang dan lain-lain merupakan kejadian yang menakutkan yang disebabkan resonansi. Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal yang sangat penting.

b. Linier dan tidak linier

c. Getaran teredam dan tanpa redaman

Jika tidak ada energi yang hilang atau diserap (disipasi) oleh gesekan atau tahanan yang lain selama osilasi, maka getaran yang terjadi dinamakan getaran tanpa redaman atau undumped vibration. Tetapi jika ada energi yang hilang atau diserap maka getaran yang terjadi dinamakan getaran teredam atau damped vibration.

Semua sistem yang bergetar mengalami redaman sampai derajat tertentu karena energi didisipasi oleh gesekan dan tahanan lain. Jika redaman itu kecil, maka pengaruhnya sangat kecil pada frekuensi natural sistem dan perhitungan frekuensi natural biasanya dilaksanakan atas dasar tidak ada redaman. Sebaliknya redaman sangat penting untuk membatasi amplitudo osilasi waktu resonansi.

(a) eksitasi deterministik (periodik) (b) eksitasi random

Gambar 1.6 eksitasi deterministik dan random

d. Getaran diterministik dan non-deterministik

random. Getaran yang terjadi juga non-deterministik atau random. Contoh eksitasi random adalah kecepatan angin, kekasaran jalan, gempa bumi dan lain-lain. Untuk eksitasi deterministik dan random bisa dilihat pada Gambar 1.6.

1.5 Prosedur Menganalisa Getaran

Respon getaran pada sistem getaran biasanya tergantung pada kondisi awal sama seperti eksitasi dari luar. Dalam praktiknya sistem getaran sangat komplek, dan tidak mungkin dikerjakan secara detail dengan analisis matematika, tetapi yang mungkin adalah perhitungan analisis untuk memprediksikan kelakuan sistem berdasarkan kondisi input yang spesifik. Untuk menyederhanakan sistem seringkali dibuat modelnya. Sehingga analisa sistem getaran antara lain meliputi model matematika, membuat persamaan matematikanya, penyelesaian persamaan matematika dan interpretasi persamaan getaran. Masing-masing langkah bisa dijelaskan sebagai berikut:

Langkah 1: pemodelan matematika. Pemodelan matematika menggambarkan semua bagian penting dari sistem untuk diturunkan persamanan matematika (untuk analisis) sesuai tingkah laku dari sistem. Model matematika harus mendetail supaya bisa menggambarkan sistem dalam rangka pembuatan persamaan matematika tanpa membuat benda secara komplek. Model matematika bisa linier atau non-linier, tergantung keadaan sistem itu sendiri. Contoh pemodelan matematika dapat dilihat pada Gambar 1.7. Gambar 1.7(a) merupakan gambar forging hammer

secara detail. Dalam analisis getaran harus dibuat model matematika. Di sini dibuat dalam dua model matematika, yaitu Gambar 1.7(b) menunjukkan perilaku getaran sistem secara keseluruhan di mana frame,

(a) Forging hammer

(b) Model matematika keseluruhan sistem

(c) Model matematika bagian sistem

Gambar 1.7 Pemodelan untuk forging hammer

Langkah 2: Persamaan matematika. Setelah pemodelan matematika

massa dengan memisahkan massa tersebut dan mengidentifikasi gaya-gaya yang bekerja, yaitu gaya-gaya luar, gaya reaksi dan gaya inersia. Persamaan perpindahan dari sistem getaran biasanya dalam bentuk persamaan diferensial biasa untuk sistem diskrit dan persamaan diferensial parsial untuk sistem yang kontinu. Beberapa pendekatan yang digunakan untuk menurunkan persamaan matematika, antara lain hukum kedua

σewton tentang gerak, prinsip d’Alembert dan prinsip konservasi energi.

Contoh soal 1.1.

(a) motor dan pengendara

(b) pemodelan sistem sebagai satu kesatuan

(c) pemodelan per elemen

Gambar 1.8 Motor dan pengendara - sistem fisik dan pemodelan

Keterangan indeks:

ek : ekivalen p : penumpang m : motor

Langkah 3: Penyelesaian persamaan getaran. Persamaan matematika

harus diselesaikan untuk memperoleh respon getaran. Penyelesaian ini tergantung dari permasalahan, tetapi penyelesaian ini bisa dilakukan antara lain dengan penyelesaian persamaan diferensial, metode transformasi laplace, metode matrik dan metode numerik.

Langkah 4: Interpretasi respon getaran. Penyelesaian persamaan

getaran diperoleh simpangan, kecepatan dan percepatan dari variasi massa sistem. Respon ini harus dikerjakan dengan analisis yang tepat dan penerapan desain yang sesesuai mungkin.

1.6 Elemen Pegas

Bila suatu pegas linier dikenai gaya sebesar F di mana pegas mempunyai kekakuan k maka pegas akan terdefleksi. Misalkan defleksi pegas sebesar x, maka akan berlaku hubungan linier seperti pada persamaan (1.1).

F = k x (1.1)

Gambar 1.9 Hubungan gaya dengan defleksi pegas

F

Jika kita plot grafik hubungan F dengan x akan terbentuk garis miring yang linier, luasan di bawah garis miring pada x yang tertentu merupakan energi potensial pegas (U), lihat Gambar 1.9.

2

kx

2

1

U



(1.2)

Apabila sistem getaran bukan merupakan pegas dan massa yang diberi gaya luar, tetapi merupakan sistem lain maka bisa dibuat seperti massa ekivalen dan pegas yang mempunyai konstanta ekivalen. Gambar 1.10 dan 1.11 masing-masing batang dan beam yang bisa dianggap sebagai pegas dengan konstanta pegas ekivalen. Pada batang yang mempunyai luas penampang A dan diberi gaya F akan terdefleksi sejauh l.

A

F

σ



(1.3)

(a) Batang ditarik gaya (b) Pegas ekivalen

Gambar 1.10 Batang ditarik gaya sebagai pegas ekivalen

σ = ɛE (1.4)

(1.5)

Gambar 1.11 menunjukkan kantilever atau beam dengan massa merada di ujung. Elemen elastik seperti ini bisa juga dianggap sebagai pegas. Untuk menyederhanakan masalah massa beam, dianggap nol bila dibandingkan dengan massa m. Dari mata kuliah kekuatan bahan kita tahu bahwa defleksi pada ujung beam sejauh δst.

