BAB II LANDASAN TEORI

(1)

5

BAB II

LANDASAN TEORI

1.

Getarandan Redaman

Getaran merupakan gerak bolak balik suatu partikel secara periodik di sekitar titik kesetimbangannya. Contoh Getaran yang secara umum kita temui dalam kehidupan sehari-hari, yakni getaran benda pada pegas dan getaran benda pada ayunan sederhana.

Getaran yang terjadi pada suatu benda disebabkan oleh adanya gangguan yang diberikan pada benda tersebut. Untuk kasus getaran bandul dan getaran benda pada pegas, gangguan tersebut disebabkan oleh adanya gaya luar. Gaya luar tersebut antara lain adalah simpangan yang diberikan pada bandul maupun pegas. Selain kedua contoh tersebut terdapat beberapa contoh getaran yang lain yaitu, garputala yang diberi gangguan dengan cara memukul garputala tersebut. Sebuah kendaraan akan bergetar ketika mesinnya dinyalakan, dalam hal ini kendaraan tersebut diberi gangguan. Suara yang kita ucapkan tidak akan terdengar apabila pita suara kita tidak bergetar.

Setiap gangguan yang diberikan kepada suatu benda akan menimbulkan getaran pada benda tersebut dan getaran ini akan merambat dari suatu tempat ke tampat lain melalui suatu medium tertentu. Dalam hal ini, peristiwa perambatan getaran dari suatu tempat ke tempat lain melalui suatu medium tertentu disebut gelombang. Dengan kata lain, gelombang merupakan getaran yang merambat dan getaran sendiri merupakan sumber gelombang(San, 2008).

Elemen – elemen dari sebuah getaran yaitu massa, pegas, peredam dan eksitasi. Massa diasumsikan sebagai bodi kaku yang tidak memiliki elastisitas dan redaman. Sebaliknya pegas dianggap hanya mempunyai elastisitas saja sehingga massa dan redamannya diabaikan. Demikian halnya peredam hanya mempunyai sifat redaman saja.

Secara umum, getaran dibedakan dalam dua kelompok yaitu getaran bebas dan getaran paksa. Getaran bebas merupakan getaran yang terjadi akibat

(2)

adanya gaya yang bekerja dalam sistem itu sendiri dan mengakibatkan berosilasi serta tidak ada gaya luar yang bekerja. System yang bergetar bebas akan bergetar pada satu atau lebih frekuensi naturalnya dan merupakan sifat – sifat sistem dinamika yang dibentuk oleh distribusi massa dan kekakuanya.

Getaran paksa adalah getaran yang terjadi akibat adanya gaya paksa yang bekerja pada sistem dan memaksa sistem bergetar pada frekuensi pemaksanya. Jika frekuensi gaya pemaksa sama dengan salah satu frekuensi alami dari sistem, maka akan menimbulkan suatu fenomena yang disebut resonansi. Resonansi akan menimbulkan amplitudo getaran yang sangat besar, sehingga sangat berbahaya bagi sistem tersebut dengan akibat langsung berupa kerusakan pada sistem.

Untuk menggambarkan gerakan sistem yang mengalami getaran, dibutuhkan koordinat bebas yang biasa disebut dengan derajat kebebasan.

Suatu sistem dikatakan mempunyai satu derajat apabila dalam penggambaran gerakannya hanya membutuhkan satu koordinat saja. Apabila dibutuhkan dua koordinat untuk menggambarkan geraknya maka sistem tersebut mempunyai dua derajat kebebasan. Sehingga bila dibutuhkan n koordinat untuk mengambarkan sebuah sistem gerak maka sistem tersebut mempunyai n derajat kebebasan. Penentuan derajat sangat penting untuk mempermudah analisa getaran dan untuk penyelesaian perhitungan.

Redaman dimiliki oleh semua sistem yang bergetar. Efek yang ditimbulkan oleh kerja peredam adalah memindahkan energi getaran sistem tersebut. Suatu sistem yang bergetar dapat mengalami berbagai jenis gaya redaman, seperti gesekan molekuler internal, gesekan karena geseran dan hambatan fluida. Energi pada sistem yang bergetar didisipasi (diubah) menjadi panas atau diradiasikan keluar. Disipasi energi menjadi panas dapat diamati pada sebatang logam yang ditekuk maju mundur beberapa kali. Bunyi yang diradiasi dari benda yang dipukul dengan keras, dengan demikian menyebabkan hilangnya energi dari sistem tersebut. Dalam analisis getaran, radaman biasanya diperhatikan sehubungan dengan respon sistem. Hilangnya energi dari sistem yang bergetar menghasilkan penurunan amplitudo getaran

(3)

bebas. Dalam getaran paksa, hilangnya energi diimbangi dengan energi yang diberikan oleh eksitasi (Thomson, 1981:70).

