DINAMIKA JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA

DINAMIKA

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2011

Analisis respon gempa pada bangunan:

 Analisis statik ekivalen

Beban gempa dimodelkan sebagai beban terpusat pada masing-masing tingkat/lantai struktur gedung, dimana beban bekerja secara statis.

Hanya meninjau respon maksimum gempa. Digunakan untuk sistem struktur sederhana

 Analisis dinamis

Didasarkan pada teori mekanika vibrasi yang memperhitungkan faktor simpangan, kecepatan dan percepatan massa bangunan sebagai fungsi waktu.

Keseimbangan gaya elastis, gaya inersia dan gaya redaman berubah dari waktu ke waktu

P(t)

P

MODEL BANDUL SEDERHANA

K m m K x EI P(t) P(t) K K1 K2 m P(t) m K

Model Struktur

Model SDOF

Model Matematis

Digunakan untuk memodelkan getaran pada struktur sederhana dan bangunan tidak bertingkat.

m

y

K

₂

K

₁

P

y

K1 K2 2 1

k

k

k

_e 2 1

1

1

1

k

k

k

_e

Gerakan Harmonis

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN

Gaya yang bekerja dan berada pada keseimbangan dinamis yaitu:

k = kekakuan pegas x = perpindahan

 Gaya pegas akibat deformasi (P)

 Gaya inersia akibat perubahan kecepatan (F)

x

k

P

.

2 2

.

.

dt

x

d

m

a

m

F

m = massa a = percepatan

K

m

m

K

EI

x K.x m.a

0

.

.

₂ 2

x

k

dt

x

d

m

……(1) ……(2) ……(3)

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL GERAK

t

Cos

B

t

Sin

A

x

Solusi Umum:

m

k

ω = frekuensi natural (radian/detik) t = waktu (detik)

t

A

x

t

A

x

sin

cos

……(4) ……(5) ……(6)

t

A

x

dt

x

d

t

A

x

dt

dx

t

A

x

cos

sin

cos

2 .. 2 2 .

Mencari besarnya frekuensi natural (ω)

0

0

.

0

.

.

2 2 ..

t

Cos

A

k

m

t

Cos

A

k

t

Cos

A

m

x

k

x

m

Substitusikan ke pers. (3) ……(7)

Mencari besarnya konstanta A dan B

0

0

x

t

x

V

x

t

x

0

. .

Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu: : Perpindahan: Kecepatan: ……(8) ……(9)

t

Cos

B

t

Sin

A

x

Maka:

0

B

)

0

(

)

0

(

0

A

Sin

B

Cos

V

A

Sin

Sin

B

Cos

A

V

t

t

Sin

B

t

Cos

A

V

dt

dx

0

0

)

0

(

)

0

(

0

……(10) ……(11)

KEKAKUAN KOLOM

Kolom bermassa seragam dengan kedua ujung terjepit

/tak berotasi, kekakuan pegasnya adalah:

EI

PL

k

P

L

EI

k

12

12

3 3 L Δ P

Kolom bermassa seragam dengan satu ujung terjepit

dan ujung lain berengsel/bebas, kekakuan pegasnya

adalah:

EI

PL

k

P

L

EI

k

3

3

3 3 ……(12) ……(13) ……(14) ……(15) Δ P

3 2 1

12

L

I

I

E

k

Deformasi lentur Deformasi geser

L

GA

L

EI

P

3

₃

CONTOH KASUS

Contoh 1

EI=400 KN/cm2 m = 1000 kg K = 2 N/cm L=100 cm Kekakuan balok:

Jawab

N/cm 2 , 1 100 1000 400 3 3 3 3 cm N L EI k

Kekakuan balok dan pegas:

2 320kg/dt N/cm 2 , 3 1,2 2 pegas balok paralel k k K Frekuensi natural: detik rad 56 , 0 1000 320 m k

Tentukan besarnya frekuensi natural struktur pada gambar di samping.

Contoh 2

Jawab

Persamaan gerak: Frekuensi natural:

Tentukan persamaan-persamaan gerak (perpindahan, kecepatan dan percepatan) struktur pada gambar contoh 1.

Gunakan syarat awal getaran pada t=0, perpindahan (x) = 0 dan kecepatan (dx/dt) = 5 cm/detik. detik rad 56 , 0

t

t

V

t

A

x

dt

x

d

t

t

V

t

A

x

dt

dx

t

x

V

A

t

A

x

56

,

0

sin

8

,

2

sin

sin

56

,

0

cos

5

cos

cos

56

,

0

sin

56

,

0

5

sin

2 .. 2 2 . Kecepatan awal (V) = 5 cm/dtk

Contoh 3

F(t) F(t) W8x24 m 200 lb/ft 15 ft SDOF

Data yang diketahui:

E

= 30.10

6

psi

I

= 82,5 in

4

W

= 200 x 25 = 5000 lb

g

= 386 ft/dt

2

• Tentukan persamaan kesetimbangan struktur pada gambar diatas. • Tentukan besarnya frekuensi natural struktur tersebut

Jawab

F(t) m K fs m F(t) I

(Model matematis) (Freebody Diagram) Persamaan kesetimbangan:

t

F

x

k

x

m

t

F

fs

I

.