(a) sistem aktual (b) model single degree of freedom

Gambar 1.11 Kantilever dengan massa di ujung

Dalam aplikasi praktis beberapa pagas linier digunakan dalam kombinasi. Pegas-pegas tersebut bisa diganti menjadi sebuah pegas dengan indikasi yang berbeda-beda,

Kasus 1 : Pegas-pegas disusun paralel. Bila dua buah pegas atau lebih

yang mempunyai konstanta tertentu disusun secara paralel dan di ujung pegas-pegas tersebut diberi beban dengan berat W, maka pegas-pegas tersebut akan terdefleksi. Defleksi yang terjadi akan sama pada masing-masing pegas, yaitu sebesar st. Susunan pegas paralel bisa dilihat pada

gambar 1.12(a) dan 1.12(b), sedangkan diagram benda bebasnya terlihat pada gambar 1.12(c).

Kita lihat diagram benda bebas, di sana terjadi kesetimbangan.

W = k1δst + k2δst (1.10)

Jika kek adalah konstanta ekivalen pegas dari kombinasi dua pegas, maka

untuk defleksi yang sama kita punya seperti persamaan (1.11).

W = kekδst (1.11)

Kek = k1 + k2 (1.12)

(a) susunan pegas paralel (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas

Gambar 1.12 Susunan pegas paralel

Dari uraian di atas, maka kita bisa mengambil suatu kesimpulan bila suatu pegas disusun secara paralel maka konstata pegas ekivalen adalah penjumlahan dari seruruh konstanta pegas penyusun, persamaannya bisa dilihat pada persamaan (1.13).

Kek = k1 + k2……+ kn (1.13)

Kasus 2: Pegas-pegas disusun secara seri. Gambar 1.13 menunjukkan

dua buah pegas yang mempunyai konstanta pegas tertentu dan disusun secara seri. Beban W diberikan pada ujung pegas, maka susunan pegas akan terdefleksi sejauh st. Defleksi ini merupakan penjumlahan

masing-masing defleksi kedua pegas. Total defleksi statik sistem adalah st, yang

diberikan oleh persamaan (1.14).

Kedua pegas menerima beban sebesar W, bila kita lihat diagram benda bebas pada gambar 1.12(c) maka

W = k1δ1

W = k2δ2 (1.15)

(a) susunan pegas seri (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas

Gambar 1.13 Susunan pegas seri yang diberi beban

Kita misalkan kek adalah konstanta pegas ekivalen sistem, untuk jumlah

defleksi statik yang sama, maka

W = kekδst (1.16)

Dari persamaan (1.15) dan (1.16) diperoleh

Substitusi persamaan (1.17) ke dalam persamaan (1.14) diperoleh

Secara umum, apabila beberapa pegas yang mempunyai konstanta kekakuan yang berbeda-beda maka dapat disimpulkan seperti persamaan 1.19.

Batang AB pada crane terlihat pada gambar 1.14(a) adalah batang seragam yang panjangnya 10 m dan luas penampangnya adalah 2500 mm2. Kabel CDEBF terbuat dari baja dan mempunyai luas penampang 100 mm2. Efek kabel CDEB diabaikan. Hitung konstanta kekauan pegas ekivalen dalam arah vertikal.

Jawab :

sejauh x2 = x cos 45 0

dan kabel dengan kekakuan k1 akan terdeformasi

sejauh x1 = x cos(90 - θ). Panjang kabel FB, l1 pada Gambar 1.14(b) adalah

l1 2

= 32 + 102– 2(3)(10)cos 1350 = 151.426, sehingga l1 = 12.3055 m

Sudut θ diberikan oleh hubungan

l1 2

+ 32– 2(l1)(3)cos θ = 10 2

, sehingga cos θ = 0.8184, dan θ = 35.07360

(a) Crane

(b) pemodelan getaran (c) pegas ekivalen

Energi potensial total (U) disebabkan oleh k1 dan k2 seperti diberikan oleh

Dengan mengambil U = Uek maka akan diperoleh konstanta pegas ekivalen

Dalam banyak kasus, kita harus menggunakan model matematika untuk merepresentasikan sistem getaran yang sesungguhnya dan ada beberapa model yang mungkin. Untuk menganalisa kita harus menentukan mana model matematika yang sesuai. Salah satu model yang dipilih adalah massa atau inersia elemen dari sistem yang dapat diidentifikasi dengan mudah. Sebagai contoh kantilever beam yang mempunyai massa di ujung yang terlihat pada gambar 1.11(a). Untuk menganalisisnya maka beam

biasa dimodelkan sebagai sistem pegas seperti pada gambar 1.11(b). Contoh lain bangunan bertingkat seperti gambar 1.15(a) apabila terkena gempa bumi. Massa dari tembok diabaikan dibandingkan massa lantai setiap tingkat. Bangunan dimodelkan sebagai multi DOF seperti terlihat pada Gamabr 1.15(b). Massa setiap lantai dianggap sebagai massa elemen dan elastisitas bagian vertikal dianggap sebagai elemen pegas.

(a) bangunan bertingkat (b) model matematika

Gambar 1.15 Idealisasi bangunan bertingkat sebagai multi DOF

Dalam penerapannya, beberapa massa berada dalam satu kombinasi. Sebagai contoh analisis, kita akan mengganti massa-massa ini sebagai sebuah massa ekivalen.

Kasus 1. Beberapa massa dihubungkan oleh suatu batang : Beberapa

massa diletakkan pada batang seperti pada Gambar 1.16. Massa-massa tersebut bisa diganti dengan massa ekivalen yang diletakkan di sembarang titik pada batang. Sebagai contoh spesifik massa ekivalen diletakkan pada m1 seperti terlihat pada Gambar 1.16(b). Kecepatan massa-massa m2 dan

m3 bisa dinyatakan dalam kecepatan m1, dengan asumsi perpindahan sudut

batang yang kecil.

,

(1.20)

Dan

(1.21)

(a) tiga massa terletak pada batang

(b) massa ekivalen pada batang

Dengan menyamakan energi kinetik ketiga massa dengan sistem sebuah massa ekivalen, kita peroleh

(1.22)

dengan mensubstitusi persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan (2.22) diperoleh

(1.23)

Kasus 2: Massa translasi dan rotasi digabung menjadi satu.

Massa m bergerak translasi dengan kecepatan digabung dengan massa

lain yang bergerak rotasi yang mempunyai kecepatan sudut dan momen inersia massa J0, seperti rack dan pinion pada Gambar 1.17. Kedua massa

ini bisa diganti dengan sebuah massa yang bergerak translasi dengan massa mek atau bergerak rotasi dengan momen inersia massa Jek.

