FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Numerik Propagasi Saraf dengan Metode RK-
4.1.2 Solusi numerik dengan arus terapan DC bergantung waktu
Nilai arus Iapp atau arus yang diterapkan pada sel saraf sangat mempengaruhi bentuk propagasinya. Pada sub bab sebelumnya, telah dibahas bentuk propagasi saraf pada tipe 1 dan 2 dengan nilai arus terapan adalah konstan, yaitu masing-masing 50 µA dan 55 µA untuk tipe 1 dan 2. Dengan nilai tersebut, saraf dapat menjalar secara periodik.
Jika arus Iapp pada sel saraf tidak bernilai tetap, atau nilainya berubah terhadap waktu, maka bentuk propagasi dan sistem dinamiknya berubah. Dalam penelitian ini dimodelkan suatu persamaan yang merupakan fungsi arus terapan Iapp terhadap waktu I(t) sebagai berikut:
$(X) = $z {|X + $ a∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (36)
fungsi arus I(t) pada persamaan (36) dimodelkan sebagai suatau fungsi linier yang berbanding lurus dengan waktu. Ini berarti bahwa nilai arus terapan pada sel saraf akan berubah dengan bertambahnya waktu. Parameter Imax merupakan nilai penambahan (gradien) arus maksimum tiap detik, sedangkan α merupakan nilai koefisien penambahan yang bertanggung jawab atas besar kecil laju perubahan arusnya.
Dengan mensubstitusikan persamaan (36) ke persamaan (34) dengan menggantikan parameter Iapp dengan I(t), persamaan (34) menjadi persamaan (37) sebagai berikut:
0 200 400 600 800 1000 1200 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 time t (ms) m e m b ra n v o lt a g e v ( m V ) Class 2 Excitability 0 100 200 300 400 500 600 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Class 1 0 100 200 300 400 500 600 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 Class 2 (a) (b)
@(b, T) = (− _ G _∞ ( )( − _ G ) − _w !( − _w ) − _W ( − _W ) + $(X))/ (37)
persamaan (37) kemudian disubstitusikan kembali ke persamaan (32), kemudian dengan menggunakan MATLAB didapatkan solusi numerik seperti pada Gambar 21. (class 1) dan Gambar 22. (class2).
Gambar 21. Propagasi saraf tipe 1 dengan arus I(t).
parameter untuk propagasi tipe 1 adalah Imax= 5 µA, Iinit= 0, dan α=0.011 s-1, sedangkan untuk tipe 2 adalah Imax= 10 µA, Iinit=0, dan α=0.016 s-1.
Gambar 22. Propagasi saraf tipe 2 dengan arus I(t).
Propagasi saraf tipe 1 dan 2 ini memiliki karaktersitik masing-masing dalam merespon rangsangan dari luar. Dengan mengubah nilai Iapp menjadi suatu nilai yang bergantung dengan waktu, Nilai parameter kedua tipe berbeda. Selain I(t), nilai V3 padakedua tipe berbeda yaitu 12 mV dan 2 mV untuk tipe 1 dan 2. Perbedaan nilai ini pada kedua tipe saraf tersebut menampilkan bentuk propagasi yang berbeda. Berdasarkan Gambar 21., tipe 1 mulai melakukakn eksitasi pada saat t≈800 ms (spike state) yaitu pada saat nilai I≈130 µA. Saat nilai I sangat besar (I≈350 µA) potensial aksi mulai menghilang (t≈2050 ms). Sedangkan untuk tipe 2 (Gambar 22.) saraf mulai tereksitasi saat t≈350 ms dengan nilai I≈60 µA dan saat t≈1600 ms (I≈260 µA) propagasi berada pada keadaan istirahat.
