Pemaparan mengenai materi geometri kelas X SMK Kurikulum 2013 terdiri atas uraian materi geometri kelas X SMK Kurikulum 2013 dan objek-objek geometri kelas X SMK.
33 a. Uraian Materi Geometri Kelas X SMK Kurikulum 2013
Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah geometri kelas X Kurikulum 2013. Pembelajaran geometri sangat penting karena mendukung banyak materi antara lain vektor, kalkulus, dan mengembangkan kemampuan menyelesaikan masalah (Sugiyono, dkk, 2014:118-119). Berdasarkan sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian abstrak pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran, dan pemetaan. Ditinjau dari sudut pandang matematika, geometri memberikan kontribusi penting dalam strategi penyelesaian masalah, misalnya membuat gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi yang digunakan dalam pendekatan penyelesaian masalah (Kartono, 2010:25). Tujuan pembelajaran geometri adalah agar siswa memperoleh rasa percaya diri mengenai kemampuan matematikanya, menjadi pemecah masalah yang baik, dapat berkomunikasi dan bernalar secara matematika, mengembangkan intuisi spasial, menanamkan pengetahuan untuk menunjang materi yang lain, dan dapat membaca serta menginterpretasikan argumen-argumen matematika (Kartono, 2010: 25).
Materi yang dipelajari oleh siswa kelas X Sekolah Menengah Kejuruan meliputi menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga (Kemendikbud, 2014: 404-448).. 1) Kedudukan Titik
Definisi:
a) Jika suatu titik dilalui garis, maka dikatakan titik itu terletak pada garis tersebut.
34 Gambar 1. Titik teletak pada garis
b) Jika suatu titik tidak dilalui garis, maka dikatakan titik tersebut berada di luar garis.
Gambar 2. Titik terletak di luar garis
c) Jika suatu titik dilewati suatu bidang, maka dikatakan titik itu terletak pada bidang.
d) Jika titik tidak dilewati suatu bidang, maka titik itu berada di luar bidang.
Gambar 3. Kedudukan titik terhadap bidang 2) Jarak antara Dua Titik
Jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.
•
A
•
A
35 Gambar 4. Jarak antara dua titik sebagai panjang sisi miring segitiga siku- siku
Jika terdapat titik A, B, dan C adalah titik-titik sudut segitiga ABC dan siku-siku di B, maka jarak antara titik A dan C adalah:
= ( ) + ( ) 3) Jarak Titik ke Garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu.
Gambar 5. Kubus ABCD.EFGH
Jika dari titik A ditarik garis yang tegak lurus terhadap segmen garis CD maka diperoleh titik D sebagai hasil proyeksinya (AD ┴ CD). Jadi, jarak titik A ke segmen garis CD adalah panjang segmen garis yang dibentuk oleh titik A dengan proyeksinya pada segmen garis CD, yaitu panjang segmen garis AD.
36 4) Jarak Titik ke Bidang
Gambar 6. Jarak titik ke bidang
Jarak antara titik dengan bidang merupakan panjang ruas garis yang tegak lurus dan menghubungkan titik tersebut dengan bidang. Misalkan ACF adalah suatu bidang datar dalam kubus ABCD.EFGH dan titik B merupakan sebuah titik yang berada diluar bidang ACF. Jarak antara titik B terhadap bidang ACF merupakan panjang garis tegak lurus dari titik B ke bidang ACF yaitu ruas garis BP.
5) Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang
Gambar 7. Jarak antara dua garis sejajar
Garis AC dan EG dikatakan sejajar jika jarak antara kedua garis tersebut selalu sama (konstan), dan jika kedua garis tidak berhimpit, maka kedua garis tidak pernah berpotongan meskipun kedua garis diperpanjang. Jadi, jarak antara
A B C D H G F E
37 dua garis sejajar merupakan panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua garis tersebut yaitu garis AE dan CG.
Gambar 8. Balok PQRS.TUVW
Bidang PQRS sejajar dengan bidang TUVW dan jarak antara kedua bidang tersebut adalah panjang rusuk yang menghubungkan kedua bidang yaitu rusuk PT, SW, RV, dan QU. Jadi, jarak antara dua bidang sejajar merupakan panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut.