Gambar 1.17 massa translasi dan rotasi pada rack dan pinion.



x



1. Massa translasi ekivalen. Energi kinetik kedua massa diberikan oleh.

(1.24)

energi kinetik massa ekivalen diberikan oleh

(1.25)

di mana

dan

dengan menyamakan T = Tek dan mengganti harga-harga di atas, maka

sehingga

(1.26)

2. Massa rotasional ekivalen.

Di sini dan , dengan menyamakan T dan Tek pada

persamaan 1.24 dan 1.25 di atas, maka

( )

1.8 Elemen Redaman (Damping Element)

Dalam beberapa sistem, energi getaran berangsur-angsur diubah menjadi panas atau sound. Karena adanya reduksi energi, maka respon getaran seperti simpangan berangsur-angsur akan menurun. Sistem mekanik di mana energi getaran berangsur-angsur diserap menjadi panas dan sound dikenal sebagai redaman. Walaupun penyerapan energi ini relatif kecil namun mempertimbangkan redaman tetap penting untuk ketepatan perhitungan respon getaran sistem. Peredam berfungsi sebagai gaya bila ada kecepatan relatif di antara dua ujung peredam. Peredam bisa dimodelkan sebagai salah satu atau lebih dari tipe-tipe berikut:

Viscous Damping. Viscous damping adalah yang paling umum digunakan sebagai redaman mekanik dalam analisis getaran. Bila sistem mekanik digetarkan di medium fluida, seperti udara, gas, air dan oli akan terjadi tahanan bodi oleh fluida sebab energi sistem diserap. Dalam hal ini besarnya penyerapan tergantung pada beberapa faktor, seperti ukuran dan bentuk bodi getaran, viskositas fluida, dan kecepatan bodi yang bergetar. Gaya redaman sebanding dengan kecepatan bodi yang bergetar. Contoh tipe viscous damping adalah selaput fluida di antara permukaan yang bergesekan, aliran fluida di sekeliling piston dalam silinder, aliran fluida yang melewati orifis dan selaput fluida di sekitar jurnal bearing.

Coulomb atau Redaman Gesekan. Di sini besarnya gaya redaman

adalah konstan tetapi arahnya berlawanan dengan bodi yang bergetar. Redaman ini disebabkan oleh gesekan antara bidang gesekan yang kering atau mempunyai pelumas diantaranya.

Material atau Solid atau Hysteretic Redaman. Ketika material

(a) (b)

Gambar 1.18 Hysteretic loop untuk material elastik

(1.29)

di mana A adalah luas permukaan pelat yang bergerak, dan

(1.30)

dinamakan konstanta redaman.

Kombinasi Peredam

Bila beberapa peredam dipasang secara bersama-sama, maka bisa diganti oleh sebuah peredam ekivalen dengan prosedur sama seperti beberapa pegas yang dipasang secara bersama-sama (lihat sub bab 1.6).

Contoh soal 1.3

Tentukan konstanta redaman pada dashpot yang terlihat pada Gambar 1.20 di bawah. Diketahui diameter silinder = D + 2d, diameter piston = D, kecepatan piston = v, panjang aksial piston = l dan viskositas fluida = μ.

Gambar 1.20 Piston-silinder dashpot

Jawab :

Seperti pada Gambar 1.20, dashpot terdiri dari piston dengan diameter D, panjang l, bergerak dengan kecepatan v0 pada silinder dan diberi pelumas

π π (E.1)

tegangan geser diberikan oleh

(E.2)

di mana tanda negatif menyatakan gradien kecepatan yang berkurang. Dengan memasukkan persamaan (E.2) ke (E.1), diperoleh

π (E.3)

Tekanan piston pada ujung bawah piston diberikan

( )

(E.4)

Gaya tekanan di sekitar piston adalah

π (E.5)

di mana (π D dy) menunjukkan luas annular antara y dan (y + dy). Jika diasumsikan kecepatan rata-rata seragam pada arah gerakan pada fluida, maka gaya pada persamaan (E.3) dan (E.5) harus sama, diperoleh

_{π π}

Dengan mengintegrasikan dua kali dan memberikan kondisi batas v = - v0

pada y = 0 dan v = 0 pada y = d, kita peroleh

(E.7) debit rata-rata yang melewati ruang antara piston dan silinder dapat diperoleh dengan mengintegrasikan debit fluida yang dipindahkan karena gerakan piston diantara y = 0 dan y = d.

∫ π (E.8)

Volume aliran fluida yang melewati ruang antara per detik harus sama dengan volume per detik yang dipindahkan oleh piston. Sehingga kecepatan piston harus sama debit rata-rata fluida dibagi dengan luas piston.

(E.9)

Dengan memasukkan Q pada persamaan (E.9) ke persamaan (E.8) diperoleh

(E.10)

Persamaan (E.10) bisa diganti P = c v0, di mana c adalah konstanta

redaman yang besarnya

Contoh soal 1.4

Mesin milling ditahan oleh empat shock seperti pada Gambar 1.21. Elastisitas dan redaman shock dapat dimodelkan sebagai pegas dan peredam seperti pada Gambar 1.21(b). Tentukan konstanta pegas ekivalen (kek) dan konstanta redaman ekivalen (cek).

Jawab :

(b)

(c)

Gambar 1.21 Mesin miling horisontal

(E.1)

Total gaya untuk semua pegas dan semua peredam adalah Fs dan Fd, maka

(E.2)

Dari persamaan (E.1) dan (E.2) dan harga x serta c setiap sudut sama, maka diperoleh

(E.3)

di mana Fs + Fd = W, dan W adalah total gaya vertikal (termasuk gaya

inersia) yang bekerja pada mesin milling. Pada Gambar 1.21 (c) terlihat

(E.4)

Dengan menyamakan persamaan (E.3) dan (E.4) dan ki = k serta ci = c

maka

1.9 Gerak Harmonik

Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, misalnya gerak pendulum sederhana. Osilasi bisa juga bergerak tidak beraturan, contoh gerakan tanah saat terjadi gempa bumi. Jika gerakan terulang pada interval yang sama (), maka dinamakan gerak periodik. Waktu pengulangan  tersebut disebut perioda osilasi, dan kebalikannya, f = 1/, disebut frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi x(t), maka setiap gerak periodik harus memenuhi hubungan x(t) = x(t + ). Bentuk gerak periodik yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat diperagakan pada sebuah massa yang tergantung pada sebuah pegas ringan pada mekanis yoke Scotch seperti terlihat pada Gambar 1.22. Pada sistem ini

crank mempunyai jari-jari A, dan berpusat di O. Ujung crank yang satunya P bergerak dibatasi slot yang bergerak vertikal dan dibatasi R. Ketika

crank berotasi dengan kecepatan sudut , ujung S juga bergerak sesuai slot dan massa m pada sistem massa-pegas dari posisi tengah bergerak sejauh x

(fungsi waktu) yang diberikan oleh

dengan  dan f adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut biasanya diukur dalam detik dan siklus per detik.

