Analisis Biplot Biasa
Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua (atau tiga) yang mewakili vektor-vektor baris matriks (gambaran objek) dengan vektor-vektor yang mewakili kolom matriks (gambaran peubah). Dari peragaan ini diharapkan diperoleh gambaran tentang objek, misalnya kedekatan antarobjek, gambaran tentang peubah, baik tentang keragamannya maupun korelasinya, serta keterkaitan antara objek-objek dengan peubah-peubahnya. Tampilan objek dalam analisis komponen utama (AKU, Principal Components Analysis) merupakan kasus khusus dari analisis biplot dan penghitungan dalam analisis biplot didasarkan pada penguraian nilai singular (PNS, Singular Value Decomposition) suatu matriks (Siswadi dan Suharjo, 1999).
Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain tentang: 1. Kedekatan antarobjek. Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk
mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain. Dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua titik dengan posisi yang berdekatan.
2. Keragaman peubah. Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada peubah yang memiliki nilai keragaman yang hampir sama. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sebaliknya jika keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang.
3. Korelasi antarpeubah. Informasi ini dapat digunakan untuk mengetahui bagaimana hubungan satu peubah dengan peubah lainnya. Peubah digambarkan sebagai vektor. Dua peubah berkorelasi positif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip, dua peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah berlawanan atau membentuk sudut tumpul, dan apabila sudut yang dibentuk siku-siku maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek. Informasi ini digunakan untuk melihat keunggulan dari setiap objek. Objek yang letaknya searah vektor peubah, menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan arah berarti nilainya di bawah rata-rata, jika hampir di tengah-tengah berarti nilainya mendekati rata-rata.
Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks data , dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah. Dalam setiap aplikasi, analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks sebagai matriks data asal yang terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya menjadi matriks yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre, 2001),
11' ,
dengan 1 adalah vektor berukuran n×1 yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam yang diperoleh dari matriks ialah:
,
sedangkan matriks korelasi = yang diperoleh dari matriks ialah:
, dengan = diag 11 22 1 1 1 , ,...., pp s s s
adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama 1 sii ; i = 1,2, . . ., p. Elemen juga merupakan kosinus
sudut antara vektor peubah ke-i dan ke-j : .
Misalnya matriks , maka jarak Euclid antara objek ke-i dan ke-j didefinisikan oleh:
, dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:
.
Apabila matriks berpangkat r dengan r ≤ min {n, p} maka dengan menggunakan PNS matriks dapat diuraikan menjadi:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks atau , yaitu = diag ( , , ..., ), dengan > 0. Nilai disebut nilai singular dari dan merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks atau . Matriks dan adalah matriks ortonormal kolom, sehingga (matriks identitas berdimensi r). Matriks adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai positif dari matriks , yaitu dan adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks , yaitu .
Teorema Eckart-Young (Aitchison dan Greenacre, 2001) menyatakan bahwa jika matriks dihitung dengan s pertama nilai dan vektor singular yang bersesuaian, sebagai contoh untuk s = 2 :
= ,
kemudian karena matriks sebagai pendekatan terbaik bagi maka :
menjadi minimum, dengan merupakan notasi dari norma Frobenius.
Dalam Jolliffe (2002), dengan mendefinisikan dan , maka untuk α [0,1]:
, dan elemen ke-( ) dari matriks dapat ditulis:
,
dengan merupakan vektor baris ke-i dari matriks , i = 1, 2, …, n dan merupakan vektor baris ke-j dari matriks , j= 1, 2, …, p; di mana vektor dan
mempunyai r elemen. (7) (8) (9) (10) (11)
Untuk menggambarkan pada ruang dimensi s < r, dapat didekati dengan menggunakan matriks berpangkat s,
=
= .
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat dan dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002).
Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot. Secara umum untuk setiap nilai α yang digunakan, penumpangtindihan vektor dan yang diplot pada ruang yang sama diperoleh nilai amatan peubah ke-j pada objek ke-i yang telah dikoreksi terhadap nilai tengahnya yaitu . Nilai amatan tersebut bertanda positif bila kedua vektor tersebut searah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam [0, ), bertanda negatif bila kedua vektor tersebut berlawanan arah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam ( , ] dan bernilai nol bila kedua vektor tersebut saling tegak lurus, yaitu sudut kedua vektor tersebut . Posisi relatif titik-titik dan akan memberikan informasi tentang objek-objek yang mempunyai nilai relatif besar, rataan, atau kecil dari peubah-peubah yang diamati.