6) Sudut antara Dua Garis dalam Ruang
Gambar 9. Sudut antara dua garis
Ruas garis AH dan AD berpotongan, sudut antara ruas garis AH dan AD adalah sudut lancipnya, .
38 7) Sudut antara Garis dan Bidang
Gambar 10. Sudut antara garis dan bidang
Pada Gambar 10, sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah sudut lancip yang dibentuk oleh ruas garis AG dan proyeksinya dengan bidang yaitu ruas garis AC.
8) Sudut antara dua Bidang
Gambar 11. Sudut antara dua bidang
Pada Gambar 11, sudut antara bidang BDG dan ABCD dapat ditentukan oleh garis GO pada bidang BDG dan garis OC pada bidang ABCD yang saling tegak lurus pada garis potong bidang BDG dan ABCD.
Berdasarkan uraian materi pembelajaran geometri kelas X SMK, siswa harus menguasai beberapa konsep dan prinsip yang diperlukan dalam mempelajari dan
39 menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi tersebut. Berikut ini adalah beberapa konsep yang harus dipahami siswa.
1) Konsep bangun ruang kubus dan balok (unsur-unsurmya). 2) Konsep segitiga siku-siku (sifat-sifat segitiga siku-siku). 3) Konsep segitiga sama sisi (sifat-sifat segitiga sama sisi).
4) Konsep titik terletak pada garis (jika suatu titik dilalui garis, maka dikatakan titik terletak pada garis).
5) Konsep titik berada di luar garis (jika suatu titik tidak dilalui garis, maka dikatakan titik tersebut berada di luar garis).
6) Konsep titik terletak pada bidang (jika suatu titik dilewati suatu bidang, maka dikatakan titik itu terletak pada bidang).
7) Konsep titik berada di luar bidang (jika titik tidak dilewati suatu bidang, maka titik itu berada di luar bidang).
8) Konsep proyeksi titik pada garis (misal terdapat titik A, jika dari titik A ditarik garis AA1 (A1 terletak pada garis) yang tegak lurus dengan garis maka A1 disebut proyeksi titik A pada garis tersebut).
9) Konsep proyeksi titik pada bidang (misal terdapat titik A, jika dari titik A ditarik garis AA1 (A1 terletak pada bidang) yang tegak lurus dengan bidang, maka A1 disebut proyeksi titik A pada bidang tersebut).
10) Konsep proyeksi garis pada bidang (untuk memproyeksikan sebuah ruas garis AG cukup dengan memproyeksikan titik A dan G pada bidang ABCD, kemudian menghubungkan A1 dan G1 dengan garis lurus untuk memperoleh proyeksi ruas garis AG).
40 11) Konsep ketegaklurusan dua garis (dua buah garis dikatakan saling tegak
lurus, jika saling berpotongan membentuk sudut siku-siku).
12) Konsep ketegaklurusan antara garis dan bidang (sebuah garis dikatakan tegak lurus bidang, jika garis tersebut tegak lurus pada semua garis pada bidang). 13) Konsep jarak antara dua titik (panjang ruas garis penghubung kedua titik
tersebut).
14) Konsep jarak antara titik ke garis (panjang ruas garis penghubung dari titik dengan proyeksi titik pada garis).
15) Konsep jarak antara titik ke bidang (panjang ruas garis penghubung titik dengan proyeksinya pada bidang).
16) Konsep jarak antara dua garis sejajar (panjang ruas garis penghubung salah satu titik pada masing-masing garis yang tegak lurus terhadap kedua garis). 17) Konsep jarak antara dua bidang sejajar (panjang ruas garis penghubung salah
satu titik pada masing-masing bidang yang tegak lurus terhadap kedua bidang).
18) Konsep sudut antara dua garis (dua ruas garis yang salah satu ujungnya bertemu di satu titik).
19) Konsep sudut antara garis dan bidang (sudut lancip yang dibentuk oleh ruas garis dan proyeksinya pada bidang).
20) Konsep sudut antara dua bidang (sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang, setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik).
41 Selain konsep, siswa juga harus menguasai beberapa prinsip berikut ini. 1) Mengingat langkah penyelesaian yang diperlukan.