Kondisi ini berkaitan dengan karaktersitk saraf. Sebagai suatu komponen biologi fungsional, sel saraf memiliki karakteristik spesifik dalam merespon rangsangan dari luar. Secara fisis, sel-sel saraf pada tubuh cenderung sensitif terhadap adanya rangsangan dari luar berupa adanya arus yang diterapkan. ketika nilai arus yang diterapkan tidak cukup untuk melakukan depolarisasi maka tidak akan terjadi suatu potensial aksi. Ketika mulai mencapai potensial ambang, maka akan terjadi suatu potensial aksi. Jika nilai arus yang diterapkan melebihi ambang batas saraf, atau diluar interval saraf untuk menghasilkan suatu potensial aksi, maka tidak akan terjadi propagasi pada saraf.18
0 500 1000 1500 2000 2500 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) m e m b ra n e v o lt a g e ( m V ) 0 500 1000 1500 2000 2500 0 200 400 time (ms) a p p lie d c u rr e n t (m ic ro A m p e re )
Pulse of Class 1 Current Time Dependent
spike state rest state
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -80 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) m e m b ra n e v o lt a g e ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 200 400 time (ms) a p p lie d c u rr e n t (m ik ro A m p e re )
Pulse of Class 2 current time dependent
spike state rest state
0 500 1000 1500 2000 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 time (ms ) s pik e s tate res t s tat e 36 s pik es /1200 ms Clas s 2 (a)
Gambar 23. Frekuensi Frekuensi propagasi (spike/second) pada (a) tipe 1
dan (b) tipe 2
Pada model ini, kedua tipe saraf tersebut memiliki nilai resting potential yang hampir sama yaitu sekitar -60 mV. Bentuk propagasi saraf tipe 1 dan 2 merupakan tipe eksitasi saraf utama yang digolongkan berdasarkan besar atau kecilnya nilai rata-rata arus yang diterapkan pada membran untuk terjadinya suatu potensial aksi. Hodgkin (1948) menklasifikasikan bahwa propagasi tipe 1 dapat dihasilkan dengan frekuensi eksitasi yang rendah dan bergantung pada besar arus yang diterapkan. Sedangkan untuk tipe 2 dapat terjadi hanya pada pita frekuensi eksitasi tertentu dan tidak bergantung oleh besar arus yang diterapkan. Berdasarkan hasil yang ditampilkan pada Gambar 23., dapat dilihat bahwa frekuensi eksitasi pada tipe 2 (36 spikes/1200 ms) lebih besar dari tipe 1 (28 spikes/1200 ms). Berdasarkan hasil eksperimen Hodgkin (1848) dan penelitian lebih lanjut oleh E. M. izhikevich (2003), menunjukan bahwa perbedaan kualitatif antara tipe 1 dan 2 ditandai oleh nilai arus yang diterapkan pada sel. Arus terapan akan kontinu dan menuju stabil dalam menghasilkan suatu potensial aksi untuk tipe 1, sedangkan tipe 2 memiliki nilai rentang arus tertentu untuk menghasilkan suatu potensial aksi. Jika di luar pita ini, maka tidak dapat dihasilkan suatu potensial aksi.
Agar lebih memahami teori pita frekuensi pada eksitasi tipe 1 dan 2, akan ditinjau kembali nilai I(t). Nilai Iapp pada
model sebelumnya memiliki gradien yang positif bahwa nilai arus akan semakin meningkat dengan bertambahnya waktu. Parameter yang bertanggung jawab dalam hal ini adalah α yang bertanda positif (+). Dengan mengubah tanda pada parameter α menjadi negatif (-), maka gradien fungsi akan negatif sehingga menyebabkan fungsi arus terapan akan terus berkurang dengan bertambahnya waktu. Dengan menggunakan nilai parameter sebelumnya dan mengubah nilai Iinit pada tipe 1 dan 2 masing-masing bernilai 100 µA dan 280 µA, maka didapatkan bentuk propagasi seperti pada Gambar 24.