Gerakan massa merupakan sinusoidal seperti terlihat pada gambar 1.22. Kecepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh

dan percepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh

π (1.34)

Gambar 1.22 Mekanis Yoke Scotch

Gambar 1.23 Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan

mendahului simpangan dengan  dan 2

Peninjauan kembali persamaan (1.31) dan (1.34) menunjukkan bahwa

(1.35)

sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan simpangan dan arahnya menuju titik asal.

1.9.1 Besaran vektor untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik

Proyeksi vektor ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ pada sumbu vertikal diberikan oleh

(1.36)

dan untuk proyeksi terhadap sumbu horizontal diberikan oleh

(1.37)

Gambar 1.24 Getaran harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang

1.9.2 Bentuk Eksponensial dan Bilangan Kompleks untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik

Besaran disebut sinusoid komplek dengan a dan b adalah komponen riil dan imajiner. Besaran juga memenuhi persamaan untuk gerak harmonik.

1.10 Gerak Periodik

Pada getaran biasanya beberapa frekuensi yang berbeda ada secara bersama-sama. Contoh getaran dawai biola terdiri dari frekuensi dasar f

dan semua harmoniknya 2f, 3f dan seterusnya. Getaran semacam ini menghasilkan bentuk gelombang komplek yang diulang secara periodik seperti Gambar 1.26.

Matematikawan Perancis J. Fourier (1768 – 1830) menunjukkan bahwa tiap gerak periodik dapat dinyatakan oleh deretan sinus dan cosinus yang dihubungkan secara harmonik. Jika x(t) adalah fungsi periodik dengan perioda , maka fungsi ini dinyatakan oleh deret Fourier.

∑ (1.42)

di mana  = 2/ dan a0, a1, a2….an, b1, b2,….bn adalah koefisien konstan.

Untuk menghitung koefisien an dan bn, dengan mengalikan cos nt dan sin

nt kedua ruas persamaan (1.42), serta mengintegrasikan dengan satu perioda  = 2/. Dengan mengingat hubungan berikut

∫ { _}

∫

maka semua suku kecuali satu pada ruas kanan persamaan adalah nol, dan diperoleh hasil,

∫ ∫

∫ ∫ (1.44)

∫ ∫

Gambar 1.26 Gerak periodik dengan perioda 

Contoh soal 1.5

Jika y(t) diketahui seperti Gambar 1.27, maka cari persamaan getaran untuk x(t).

Gambar 1.27 Sistem Cam-follower

Jawab :

(E.1)

∫

Rumus integral ∫

(E.5)

Jadi

∑

∑

∑

di mana

sehingga

BAB II

GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN

Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa rangsangan luar. Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi natural getarannya. Sasaran kita di sini adalah belajar menulis persamaan geraknya dan menghitung frekuensi naturalnya yang merupakan fungsi massa dan kekakuan sistem.

Redaman dalam jumlah sedang mempunyai pengaruh yang sangat kecil pada frekuensi natural dan dapat diabaikan dalam perhitungannya. Kemudian sistem dapat dianggap sebagai sistem yang konservatif dan prinsip kekekalan energi memberikan pendekatan lain untuk menghitung frekuensi natural. Pengaruh redaman sangat terlihat pada berkurangnya amplitudo getaran terhadap waktu. Walaupun terdapat banyak model redaman namun hanya model yang menghasilkan cara analitik yang mudah dibahas dalam bab ini.

2.1 Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi

Gambar 2.1 Sistem pegas-massa dan diagram benda bebas

Bila digerakkan, osilasi akan terjadi pada frekuensi natural fn, yang

merupakan milik sistem. Kita sekarang mengamati beberapa konsep dasar yang dihubungkan dengan getaran bebas sistem dengan satu derajat kebebasan.

Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak sistem. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1, perubahan bentuk pegas pada posisi kesetimbangan statik adalah ∆ dan gaya pegas adalah k∆ adalah sama dengan gaya gravitasi W yang bekerja pada massa m.

k∆ = W = mg (2.1)

Dengan mengukur simpangan x dari posisi kesetimbangan statik, maka gaya-gaya yang bekerja pada massa m adalah k(∆+x) atau W. Dengan x yang dipilih positif dalam arah ke bawah. Sekarang hukum Newton kedua untuk gerak diterapkan pada massa m.

∑Fy = 0

dan karena k∆ = W, diperoleh

Jelaslah bahwa pemilihan posisi kesetimbangan statik sebagai acuan untuk x mengeliminasi W, yaitu gaya yang disebabkan gravitasi. Gaya pegas statik k∆ dari persamaan gerak hingga resultan pada massa m adalah gaya pegas karena simpangan x saja.

Dengan mendefinisikan frekuensi lingkaran ωn menggunakan

persamaan

(2.3)

Persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai

(2.4)

Solusi persamaan (2.2) dengan mengasumsikan

_dan

di mana A dan s adalah konstata, setelah dimasukan ke persamaan (2.2), diperoleh

_{+ = 0}

( + ) = 0

+ = 0 (2.5)

=

jadi

Dengan memasukkan kondisi awal persamaan (2.7) ke dalam persamaan (2.6) termasuk dengan menurunkam dulu persamaan (2.6) maka diperoleh

dan frekuensi naturalnya adalah

√ (2.10)

Besaran-besaran ini dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik dengan melihat persamaan (2.1), = �. Jadi persamaan (2.10) dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik sebagai

√ (2.11)

Contoh soal 2.1

Sebuah massa ¼ kg digantungkan pada pegas yang mempunyai kekakuan 0,1533 N/mm. Tentukan frekuensi naturalnya dalam siklus per sekon. Tentukan juga penyimpangan statiknya.

Jawab :

Konstanta kekakuan

= 153.3 N/m

Substitusi ke dalam persamaan (2.10), menghasilkan frekuensi natural

√ √ (E.1)

Penyimpangan statik pegas yang digantungi massa ⁄ kg diperoleh dari mg

Contoh soal 2.2

Tentukan frekuensi natural massa M yang diletakkan pada ujung kantilever beam yang massanya dapat diabaikan seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Massa m pada ujung kantilever

Jawab:

Penyimpangan kantilever beam yang disebabkan gaya yang terkonsentrasi P adalah

(E.1)

Dengan EI adalah ketegaran lentur. Jadi kekuatan balok adalah k

dan frekuensi natural sistem menjadi

√

(E.2)

Contoh soal 2.3

Gambar 2.3 Sistem puli, massa dan pegas

Jawab:

Pada diagram benda bebas 1 (dbb 1) pada dbb 2

2W = k1 x1 2W = k2 x2

Sehingga gerakan total massa adalah

X = 2

Hukum Newton kedua menyatakan

Jawab :

Gambar 2.4 sistem pegas dan batang yang diberi beban pada ujung.

