Teori Grup

BAB II KAJIAN PUSTAKA

C. Teori Grup

Pada subbab ini akan dibahas konsep-konsep matematika yang menjadi dasar dalam penelitian ini. Dasar matematis untuk Pola Frieze dan Pola Kristalografi adalah geometri transformasi dan teori grup.

Definisi 2.1 Operasi Biner (Fraleigh, 2003:20)

Diberikan himpunan tidak kosong 𝑆. Operasi biner ∘ dalam 𝑆 adalah sebuah fungsi yang memetakan 𝑆 × 𝑆 ke 𝑆. Untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 yang akan dinyatakan dengan ∘ ((𝑎, 𝑏)) dari 𝑆 dilambangkan dengan 𝑎 ∘ 𝑏.

Contoh 2. 1 (Fraleigh, 2003:21)

Operasi penjumlahan atau perkalian biasa dalam himpunan bilangan bulat atau bilangan real merupakan sebuah operasi biner.

 Misalkan ℤ adalah himpunan bilangan bulat. Operasi biner + (penjumlahan) merupakan fungsi yang memetakan (3, 5) ∈ ℤ × ℤ ke bilangan 8 ∈ ℤ.

 Misalkan ℝ adalah himpunan bilangan real. Operasi biner ⋅ (perkalian) merupakan fungsi yang memetakan (²

3, 4) ∈ ℝ × ℝ ke bilangan ⁸

3∈ ℝ.

Definisi 2.2 Grup (Sukirman, 2014: 71)

Diberikan G adalah himpunan yang tak kosong dan operasi ͦ pada G adalah suatu operasi biner. Himpunan G dan operasi biner ͦ atau dapat ditulis (G, ͦ ) adalah suatu grup jika memenuhi aksioma – aksioma berikut.

i. Operasi ∘ pada 𝐺 bersifat asosiatif

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐) ii. 𝐺 memuat elemen identitas, misal e

∃𝑒 ∈ 𝐺, ∀𝑎 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝑎 = 𝑎 iii. Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula

∀𝑎 ∈ 𝐺, ∃𝑎⁻¹∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑎 ∘ 𝑎⁻¹ = 𝑎⁻¹∘ 𝑎 = 𝑒.

𝑎⁻¹adalah invers dari 𝑎

Jika (𝐺,∘) adalah suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu maka berlaku 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎, maka (G, ͦ ) disebut grup komutatif atau grup abelian.

Contoh 2. 2 (Sukirman,2014:74)

Himpunan bilangan bulat ℤ dengan operasi ∘ yang didefinisikan oleh 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 5, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ adalah suatu grup abelian. Hal ini dapat ditunjukkan dengan

i. Dengan memperhatikan definisi operasi ∘ pada ℤ, maka operasi ∘ pada ℤ merupakan operasi biner.

ii. Selanjutnya akan dibuktikan operasi ∘ pada ℤ bersifat asosiatif

Jadi operasi ∘ pada ℤ bersifat asosiatif

iii. Diberikan elemen identitas dalam ℤ adalah 𝑦, maka untuk

Jadi elemen identitas dalam ℤ terhadap operasi ∘ adalah 5 iv. Diberikan ∀𝑎 ∈ ℤ dan invers dari 𝑎 adalah 𝑡 , maka v. Akan dibuktikan operasi ∘ pada ℤ bersifat komutatif.

Diberikan ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ , maka 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 5

= 𝑏 + 𝑎 − 5

= 𝑏 ∘ 𝑎 Jadi operasi ∘ pada ℤ bersifat komutatif.

Berdasarkan hasil (i) – (v), dapat disimpulkan bahwa (ℤ,∘) adalah sebuah grup komutatif atau grup abelian.

Definisi 2.3 Order (Sukirman, 2014:71)

Banyaknya elemen dari suatu grup disebut order. Jika order suatu grup adalah berhingga maka grup tersebut dinamakan grup berhingga. Jika order suatu grup adalah tak hingga maka grup tersebut disebut grup tak hingga.