Gambar 24. Propagasi (a) tipe 1 dan (b) tipe 2 dengan gradient I(t) negatif
Teori mengenai propagasi tipe 1 dan 2 dapat dijelaskan dengan melihat hasil yang didapatkan pada Gambar24. Pada tipe 1, proses eksitasi periodik terus terjadi bersamaan dengan perubahan nilai arus Iapp, hingga pada nilai Iapp tertentu saraf tidak cukup energi untuk melakukan eksitasi karena nilai Iapp yang terus berkurang. Sedangkan pada tipe 2, pita frekuensi eksitasi terlihat dengan jelas. Eksitasi saraf periodik hanya terjadi pada pita frekuensi tertentu yaitu pada selang sekitar 500-1500 ms,
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 time (ms) m e m b ra n e v o lt a g e ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 100 time (ms) ap p lie d c u re n t (m ic ro A m p e re ) Periodic Spike Resting State Class 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 time (ms) m e m b ra n e v o lt a g e ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -200 -100 0 100 time (ms) a p p li e d c u rr e n t (m ic ro A m p e re ) no spike no spike Class 2 Periodic Spike 0 500 1000 1500 2000 2500 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 time (ms ) 28 s pikes/1200 ms Class 1 res t s tate s pike s tate (b) (b) (a)
dengan nilai Iapp sekitar 50 µA hingga - 150 µA.
Kedua keadaan diatas, yaitu ketika kedua tipe diberi arus terapan yang berubah terhadap waktu (baik bertambah maupun berkurang) yang artinya bahwa kedua tipe propagasi tersebut memiliki perbedaan dalam sistem dinamiknya. Hal yang harus digaris bawahi adalah, parameter yang diubah pada pendekatan numerik ini hanya parameter-parameter yang berkaitan dengan nilai arus terapan. Jika parameter-parameter diluar arus terapan divariasikan nilainya, maka akan menghasilkan pola propagasi dan sistem dinamik yang berbeda.
4.1.3 Solusi numerik dengan arus terapan AC bergantung waktu
Nilai parameter Iapp dapat divariasikan bedasarkan karakteristik dari tiap-tiap sel pada jaringan saraf. Pada sub bab ini, akan digunakan suatu nilai arus terapan yang bergantung terhadap waktu I(t) dan nilainya selalu berubah. Parameter yang digunakan ini adalah nilai Iapp dengan fungsi masukan berupa nilai arus AC (alternating current) yang dapat dilihat pada persamaan (38).
$(X) = $z {sin (~X) + $ a∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (38)
Dengan mengganti fungsi I(t) pada persamaan (37) dengan persamaan (38), maka arus terapan pada model akan berupa arus AC yang nilainya menunjukan suatu hubungan sinusoidal terhadap waktu. Parameter Imax dan Iinit memiliki arti fisis yang sama dengan fungsi arus DC bergantung waktu pada sub bab sebelumnya, sedangkan parameter yang berbeda adalah ω yang merupakan nilai frekuensi masukan pada sinyal arus AC yang diterapkan pada model.
Dengan memasukan nilai Imax , Iinit dan ω pada tipe 1 dan 2, maka dihasilkan suatu propagasi saraf seperti Gambar 25.
(a)
(b)
Gambar 25. Propagasi saraf dengan fungsi arus terapan AC.(a) tipe 1.(b) tipe
2.
nilai paramer untuk tipe 1 adalah Imax = 8 mV, Iinit =50 mA dan ω = 0.011 s-1, Sedangkan untuk tipe 2 adalah Imax =10 mV, Iinit = 55 mA dan ω = 0.0016 s-1.
Pengaruh adanya masukan arus AC pada kedua tipe propagasi menyebakan perubahan mekanisme sistem dinamik pada masing-masing tipe propagasi. Tipe 1 merupakan propagasi saraf yang dapat mengalami eksitasi saat arus yang diterapkan berada pada frekuensi yang rendah sedangkan pada tipe 2 relatif sedikit lebih tinggi untuk mengalami eksitasi dan memiliki pita frekuensi eksitasi tertentu. Jika dilihat
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 time (ms) m em br an e Vo lta ge (m V) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -10 0 10 time (ms) ap pl ie d cu rr en t ( AC )
Class 1 excitability with applied AC current
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 time (ms) m em br an e vo lta ge (m V) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -20 0 20 time (ms) ap pl ie d cu rr en t (( m ik cr oA m pe re )
hasil pada Gambar 25., saat nilai arus definit positif, pada tipe 1 maupun 2 mengalami eksitasi. Perbedaan pada kedua tipe propagasi ini terletak pada saat nilai arus masukan bernilai negatif. Pada tipe 1, meskipun nilai arus masukan memasuki negatif, eksitasi masih dapat terjadi tetapi mengalami penurunan frekuensi eksitasi (spike frequence) dibandingkan saat nilai arus adalah positif. Hal yang berbeda terjadi pada tipe 2. Saat nilai arus negatif, pada tipe 2 tidak terjadi eksitasi sama sekali. Ini berkaitan dengan karakteristik dari propagasi tipe 2, karena pada tipe ini saraf cenderung harus diterapkan oleh nilai arus yang lebih tinggi dengan pita frekuensi eksitasi yang lebih sempit (spesifik).17
Agar lebih memahami fenomena ini, pada tiap tipe 1 dan 2 diperlakukan suatu variasi nilai ω. Nilai ω menunjukkan besar kecilnya frekuensi arus listrik masukan AC pada saraf. Nilai variasi ω dapat dilihat pada Gambar 26.