Redaman digunakan untuk mengontrol posisi setimbang respon resonansinya dan mengurangi penjalaran gelombang dalam struktur. Ada dua jenis redaman yaitu material peredam adalah peredam yang tidak dapat dipisahkan dari material tersebut atau dapat dikatakan peredam dalam material itu sendiri. Dan sistem peredam yang mencakup peredam pada penopang, garis – garis pemisah , sambungan, penghubung dan lain – lain, sebagai tambahan pada material peredam (Bloss dan Rao).

Redaman pada sebuah sistem akan berpengaruh terhadap beberapa hal yaitu; pengurangan amplitudo gerakan, mengurangi waktu terjadinya amplitudo maksimum, meningkatkan waktu yang dibutuhkan untuk kembali ke titik normal, dan akan memiliki periode gerakan lebih besar bila dibandingkan dengan yang tidak teredam

1.1. Sistem Getaran Bebas Satu Derajat Kebebasan

Semua sistem yang memiliki massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran tanpa rangsangan luar(Thomson,1981:15). Untuk sistem tersebut persamaan yang dapat digunakan adalah hukum Newton kedua, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.1. Pegas yang menopang massa m (kg) dianggap mempunyai massa yang dapat diabaikan dan kekakuan k (N/m). Sistem mempunyai satu derajat kebebasan karena geraknya digambarkan oleh koordinat tunggal x. Perubahan bentuk pegas pada posisi kesetimbangan statik adalah ∆, sehingga gaya pegas adalah k∆ yang sama besar dengan gaya gravitasi w yang bekerja pada massa m :

k∆ = w =mg (2.1)

Dengan mengukur simpangan x dari posisi kesetimbangan statik, maka gaya – gaya yang bekerja pada m adalah k(∆ + x) dan w. Dengan nilai x positif dalam arah ke bawah, sehingga semua besaran (gaya, kecepatan dan percepatan) juga bernilai positif dalam arah ke bawah(Dewanto, 1999).

(4)

x

k c k Δ k(Δ+x) Posisi tanpa

peregangan Δ

w

x& x& &

w

Gambar 2.1. Sistem pegas-massa dan diagram benda bebas (Thomson, 1981:16)

Hukum Newton kedua yang bekerja pada massa m adalah

(

x

)

k w F x

m^&^&=

å

= - D+ kx k k x

m&&= D- D- sehingga diperoleh,

kx x

m&&=- (2.2)

dari persamaan tersebut diperoleh penyelesaian sebagai berikut

= 0 + kx x m & &

= 0

+ x

m x& k

&

_(2.3)

Persamaan tersebut merupakan persamaan untuk getaran harmonis.

Bila sistem linier dengan satu derajat kebebasan dirangsang, maka responnya akan tergantung pada jenis rangsangan dan redaman yang ada.

Bentuk umum persamaan geraknya adalah

t

d

kx F

F x

m & & + + =

_(2.4)

m m

m

Posisi keseimbangan statik

(5)

dengan F(t) adalah gaya perangsang (gaya eksitasi) dan F_d adalah gaya redaman.

Gaya redaman Fd yang dialami oleh benda sebanding dengan pangkat satu dari kecepatan sehingga:

x c F_d = &

Jika F(t) = 0 maka getaran tersebut adalah sistem getaran bebas satu derajat kebebasan yang memiliki gaya redaman sebesar Fd, sehingga persamaan diferensial homogen yang solusinya secara fisis sesuai dengan getaran bebas yang teredam. Apabila besarnya koefisien getaran c = 0, maka persamaan tersebut merupakan persamaan untuk getaran bebas tanpa redaman atau dapat disebut sebagai getaran harmonis yang memounyai persamaan umum ditunjukkan oleh persamaan (2.3).