.

.. Frekuensi natural: sps f dt rad m k g W m in lb L I E K 46 . 4 5000 386 . 10185 2 1 2 atau / 041 , 28 5000 386 . 10185 386 5000 / 10185 12 . 15 5 , 82 . 2 10 . 30 . 12 2 12 3 6 3

EI=108 lb/in2 k = 2000 lb/in L=100 in k = 2000 lb/in W = 3000 lb/in

Contoh 4

Jika berat W mempunyai perpindahan awal x0 = 1 inci dan kecepatan

awal V0 = 20 inci/detik, tentukan perpindahan dan kecepatan pada 1

detik kemudian.

Kekakuan balok: 300lb/in 100 10 3 3 3 8 3 L EI k_balok

Jawab

Kekakuan pegas: _{k 2k 2 2000 4000lb/in}

pegas Kekakuan total: lb/in 4300 000 4 00 3 pegas balok total k k K

Frekuensi natural: detik rad 52 , 23 3000 386 4300 m k

in

89

,

0

)

52

,

23

(

)

52

,

23

(

085

)

52

,

23

(

)

1

(

)

52

,

23

(

52

,

23

20

V

det ik) 1 ( 0 t

x

t

Cos

t

Sin

t

Cos

t

Sin

t

Cos

x

t

Sin

t

Cos

B

t

Sin

A

x

x0 = 1 inchi dan V0 = 20 in/dtk

in/detik

66

,

22

)

52

,

23

(

52

,

23

)

52

,

23

(

992

,

19

det ik) 1 ( . . t

x

t

Sin

t

Cos

x

REDAMAN

• Redaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadi satu siklus gerak bolak balik

• Redaman timbul karena ada gesekan internal dalam bahan ketika mengalami gerakan.

• Redaman bisa juga berasal dari bantalan eksternal yang sengaja dipasang seperti pada rel kereta api

• Redaman internal dapat berasal dari gesekan mikro bahan, dapat pula dari gesekan dalam sambungan tidak rigid.

• Model redaman yang paling sering dipakai adalah model dashpot.

• Selain model dashpot, dapat juga dipakai model Coulomb, yaitu redaman yang berasal dari friksi dan berbanding lurus dengan simpangan dan arah gerakan

MODEL REDAMAN DASHPOT

Model redaman dashpot menghasilkan penurunan simpangan

mengikuti fungsi eksponen

MODEL REDAMAN COULOUMB

Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar

Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier.

mg

N

f

kx

f

f

f

dt

x

d

m

k k D s D s

0

2 2

Model persamaan kesetimbangan:

……(39)

MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN

• Redaman digunakan untuk menghentikan getaran bebas dari suatu struktur.

• Gaya redaman berbanding linier terhadap konstanta dashpot (c) dan kecepatan gerak (V) m P(t) K2 K1 K,c m P(t) P(t) m x K I c P(t) I fs fd

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN

Persamaan kesetimbangan dapat ditulis:

)

(

)

(

0

. .. . ..

t

P

kx

x

c

x

m

kx

f

x

c

f

x

m

I

t

P

f

f

I

H

s d s d

Solusi persamaan difensial:

pt pt pt

Ae

p

dt

x

d

pAe

dt

dx

Ae

x

2 2 2 ……(16) ……(17) ……(18) ……(19)

Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16)

0

0

2 2 pt pt pt pt

Ae

k

cp

mp

Ae

k

pAe

c

Ae

p

m

0

2 pt

Ae

k

cp

mp

Solusi nontrivial:

Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:

……(20) ……(21)

m

k

m

c

m

c

p

2 2 , 1

2

2

Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:

t p t p

Be

Ae

x

1 2

Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktor dibawah akar apakah positif atau negatif.

p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponen

p imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang

(22)

FAKTOR REDAMAN

0

2

2

2

2 2 2 , 1

m

k

m

c

m

k

m

c

m

c

p

Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0

Maka, cr

c

mk

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

2

2

2

0

2

2 2

Ccr disebut dengan faktor redaman kritis

Keadaan redaman kritis adalah batas antara redaman berlebih (over damped) dan redaman kurang (under damped)

Pada kondisi redaman kritis,

m

c

p

m

k

m

c

m

k

m

c

m

c

p

2

0

2

2

2

2 2 2 , 1

Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

t m c pt

e

e

x

2 ……(24) ……(25)