1. Jika α = 0, maka dan , akibatnya :
, sehingga diperoleh:
a. , dengan adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
Artinya, penggandaan titik antara vektor dan akan memberikan gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j.
b. = , = , artinya panjang vektor tersebut akan
memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang vektor dibandingkan dengan vektor maka makin besar keragaman peubah dibanding peubah .
(12)
c. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara dan (misalnya : θ), yaitu :
cos =
=
= .
Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor dan , korelasi peubah ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut:
1) semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0, dan korelasi sama dengan 1 jika θ = 0,
2) semakin besar korelasi negatifnya jika θ mendekati π, dan korelasi sama dengan -1 jika θ = π, dan
3) semakin kecil korelasi positif dan negatifnya jika θ mendekati dan tidak berkorelasi apabila θ = .
d. Jika Xberpangkat p maka
, dengan adalah matriks koragam yang diperoleh dari . Berarti kuadrat jarak Euclid antara vektor dan pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor dan (Siswadi dan Suharjo, 1999).
2. Jika α =1, maka dan atau ; akibatnya:
, sehingga diperoleh
a. , artinya kuadrat jarak Euclid antara dan akan samadengan kuadrat jarak Euclid antara dan . b. Posisi dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan
menggunakan r komponen utama pertama.
c. Vektor kolom sama dengan vektor yang merupakan koefisien untuk komponen utama ke-j.
(14)
Dari interpretasi biplot di atas, penguraian tidak bersifat khas. Jika
α = 1 maka g-plot diperoleh dengan memisalkan dan , baris ke-i matriks akan digunakan untuk merepresentasikan baris ke-i matriks , yang berarti merepresentasikan objek ke-i, sedangkan baris ke-j matriks akan digunakan untuk merepresentasikan kolom ke-j matriks , yang berarti merepresentasikan peubah ke-j. Sedangkan jika α = 0 maka h-plot diperoleh dengan memisalkan dan yang merupakan gambaran ragam dan korelasi di dalam grafik.
Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa
Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data dengan menggunakan matriks , tetapi juga koragam dan korelasi antarpeubah, serta kemiripan antarobjek. sebagai pendekatan dari matriks terkait pada matriks koragam dan korelasi antarpeubah, sedangkan matriks sebagai pendekatan bagi terkait pada ukuran kemiripan objek.
Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian biplot (Goodness of Fit of Biplot) adalah sebagai berikut
,
dengan dan adalah suatu matriks, di mana merupakan pendekatan . Ukuran kesesuaian biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks, yaitu:
1. Kesesuaian data : GF . 2. Kesesuaian peubah : GF . 3. Kesesuaian objek : GF .
Makin besar (mendekati 100%) nilai ukuran kesesuaian untuk memperoleh gambaran layak tidaknya analisis biplot dalam ruang dimensi s dengan matriks sebagai matriks pendekatan terbaik berpangkat s, makin sesuai matriks pendekatannya merepresentasikan matriks awalnya dan karenanya makin layak analisis biplot digunakan untuk penarikan kesimpulan (Siswadi dan Suharjo, 1999).
(16)
(17) (18) (19)
Analisis Peubah Kanonik
Pendekatan standar untuk perlakuan data peubah ganda dengan beberapa objek diidentifikasi a priori, kelompok memiliki sejarah panjang dalam literatur statistika, adalah analisis peubah kanonik (APK, Canonical Variate Analysis) yang diperkenalkan oleh Fisher (1936). APK merupakan salah satu teknik statistika untuk analisis data dengan peubah ganda yang berbasis analisis pengelompokan data sehingga ragam antarkelompok maksimum dan ragam di dalam kelompok minimum (Varas etal. 2005).
Salah satu pendekatan dalam APK ialah mencari peubah kanonik yang merupakan kombinasi linear dari peubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok tersebut. Peubah ini akan memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi objek-objek antarkelompok.