Gambar 26. Variasi nilai ω terhadap bentuk propagasi saraf
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 26., pada propagasi tipe 1, semakin besar nilai ω, perubahan frekuensi spike tidak terlalu besar namun terdapat perubahan fase propagasi menuju stabil. Sedangkan pada tipe 2, perubahan nilai ω yang semakin besar, sangat terlihat perubahan yang signifikan. Pada nilai ω=0.016, tipe 2 melakukan burst, saat nilainya dinaikan menjadi 0.056, propagasi burst menghilang dan menjadi suatu tonic spiking. Saat nilai ω dinaikan lagi menjadi 0.106, peristiwa burst kembali muncul dan saat ω bernilai 0.206 propagasi kembali stabil (regular spiking).
Dapat disimpulkan bahwa pada tipe 1, kenaikan nilai ω cenderung tidak mengubah bentuk propagasi saraf (neural properties) hanya mengubah keteraturan propagasi saraf dilihat dari fase propagasi tiap eksitasi (spike) hingga mencapai kestabilan. Sedangkan pada tipe 2, perubahan (kenaikan) nilai ω dapat mengubah bentuk propagasi saraf baik itu berupa spike atau burst secara berulang. 4.2 Analisis Sistem Dinamik Propagasi Saraf
Langkah terakhir dari analisis kualitatif suatu sistem dinamik adalah analisis bifurkasi. Suatu sistem dinamik dikatakan mengalami bifurkasi alamiah ketika ruang fasenya memiliki karakteristik perubahan secara kualitatif.3 Perubahan secara kualitatif adalah perubahan karakteristik sistem dinamik saat ada atau tidak ada dalam keadaan dinamik. Suatu sel saraf berada pada keadaan ada atau tidak dinamik bergantung pada kondisi awal dan parameter alamiah yang berkaitan dengan saraf tersebut. Dalam hal ini yang paling terlihat jelas adalah parameter potensial membran.
Bifurkasi merupakan proses perubahan titik keseimbangan (equilibrium) baik jenis maupun jumlah akibat adanya perubahan parameter yang terkandung pada suatu persamaan.7 Dalam hal ini parameter dan persamaan yang dimaksud terangkum dalam sutau model saraf. Model yang digunakan adalah model ML dengan parameter 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 omega 0.011 0.051 0.101 0.201 Class 1 Excitability 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -100 -50 0 50 omega 0.016 0.056 0.106 0.206 Class 2 Excitability
ω
ω
(a)
(b) utama potensial membran V dan
parameter pemulihan W. Analisis sistem dinamik ini meliputi pencarian titik nol (keseimbangan) dan analisis nilai dan vektor eigen untuk mengtahui karakteristik dinamik dan bifurkasi pada model.
4.2.1 Analisis linier lokal, nilai eigen dan diagram fase
Dengan meninjau kembali persamaan (30) dan (31), pada keadaan keseimbangan, nilai dV/dt dan dW/dt bernilai nol. Dengan memisalkan ruas kanan pada kedua persamaan adalah f(v,w) dan g(v,w) maka persamaan (30) dan (31) menjadi.
N
NX = @( , !) = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (39) N
NX = @( , !) = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (40)
Persamaan ini digunakan untuk mencari grafik garis nol (nullclines), dan nilai akar persamaan.