Kasus Redaman Kurang (Under-damped)……

Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman kritis (c < ccr) 2 2 , 1 2 2 2 , 1

2

2

2

2

2

m

c

m

k

i

m

c

p

m

k

m

c

m

k

m

c

m

c

p

……(26)

Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, maka digunakan persamaan Euler:

t Sin i t Cos e t Sin i t Cos e it it

Sehingga, solusi persamaan gerak adalah:

2 2

2m

c

m

k

t

Sin

B

t

Cos

A

e

x

D D D t m c ……(27) ……(28) ……(29) ……(30)

Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk:

cr cr D D

c

c

c

c

mk

c

1

1

4

1

2 2 2 2 ……(31) ……(32) ……(33)

Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)……

Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari koefisien redaman kritis yaitu:

cr cr

c

c

c

c

1

_……(34) t p t p

Be

Ae

x

1 2

Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23)…..

MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN

Terdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu:

 Metode setengah amplitudo

 Metode pengurangan logaritmik

D D T Q P

T

e

x

x

_D

2

METODE SETENGAH AMPLITUDO

……(35)

……(36)

Dimana:

xP = perpindahan awal

xQ = perpindahan setelah 1 siklus

ξ = faktor rasio redaman ω = frekuensi natural TD = periode teredam

METODE PENGURANGAN LOGARITMIK D Q P

T

x

x

ln

2

1

2

2

D D

T

2

1

2

D

T

……(37) ……(38)

Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasio redaman:

Dimana:

xP = perpindahan awal

xQ = perpindahan setelah 1 siklus

ξ = faktor rasio redaman ω = frekuensi natural TD = periode teredam

δ = pengurangan logaritmik ωD = frekuensi teredam

Contoh 5

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.

Jawab

Pada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.

Hz

125

.

3

4

.

0

putaran

25

.

1

s

f

_n

rad/s

6

.

19

)

125

.

3

)(

28

.

6

(

2

_n



n

f

s

f

T

n n

0

.

32

125

.

3

1

1

Contoh 6

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.

Tentukan:

• Frekuensi natural

• Pengurangan logaritmik • Faktor rasio redaman • Faktor redaman • Frekuensi teredam

Jawab

detik rad 78 , 27 386 / 10 20 m k

SPS

f

4

,

42

2

78

,

27

2

Frekuensi natural:

165

,

0

85

,

0

1

ln

ln

2 1

x

x

0256

,

0

165

,

0

14

,

3

2

165

,

0

2

1

2

2 Pengurangan logaritmik:

Faktor rasio redaman:

Faktor redaman: in dtk lb c c _cr 0,037 386 10 20 2 256 , 0 Frekuensi teredam:

dtk

rad

D

1

27

,

78

1

0

,

0256

27

,

422

2

Contoh 7

Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang sama dan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimental telah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal pada lantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakan redaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan:

• Frekuensi natural tak teredam

• Koefisien redaman absolut dan redaman kritis

• Jumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in.

Jawab

in

lb

k

x

k

P

10000

/

1

,

0

1000

.

detik rad 06 , 31 386 / 4000 10000 m k Frekuensi natural:

in

dt

lb

mk

c

_cr

2

2

10000

.

4000

/

386

643

,

8

.

314

,

0

05

,

0

1

05

,

0

14

,

3

2

1

2

2 2 in dtk lb c c _cr 0,05 643,8 32,19 Faktor redaman kritis:

Pengurangan logaritmik: Faktor redaman absolut:

37

,

1

314

,

0

ln

Q P Q P

x

x

x

x

Frekuensi teredam:

dtk

rad

D

1

31

,

06

1

0

,

05

31

,

02

2 2

siklus

8

33

,

7

0,314

10

ln

314

,

0

01

,

0

1

,

0

ln

...

ln

...

.

1 2 1 1

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Q P Q Q P Q P Periode teredam: det 2025 , 0 02 , 31 14 , 3 2 2 D D T

Waktu untuk 8 siklus:

det

62

,

1

det

2025

,

0

8

8

siklus

8

T

_D

t

Contoh 8

EI=400 KN/cm2

K = 2 N/cm L=100 cm

c = 200 kg/dtk

m = 1000 kg Tentukan solusi persamaan gerak

dari struktur pada gambar

disamping.