Dari persamaan (2.4)dapat ditulis menjadi

= 0 +

+ c x kx

x

m & & & &

(2.5)

maka pendekatan yang biasa adalah memisalkan solusi dalam bentuk

x =Ce^st (2.6)

sehingga nilai dari penurunan dari x adalah

st st

Ce s x

sCe x

=

2

=

&

dengan C adalah konstanta.

Dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan (2.5), diperoleh

2

Ce

^st

+ csCe

^st

+ kCe

^st

= 0 ms

(ms² + cs +k)Ce^st = 0 0 )

( ² + + Ce^st = m

s k m s c

Yang dipenuhi untuk semua t, bila 0

)

( ² + + =

m s k m

s c _(2.7)

akar – akar karakteristik dari persamaan tersebut ditentukan sebagai berikut:

(6)

m k m

c m

s₁_,₂ = - c ± )² - (2

2 )

( _(2.8)

Jadi, solusi umum diberikan oleh persamaan sebagai berikut,

t s t

s

Be

Ae

x =

¹

+

² (2.9)

Persamaan (2.8) yang disubstitusi ke dalam persamaan (2.9) maka diperoleh ⁽ ^/² ⁾

(

⁽ ^/² ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ^/² ⁾ ⁽ ⁾

)

2

2 t

km m c m t

m k t c

m

c

Ae Be

e

x =

^- ^-

+

^- ^- (2.10)

Suku pertama

e

^-⁽^c^/²^m⁾^t adalah fungsi waktu yang meluruh secara eksponensial. Tetapi sifat suku – suku di dalam kurung tergantung pada nilai numerik di bawah akar yaitu apakah positif atau negatif.

Pada kondisi kurang teredam harga (c/2m)² < k/m

) (

2 2

) 2 / ( ) ((

) 2 / ( ) ) ((

2 / (

) 1 ( ) 2 / ( ) ((

) 1 ( ) 2 / ( ) ) ((

2 / (

t m m c i k t

m m c

i k t m c

t m m c

t k m m c

t k m c

Be Ae

e x

Be Ae

e x

- -

+

=

+

=

dengan demikian s menjadi bilangan imajiner, ^±ⁱ ^k_m^-

( )

^c₂_m²^t sehingga x merupakan fungsi yang berosilasi dan meluruh karena ada satu suku

e

^-(c/2m)t.

Pada kondisi sangat teredam (over damped) harga (c/2m)² > k/m, persamaan (2.10) menjadi

) (

⁽ ^/² ⁾ ⁽ ^/² ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ^/² ⁾ ⁽ ^/² ⁾ ⁽ ⁾

2

2 t

km m c t m c m t

m k c t m

c

Be

Ae

x =

^- ⁺ ^-

+

^- ^- ^-

sehingga s merupakan bilangan real dan x bukan fungsi yang berosilasi.

Sedangkan untuk kondisi redaman kritis koefisien redaman c dinyatakan c_c, dan memenuhi persamaan (cc/2m)² = k/m = ωn (ωn adalah frekuensi natural).

Sehingga diperoleh persamaan,

) (

)2

2 / (

) ( ) ( )

( ) ) ((

2 / (

B A e

x

Be Ae

e x

m c

m t m k t k

km km t

m c

+

=

+

=

-

- - - -

Koefisien redaman cc dapat ditulis sebagai berikut;

n

c

km m

c = 2 = 2 w

(2.11)

(7)

Nilai suatu redaman biasanya dinyatakan dalam redaman kritis oleh rasio

ζ = c/cc (2.12)

yang disebut rasio redaman. Maka persamaan (2.8) dapat dinyatakan sebagai berikut:

n n

n

n n

n c c

s s s

m m m

m m

s m

m k m c m

s c

w V V

w V

V

w Vw

Vw

w w

V w

V

V V

) ) 1 ( 1 (

) 1 (

) ( ) ( ) (

2 ) ( 2 2 )

( 2

2 ) ( 2 )

(

2 2

, 1

2 2

, 1

2 2

2 , 1

2 2

2 , 1

2 2

, 1

- -

± -

=

-

± -

=

-

± -

=

-

± -

=

-

± -

=

i n

s₁_,₂ =(-V ± (1-V²))w (2.13)

Sehingga untuk gerak berosilasi kurang teredam dimana ζ < 1 maka persamaan geraknya menjadi:

÷ ø ç ö

è æ +

= e

^- ⁿ^t

Ae

ⁱ ^- ⁿ^t

B

^-ⁱ ^- ⁿ^t

x

^Vw ¹ ^V²^w ¹ ^V²^w

dengan menggunakn persamaan Euler maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut

( )

(

^sin^sin(¹ ¹ ² ^cos⁾

)

¹

2 2

j w V

w V w

V

Vw Vw

+ -

=

- +

-

=

- -

t A

Xe x

t B

t A

e x

t t

( w j )

Vw

+

= Xe

^t

A

_d

x sin

(2.14)

Dengan w_d = 1-V²w =2p t_d dan τd merupakan periode redaman.