Andaikan ada n objek dari m kelompok contoh acak dengan masing-masing berukuran n1, n2, ..., nm (n1 + n2 + ... + nm = n) dengan p peubah yang diamati, X1, X2, ..., Xp. Misalnya = ( X1, X2, ..., Xp) adalah vektor yang mewakili peubah,
adalah matriks data asal yang telah terkoreksi terhadap nilai rata-rata
kolomnya, dan adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy) yang
diberikan oleh: . Definisikan: = diag (n1, n2, ..., nm),
yaitu matriks diagonal berukuran m×m dengan elemen diagonal utamanya merupakan banyak objek dari setiap kelompok dan m p merupakan matriks yang setiap barisnya merupakan vektor rata-rata dari peubah dalam setiap kelompok, yaitu:
.
Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok dapat dikonstruksi seperti pada Tabel 1.
(20)
(21)
Tabel 1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok Sumber Keragaman Derajat Bebas
db
Jumlah Kuadrat dan Hasil Kali JKK Antarkelompok (between group) m– 1 Dalam kelompok (within group) n–m Total n– 1
Untuk matriks jumlah kuadrat dan hasil kali (JKK, sums of squares and products) data dalam kelompok dapat ditulis juga sebagai:
,
dengan adalah matriks JKK data dalam kelompok k, untuk k = 1, 2, ..., m, yaitu untuk j, j' = 1, 2, ..., p, dan didefinisikan oleh:
,
dengan I1= {1, 2, …, n1}, I2 = {n1 + 1, n1+ 2, …, n1 + n2}, …, Im =
,
adalah rata-rata dari peubah j dalam kelompok k, yaitu dan nk adalah banyaknya objek dari kelompok k dengan
. Sedangkan matriks JKK data antarkelompok dapat ditulis sebagai: ,
dengan merupakan rata-rata keseluruhan dari peubah j, yaitu
dan .
Tujuannya, berdasarkan pengukuran peubah X1, X2, ..., Xp secara serempak, akan memaksimumkan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Untuk mencapai tujuan ini, transformasikan peubah vektor x, ke dalam peubah baru, yang membuat ragam yang tinggi antarkelompok terhadap ragam dalam kelompok. Jika transformasi dilambangkan oleh , maka yang akan dicari adalah vektor sehingga maksimum dengan kendala , yaitu solusi dibatasi untuk vektor dengan panjang satu satuan terhadap matriks . Fungsi yang akan dimaksimumkan merupakan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Ini adalah fungsi homogen berderajat nol di dan invarian terhadap perubahan skala.
(25) (23)
Sekarang akan dicari vektor yang dapat memaksimumkan fungsi , dengan kendala . Menggunakan pengali Lagrange, berarti yang akan dimaksimumkan adalah fungsi
, sehingga, , (27) (28) , atau . (29)
Ini berarti maksimum yang dicari adalah
Matriks merupakan matriks nonsingular, sehingga dengan mengalikan persamaan (27) dengan , diperoleh
. (30)
Artinya, vektor atau bobot kanonik yang dapat memaksimumkan adalah eigenvektor dari matriks yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar .
Transformasi yang diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar disebut peubah kanonik pertama. Peubah kanonik kedua diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar kedua, dan begitu pula untuk mencari peubah kanonik yang lainya. Banyaknya peubah kanonik yang mungkin diperoleh adalah r = pangkat ( = min (p, m– 1).
Semua penyelesaian dari (28) dapat dikumpulkan bersama dalam bentuk
, (31)
dengan dan = diag ( , , ..., ), di mana ≥ ≥ ... ≥ > 0, sehingga . Jika r = p, maka dapat ditulis sebagai
dan . Dengan mengalikan persamaan (31) dengan diperoleh
. (32)
Jika matriks tidak simetris, dalam perhitungan eigenvektor dan
peubah kanonik secara komputasi lebih menguntungkan menggunakan matriks (26)
simetris berukuran p×p daripada matriks (Gittins, 1985).
Dekomposisi spektral dari matriks simetris diberikan oleh:
, (33)
dengan adalah suatu matriks berukuran p×p yang elemen-elemennya eigenvektor dan adalah matriks diagonal yang memiliki eigennilai pada diagonal utamanya.
Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (27) dapat ditulis menjadi
. Jadi, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
, (34)
dengan dan = 1.
Persamaan (34) menyatakan bahwa adalah eigenvektor dari matriks
yang bersesuaian dengan eigennilai dan = ,
sehingga, .
Semua kombinasi linear untuk sebuah objek dengan nilai-nilai diberikan oleh:
. (35)
Hal ini memberikan sebuah transformasi dari peubah asal menjadi himpunan peubah baru yang dikenal sebagai peubah kanonik. Ruang yang dihasilkan oleh peubah-peubah ini disebut ruang kanonik. Rata-rata kelompok pada ruang kanonik disebut juga rata-rata kanonik diberikan oleh:
, (36)
dan transformasi seluruh himpunan objek pada ruang kanonik diberikan oleh . Sehingga:
. (37) Artinya, jarak Euclid antara rata-rata dalam ruang peubah kanonik bersesuaian dengan jarak Mahalanobis dalam ruang peubah asal. Jadi, ruang peubah kanonik dapat dianggap sebagai ruang Euclid.
Peubah kanonik yang diperoleh, y1, y2, …, yrmerupakan kombinasi linear yang dipilih sehingga y1 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok, peubah y2 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh y1, peubah y3 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh y1 dan y2, dan seterusnya. Diharapkan beberapa peubah kanonik pertama, misalnya dua peubah kanonik pertama, cukup layak digunakan sehingga masing-masing objek dan rataannya dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Bila hal ini dimungkinkan maka bagaimana baiknya upaya pemisahan antarkelompok dan penentuan objek ke suatu kelompok akan lebih mudah dilakukan.
Analisis Biplot Kanonik
Analisis biplot kanonik merupakan representasi grafik dari APK, dikembangkan oleh Gabriel (1995) untuk memperoleh representasi secara serempak antara rata-rata kelompok dan peubah di mana dimungkinkan tidak hanya untuk menetapkan perbedaan antarkelompok tetapi juga untuk menggambarkan peubah yang dianggap dominan dalam membedakan antarkelompok (Vallejo-Arboleda et al. 2007).
Misalnya adalah matriks data asal yang terkoreksi terhadap rata-rata
kolomnya dan adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy).
Analisis biplot kanonik merupakan peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks , dengan baris mewakili rata-rata kelompok dan kolom mewakili peubah. Matriks merupakan rata-rata objek masing-masing kelompok untuk setiap peubah yang diamati dan terkoreksi terhadap nilai rata-rata keseluruhan.
Untuk memperhitungkan pengaruh penyebaran objek dan skala pengukuran peubah, diperkenalkan pembobotan sehubungan dengan matriks JKK data dalam kelompok dan yang lainnya berkaitan dengan banyaknya objek, hal ini karena akurasi rata-rata tergantung pada ukuran yang telah dihitung, sehingga dapat didefinisikan:
Artinya, baris dari terboboti oleh banyaknya objek dan peubah pada kolom terboboti oleh invers dari matriks JKK dalam kelompok (Gabriel, 1972), dengan
, (39)
sehingga memiliki eigenvektor dan eigennilai , dengan
.
Mengkonstruksi biplot dari matriks dengan ukuran tersebut akan setara dengan mengkonstruksi biplot untuk matriks . Biplot representasi dari matriks diperoleh dari PNS, yaitu
, (40)
dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks atau , yaitu , dengan . Nilai
disebut nilai singular dari dan merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks atau . Matriks dan adalah matriks ortonormal kolom, sehingga (matriks identitas berdimensi r). Matriks adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai positif dari matriks , yaitu dan adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks , yaitu .