2) Menentukan proyeksi titik pada garis. 3) Menentukan proyeksi titik pada bidang. 4) Menentukan proyeksi garis pada bidang. 5) Menggunakan teorema Pythagoras. 6) Menyederhanakan bentuk akar 7) Mengoperasikan bentuk akar.
8) Menyelesaikan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan. 9) Merasionalkan bentuk akar.
10) Menggunakan prinsip kesebangunan
11) Menentukan panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan antara masing-masing titik pada dua garis yang sejajar.
12) Menentukan panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan antara masing-masing titik pada dua bidang yang sejajar.
13) Menentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua garis yang salah satu ujungnya bertemu di satu titik.
14) Menentukan besar sudut lancip yang dibentuk oleh ruas garis dan proyeksinya pada bidang
15) Menentukan besar sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing-masing bidang, setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik
42 Berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan oleh Krismanto (2008: 38), terdapat masalah pada siswa kelas X yang sedang mempelajari materi geometri. Masalah utama yang muncul dalam mempelajari sudut dalam ruang adalah siswa tidak terampil menggambar bangun ruang dan kesulitan memahami konsep bangun ruang. Tanpa gambar yang jelas dan benar menurut tata cara menggambar bangun ruang, menentukan besar sudut dalam ruang tidaklah mudah. Apabila gambar siswa sudah baik, pemahaman konsep bangun ruang khususnya berkaitan dengan kedudukan antara dua garis merupakan sumber kesulitan. Terdapat juga dua masalah utama dalam pembelajaran jarak yaitu menentukan/menggambar ruas garis yang menunjukkan jarak dan menghitung jarak tersebut. Kadang-kadang untuk menghitung jarak tidak selalu harus menggambar ruas garis yang menunjukkan jarak tersebut, namun siswa tetap perlu menguasai cara melukis ruas garis yang menunjukkan jarak antara titik, garis, dan bidang.
Ika Kurniasari (2013: 328) menemukan kesulitan mempelajari geometri dengan mendefinisikan kesalahan siswa menyelesaikan soal geometri dalam tiga jenis yaitu kesalahan abstraksi, kesalahan prosedural dan kesalahan konsep. Kesalahan abstraksi meliputi ketidakmampuan siswa dalam mengabstraksikan jarak antara garis ke bidang dan sudut antara garis dan bidang. Kesalahan prosedural meliputi kesalahan pada perhitungan bentuk akar dan penggunaan rumus Pythagoras. Kesalahan konsep meliputi kesalahan dalam memahami konsep jarak, konsep sudut dan kesalahan dalam memahami segitiga siku-siku yang berada pada bangun ruang (terkait dengan penggunaan teorema Pythagoras).
43 b. Objek-Objek Geometri Kelas X SMK
Terdapat dua objek yang dapat diperoleh siswa setelah belajar matematika. Menurut Gagne yang dikutip oleh Bell (1978:108), objek dalam matematika tersebut meliputi objek langsung dan objek tak langsung. Objek langsung dalam pelajaran matematika meliputi fakta, konsep, keterampilan (skill), dan prinsip, sedangkan objek tak langsung dalam pelajaran matematika meliputi kemampuan menyelidiki, kemampuan penemuan, kemampuan problem solving, transfer belajar, kedisiplinan diri, dan apresiasi pada struktur matematika. Gagne sebagaimana dikutip oleh Bell (1978: 108) juga menegaskan bahwa fakta, konsep, keterampilan matematika, dan prinsip merupakan empat kategori yang tidak dapat dipisahkan dalam matematika. Gagne yang dikutip oleh Bell (1978: 108-110), menjabaran objek-objek matematika pada materi geometri kelas X adalah sebagai berikut.