Pada kondisi statis terjadi kesetimbangan momen, yaitu

mgl3cos α = k2l2sinα l2cos α + k1l1sinα l1cosα (E1)

sehingga dalam keadaan dinamis sudah tidak perlu diperhitungkan

∑Mp = 0

(E.2)

Untuk θ kecil maka sin θ = θdan cos θ = 1, jadi

(E.4)

dan frekuensi naturalnya adalah

√ (E.5)

2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman

Jika benda kaku diberi simpangan sudut dengan sumbu referensi khusus, maka akan menyebabkan gerak yang disebut getaran torsional. Dalam masalah getaran torsional menggunakan kesetimbangan momen torsional. Gambar 2.5 ditunjukkan piringan dengan massa inersia polar J0,

berada di ujung poros dan ujung poros yang lain ditumpu dengan tumpuan

jepit. Simpangan sudut piringan dan poros sebesar θ.

Gambar 2.5 Getaran torsional dari piringan

kekakuan poros (kt)

Di mana : G = modulus elastisitas

Jo = momen inersia luas penampang poros

Jo =

Hukum Newton yang kedua untuk gerakan sudut

+ = 0 ( 2.14 )

=

= sehingga

(t) = cos t+

sin t (2.16)

Frekuensi natural dan priode natural bisa dihitung berdasarkan persamaan diferensial getaran pada persamaan (2.14)

=

= 2π

=

(2.17)

Contoh soal 2.5

Sebuah roda dan ban mobil digantungkan pada batang baja yang diameternya 0.5 cm dan panjangnya 2 m seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6. Bila roda diberi simpangan sudut kemudian lepas, maka ia membuat 10 osilasi dalam 30.2 detik. Tentukan momen inersia polar roda dan ban.

Jawab :

Persamaan rotasional untuk gerak sesuai hukum Newton kedua

( E.1 )

T + U = konstan

( 2.18 )

Bila perhatian hanya tertuju pada frekuensi natural sistem, maka frekuensi itu dapat ditentukan dari pertimbangan prinsip kekekalan energi pada persamaan (2.19 ).

(2.19)

dengan indeks 1 dan 2 menyatakan saat yang berbeda. Ambil indeks 1 saat ketika massa sedang melewati posisi kesetimbangan statik dan pilih U1 = 0

sebagai acuan untuk energi potensial. Ambil indeks 2 saat yang sesuai dengan simpangan maksimum dari massa. Pada potensial ini, kecepatan massa adalah nol, hingga T2 = 0, jadi diperoleh

T1 + 0 = 0 + U2 (2.20)

Namun, bila sistem mangalami gerak hermorik, maka T1 dan U2

merupakan nilai maksimum, jadi

Tmaks = Umaks (2.21)

Persamaan (2.21) langsung menghasilkan frekuensi natural.

Contoh soal 2.6

Tentukan frekuensi natural sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.7.

Gambar 2.7

Jawab:

Anggap bahwa sistem secara harmonik dengan amplitudo  dari posisi kesetimbangan statik. Energi kinetiknya adalah

( ) (E.1)

Energi potensial adalah energi yang disimpan dalam pegas yaitu

U = k ² (E.2)

Sebelumnya diketahui

T + U = konstan, atau

dT + dU = 0

r

2

r

₁

J

θ

( ) + = 0

J 2 + + 2θ =0

J + m + k θ=0

(J+m ) + k θ=0 (E.3)

Dengan melihat persamaan dan persamaan maka diperoleh

ωn =√

dalam hal ini

dan maka

ωn =√

(E.4)

fn = √

(E.5)

Contoh Soal 2.7

Gambar 2.8

Jawab:

Kecepatan translasi pusat silinder adalah

(E.1)

Sedang kecepatan rotasinya adalah

( ) ( (E.2)

Karena tanpa tergelincir maka

(E.3)

Energi kinetiknya adalah

T

[ ] +

T (R (E.4)

Energi potensialnya adalah

(E.5)

Perubahan energi akan menjadi energi lain, sehingga

(T + U) (E.6)

(R ) + W (R - r)(1-

_{+ W}

+W (E.7)

Untuk sudut θ yang kecil maka sin = θ, dan dengan mencoret kedua suku

diperoleh

+

Dengan melihat persamaan dan persamaan maka diperoleh

√ (E.8)

2.4 Kondisi Stablilitas

simetri di ujungnya seperti pada Gambar 2.9. Dimisalkan massa batang adalah m dan pegas tidak meregang pada saat batang vertikal. Ketika batang diberi simpangan sejauh pegas akan diberi beban gaya sebesar kl . Karena ada dua buah pegas, maka total gaya adalah 2kl . Gaya berat W = mg bekerja searah vertikal.

Gambar 2.9 Batang vertikal dipegang pegas simetri di ujung

Persamaan momen batang terhadap titik O adalah

∑ = 0

(2.23)

Untuk osilasi kecil maka sin = dan cos sehingga persamaan

menjadi

(2.24)

Solusi persamaan tergantung pada harga dalam kurung

⁄ bisa dibahas sebagai berikut

Kasus 1: Bila ⁄ Persamaan merupakan osilasi stabil dan dapat diselesaikan sebagai berikut

(2.25)

Di mana A1 dan A2 adalah konstanta dan bisa ditulis

(2.26)

Kasus 2: Bila ⁄ Persamaan menjadi lebih sederhana

(2.27)

(2.28)

Untuk kondisi awal (t=0) = θ0 dan (t=0) = , solusinya menjadi

θ(t)= t + (2.29)

Persamaan (2.29) menunjukkan simpangan sudut meningkat secara linier pada kecepatan konstan 0. Jika 0 = 0, persamaan (2.29) merupakan

keseimbangan statis dengan = 0.