Selanjutnya menganalisis sistem dinamik PDB ,untuk mencari grafik garis nol dan akar-akarnya. Dengan membuat fungsi f(v,w) dan g(v,w) pada keadaan keseimbangan maka akan menjadi.
− ∞( )( − ) − !( − )
− "( − ") + $ %%
= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (41)
!∞( ) − !
'(( ) = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (42)
ruas kiri pada masing-masing persamaan dimodifikasi sehingga hanya mengandung parameter w saja sehingga persamaan (41) dan (42) menjadi.
!( ) = (− _ G _∞ ( )( − _ G ) − _W ( − _W ) + $_Gxx)/( _w ( − _w ) ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (43)
!( ) = !∞( ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (44)
Persamaan (43) merupakan grafik garis nol (nullcline) saat nilai dV/dt=0 sedangkan persamaan persamaan (44)
merupakan grafik garis nol umtuk dW/dt=0.
Dengan melakukan simulasi menggunakan MATLAB, didapatkan grafik garis nol untuk kedua tipe propagasi 1 dan 2 dengan nilai parameter yang sama dengan simulasi sebelumnya (Iapp = tetap). Gambar 27., menampilan nulclines dengan limit cycle untuk kedua tipe.
Gambar 27. Diagram fase (a) tipe 1 dan (b) tipe 2 dengan Iapptetap.
Untuk memahami makna kualitatif dari diagram fase tersebut, langkah selanjutnya yang dilakukan adalah mencari nilai eigen untuk menentukan jenis titik kritis (keseimbangan) pada sistem.
Untuk mencari nilai eigen tersebut, maka harus dibangun suatu matrik karaktersitik yang disebut matriks jacobian (J). Dengan memasukan persamaan (30) dan (31) kedalam matriks, maka akan didapatkan,
• = € Q@(b, T) Qb Q@(b, T)QT Q (b, T) Qb Q (b, T)QT • ∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (45) 0 200 400 600 800 1000 1200 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) V ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 time (ms) W ( m V ) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 membrane potential V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Phase portrait of Class 1 Excitability W nulcline V nulcline Limit cycle equilibrium 0 200 400 600 800 1000 1200 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) V ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 time (ms) W ( m V ) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 membrane Voltage V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Phase portrait of Class 2 Excitability
V nulcline W nulcline
Limit cycle
@( , !) = (− _ G _∞ ( )( − _ G ) − _w !( − _w ) − _W ( − _W ) + $_Gxx)/ ∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (46) ( , !) =!∞( ) − ! '(( ) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (47)
Dengan memasukan nilai parameter untuk tipe 1 adalah C=20 µF/cm2, gK=8
ms/cm, gl=2 ms/cmgCa=4 ms/cm , To=1/15 s-1, VCa= 120 mV, VK=-80 mV, Vl= -60 mV, V1=-1.2 mV, V2=18 mV, V4 =17.4 mV , V3=12 mV. danIapp= 50 µA. hasil penurunan matriks dengan MATLAB didapatkan matriks (48) untuk tipe 1 dan matriks (49) untuk tipe 2 dengan nilai nilai Iapp=55 µA. dan V3=2 mV. ‚ = ƒ „ „ … † ‡ˆ‰Š8 ‹Œ•ŽŒ•9Œ • ‘ ’Œ‘“(”’./H) /H − • –8Œ•‹—Œ•Œ9 .H − /˜ ™ − . ™ /” ™ − 32 (™ š –8 •‹ Œ›œ’Œ••‘9ž • –ž •‹ •›Ÿ•••‘ • ’Œ•¡— •Œ¢¢ .£3 − cosh ( ™” .£3− .H /¤)( • –8•‹•›’•••‘9• ™// − . ™//) − ¥ š–8Œ›œ•‹’Œ••‘9 .™ ¦ § § ¨ ∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (48) ‚ = ƒ „ „ … † ‡ˆ‰Š8 ‹Œ•ŽŒ•9Œ • ‘ ’Œ‘“(”’./H) /H − • –8Œ•‹—Œ•Œ9 .H − /˜ ™ − . ™ /” ™ − 32 (™ š –8 •‹ Œ›œ’•›•9ž • –ž •‹ •›ŸŒ••› • ’Œ•¡— •Œ¢¢ .£3 − cosh ( ™” .£3− ™ ©£)( • –8•‹•›’Œ••›9• ™// − . ™//) − ¥ š–8Œ›œ•‹’•›•9 .™ ¦ § § ¨ ∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (49)
fungsi f(V,W) dan g(V,W) diberi masukan nilai V0 dan W0 yang dapat dicari dengan mengakarkan persamaan (41) dan (42).