1.2. Sistem Getaran Paksa Harmonis Satu Derajat Kebebasan Bila sebuah sistem dipengaruhi oleh eksitasi harmonik paksa, maka respon getarannya akan berlangsung pada frekuensi yang sama dengan frekuensi eksitasi/perangsangnya. Sumber – sumber eksitasi harmonik antara lain adalah

(8)

ketidak seimbangan pada mesin – mesin yang berputar, gaya – gaya yang dihasilkan mesin torak (reciprocating machines) atau gerak mesin itu sendiri.

Pada sistem ini bekerja gaya eksitasi (perangsang) F yang merupakan fungsi sinus dengan amplitudo F₀ dan frekuensi ω. Persamaan gerak massa m sebagai respon karena adanya gaya tersebut dapat ditentukan dari analisa gaya – gaya yang bekerja pada massa m pada saat disimpangkan sejauh x dari posisi setimbangnya. Dari diagram benda bebas, persamaan diferensial geraknya adalah

t F

kx F x

m & & +

_d

+ =

₀

sin w

_(2.15)

2. Pengurangan Logaritmik

Suatu cara mudah untuk menentukan jumlah redaman yang ada dalam suatu sistem adalah dengan mengukur laju peluruhan osilasi bebas. Makin besar redamannya, maka makin besar pula laju peluruhannya.

Suatu getaran teredam dinyatakan oleh persamaan umum

x= Xe^{-ζ ωnt}(A sin (ωdt + φ) (2.16)

Di sini diperkenalkan istilah pengurangan logaritmik (logarithmic decrement) yang disimbolkan dengan (δ) dan didefinisikan sebagai logaritma natural dari rasio dua amplitude berurutan. Jadi rumusan pengurangan logaritmik menjadi

)

)) ) (

sin (

)) sin(

ln( ( ln

2 1 1

j t w

j

d _Vw ^Vw w

+ +

= +

= _- ^-

d d

t

d

t A

e

t A

e x

x

n n

(2.17)

dan karena nilai – nilai sinusnya adalah sama bila waktu ditambah dengan periode redaman τd, maka hubungan di atas menjadi

d t n

t

d n d

n n

e e e x

x Vw t

d = ln = ln(

_-_Vw^-^Vw₍ ₊_t ₎

) = ln

^Vw^t

=

2 1

1 (2.18)

dengan mensubtitusikan nilai perioda getaran

1 2

2 V w

t p

= -

n

d , maka

pengurangan logaritmik di atas menjadi

(9)

1 2

2

V d pV

= - _(2.19)

bila ζ kecil, 1-V² @1, dan diperoleh persamaan pendekatan (Thomson, 1981:33)

δ ≡ 2πζ (2.20)

3. Pengukuran Getaran

Bagian – bagian penting sebuah alat pengukur getaran ditunjukkan pada gambar (2.2.). Alat ukur seperti ini diletakkan di atas atau dipasang pada struktur atau mesin yang akan diukur. Alat ukur ini hanya bergerak dalam arah vertikal. Massa kecil dari “base” dapat diabaikan karena dapat dianggap sebagai bagian dari mesin ata struktur yang sedang diukur. Elemen – elemen alat ukur terdiri dari m, k dan c.(Munaf, 1995).

Gambar. 2.2. Bagian – bagian dari alat pengukur getaran

Salah satu alat pengukur getaran adala akselerometer, secara sederhana akselerometer ditunjukkan oleh gambar (2.3) sebagai berikut (Anonim),

Gambar . 2.3. Skema akselerometer

m

x k

c y

base

(10)

Dari gambar tersebut sensing crystal yang digunakan berupa kristal piezoelektrik seperti quart atau barium titanate yang dimanfaatkan oleh akselerometer untk pengukuran frekuensi yang lebih tinggi. Kristal tersebut dipasang demikian sehingga bila ada percepatan maka akan dikompresikan atau dilenturkan untuk menghasilkan listrik (Thomson, 1981:84).

