BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Hal-hal Terkait dan Informasi-informasi Terkait dengan Masalah yang
6. Tinjauan Materi Geometri Ruang
a. Kedudukan titik, garis, dan bidang 1. Kedudukan titik terhadap garis
Jika diketahui sebuah titik dan sebuah garis , maka : a) Titik teletak pada garis , atau garis melalui titik b) Titik berada diluar garis , atau garis tidak melalui
titik
2. Kedudukan titik terhadap bidang
Jika diketahui sebuah titik dan sebuah bidang , maka : a) Titik terletak pada bidang , atau bidang melalui
titik
b) Titik berada diluar bidang , atau bidang tidak melalui titik
3. Kedudukan garis terhadap garis
Jika diketahui sebuah garis dan sebuah garis , maka : 1) Garis dan terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat
terjadi :
a. Garis dan berhimpit. Dua garis dikatakan berhimpit apabila garis tersebut terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus saja, .
b. Garis dan berpotongan pada sebuah titik. Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik persekutuan.
c. Garis dan sejajar. Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai tak berhingga.
2) Garis dan tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis dan bersilangan. Dua garis dikatakan bersilangan apabia garis-garis tersebut tidak terletak pada satu bidang datar dan tidak akan berpotongan apabila diperpanjang. 4. Kedudukan garis terhadap bidang
Jika diketahui sebuah garis dan sebuah bidang , maka : a. Garis terletak pada bidang , atau bidang melalui
garis .
b. Garis memotong bidang , atau garis menembus bidang
c. Garis sejajar dengan bidang 5. Kedudukan bidang terhadap bidang
Jika diketahui bidang dan bidang , maka : a. Bidang dan bidang berhimpit
b. Bidang dan bidang sejajar
c. Bidang dan bidang berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persekutuan.
Contoh :
Diketahui kubus . Tentukan : a. Titik yang berada pada garis
b. Titik yang berada diluar bidang c. Garis yang sejajar dengan
d. Garis yang berpotongan dengan e. Garis yang bersilangan dengan Jawab : a. Titik dan b. Titik c. d. , , , e. , , , Gambar 2.5 Kubus A B C D E G H F
b. Jarak antara titik, garis, dan bidang
1. Menghitung jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.
Jarak antara titik dengan garis adalah , karena tegak lurus dengan garis
. 2. Menghitung jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.
Jarak titik ke bidang adalah , karena garis tegak lurus dengan bidang
.
3. Menghitung jarak antara 2 garis
a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak. A
B g
Gambar 2.6 Jarak titik dengan garis
A
B H
b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.
Jarak antara garis dan adalah , karena tegak lurus garis dan
c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.
Jarak antara garis dan adalah , karena tegak lurus garis dan .
4. Menghitung jarak antara garis dan bidang
Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.
Jarak antara garis dan bidang adalah , karena tegak lurus dan bidang . B A v h g
Gambar 2.9 Jarak antara dua garis bersilangan A
B h
g
Gambar 2.8 Jarak dua garis yang sejajar
Gambar 2.10 Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar
H G F E D C B A
5. Menghitung jarak antara dua bidang
Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.
Jarak antara bidang dan Bidang adalah
c. Proyeksi
1. Proyeksi titik pada bidang
Jika titik diluar bidang , maka proyeksi pada bidang ditentukan sebagai berikut:
a. Dari titik dibuat garis yang tegak lurus bidang
b. Tentukan titik tembus garis terhadap bidang , misalnya titik .
Proyeksi titik pada bidang adalah . A
B H
G
Gambar 2.11 Jarak antara dua bidang
H
A
Gambar 2.12.1 Proyeksi titik pada bidang
H
A
B
2. Proyeksi garis pada bidang
Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan
menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.
a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa titik
b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang sejajar dengan garis yang
diproyeksikan. d. Sudut antara garis dan bidang
1. Sudut antara dua garis berpotongan
Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip atau siku-siku.
Garis berpotongan dengan garis di titik , sudut yang dibentuk adalah
A ߙ
g
h
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.
Garis bersilangan dengan garis .Garis sejajar dengan garis dan terletak pada bidang serta memotong garis .Sudut antara garis dengan garis sama dengan sudut antara garis dan .
3. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu.
Garis g menembus bidang dititik . Proyeksi garis pada bidang adalah . H ߙ g1 g A
Gambar 2.15 Sudut antara garis dan bidang Gambar 2.14 Sudut antara dua garis bersilangan
H G F E D c B A
Sudut antara garis dengan bidang adalah . 4. Sudut antara bidang dengan bidang
Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.
Untuk menentukannya sebagai berikut: 1) Tentukan garis potong kedua bidang
2) Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kedua bidang
3) Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.
4) Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi.
Bidang dan
berpotongan pada garis ( , ). Garis pada bidang tegak lurus garis ( , ).
Garis pada bidang tegak lurus garis ( ). Sudut antara bidang dan sama dengan sudut antara garis dan yaitu .
G H g ߚ h (G,H)
e. Irisan antara bidang dengan bangun ruang
Menurut Nugroho (2013), irisan bangun ruang oleh bidang datar adalah penampang yang dibatasi oleh garis-garis perpotongan antara permukaan bangun ruang dan bidang datar tersebut. Sopandi menjelaskan bahwa irisan tersebut setidaknya melalui tiga titik yang ditentukan: (1) Titik tersebut dapat terletak pada bangun ruang (bangun rusuk atau pada bidang sisi), (2) di luar bangun ruang, (3) atau di dalam bangun ruang. Irisan juga dapat ditentukan jika diketahui satu titik dan satu garis yang dilalui oleh irisan tersebut.