Kasus 3: Bila (12kl²-3Wl)/2ml² < 0, kita definisikan

α = (2.30)

Kita lihat persamaan (2.24), maka solusinya adalah

_(2.31)

di mana B1 dan B2 adalah konstanta. Untuk kondisi awal (t=0) = θ0

dan (t=0) = 0

Persamaan (2.31) menjadi

[( ) _{( ) ] (2.32)}

2.5 Metode Energi Rayleigh

Metode energi ini digunakan untuk sistem bermassa banyak atau untuk sistem yang massanya terdistribusi, bila gerak tiap titik dalam sistem diketahui. Dalam sistem di mana massa-massa dihubungkan oleh penghubung tegar, truss, atau roda gigi, gerak berbagai massa tadi dapat dinyatakan dalam gerak beberapa titik spesifik x dan sistem hanyalah merupakan sistem dengan satu derajat kebebasan karena hanya diperlukan satu koordinat.

Energi kinetik dapat ditulis

(2.33)

Di mana: mef = massa efektif atau segumpalan massa ekivalen pada titik

spesifik tersebut.

Bila kekakuan di titik itu diketahui, maka frekuensi natural dapat dihitung melalui

n=√

(2.34)

Rayleigh menunjukkan bahwa dengan asumsi bentuk amplitudo getaran yang masuk akal, maka massa yang tadinya diabaikan dapat ikut diperhitungkan dan diperoleh perkiraan frekuensi dasar yang lebih baik.

Gambar 2.10 Massa m digantung pada sebuah pegas

Sehingga energi kinetik pegas adalah

(E.1)

Energi kinetik total adalah

T = Energi kinetik massa (Tm) + Energi kinetik pegas (Ts)

T =

m + ∫ (

T =

m +∫

T =

m [ ]

T =

T =

(E.2)

Dari persamaan (2.36) diperoleh kesimpulan bahwa massa efektif pegas adalah 1/3 massa pegas ( (eff) = 1/3ms)

Energi potensial sistem adalah

U =

(E.3)

Jumlah perubahan energi kinetik dan energi potensial adalah nol.

dT + dU = 0

2 +

k 2 x = 0

+ kx = 0 (E.4)

Persamaan ( 2.38 ) menunjukkan bahwa massa efektif sistem adalah

= m + (E.6)

Frekuensi natural sistem dengan memperhitungkan massa pegas adalah

= _√

(E.7)

Contoh soal 2.9

Jawab:

Defleksi statis pada setengah panjang batang adalah

y = untuk (E.1)

Gambar 2.11 Batang ditumpu kedua ujung dengan massa M di

tengah-tengah

Energi kinetik maksimum batang itu sendiri adalah

= (E.2)

Jadi massa efektif sistem di tengah-tengah rentangan adalah

+ 0,4857m (E.6)

x

l l

/2

Frekuensi diri di tengah-tengah sistem adalah

= √

(E.7)

Contoh soal 2.10

Sistem berosilasi seringkali terdiri dari tuas, roda gigi dan penghubung lain yang dapat mempersulit analisis. Sistem katup mesin pada Gambar 2.12 merupakan contoh sistem seperti itu. Penyederhanaan sistem itu menjadi sistem ekivalen yang lebih mudah biasanya diharapkan. Tentukan massa efektif sistem tersebut pada titik A!

Jawab :

Gambar 2.12 Gambar sistem katup mesin

Lengan pemutus (rocker-arm) dengan momen inersia J, katup dengan massa mv dan pegas dengan massa m, dapat disederhanakan menjadi

massa tunggal di A dengan menuliskan energi kinetik sebagai berikut:

(E.1)

Dengan mengingat bahwa kecepatan di A adalah maka persamaan di atas menjadi

(E.2)

Jadi massa efektif di a adalah

(E.3)

Bila batang pendorong sekarang direduksi menjadi sebuah pegas dan massa tambahan pada ujung A, maka seluruh sistem direduksi menjadi pegas tunggal dan sebuah massa seperti ditunjukkan pada Gambar 2.12(b).

2.6 Resume

Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa gangguan dari luar. Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi natural getarannya. Bila sistem bergetar melewati frekuensi naturalnya, maka sistem berada dalam resonasi. Untuk menentukan frekuensi natural bisa menggunakan beberapa metode antara lain dengan:

1. Menentukan massa dan konstanta kekakuan pegas

2. Menentukan massa dan konstanta kekakuan pegas ekivalen 3. Mencari persamaan diferensial getaran

BAB III

- = arahnya berlawanan dengan arah kecepatan

Getaran bebas satu derajat kebebasan (SDOF) dengan redaman dapat dilihat pada Gambar 3.1. Jika x diukur dari kesetimbangan posisi massa m, menurut hukum Newton kedua tentang gerakan diperoleh

(3.2)

(a) Sistem (b) diagram benda bebas

Untuk menyelesaikan persamaan (3.2) kita misalkan solusinya dalam bentuk

_(3.3)

di mana A dan s adalah konstanta, bila persamaan (3.3) diturunkan dua kali diperoleh

_(3.4)

Persamaan (3.4) dimasukkan ke persamaan (3.3) diperoleh

mA + kA = 0

ms2 +cs +k = 0 (3.5)

akar-akar persamaan (3.5) bisa diperoleh dengan rumus

√ = - ± √

√ dan √ (3.6)

sehingga

dan

x (3.7)

x

di mana A1 dan A2 adalah konstanta yang bisa dicari pada kondisi awal.

suku pertama adalah fungsi waktu yang meluruh secara eksponensial. Tetapi sifat suku-suku di dalam kurung tergantung pada nilai numerik di bawah akar, yaitu positif, nol dan negatif.

3.1 Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping Ratio)

Redaman kritis adalah harga c di mana harga radikal (bawah akar pada persamaan (3.8) menjadi nol).

+ = 0

Dalam keadaan ini c menjadi (kondisi kritis)

-

+ = 0 (3.9)

=2m √ = 2√ = 2m (3.10)

Untuk sistem teredam, nilai suatu redaman biasanya dinyatakan dalam redaman kritis oleh rasio non-dimensional, yaitu

yang disebut rasio redaman. Dengan mengingat bahwa

= = (3.12)

Sehingga akar-akar persamaan (3.6) bisa dalam bentuk .

√ (3.13)

Sehingga diperoleh

x(t)= √ + √ (3.14)

Penyelesaian persamaan (3.8) atau (3.14) bisa dilihat pada beberapa kasus berikut

Kasus 1: Underdamped system atau kurang teredam ( < 1 atau c < atau c / 2m < √ .

Untuk kondisi ini, ( berharga negatif dan akar-akar dan dapat ditulis

√

√

Persamaan (3.14) dapat ditulis menjadi

x { √ √ }

x √ √

x √ √

x X √ (3.15)

di mana A1, A2, X dan ф adalah konstanta yang bisa dicari pada kondisi

awal, yaitu

x { √

√ √ } (3.16)

di mana dan adalah simpangan dan kecepatan getaran awal.