Pada tipe 1 dan 2, nilai akar-akar nol nya adalah,
ªKxO 1: U!H
HV = 8−5.3757520.11949599
ªKxO 2: U!H
HV = 8−34.9683390.014074259
selanjutnyua pada masing-masing tipe disubstitusikan nilai V0 dan W0 pada V dan W sehingga matriks (48) dan (49) menjadi bernilai eksak.
•(ªKxO 1) = 80.4353 −29.84970.0009 −0.0752 9
• (ªKxO 2) = 8−0.0331 −18.01270.0002 −0.1080 9
Setelah didapatkan matriks jacobian, maka langkah terakhir adalah mencari nilai eigen λ pada masing- masing tipe. Hasil yang didapatkan dari simulasi MATLAB untuk nilai eigen pada tipe 1 dan 2 adalah,
ªKxO 1: UYY.
/V = 8 0.3751−0.01499
ªKxO 2: UY.
Y/V = 8−0.0705 + 0.0412K−0.0705 − 0.0412K9
dari hasil pencarian nilai eigen tersebut dapat disimpulkan bahwa titik kritis pada tipe 1 adalh titik saddle tidak stabil dengan ditandai oleh adanya nilai eigen yang betanda positif. Sedangkan nilai eigen pada tipe 2 adalah kompleks- konjugat dengan suku real memiliki tanda negatif adalah titik focus yang stabil
Titik kritis diatas didapatkan pada saat keadaan setimbang. Pada
Gambar 28. untuk diagram fase tipe 1, grafik W nulcline memotong grafik V nulclins pada 3 titik. Semua titik adalah tidak stabil. Titik kestabilan yang pertama ini merupakan tempat saat Iapp tidak cukup untuk mengeksitasi saraf sehingga akan tetap disana. Saat Iapp cukup untuk mengeksitasi, maka titik keseimbangan akan bergeser dan merubah sifat dinamiknya ke keadaan yang tidak stabil dan saraf mulai tereksitasi.
Gambar 28. Bifurkasi saddle-node pada tipe 1.
pergeseran titik ini merubah jenis titik kritis node menjadi saddle Perubahan jenis titik kritis dari node menjadi saddle inilah yang merupakan suatu bifurkasi dalam sistem dinamik. Dalam hal ini nilai eigen yang bertanda positif bergerak menuju nol dan menjadi negatif sehingga menjadi stabil. Jenis bifurkasi pada tipe 1 ini adalah bifurkasi saddle-node18,19
Saat saraf memasuki keadaan eksitasi, limit cycle melewati salah satu titik kritis tidak stabil dan titik kritis tidak stabil lainnya berada di dalam nya. Sedangkan titik kritis yang stabil tidak dilewati atau berada di luar limit cycle. Jenis bifurkasi saddle-node ini adalah saddle-node on invariant circle (SNIC) bifurcation (Gambar 29).
Gambar 29. Bifurkasi saddle-node on invariant circle (SNIC)
Untuk tipe 2, memiliki jenis titik focus yang dengan diagram bifurkasi nya dapat dilihat pada Gambar 30. berikut.
Gambar 30. Bifurkasi Andronov-Hopf pada tipe 2.
Saat keadaan istirahat, tipe 2 memiliki jenis titik kritis focus stabil. Saat memasuki keadaan eksitasi, karena titik focus adalah stabil, maka ketika ada rangsangan yang cukup dari luar, saraf memulai eksitasi, jika belum cukup maka tidak akan terjadi eksitasi. Dalam hal dinamika saraf, ini berarti saraf akan mengalami eksitasi apabila ada perubahan arus terapan tertentu yang melewati nilai keadaan istirahat. Jika dilihat pada diagram bifurkasi, hanya ada 1 titik keseimbangan saja yaitu berada di dalam limit cycle.19 Oleh karena itu, daerah istirahat terletak di dalam limit cycle.