Contoh 2.3 (Sukirman, 2014:72)

Grup bilangan bulat terhadap penjumlahan (ℤ, +) merupakan sebuah grup abelian yang memiliki order tak hingga

Teorema 2. 1 (Rawuh, 1992:110)

Diberikan (G,∘) sebuah grup, maka grup G harus memenuhi syarat berikut:

a. Unsur identitas dalam G adalah tunggal b. Setiap 𝑎 ∈ 𝐺 memiliki invers yang tunggal c. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎⁻¹)⁻¹= 𝑎

d. Untuk ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, (𝑎𝑏)⁻¹ = 𝑏⁻¹𝑎⁻¹

Bukti

a) Akan dibuktikan elemen identitas adalah tunggal

Misalkan elemen identitas dari (G,∘) adalah 𝑒 dan 𝜀, maka ∀𝑎 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝑎 = 𝑎 dan 𝑎 ∘ 𝜀 = 𝜀 ∘ 𝑎 = 𝑎. Karena 𝑒, 𝜀 ∈ 𝐺, maka 𝜀 ∘ 𝑒 = 𝑒 ∘ 𝜀 = 𝜀 dan 𝑒 ∘ 𝜀 = 𝜀 ∘ 𝑒 = 𝑒. Sehingga 𝑒 = 𝜀

Jadi elemen identitas dari (G,∘) adalah tunggal b) Akan dibuktikan invers G adalah tunggal

Misal 𝑎 ∈ 𝐺 dan invers dari 𝑎adalah 𝑢 dan 𝑣, maka 𝑎 ∘ 𝑢 = 𝑢 ∘ 𝑎 = 𝑒 dan

Jadi invers dari 𝑎 ∈ 𝐺 adalah tunggal

c) Akan dibuktikan untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎⁻¹)⁻¹= 𝑎

d) Akan dibuktikan ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, (𝑎𝑏)⁻¹= 𝑏⁻¹𝑎⁻¹

Perhatikan bahwa (𝑎 ∘ 𝑏)⁻¹∘ (𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑒. Sementara itu (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ (𝑏⁻¹∘ 𝑎⁻¹= 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑏⁻¹) ∘ 𝑎⁻¹= 𝑎 ∘ 𝑒 ∘ 𝑎⁻¹ = 𝑒. Mengingat ketunggalan elemen invers. Maka terbukti (𝑎 ∘ 𝑏)⁻¹= 𝑏⁻¹∘ 𝑎⁻¹

Teorema 2. 2 (Rawuh, 1992:111)

Diketahui sebuah grup (G, ∘) . Jika 𝒂 ∈ 𝑮 , 𝒃 ∈ 𝑮, maka persamaan 𝒙𝒂 = 𝒃 dan 𝒂𝒚 = 𝒃 memiliki jawaban tunggal dalam G

Bukti dibuktikan bahwa penyelesaiannya itu tunggal. Misalkan persamaan 𝑥𝑎 = 𝑏mempunyai penyelesaian 𝑢 dan 𝑣, maka berlaku bahwa 𝑢𝑎 = 𝑏 dan 𝑣𝑎 = 𝑏

Jadi penyelesaian dari persamaan 𝑥𝑎 = 𝑏 adalah tunggal. Untuk persamaan 𝑎𝑦 = 𝑏 pembuktiannya adalah sebagai berikut.

G suatu grup dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dengan 𝑎𝑦 = 𝑏, karena 𝑎 ∈ 𝐺 dan G grup maka dibuktikan bahwa penyelesaiannya itu tunggal. Misalkan persamaan 𝑎𝑦 = 𝑏mempunyai penyelesaian 𝑢 dan 𝑣, maka berlaku bahwa 𝑎𝑢 = 𝑏 dan 𝑎𝑣 = 𝑏

Jadi penyelesaian dari persamaan 𝑎𝑦 = 𝑏 adalah tunggal.

Akibat dari teorema ini adalah apabila 𝑥𝑎 = 𝑦𝑎 maka 𝑥 = 𝑦 dan apabila 𝑎𝑝 = 𝑎𝑞 maka 𝑝 = 𝑞. Sifat ini disebut dengan Hukum Peniadaan (Kanselasi).

Sifat Kanselasi ini selain memiliki peran dalam menyelesaikan persamaan, berperan juga dalam menggantikan dua aksioma dalam grup yaitu adanya elemen identitas dan setiap elemen memiliki invers.