Getaran yang dituliskan pada persamaan (3.16) adalah getaran harmonik teredam (lihat Gambar 3.2), di mana suku merupakan pengurangan amplitudo secara eksponensial.

Frekuensi getaran teredam adalah

Gambar 3.2 Getaran teredam

Terlihat bahwa frekuensi getaran teredam selalu lebih kecil dari frekuensi getaran tak teredam (Undamped) . Pengurangan frekuensi getaran teredam semakin besar dengan besarnya harga redaman. Grafik yang menyatakan antara frekuensi teredam dan damping ratio bisa dilihat pada Gambar 3.3.

Gambar 3.3 Variasi ωd dengan damping rasio

1

1

Kasus 2: Critically damped system (teredam kritis) ( = 1 atau c = cc atau

c/2m = √ ). Dalam hal ini akar-akar s1 dan s2 adalah sama.

s1 = s2 = -

= - (3.18)

Karena akar akarnya sama maka penyelesaian persamaan (3.2) menjadi

_(3.19)

Gambar 3.4 Getaran teradam kritis

Pada kondisi awal x(t=0) = x0 dan , bila harga ini

dimasukkan pada persamaan (3.19) maka diperoleh

c1 = x0

c = + (3.20)

dan penyelesaian persamaan (3.19) menjadi

[ ] _(3.21)

x(0)

x(t)

t

persamaan (3.21) merupakan non-periodik dan akan menjadi nol bila t = ∞. Gambar untuk persamaan (3.21) bisa dilihat pada gambar 3.4.

Kasus 3: Overdamped system (keadaan banyak teredam) ( > 1 atau c > cc

atau c/2m > √ . Bila lebih besar dari satu, maka kedua akar tetap berada pada sumbu riil dan berpisah, satu membesar dan yang lainnya mengecil. Akar-akar s1 dan s2 diberikan oleh

√ <

√ < (3.22)

Solusi umum menjadi

√ √ (3.23)

bila dicari pada kondisi awal, di mana x(t=0) = x0 dan maka

diperoleh

√ √

√ √

Gambar 3.5 Gerak aperiodik ( > 1)

Gerak ini merupakan fungsi yang menurun secara eksponensial terhadap waktu dan disebut fungsi aperiodik seperti terlihat pada Gambar 3.5.

Bila ketiga kasus dinyatakan dalam satu gambar untuk membandingkan, akan diperoleh seperti pada Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Perbandingan getaran dengan tipe redaman yang

Contoh soal 3.1

Susunlah persamaan diferensial gerak untuk sistem pada Gambar 3.7. Tentukan persamaan untuk koefisien redaman kritis dan frekuensi natural osilasi teredam.

Gambar 3.7

Diagram benda bebas pada gambar tersebut bisa dibuat

k

c

l

P

a

m

k a sin θ

θ

∑Mp = 0

m l2 cos + ka sin a cos + c a cos a cos = 0 (E.1)

untuk θ yang sangat kecil, maka diperoleh sin θ = θ dan cos θ = 1, sehingga

m l2+ + = 0 (E.2)

Untuk mencari ωn maka redaman diabaikan

m l2 + = 0 (E.3)

dari persamaan (E.3) diperoleh

ωn = √

(E.4)

Redaman kritis bisa diperoleh dari hubungan

=2√ =2m =2m√

=2√

(E.5)

Rasio redaman diperoleh

= =

√

= √

(E.6)

Hubungan antara frekuensi tanpa dan dengan redaman diperoleh

= √ √

= √

(E.7)

3.2 Pengurangan Logaritmik

Suatu cara mudah untuk menentukan jumlah redaman yang ada dalam suatu sistem adalah dengan mengukur laju dengan mengukur laju peluruhan osilasi bebas. Makin besar redamannya, makin besar pula laju peluruhannya. Perhatikan suatu getaran teredam yang dinyatakan oleh persamaan (3.25) yang ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3.8. Di sini dikenalkan istilah pengurangan logaritmik (logarithmic decreament) yang didefinisikan sebagai logaritma natural dari rasio dua ampilitudo berurutan.

x(t) = sin √ (3.25)

Gambar 3.8 Laju peluruhan osilasi yang diukur dengan pengurangan

logaritmik

x

x

2

x

1

π

Jadi rumus pengurangan logaritmik menjadi

√ ( ) √

(3.26)

dan karena nilai-nilai sinusnya adalah sama bila waktu ditambah dengan periode redaman , maka hubungan di atas menjadi

= ln = (3.27) pengukuran logaritmik dan rasio dua amplitudo yang berurutan.

Jawab:

Frekuensi natural sistem tersebut tanpa redaman adalah

√ √

Koefisien redaman kritis cc dan faktor redaman adalah

Dari persamaan (3.28), pengurangan logaritmik adalah

π √

π

√

rasio amplitude untuk tiap dua siklus yang berurutan adalah

Contoh soal 3.3

Tunjukan bahwa pengurangan logaritmik juga diberikan oleh persamaan

dengan xn menyatakan amplitude setelah n siklus berlangsung.

Jawab:

Rasio amplitude untuk tiap dua amplitudo yang berurutan adalah

_{( )}

Dari sini persamaan yang dibutuhkan bisa diperoleh, yaitu

= (E.3)

Contoh soal 3.4.

Shock absorber yang bersifat under damped didesain untuk motor yang mempunyai massa 200 kg. Ketika kecepatan awal diberikan karena jalan yang berlubang, maka diperoleh kurva simpangan fungsi waktu seperti pada Gambar 3.9. Tentukan kekakuan pegas dan konstanta redaman shock absorber jika periode getaran 2 sekon dan amplitude berkurang menjadi

⁄ pada ⁄ siklus.

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa

sehingga diperoleh

pengurangan logaritmik

Sementara

√

2.7726 =

X (t)

d

X1

X1.5

X2

t

(a) motor melewati lubang (b) kurva getaran

Gambar 3.9 Motor melewati lubang dan kurva getarannya

Persamaan (E.4) merupakan persamaan kuadrat, bila diselesaikan diperoleh akar-akarnya

(E.5)

Karena under damped maka diambil akar yang positif, yaitu

(E.6)

Sementara

=

√

(E.7)

2 =

√ (E.8)

Konstanta redaman kritis

= 2m = 2(200)3.4338 = 1373.54 Ns / m (E.10)

Sementara

c = = 0,4057 x 1373.54

c = 554.498 Ns / m (E.11)

dan

k = m  = (200)

k = 2358.26 N / m (E.12)

3.3 Sistem Torsional dengan Viscous Damping

Pada sub bab 3.1 dan 3.2 dijelaskan getaran linier dengan viscous damping. Pada subbab ini dijelaskan getaran torsional satu derajat kebebasan dengan viscous damping. Contoh untuk getaran tersebut bisa dilihat pada Gambar 3.10 di bawah ini.