Kedua sistem ini memiliki tipe bifurkasi yang berbeda. Tipe satu adalah jenis titik node yang berubah menjadi saddle saat memasuki keadaan eksitasi. Sedangkan tipe 2 adalah jenis titik focus dan tidak mengalami perubahan jenis titik kritis, namun titik kritis tersebut -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 membrane potential V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Biffurcation Diagram of Class 1
Rest State Excitation State
Periodic Limit Cycle Threshold
Node Unstable Equilibrium Saddle Unstable Equilibrium
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 membrane Voltage V (mV) re c o v e ry v a ri a b le W ( m V )
Biffurcation Diagram of Class 2
Periodic Limit Cycle
Excitation State
Excitation State
no equilibrium Rest State Stable Focus Equilibrium
kehilangan kestabilan sehingga terjadi periodic spiking. Tipe bifurkasi pada tipe 2 ini adalah bifurkasi Andronov-Hopf,
seperti pada Gambar 31.
Gambar 31. Bifurkasi Andronov-Hopf. 4.2.2 Nilai eigen dan diagram fase tipe 1 dan 2 variasi Iapp dan V3
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa karakteristik sistem dinamik bergantung pada nilai inisiasi parameter yang berkaitan dengan sistem tersebut. Sebagai contoh, perubahan nilai Iapp pada persamaan akan mengubah nilai eigennya. Dengan demikian akan berubah pula karakteristik dinamiknya. Besar kecilnya perubahan parameter memiliki dua kemungkinan. Kemungkinan pertama sistem tidak akan mengubah karakteristiknya dengan jenis dan tanda nilai eigen yang tetap, namun hanya mengubah besarnya saja. Kemungkinan kedua jenis dan tanda nilai eigen akan berubah sehingga karakteristik dinamiknya akan berubah. Pada sub bab ini akan dibahas kemungkinan kedua agar lebih
memahami pengaruh nilai eigen dalam menjelaskan sistem dinamik pada saraf.
Dengan mengganti nilai V3 pada sistem, untuk tipe 1 (Iapp=50 µA) dan 2 (Iapp=55 µA) adalah V3=18, dengan langkah yang sama pula, maka akan didapatkan nilai eigen masing-masing sebagai berikut.
UY.
Y/V = 8 0.3953−0.03469 U
Y.
Y/V = 8 0.3907−0.03679
nilai eigen pada kedua kasus adalah berlawanan tanda, sehingga kedua tipe ini memiliki jenis titik kritis saddle yang tidak stabil. Diagram bifurkasi kedua tipe dapat dilihat pada Gambar 32.
Jenis titik kritis lain yang mungkin pada sistem dinamik saraf adalah titik focus. Titik ini bisa didapatkan pada kedua tipe dengan mengganti nilai V3 menjadi -3 mV. Nilai eigen masing-masing tipe akan berubah menjadi bilangan kompleks-konjugat dengan nilai masing-masing sebagai berikut,
ªKxO 1: UYY.
/V = 8−0.0782 + 0.0533K−0.0782 − 0.0533K9
ªKxO 2: UYY.
/V = 8−0.0720 + 0.0588K−0.0720 − 0.0588K9
Gambar32. Diagram bifurkasi (a) tipe 1 dan (b) tipe 2dengan nilai V3=18 mV.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m e m b ra n p o te n s ti a l V ( m V ) New Equilibria Time (ms) Initial Condition Critical Point New Equilibria Saddle equilibria
Dissapear Saddle equilibria
Initial Condition Calss 2 Excitability Calss 1 Excitability Critical Point Rest State Rest State (a) (b)
Pada Gambar 32, noktah merah yang memiliki label new equilibria adalah merupakan titik focus yang dimaksud. Ini dapat terjadi pada kedua tipe bahwa pada eksitasi saraf, nilai eigen akan berubah dari real (titik saddle) dan akan menghilang imaginer pada tipe biffurkasi Andronov-Hopf.