Jawab

Kekakuan balok: 0,0012 KN/cm 1,2N/cm 100 400 3 3 3 3 cm KN L EI k

Kekakuan balok dan pegas:

2 kg/dt 320 N/cm 2 , 3 2 2 , 1 pegas balok paralel k k K

Frekuensi natural: 0,56 rad_detik 1000

320

m k

i

m

k

m

c

m

c

p

55

,

0

1

,

0

32

,

0

01

,

0

1

,

0

2

2

2 2 , 1

Keadaan redaman kurang (under-damped)

55

,

0

320

1000

4

200

1

56

,

0

4

1

2 2

mk

c

D

Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redaman kurang (under-damped) adalah:

t

Sin

B

t

Cos

A

e

t

Sin

B

t

Cos

A

e

x

t D D t m c

55

,

0

55

,

0

0,1 2

Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0 Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0

t

Cos

e

x

0,1 t

0

,

3

0

,

55

GETARAN PAKSA STRUKTUR TANPA REDAMAN

Getaran paksa adalah getaran yang disebabkan beban luar yang bergetar

Getaran bebas adalah getaran yang diakibatkan beban luar pada keadaan awal saja. Selanjutnya struktur bergetar bebas tanpa beban.

m

K

x

P

P K1 K2 m

Model persamaan kesetimbangan:

t

Sin

P

x

k

dt

x

d

m

.

₂

.

2 ……(41)

Persamaan (34) merupakan persamaan diferensial non-homogin. Sehingga solusi persamaan geraknya terdiri dari:

• Solusi homogin (solusi umum) yaitu solusi yang menghasilkan persamaan

gerak getaran bebas

• Solusi khusus (disesuaikan dengan bentuk beban)

Bentuk solusi umum:

t

m

k

Cos

B

t

m

k

Sin

A

x

t

Cos

B

t

Sin

A

x

Bentuk solusi khusus:

t

Sin

X

dt

x

d

t

C

X

dt

dx

t

Sin

X

x

2 2 2

os

……(42) ……(43) ……(44) ……(45)

Substitusi persamaan solusi khusus ke dalam persamaan kesetimbangan, menghasilkan persamaan:

r

r

k

P

k

P

X

1

1

2 2 2 ……(46) ……(47)

Dimana X adalah amplitudo getaran dan r adalah rasio antara frekuensi beban luar dan frekuensi alami

Sehingga, solusi persamaan gerak secara lengkap yang terdiri dari solusi umum dan solusi khus adalah

t

Sin

r

k

P

t

Cos

B

t

Sin

A

x

₂

1

……(48)

RESONANSI DAN PEMBESARAN DINAMIS

Persamaan (41) menunjukkan bahwa bentuk solusi persamaan gerak adalah superposisi dari getaran bebas dan getaran akibat beban luar.

t

Sin

r

k

P

t

Cos

B

t

Sin

A

x

₂

1

Getaran bebas Getaran beban luar

Pada suku ketiga (akibat getaran beban luar), bila frekuensi getaran luar mendekati frekuensi alami struktur, (r mendekati 1) maka nilai suku ketiga tersebut akan mendekati tak hingga. Keadaan ini disebut resonansi.

1

...

00

,

0

....

9999

,

0

1

1

2

k

P

k

P

t

Sin

r

k

P

x

2 2 max

1

1

1

k

r

P

r

k

P

x

Nilai x maksimum akan terjadi bila:

1

t

Sin

……(47)

Simpangan statis (xst)

Faktor pembesar dinamis ₂

1 1

r

D _……(48)

Kurva hubungan antara rasio

frekuensi dan faktor pembesar dinamis

Contoh 9

Suatu sistem mempunyai k = 40 lb/in dan berat benda 38,6 lb. Jika x0 = dx0/dt = 0

dan gaya luar P(t) = 10 cos (10)t, tentukan persamaan geraknya dan sketsa hasilnya.

Jawab

t B t A t r k P

x cos sin cos 1 2 Dari persamaan (41) t B t A t r k P

x sin cos sin 1

/

2 .

rad/s 20 ) 6 . 38 ( ) 386 ( 40 2 1 2 1 W kg m k n Frekuensi natural: in. 25 . 0 40 10 k P X_st Simpangan statis:

5

.

0

20

10

r

Rasio frekuensi:

in

33

.

0

25

.

0

1

25

.

0

)

5

.

0

(

1

25

.

0

1

/

2 2 max

r

k

P

x

in

33

,

0

1

/

1

/

0

)

0

(

_{2 2}

r

k

P

B

B

r

k

P

x

Gunakan kondisi awal untuk menentukan A dan B

0

0

0

)

0

(

.

A

A

x

t

t

x

t

t

x

t

B

t

A

t

r

k

P

x

20

cos

10

cos

33

,

0

20

cos

33

,

0

10

cos

33

,

0

cos

sin

cos

1

2

GETARAN PAKSA STRUKTUR DENGAN REDAMAN

Model persamaan kesetimbangan:

t

Sin

P

kx

dt

dx

c

dt

x

d

m

.

₂ 2 ……(49)

Solusi dari persamaan kesetimbangan tersebut terdiri dari solusi umum dan solusi khusus.