(a) Disc diputar dalam fluida benda bebas (b) diagram benda bebas

Gambar 3.9 Disc diputar dalam fluida dan diagram benda bebasnya

Disc, J0

Poros, kt

Fluida ktθ _c

t

Torsi redaman vicous adalah

T = - (3.30)

Persamaan getaranya diperoleh dari diagram benda bebas, adalah

+ + θ = 0 (3.31)

di mana: = moment inersia masa

= konstanta kekakuan torsional

θ = simpangan sudut

Persamaan (3.31) bisa diselesaikan seperti pada getaran linear dengan viscous damping, sehingga diperoleh

√ (3.32)

Di mana

√ (3.33)

dan

√ (3.34)

3.4 Redaman Coulomb

Redaman Coulomb diperoleh dari gesekan antara dua permukaan kering. Gaya redaman adalah sama dengan hasil kali gaya normal dengan

teredam Coulomb bisa dilihat pada Gambar 3.11. Gambar tersebut menunjukkan sebuah massa m yang diletakkan di atas lantai. Antara lantai dan massa m mempunyai koefisien gesekan. Kemudian massa

Gambar 3.11 Sistem massa-pegas dengan redaman Coulomb

dengan x-1 adalah amplitudo setelah setengah siklus seperti yang

ditunjukkan dalam Gambar 3.12. Di samping itu gambar ini menunjukkan getaran bebas suatu sistem dengan getaran Coloumb. Perlu dicatat bahwa amplitudo meluruh secara linier terhadap waktu. Bila prosedur ini diulang untuk setengah siklus berikutnya, maka diperoleh

(3.37)

maka

(3.38)

Gerakan akan berhenti bila amplitudonya sudah lebih kecil dari Δ. Pada posisi itu gaya pegas tidak cukup untuk mengatasi gaya gesekan statik, yang biasanya lebih besar dari gaya gesekan kinetik.

Gambar 3.12 Getaran bebas dengan redaman Coloumb

x

4F

d

/k

t

Δ

x

1

_x

2

3.5 Resume

BAB IV

GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA HARMONIK

Bila sebuah sistem dipengaruhi oleh eksitasi paksa dinamakan getaran yang tereksitasi. Dalam masalah ini, sistem terkena gaya luar sehingga respon dinamik menjadi lebih kompleks. Dilihat dari jenis gaya luar ada gaya statik dan gaya dinamik. Di sini kita hanya membahas gaya luar dinamik dan harmonik. Respon getarannya akan berlangsung pada frekuensi yang sama dengan frekuensi perangsangnya. Sumber-sumber eksitasi harmonik adalah ketidaksetimbangan pada mesin-mesin yang berputar, gaya-gaya yang dihasilkan mesin torak (reciprocating machines), atau gerak mesin itu sendiri. Eksitasi ini mungkin tidak diinginkan oleh mesin karena dapat mengganggu operasinya atau mengganggu keamanan struktur mesin itu bila terjadi amplitudo getaran yang besar. Dalam banyak hal resonansi harus dihindari dan untuk mencegah berkembangnya amplitudo yang besar maka sering kali digunakan peredam (dampers) dan penyerap (absorbers). Pembahasan sifat peredam dan penyerap adalah penting demi penggunaannya yang tepat.

4.1 Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik

Gambar 4.1 Sistem tanpa redaman dengan eksitasi harmonik

Dari diagram benda bebas diperoleh persamaan diferensial gerakannya

kx = F0sinΩt (4.1)

Persamaan ini biasa disebut getaran harmonik paksa, dan F(t) = F0 sin ωt

disebut fungsi gaya harmonik (harmonic forcing function). Persamaan (4.1) merupakan persamaan diferensial linier non-homogen yang solusi umumnya adalah jumlah solusi homogen dan solusi partikulir (khusus). Contoh persamaan diferensial linier order-n sebagai berikut.

(4.2)

Solusi umumnya adalah

m

k

k x

m

x

y = y hom + ypart (4.3)

yhom didapat dengan memisalkan q(x) = 0

ypart ditentukan untuk q(x) ≠ 0

Untuk kasus pada persamaan (4.1) penyelesaian homogennya xhom = 0,

sehingga

+ kx= 0 (4.4)

Penyelesaiannya seperti pada persamaan (2.2) yaitu

xhom= A1cosωnt + A2sin ωnt (4.5)

Solusinya partikulir persamaan (4.1) diperoleh dengan asumsi x adalah proposional dengan sin Ωt, sehingga

xpart = A3sin Ωt (4.6)

Substitusi xpart dan part ke persamaan (4.1) didapatkan

-mΩ2 A3sinΩt + kA3sinΩt = F0 sinΩt

(-mΩ2 + k)A3 = F0

A3 =

=

A3= (

)

(4.7)

Gambar 4.2 Solusi homogen, partikulir dan umum untuk kasus

Dari persamaan (4.9) terlihat bahwa respon x merupakan gabungan antara respon getaran bebas dan respon yang tergantung pada gaya pengganggu. Jika kita tertarik untuk menganalisa respon yang tergantung pada gaya pengganggu saja (xpart), maka disebut keadaan tunak dari

getaran paksa (Steady state forced vibration). Jika kita tertarik untuk menganalisa respon keseluruhan, maka disebut keadaan transien (transient state). Analisa mana yang kita pilih tergantung dari jenis gaya eksitasi. Untuk F(t) periodik menggunakan analisa keadaan tunak, tetapi untuk F(t) non-periodik menggunakan analisa keadaan transien. Variasi keadaan homogen, partikulir dan solusi umum fungsi waktu untuk tipe tertentu bisa dilihat pada Gambar 4.2. Di sini terlihat bahwa xh(t) akan berhenti dan berganti x(t) setelah melewati waktu tertentu ( ).

4.1.1 Steady state forced vibration

Di sini kita analisis penyelesaian partikulir (xpart) saja dalam hal ini

terdapat pada persamaan (4.8).

(

)

faktor F0/k sin Ωt adalah defleksi akibat gaya F0 sin Ωt yang terjadi jika gaya bekerja secara statik. Faktor

dihitung untuk gaya F0sin Ωt yang

bekerja secara dinamik. Persamaan (4.8) dapat ditulis

(

)

(4.10)

di mana xst = F0/k merupakan perpindahan statik karena gaya konstan F0.

Harga absolut faktor

disebut faktor pembesaran (magnification