Sedangkan untuk nilai Iapp dan V3 pada kedua tipe diukar yaitu untuk tipe 1 dan 2 masing-masing 50 µA, 2 mV dan 55 µA, 12 mV dan nilai eigennya adalah.
UY.
Y/V = 80.31200.05529 U
Y.
Y/V = 8−0.0561−0.11429
Maka jenis titik kedua tipe sekarang adalah nodeyang memiliki perbedaan kestabilan.Pada tipe 1 adalah tidak stabil sedangkan tipe 2 stabil.
Tabel 1.Hubungan nilai V3 dan Iapp dengan bifurkasi.
Dapat disimpulkan bahwa saat nilai V3 pada kedua tipe bernilai 18 mV, maka sistem tidak stabil dengan tipe bifurkasi saddle-node. Saat nilai mulai turun V3 mulai turun dan memasuki negatif (V3=-3 mV) maka sistem mulai stabil (suku real (nyata) bilangan kompleks eigen yang negatif) dan perlahan-lahan memasuki keadaan istirahat dengan tipe bifurkasi Andronov- Hopf. Secara menyeluruh, hubungan antara nilai parameter V3 dan Iapp dapat dilihat pada tabel 1.
4.2.3 Nilai eigen dan diagram fase tipe 1 dan 2 Iapp bergantung waktu
Analisis sistem dinamik pada penjelasan sebelumnya menggunakan parameter Iapp dengan nilai yang tetap terhadap waktu. Sehingga dalam menentukan tipe bifurkasi nya agak sulit terutama dalam hal perubahan
karakteristik dinamiknya. Dalam sub bab ini akan di bahas perubahan karaktersitik sistem dinamik ditinjau dari adanya perubahan nilai arus terapan terhadap waktu, apakah ada perubahan tipe bifurkasi dari keadaan istirahat ke keadaan eksitasi atau sebaliknya.nilai arus terapan bergantung waktu pada penelitian ini dibagi menjadi dua tipe berdasarkan jenis arus terapannya yaitu arus terapan DC dan AC. Pertama akan dibahas karakteristik sistem dinamik arus DC bergantung waktu, selanjutnya AC Arus terapan DC bergantung waktu
Berdasarkan persamaan (36) fungsi arus I(t) dimodelkan dengan suatu fungsi linier dengan nilai parameter α sebagai gradien laju arus terhadap waktu. Pada tipe 1 dan 2, dengan nilai α positif didapatkan bentuk propagasi seperti pada Gambar 33. Jika diperhatikan, ada tiga daerah utama pada bentuk propagasi tersebut yaitu (A) daerah pada keadaan arus mulai naik menuju keadaan eksitasi dan mulai melakukan spiking, (B) daerah saat saraf melakukan periodic spiking, dan (C) daerah berarus tinggi pada keadaan saraf tidak melakukan spiking. Karakteristik dari ketiga daerah ini berbeda dikarenakan memiliki karakteristik bifurkasi yang berbeda.
Gambar 33. Tiga daerah utama propagasi (a) tipe 1 dan (b) tipe 2 dengan arus DC
bergantung waktu. 0 500 1000 1500 2000 2500 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) m e m b ra n e v o lt a g e ( m V ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -80 -60 -40 -20 0 20 40 time (ms) m e m b ra n e v o lt a g e ( m V ) Class 1 Excitability (A) Increasing Current State
(B) Periodic Spiking State
(B) Periodic Spiking State
(C) Steady State
(C) Steady State
(A) Increasing Current State
(T) (T) V3 (mV ) Tipe 1 (Iapp=50 mV) Tipe 2 (Iapp=55 mV) Bifurkasi
12 saddle node stable saddle-node
2 node
unstabel
focus Andronov-
Hopf
18 saddle saddle saddle-node
-3 focus focus Andronov-
Tabel 2. Nilai eigen masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 arus DC bergantung waktu.
Selanjutnya akan dibahas jenis titik kritis di tiap daerah untuk tipe 1 dan 2.