Definisi 2.4 Permutasi (Sukirman,2014:115 )

Misalkan S adalah suatu himpunan berhingga. Permutasi adalah pemetaan satu-satu dari S ke dirinya sendiri. Setiap permutasi adalah suatu pemetaan

Secara geometris, permutasi tersebut dapat diilustrasikan dengan menggunakan operasi pencerminan dan rotasi pada segitiga sama sisi. Bagian 𝜀 adalah hasil operasi yang menghasilkan. Bagian 𝛼 merupakan hasil dari operasi penceriman anggota S terhadap sumbu refleksi yang terbentuk dari sudut nomor 3 ke titik tengah antara sudut 1 dan 2. Bagian 𝛽 merupakan hasil dari operasi pencerminan anggota S terhadap sumbu refleksi yang terbentuk dari sudut nomor 2 ke titik tengah antara sudut 1 dan 3. Bagian 𝛾 merupakan hasil dari operasi pencerminan anggota S terhadap sumbu refleksi yang terbentuk dari sudut nomor 1 ke titik tengah antara sudut 2 dan 3. Bagian 𝛿 merupakan hasil dari operasi rotasi 180° searah jarum jam. Bagian 𝜎 merupakan hasil dari operasi rotasi 180° berbalik arah jarum jam.

𝜀 𝛼 𝛽

𝛾 𝛿 𝜎

Gambar 2.4 Representasi Geometris Permutasi 𝑆₃

Definisi 2.5 (Gallian, 2010:453)

Grup Simetri (F,*) dalam ruang ℝ^𝑛 adalah semua isometri dalam ℝ^𝑛 yang memetakan ke dirinya sendiri. Grup operasi * adalah komposisi fungsi

Contoh 2. 5 (Sukirman, 2014:118)

Dapat dilihat dari contoh 2.3 misalkan A merupakan himpunan berhingga {1,2,3}. Maka semua permutasi dari A merupakan grup simetri tingkat 3, dengan lambang 𝑆₃

Definisi 2.6 (Fraleigh, 2003: 50)

Diberikan dua buah group dengan operasi yang sama yaitu (𝐺,∘) dan (H,∘).

Jika H adalah himpunan bagian dari G, maka himpunan H disebut subgroup dari group G dan dinotasikan dengan 𝐻 ≤ 𝐺.

Contoh 2. 6 (Fraleigh, 2003:52)

Diketahui (ℤ, +) dan (ℝ, +) merupakan suatu grup, dan ℤ adalah himpunan bagian dari ℝ dapat disimpulkan bahwa ℤ merupakan subgrup dari ℝ atau dapat ditulis ℤ ≤ ℝ.

Definisi 2.7 (Fraleigh, 2003: 68)

Diberikan sebuah group (𝐺,∘). Himpunan S yang merupakan himpunan bagian dari 𝐺 merupakan himpunan generator untuk 𝐺 jika setiap elemen 𝐺 dapat dinyatakan dengan operasi berhingga (finite product) elemen-elemen S, ditulis 𝐺 = 〈𝑆〉

Definisi 2.8 (Fraleigh, 2003: 59)

Grup G disebut grup siklik jika dan hanya jika ada elemen G sedemikian sehingga setiap e elemen 𝑦 ∈ 𝐺, 𝑦 = 𝑎^𝑚 dengan m bilangan bulat. Elemen 𝑎 ∈ 𝐺 disebut dengan generator.

Contoh 2.8

Grup (ℤ_𝑛, +) merupakan suatu grup siklik dengan generatornya adalah 1 dan -1. Setiap anggota ℤ_𝑛dapat dinyatakan sebagai jumlahan 1 atau jumlahkan -1.

Definisi 2.9 (Sukirman, 2014:188)

Misalkan (𝐺,∘) dan (𝐺′,∗) dua grup, maka pemetaan 𝜙 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺′ adalah suatu homomorpisme, apabila

𝜙(𝑎 ∘ 𝑏) = 𝜙(𝑎) ∗ 𝜙(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺

Dari hasil definisi tersebut maka homomorpisme adalah pemetaan yang mengawetkan / melanggengkan operasi pada grup-grupnya.