Solusi umum (solusi persamaan getaran bebas teredam)

t

Sin

B

t

Cos

A

e

x

_{D D} t m c 2

Solusi khusus (tergantung pada bentuk beban luar) bisa berbentuk fungsi trigonometri atau fungsi eksponen.

t

Cos

C

t

Sin

C

x

_{1 2} ……(50) ……(51) Atau… t i t i t i

Ce

dt

x

d

Ce

i

dt

dx

Ce

x

2 2 2 ……(52) ……(53) ……(54)

Substitusi pers. (51) ke pers. (49)……

c

i

m

k

P

C

P

kC

cC

i

C

m

2 2

.

.

……(55)

Sehingga, solusi khusus dapat ditulis: t i t i

e

c

i

m

k

P

x

Ce

x

2

.

……(56)

Untuk menghilangkan bilangan imaginer pada ruas penyebut, maka digunakan bantuan persamaan trigonometri dan Euler.Didapatkan hasil akhir:

2 2 2

.

c

m

k

Pe

x

i ……(57) i cr

e

r

r

k

P

x

m

k

mk

c

2 2 2 2

2

1

2

Persamaan (57) dapat juga ditulis dalam bentuk:

……(57)

sta tis

RESONANSI PADA GETARAN PAKSA

1

maksimum

Nilai

x

statis

Simpangan

2

1

st 2 2 2 i i

e

k

P

r

r

k

Pe

x

2 2 2

2

1

1

r

r

D

Dari persamaan (57)… Sehingga didapatkan:

Pada keadaan resonansi (r = 1)

2

1

D

……(58)

Tipe Bangunan Rasio Redaman Rangka baja terbuka, sambungan las, dinding lentur

Rangka baja, sambungan las, memakai lantai dan dinding sekat

Rangka baja, sambungan baut, memakai lantai dan dinding sekat

Rangka beton dengan dinding lentur Rangka beton dengan dinding sekat Rangka beton dengan dinding bata Dinding geser beton

Rangka kayu dan dinding geser

0,02 0,05 0,1 0,05 0,07 0,1 0,1 0,15

Tabel Nilai Rasio Redaman pada berbagai jenis struktur berdasarkan SNI-1726-2002

Contoh 10

Sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W = 1000 lb. Balok ini terbuat dari 2 profil standard S8 x 23 dengan bentang bersih L = 12 ft dan dengan momen inersia penampang total I = 2 x 64,2 = 128,4 in4_{. Motor}

berotasi pada 300 rpm (putaran per menit), dengan ketidakseimbangan rotornya sebesar W’=40 lb pada jari-jari e₀ = 10 in. Berapa besar perpindahan statis jika redaman liat (redaman viskous) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis.

Jawab

lb/in 61920 144 4 , 128 10 30 48 48 3 6 3 L EI k rad/s 65 , 8 3 ) 16000 ( ) 386 ( 61920 2 1 2 1 W kg m k n Frekuensi natural:

Frekuensi beban = 300 rotasi per menit, maka

rad/s

41

,

31

60

2

300

Rasio frekuensi:

₀

_,

₈₁₃

65

,

38

41

,

31

r

Gaya luar:

_P

₄₀

₁₀

₃₁

_,

₄₁

2

_/

₃₈₆

₁₀₂₂

_lb

Perpindahan statis: in 044 , 0 1 , 0 813 , 0 2 813 , 0 1 61920 / 1022 2 1 2 2 2 2 2 2 r r k P x

GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULS

Beban dinamik tidak selalu bergetar periodik seperti fungsi sinus atau cosinus, tetapi dapat juga berubah secara tak tentu.

Salah satu bentuk beban dinamis adalah beban impuls, yaitu beban yang bekerja sesaat tetapi dapat menimbulkan getaran setelah beban tesebut dihilangkan.

P(t)

Po

tr t

Percepatan yang timbul akibat beban impuls:

m

Fdt

dt

x

d

2 2

Getaran yang dihasilkan akibat beban impuls adalah getaran bebas teredam. Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

t

Sin

B

t

Cos

A

e

m

c

dt

x

d

t

Cos

B

t

Sin

A

e

m

c

dt

dx

t

Sin

B

t

Cos

A

e

x

D D D D t m c D D D D t m c D D t m c 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

2

……(60) ……(61) ……(62) ……(63) 2

2m

c

m

k

D dengan

Masukkan syarat batas:

m

Fdt

dt

x

d

dt

dx

x

₂ 2

0

0

)

0

(

Didapatkan: D

m

Fdt

B

A

0

Sehingga, solusi pers. Gerak akibat beban impuls untuk sistem dengan redaman adalah:

t

Sin

m

Fdt

e

x

_D D t m c 2

Dan solusi persamaan gerak untuk sistem tanpa redaman:

t

Sin

m

Fdt

x

……(64) ……(65) F t x t

GETARAN AKIBAT BEBAN DINAMIS KOMPLEKS

Beban dinamis kompleks adalah jumlah dari beban impuls, sehingga pengaruhnya adalah superposisi dari sejumlah besar beban impuls.