1) Fakta matematika adalah suatu kesepakatan dalam matematika yang ditandai dengan simbol matematika. Fakta meliputi istilah (nama), notasi (lambang/simbol). Contoh fakta dalam geometri kelas X di SMK antara lain: titik sudut, apotema, segmen, segaris (collinear), diagonal bidang, diagonal ruang, bidang diagonal, “⃖ ⃗” bermakana garis AB, “ ” bermakna ruas garis , “∟” adalah simbol sudut siku-siku, “∠” adalah simbol sudut misal ∠( , bidang ) artinya besar sudut yang terbentuk oleh garis AH dengan bidang ABCD, “ // ” bermakna sejajar, “⊥” bermakna tegak lurus, dan “Δ” yang bermakna segitiga. Fakta dipelajari melalui berbagai teknik pembelajaran hafalan seperti menghafal, drill, latihan, tes waktu, game, dan
44 kontes. Siswa dianggap telah belajar fakta ketika mereka dapat menyatakan fakta dan menggunakan dengan tepat dalam sejumlah situasi yang berbeda. 2) Keterampilan matematika adalah kemampuan siswa dalam mengoperasikan
dan menggunakan prosedur penyelesaian masalah matematika secara cepat dan tepat. Keterampilan dalam menyelesaikan masalah matematika harus menggunakan serangkaian aturan yang disusun menjadi langkah-langkah penyelesaian masalah yang disebut dengan algoritma. Di antara contoh keterampilan pada materi geometri kelas X di SMK adalah keterampilan menentukan kedudukan titik pada garis dan bidang, menghitung jarak antara dua titik, menghitung antara jarak titik ke garis, menghitung jarak antara titik ke bidang, menghitung jarak antara garis ke bidang, menghitung jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar, menghitung besar sudut antara dua garis, menghitung besar sudut antara garis dan bidang, serta menghitung jarak antara dua bidang. Keterampilan dapat dipelajari melalui demonstrasi dan berbagai jenis latihan dan praktik seperti lembar kerja, bekerja di papan tulis, kegiatan kelompok dan permainan. Siswa diketahui telah menguasai keterampilan ketika mereka dapat menyelesaikan berbagai jenis masalah yang membutuhkan keterampilan tersebut dalam berbagai situasi.
3) Suatu konsep dalam matematika adalah ide abstrak yang memungkinkan orang mengklasifikasikan objek atau peristiwa dan untuk menentukan apakah objek dan peristiwa tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak. Bangun ruang, proyeksi, ketegaklurusan, segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, jarak antara dua titik, jarak antara titik ke garis, jarak antara titik ke
45 bidang, jarak antara garis ke bidang, jarak antara dua titik dan dua bidang yang sejajar, sudut antara dua garis, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang merupakan contoh konsep dalam geometri kelas X di SMK. Konsep dapat dipelajari melalui pemahaman terhadap definisi atau dengan pengamatan terhadap benda secara langsung. Siswa belajar untuk mengklasifikasikan benda ke dalam himpunan bangun ruang kubus, balok, limas, prisma dengan observasi langsung dan eksperimen, namun beberapa siswa dapat mengklasifikasikan benda termasuk dalam himpunan bangun ruang kubus, balok, limas, maupun prisma dengan pemahaman tentang definisi keeempat bangun ruang tersebut. Konsep juga dapat dipelajari dengan mendengar, melihat, diskusi, atau berpikir dan membandingkan contoh-contoh dan bukan contoh. Siswa diketahui telah belajar suatu konsep ketika mereka mampu memisahkan contoh dan non-contoh dari suatu konsep. 4) Prinsip adalah objek matematika yang paling kompleks. Prinsip adalah urutan
beberapa konsep yang memiliki hubungan. Pernyataan “kuadrat sisi miring dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain” merupakan contoh prinsip dalam geometri kelas X yang digunakan dalam menentukan jarak. Masing-masing prinsip melibatkan beberapa konsep dan hubungan antar konsep. Untuk memahami prinsip tentang teorema Pythagoras, siswa harus mengetahui konsep segitiga siku-siku, konsep bilangan berpangkat, dan konsep bentuk akar. Prinsip dapat dipelajari melalui proses penyelidikan ilmiah, pelajaran penemuan terbimbing, diskusi kelompok, penggunaan strategi penyelesaian masalah dan demonstrasi.
46 Seorang siswa diketahui telah belajar prinsip ketika dia dapat mengidentifikasi konsep termasuk dalam prinsip, menempatkan konsep dalam kaitan yang benar satu sama lain, dan menerapkan prinsip untuk situasi tertentu.
Konsep dan prinsip merupakan pengetahuan dasar matematika (Cooney, 1975: 203). Konsep dan prinsip harus dikuasai siswa agar ia dapat menyelesaikan persoalan Matematika dengan benar.