Menurut Khoe (2008), irisan suatu bangun ruang dapat ditentukan dengan tiga cara:
1. Memanfaatkan sumbu afinitas. Sumbu afinitas adalah garis persekutuan antara bidang yang mengiris bangun ruang dengan bidang alas. Sumbu afinitas diperoleh apabila telah ditemukan dua titik persekutuan antara bidang pengiris dengan bidang alas dimana kecenderungan posisi titik-titik tersebut cukup curam tingginya (posisi tinggi rendahnya titik cukup mencolok). Penentuan dua titik persekutuan itu tergantung pada apa yang diketahui di dalam soal. Sumbu afinitas dapat digunakan untuk menentukan titik-titik sudut irisan sehingga irisan yang ditanyakan dapat diperoleh. Contoh: Pada
kubus terdapat titik , dan dimana pada , pada , dan pada . Lukislah bidang iris kubus melalui titik , dan !
Langkah-langkah dalam menggambar:
1) Gambarlah bangun ruang sesuai dengan soal yang ada. 2) Hubungkan titik-titik yang sebidang, pada gambar diatas
titik sebidang dengan titik dan titik sebidang dengan titik .
3) Perpanjang garis hingga memotong perpanjangan garis di titik dan memotong perpanjangan garis di titik
.
4) Hubungkan titik dengan titik dan perpanjang hingga memotong perpanjangan garis di titik .
5) Perpanjangan garis memotong garis di titik .
A B C D E F G H Q ● R ● P ● J K L M N O
6) Hubungkan titik dan titik , garis merupakan sumbu afinitas.
7) Garis berpotongan dengan garis dititik dan berpotongan dengan garis di titik .
8) Hubungkan titik dengan titik , titik dengan titik , titik dengan titik , dan titik dengan titik .
2. Perpotongan bidang diagonal, yaitu menggambar irisan bangun ruang yang dilakukan dengan memanfaatkan garis potong bidang diagonal bangun ruang tersebut. Mengambar irisan dengan cara ini tidak memerlukan perluasan daerah gambar, tetapi jika alasnya merupakan segi-n dengan n yang cukup besar, maka gambarnya menjadi lebih rumit. Cara ini lebih baik digunakan bila posisi titik-titik yang diketahui sejajar tingginya. Contoh: lukislah irisan bidang yang melalui titik , , dan dengan titik , , dan berturut-turut berada pada kubus dengan = , = dan = !
Gambar 2.18 Bidang irisan dengan perpotongan bidang diagonal ● ● ● ● ● ● ● T S R Q P H G F E D C B A L K
Langkah-langkah dalam menggambar:
1) Gambarlah bangun ruang sesuai dengan soal yang ada. 2) Bidang diagonal kubus adalah bidang
dan bidang . Kedua diagonal tersebut berpotongan di .
3) Hubungkan garis . Karena garis berada pada bidang , maka garis akan memotong garis (garis persekutuan dua bidang diagonal kubus) di titik .
4) Titik berada pada bidang , maka titik dan titik berada pada satu bidang yang sama. Hubungkan dan perpanjang titik dan hingga memotong garis . Titik perpotongan tersebut kita beri nama .
5) Irisan bidang yang melalui titik-titik dan pada kubus adalah bidang .
3. Perluasan salah satu sisi. Menggambar irisan bangun ruang dengan menggunakan perluasan salah satu sisi dapat dilakukan jika perpotongan antara sisi yang diperluas dengan sisi lainnya terletak pada bidang gambar, bukan di luar bidang gambar. Perluasan sisi diwakili oleh garis-garis rusuknya yang diperpanjang. Beberapa acuan pada cara ini antara lain: dapat menggunakan prinsip kesejajaran bila terdapat kesejajaran bidang dan lebih baik digunakan bila terdapat kecenderungan
ketinggian titik penampang yang cukup tajam. Contoh: lukislah irisan bidang yang melalui titik dan dengan titik dan berturut-turut berada pada garis dan pada limas segilima .
Langkah-langkah dalam menggambar:
1) Gambarlah bangun ruang sesuai dengan soal yang ada. 2) Hubungkan titik-titik yang sebidang, pada gambar diatas
titik sebidang dengan titik .
3) Perluas sisi ke kanan dan ke kiri hingga memotong perluasan sisi dan perluasan sisi .
4) Garis persekutuan sisi dengan sisi adalah . 5) Garis persekutuan sisi dengan sisi adalah . 6) Perpanjang garis hingga memotong garis , titik
perpotongan tersebut kita namakan . H G F T E D C A B R K J I Q P
7) Karena merupakan garis persekutuan antara sisi dengan sisi , maka kita dapat menghubungkan titik dengan titik .
8) Garis memotong garis di titik .
9) Perpanjang garis hingga memotong garis , titik perpotongan tersebut kita namakan .
10) Karena merupakan garis persekutuan antara sisi dengan sisi , maka kita dapat menghubungkan titik dengan titik .
11) Garis memotong garis di titik .
12) Hubungkan titik-titik yang sebidang dan terletak pada bangun ruang limas segilima.
13) Irisan bidang yang melalui titik–titik dan pada limas segilima adalah bidang .