Digunakan variabel waktu beban (τ) dan waktu getaran (t) untuk menjabarkan pembebanan dinamis kompleks.

Solusi persamaan gerak akibat beban impuls satuan adalah:

t

Sin

m

Fd

x

……(66)

Sehingga superposisi/gabungan dari sejumlah beban impuls satuan menghasilkan solusi persamaan gerak:

t

d

t

FSin

m

x

0

1

_……(67)

Bentuk persamaan integral diatas disebut dengan integral duhamel/integral konvolusi

BEBAN MERATA YANG BEKERJA TIBA-TIBA DARI t = O

k

F

x

t

Cos

k

F

t

Cos

m

F

d

t

Sin

F

m

x

st t 0 0 0 0 0 0

1

1

(68) P(t) Po t

Nilai maksimum dari (1-cos ωt) = 2.

Sehingga nilai pembesaran simpangan adalah 2 kali simpangan statis (xst)

Grafik hubungan pembesaran simpangan dan waktu untuk sistem SDOF teredam………

BEBAN SEGI EMPAT YANG BEKERJA DENGAN INTERVAL WAKTU TERBATAS

Misal:

Daerah pada saat impuls masih bekerja (0 < t < td),maka td= 5/4 Tn

Getaran paksa terjadi sampai interval waktu td . Setelah waktu td, terjadi

getaran bebas dengan syarat awal posisi pada td.

Solusi persamaan gerak pada waktu sebelum td (0 < t < td),

t

Cos

k

F

t

t

Cos

m

F

dt

t

t

Sin

F

m

x

d t d t d d

1

1

0 0 0 0 0

Solusi persamaan gerak pada saat td (t = td),

d d

t

Sin

k

F

dt

dx

t

Cos

k

F

x

1

0 0 …(69) …(70) …(71)

Solusi persamaan gerak setelah waktu t1 (t > t1) mempunyai bentuk getaran bebas: 1 1 0 1 1 0

1

t

t

Sin

t

Sin

k

F

t

t

Cos

t

Cos

k

F

x

t

BSin

t

ACos

x

…(72)

Faktor Pembesaran Dinamis:

st

x

x

FBD

…(73) Untuk (0 < t < t1),

T

t

Cos

t

Cos

FBD

1

1

2

Untuk (t > t1),

T

t

Cos

T

t

T

t

Cos

FBD

2

1

2

…(74) …(75)

Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi empat untuk waktu terbatas:

BEBAN IMPULS SEGITIGA untuk t 0 0 untuk 1 1 1 1 1 0 0 t F t t t t F F d t FSin m x t

Solusi persamaan geraknya menggunakan persamaan (66)

…(76)

Sehingga, untuk interval waktu

0

t

t

₁

t

Sin

t

t

Cos

t

t

k

F

x

1 1

1

1

.…(78) .…(76) .…(77)

Untuk interval waktu

t

t

₁

1 1 1 1

1

1

t

Sin

t

t

Cos

t

Cos

t

Sin

t

k

F

x

_.…(79)

Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga:

Contoh 11

Sebuah kerangka baja dipengaruhi gaya horizontal pada balok. Gaya brkurang secara linier dari 5 kip pada saat t = 0 menjadi nol pada saat t = 0,6 detik.Tentukan lendutan horizontal pada saat t = 0,5 detik dan lendutan horizontal maksimum (dengan anggapan bahwa kolom tidak bermassa, balok sangat kaku dan redaman diabaikan.

Jawab

rad/s

44

,

0

1

20000

386

2

,

5650

2 1

m

k

Data beban:

in

lb

L

EI

L

EI

k

k

k

2

,

5650

12

20

8

,

82

10

30

3

12

15

8

,

82

10

30

12

3

12

3 6 3 6 2 2 2 1 2 1

F

t

t

1

=0,6 s

F=5 kips

Dari pers. (78) untuk t = 0,5 detik:

t

Sin

t

t

Cos

t

t

k

F

x

1 1

1

1

in 0,4072 5 , 0 44 , 10 6 , 0 44 , 10 1 5 , 0 44 , 10 6 , 0 5 , 0 1 2 , 5650 5000 Sin Cos x Perpindahan maksimum:

Dari kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga,

in

37

,

1

2

,

5650

5000

55

,

1

k

F

55

,

1

55

,

1

55

,

1

1,55

(FBD)max

didapatkan

kurva

dr

9972

,

0

602

,

0

6

,

0

s

602

,

0

44

,

10

2

2

max max 1 st st

x

x

x

x

T

t

T

Contoh 12

Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) t₁ = 0.4 s, (2) t₁ = 0.04 s

Jawab

s

21

,

0

2

T

rad/s

30

10

6

10

9

6 9 2 1

m

k

Frekuensi natural:

Berdasar kurva Faktor Pembesaran Dinamis (FBD) untuk beban segitiga: Untuk t1 = 0,4 s dan x = 5 mm = 0,005 m

N

P

P

k

P

x

x

x

x

x

FBD

FBD

T

t

st st st st 6 9 max 1

10

7

,

25

10

.