Contoh 2.9 (Sukirman, 2014:189)

Jika (ℤ, +) adalah grup dengan operasi penjumlahan. Pemetaan 𝑓: ℤ → ℤ didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥, ∀𝑥 ∈ ℤ dan 𝑚 merupakan bilangan bulat, maka 𝑓 adalah homomorpisme. Sebab, jik 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, maka 𝑓(𝑎) = 𝑚𝑎, 𝑓(𝑏) = 𝑚𝑏, dan (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ, sehingga

𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑚(𝑎 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑏 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)

Definisi 2.10 (Gallian, 2010: 123)

Sebuah isomorfisma 𝜙 dari grup (𝐺,∘) ke grup (𝐺̅,∗) adalah sebuah fungsi satu-satu dari 𝐺 ke 𝐺̅ yang mempertahankan operasi grup. Hal itu berarti bahwa

𝜙(𝑎 ∘ 𝑏) = 𝜙(𝑎) ∗ 𝜙(𝑏) untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.

Jika terdapat sebuah isomorfisma dari grup 𝐺ke grup 𝐺̅, maka dikatakan bahwa 𝐺ke 𝐺̅ adalah isomorfik dan ditulis 𝐺 ≈ 𝐺̅.

Gambar berikut memberikan ilustrasi tentang konsep isomorfisma.

Gambar 2.5. Ilustrasi isomorfisma grup 𝐺 ke grup 𝐺̅.

(Gambar diambil dari Gallian, 2010: 123)

Definisi 2.11 (Sukirman, 2014: 210)

Hasilkali langsung luar (external direct product) jika 𝐺₁, 𝐺₂, … , 𝐺_𝑛 merupakan n grup adalah 𝐺₁⨂𝐺₂⨂ … ⨂𝐺_𝑛 = {(𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛)|𝑎_𝑖 ∈ 𝐺_𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} dan operasi perkalian di dalam 𝐺₁⨂𝐺₂⨂ … ⨂𝐺_𝑛didefinisikan oleh

(𝑗₁, 𝑗₂, … , 𝑗_𝑛)(𝑘₁, 𝑘_`2, … , 𝑘_𝑛) = (𝑗₁𝑘₁, 𝑗₂𝑘₂, … , 𝑗_𝑛𝑘_𝑛).

Perlu diperhatikan bahwa perkalian 𝑗_𝑖𝑘_𝑖 adalah hasil operasi dalam grup 𝐺_𝑖.

Contoh 2.10 (Sukirman, 2014:211)

𝐺 = ℤ₂⨂ℤ₃ = {0,1}⨂{0,1,2} = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), }.

Grup 𝐺 merupakan grup Abelian yang berorder 6.

Definisi 2.12 (Malik, Mordeson, dan Sen, 1997: 166)

Grup Dihedral 𝐷_𝑛 adalah grup yang berorder 2n yang memiliki dua generator dua elemen a dan b dan memenuhi kriteria

𝑎^𝑛 = 𝑒, 𝑏² = 𝑒, dan 𝑏𝑎𝑏 = 𝑎⁻¹

Jika grup Dihedral tersebut adalah grup tak hingga, ditulis 𝐷_∞, maka grup tersebut memiliki dua generator a dan b dan memenuhi kriteria

𝑏² = 𝑒, dan 𝑏𝑎𝑏 = 𝑎⁻¹ Contoh 2.11 (Malik, Mordeson, dan Sen, 1997:166)

Grup Dihedral 𝐷₄ = 〈𝑎, 𝑏|𝑎⁴ = 𝑒, 𝑏² = 𝑒, 𝑏𝑎𝑏 = 𝑎³〉. Jika ditulis lengkap, maka anggota-anggota grup 𝐷₄ adalah 𝑒, 𝑎, 𝑎², 𝑎³, 𝑏, 𝑎𝑏, 𝑎²𝑏𝑎³𝑏.

Ilustrasi geometri dari grup dihedral 𝐷₄ adalah grup simetri yang terdapat dalam sebuah persegi. Diberikan sebuah persegi, maka simetri dalam persegi tersebut membentuk grup dengan generator 𝑎 yaitu rotasi 90^∘ dan 𝑏 yaitu pencerminan mendatar (Gambar 2.6).

Gambar 2.6 Ilustrasi grup dihedral 𝐷₄