Beberapa penelitian terkait dengan getaran telah dilakukan oleh para ilmuan di dunia. Agustina purna Irawan (1999) melakukan pengujian terhadap raket tennis yaitu menghitung faktor redaman raket tennis yang bebahan dasar aluminium. Penelitian yang sejenis juga telah dilakukan oleh I- Ting Wang etc. pada tahun 2005 mengenai efek getaran pada raket tennis yang disebabkan oleh penempatan bahan penyerap getaran pada posisi yang berbeda. Sebagai sumber getaran dilakukan dengan menjatuhkan bola pada raket tennis di posisi yang berbeda.

Penelitian yang lain yang berhubungan dengan getaran adalah penelitian yang dilakukan oleh marek iwaniec pada tahun 2003 tentang perhitungan damping loss factor pada beberapa pelat antara lain yaitu baja, aluminium, kuningan dan kaca. Struktur lain yang pernah diteliti adalah tentang karakteristik getaran yang disebabkan angin pada jembatan berpenopang dua baja di Jepang yang dilakukan oleh Koichiro Fumoto dan beberapa rekannya.

Selain penelitian yang bersifat eksperiment ada juga yang melakukan penelitian yang terkait dengan metode yang digunakan untuk menentukan koefisien redaman (damping coefficient) untuk struktur kompeks oleh Andizej Flaga etc. pada tahun 2008.

(11)

4. Tebu

Tebu (sugar cane, Saccharum) merupakan salah satu jenis tanaman rumput – rumputan yang ditanam sebagai bahan baku gula. Tanaman ini hanya dapat tumbuh di daerah beriklim tropis. Umur tanaman tebu sejak ditanam sampai bisa dipanen mencapai lebih kurang 1 tahun. Di Indonesia tebu banyak dibudidayakan di pulau Jawa dan Sumatera (Yash, 2009).

Sedangkan untuk klasifikasi ilmiah tebu disajikan dalam tabel (2.1) Tabel 2.1. Klasifikasi Ilmiah Tebu

Klasifikasi ilmiah tebu Kerajaan : Plantae

Devisi : Magnoliophyta Kelas : Liliopsida Ordo : Poales Famili : Poaceae Genus : Saccharum

Ampas tebu (bagasse) merupakan limbah padat industri gula tebu yang mengandung serat . Ampas tebu sebagian besar mengandung ligno-cellulose.

Panjang seratnya antara 1,7 sampai 2 mm dengan diameter sekitar 20 mikro, sehingga ampas tebu ini dapat memenuhi persyaratan untuk diolah menjadi papan-papan buatan (Anwar, 2008). Awal tahun 2008 Departemen Pertanian telah berencana untuk menambah luas areal perkebunan tebu hingga 432.000 hektare (kabar Indonesia online, 2008). Dengan demikian Indonesia mempunyai lahan perkebunan yang sangat luas, dan limbah pabrik gula yang cukup besar jumlahnya. Hal tersebut didukung dengan dikeluarkannya kebijakan pemerintah tentang pembatasan impor gula. Ampas tebu biasa digunakan sebagai bahan bakar pabrik yang bersangkutan setelah mengalami pengeringan. Ampas tebu juga memiliki nilai ekonomis yang tinggi jika diolah lebih lanjut. Sehingga ada beberapa penelitian tentang pemanfaatan ampas tebu, antara lain yaitu kertas (koran, print), tissue, media tanam, briket, pembungkus makanan (alternatif styrofoam), hingga bahan baku kampas rem (yash, 2009).

(12)

Sugeng Hariyanto (2002) melakukan penelitian tentang pengaruh variasi prosentase mill dan serat ampas tebu pada komposisi campuran eternit terhadap kekuatan bending. Hasil dari penelitian tersebut menunjukkan bahwa komposisi ampas tebu dan mill mempengaruhi kekuatan lentur lembar serat semen. Suwarsono (2002) melakukan penelitian tentang pemanfaatan ampas tebu sebagai salah satu bahan campuran asbes. Menurut Suwarsono dengan mencermati sifat ampas tebu, yang sekilas memiliki kemiripan dengan limbah kayu, ada kemungkinan memanfaatkan limbah tersebut untuk bahan bangunan atau perabot rumah tangga alternatif.