9

00286

,

0

00286

,

0

005

,

0

75

,

1

75

,

1

905

,

1

Untuk t1 = 0,04 s dan x = 5 mm = 0,005 m

N

P

P

k

P

x

x

x

x

x

FBD

FBD

T

t

st st st st 6 9 max 1

10

6

,

77

10

.

9

0263

,

0

0263

,

0

005

,

0

19

,

0

58

,

0

19

,

0

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN

Persamaan Kesetimbangan Massa 1:

0

2 1 1 2 1 1 2 1 2 1

k

x

x

dt

x

x

d

c

dt

x

d

m

.…(85)

Persamaan Kesetimbangan Massa 2:

0

2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

k

x

x

dt

x

x

d

c

x

k

dt

dx

c

dt

x

d

m

(86)

Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:

0

0

0

0

2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1

dt

dx

dt

dx

c

c

c

c

c

x

x

k

k

k

k

k

dt

x

d

dt

x

d

m

m

(87)

0

2 2

dt

dx

C

x

K

dt

x

d

M

(88) Untuk redaman = 0

0

2 2

x

K

dt

x

d

M

(89)

Solusi persamaan homogen tersebut adalah:

_x

dt

x

d

₂ 2 2

Dengan ω adalah frekuensi alami getaran.

Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):

(90)

0

2

x

K

x

M

(91) Atau:

0

1 2

x

I

x

M

K

(92) 2 1

1

dan

D

M

K

Maka diperoleh persamaan homogen:

D

I

x

0

Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melalui persamaan penentu:

0

I

D

Det

(93) (94) [D] adalah matriks dinamis

Contoh 15

Tentukan bentuk ragam (mode-shape) dari struktur disamping

Jawab

Matriks kekakuan:

k

k

k

k

K

k

k

k

k

K

3

1

3

1

3

1

3

4

4

1 Matriks massa:

m

m

M

0

0

Matriks dinamik:

k

m

k

m

k

m

k

m

M

K

D

3

3

3

3

4

1

k

m

k

m

k

m

k

m

I

D

3

3

3

3

4

0

3

3

3

4

0

2

k

m

k

m

k

m

I

D

Det

k

m

k

m

m

k

mk

m

m

k

m

k

m

k

k

m

k

m

k

m

51

,

0

833

,

0

0

9

15

4

0

3

3

4

3

0

3

3

3

4

2 , 1 2 2 2 2 2 2

m

k

k

m

m

k

k

m

,090

3

323

,

0

,744

0

343

,

1

2 2 2 1

Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam persamaan gerak:

0

1 2

x

I

x

M

K

k

m

k

m

k

m

k

m

M

K

D

3

3

3

3

4

1 Ragam 1

m

k

,744

0

2

0

0

1

0

0

1

3

3

3

3

4

744

,

0

2 1 2 1

x

x

x

x

k

m

k

m

k

m

k

m

m

k

00

,

1

07

,

3

0

0

1

0

0

1

248

,

0

248

,

0

248

,

0

992

,

0

2 1 2 1 2 1

x

x

x

x

x

x

Ragam 2

m

k

,090

3

2

0

0

1

0

0

1

3

3

3

3

4

090

,

3

2 1 2 1

x

x

x

x

k

m

k

m

k

m

k

m

m

k

00

,

1

33

,

0

0

0

1

0

0

1

03

,

1

03

,

1

03

,

1

12

,

4

2 1 2 1 2 1

x

x

x

x

x

x

Contoh 16

Model bangunan penahan geser digunakan untuk kerangka seperti gambar . Tenukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.

Jawab

m

1

m

2

in

kips

L

I

E

K

in

kips

L

EI

L

EI

L

I

E

K

889

,

13

in

12

10

10

2

12

)

2

(

12

028

,

6

in

12

12

10

18

18

12

)

2

(

3

3 6 3 2 1 3 6 3 1 3 1 3 1 1

in

dt

K

g

W

m

in

dt

K

g

W

m

2 2 2 2 2 2 1 1

1554

,

0

dt

in

386

ft

20

3

2073

,

0

dt

in

386

ft

40

2

1554

,

0

0

0

2073

,

0

0

0

2 1

m

m

M

889

,

13

889

,

13

889

,

13

97

,

19

2 2 2 2 1

k

k

k

k

k

K

Dengan cara yang sama seperti contoh 15, didapatkan hasil: 2 1

1

dan

M

K

D

2)

(ragam

21

,

170

1)

(ragam

27

,

15

0

2 2 2 1

I

D

Det

0

1 2

x

I

x

M

K

206

,

1

00

,

1

1

Ragam

2 1

x

x

107

,

1

00

,

1

1

Ragam

2 1

x

x

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN TIGA DERAJAT KEBEBASAN Gaya inersia: 3 2 3 3 2 2 2 2 1 2 1 1

x

m

F

x

m

F

x

m

F

i i i Gaya elastis: 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1

X

k

F

X

X

k

F

X

X

k

F

i E E (95) (96) (97) (98) (99) (100)

0

2

0

0

3 2 1 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 1 1 2 1 1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1

x

x

k

dt

x

x

d

c

x

k

dt

dx

c

dt

x

d

m

x

x

k

dt

x

x

d

c

x

x

k

dt

x

x

d

c

dt

x

d

m

x

x

k

dt

x

x

d

c

dt

x

d

m

Persamaan kesetimbangan untuk masing-masing tingkat:

Dalam bentuk matriks:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 2 1 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 dt dx dt dx dt dx c c c c c c c c c x x x k k k k k k k k k dt x d dt x d dt x d m m m

0

2 2

dt

dx

C

x

K

dt

x

d

M

(104) (102) (103) (101) (105)

Untuk redaman nol:

0

2 2

x

K

dt

x

d

M

(106)

x

dt

x

d

₂ 2 2 (107)

Dengan cara yang sama dengan sistem 2 derajat kebebasan, didapatkan nilai eigen dan vektor eigen (λ):

0

I

D

Det

(108)

Perhitungan ragam struktur dengan mencari matriks D atau

invers matriks K untuk struktur dengan banyak derajat

kebebasan, sangat susah untuk dilakukan.

Oleh karena itu, digunakan metode iterasi untuk mempermudah

perhitungan. Metode iterasi yang biasa dipakai adalah

METODE ALTERNATIF:

0

2 2

x

K

dt

x

d

M

x

dt

x

d

₂ 2 2

0

0

2 2

x

M

K

x

K

x

M

Nilai eigen: 2

₀

M

K

Bentuk ragam perpindahan struktur dapat diperoleh menggunakan persamaan (109)

(109) (110)

Contoh 17

Suatu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem berderajat kebebasan tiga dengan data-data seperti pada gambar. Tentukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.

Jawab

lb/in

30000

lb/in

40000

lb/in

50000

3 2 1

K

K

K

in

/

lb.dt

36

,

10

kips

4

in

/

lb.dt

54

,

15

kips

6

in

/

lb.dt

91

,

25

kips

10

2 3 3 2 2 2 2 1 1

m

W

m

W

m

W

Dalam bentuk matriks:

30000

30000

0

30000

70000

40000

0

40000

90000

0

0

3 3 3 3 2 2 2 2 1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

36

,

10

0

0

0

54

,

15

0

0

0

91

,

25

0

0

0

0

0

0

3 2 1

m

m

m

0

2

M

K

Det

0

36

,

10

30000

30000

0

30000

54

,

15

70000

40000

0

40000

91

,

25

90000

2 2 2

Det

0

10

6

10

2173

,

1

45346360

641

,

4169

0

)]

36

,

10

30000

(

40000

(

40000

)

30000

)(

30000

(

)

36

,

10

30000

)(

54

,

15

70000

)[(

81

,

25

90000

(

13 2 11 4 6 2 2 2 2

rad/dtk

64

,

83

6996

rad/dtk

96

,

56

3244

rad/dtk

17

,

25

78

,

633

3 2 3 2 2 2 1 2 1

0

K

2

M

x

Ragam 1:

0

0

0

36

,

10

30000

30000

0

30000

54

,

15

70000

40000

0

40000

91

,

25

90000

31 21 11 2 1 2 1 2 1

x

x

x

Ragam 2:

0

0

0

36

,

10

30000

30000

0

30000

54

,

15

70000

40000

0

40000

91

,

25

90000

32 22 12 2 2 2 2 2 2

x

x

x

Ragam 3:

0

0

0

36

,

10

30000

30000

0

30000

54

,

15

70000

40000

0

40000

91

,

25

90000

33 23 13 2 2 2 2 2 2

x

x

x

6102

,

1

2362

,

1

3551

,

2

2804

,

2

1490

,

0

8396

,

1

1

1

1

33 32 31 23 22 21 13 12 11

x

x

x

x

x

x

x

x

x