Dari persamaan (39) diperoleh:
. (41)
Penyelesaian untuk diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (38) ke persamaan (40), diperoleh:
atau
, (42)
yang ekuivalen dengan penguraian nilai singular umum (PNSU, Generalized Singular Value Decomposition) dari matriks dalam metrik dan , yaitu:
, (43) dengan dan . Dengan memilih matriks definit positif
dan , sehingga , dan
. PNSU menyediakan pendekatan terbaik
pangkat rendah dari matriks menggunakan nilai dan vektor singular pertama. Penguraian pada (42) memungkinkan untuk mengkonstruksi representasi biplot untuk matriks rata-rata kelompok, yaitu:
, (44)
dengan
, dan ,
di mana . Elemen ke-( ) dari matriks dapat ditulis sebagai:
, (45) dengan merupakan vektor baris ke-i dari matriks , i = 1, 2, …, n dan merupakan vektor baris ke-j dari matriks , j= 1, 2, …, p; di mana vektor dan
mempunyai r elemen.
Untuk menggambarkan pada ruang dimensi s < r, dapat didekati menggunakan matriks berpangkat s,
= , (46) dengan mengambil s kolom pertama matriks sebagai penanda baris (rata-rata kelompok m) dan s kolom pertama matriks sebagai penanda kolom (peubah p). Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat dan dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Pada diagram pencar, penanda baris diwakili sebagai titik dan penanda kolom sebagai vektor.
Matriks dan pada biplot kanonik memenuhi sifat sebagai berikut: 1. Berdasarkan PNS matriks yang diberikan dalam persamaan (40), diperoleh
, dan
.
Oleh karena itu, matriks dapat dinyatakan dengan mengganti ekspresi P dan pada (38) sebagai:
, (47)
dan mengganti dalam persamaan (41) kemudian mensubstitusikannya ke (47) diperoleh:
. (48)
Persamaan (48) dapat menafsirkan matriks sebagai proyeksi pada daerah pemisahan maksimum dari kelompok, yang dihasilkan oleh kolom dari matriks , dan
(49) dengan adalah matriks JKK data dalam kelompok, adalah vektor rata-rata dari kelompok i. Artinya, kuadrat jarak Euclid antara vektor dan pada biplot sama dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor dan . 2. Perkalian dari penanda baris dengan penanda kolom merupakan
pendekatan rata-rata dari kelompok ke-k pada peubah ke-j yang telah
terkoreksi terhadap rata-rata terboboti seluruh objek. Sehingga memungkinkan untuk karakterisasi perbedaan antarkelompok,
. (50) 3. Kualitas representasi (atau ukuran kesesuaian dari matriks data) dapat didekati
oleh:
. (51)
4. Matriks sebagai pendekatan matriks JKK data dalam kelompok, yaitu:
5. Panjang penanda kolom sebanding dengan variabilitas dalam kelompok-kelompok, = , dengan = .
6. Kosinus sudut antarpeubah dapat diinterpretasikan sebagai pendekatan dari korelasinya.
Analisis Procrustes
Dalam Bakhtiar dan Siswadi (2011) analisis Procrustes adalah alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik melalui serangkaian transformasi linear. Analisis ini bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi yang mewakili unit pengamatan yang sama. Untuk melihat kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi dilakukan translasi salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang lainnya ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama.
Misalnya adalah konfigurasi titik dalam ruang Euclid
berdimensi dengan koordinat diberikan oleh matriks berikut
, (53)
dengan , untuk dan konfigurasi
yang merupakan konfigurasi titik dalam ruang Euclid berdimensi . Konfigurasi ini akan dipasangkan dengan konfigurasi dalam bentuk baris, dengan masing-masing baris dari konfigurasi dipasangkan dengan baris konfigurasi yang bersesuaian. Diasumsikan bahwa dimensi kedua konfigurasi dan adalah sama, dengan demikian tiap matriks memiliki jumlah kolom yang sama. Jika maka kolom nol dapat ditambahkan pada matriks sehingga kedua konfigurasi berada pada ruang dimensi yang sama. Dengan demikian tanpa mengurangi perumuman dapat diasumsikan bahwa . Diasumsikan pula bahwa salah satu konfigurasi, , dibuat tetap dan konfigurasi yang lain, , akan ditransformasi agar sesuai dengan konfigurasi .
Dalam menentukan tingkat kesesuaian dua konfigurasi, analisis Procrustes mendasarkan penghitungannya pada jumlah kuadrat jarak antartitik yang bersesuaian, disebut juga jarak Procrustes, yaitu
. (54) Dengan mempertimbangkan perubahan posisi, orientasi, dan skala dua konfigurasi yang dibandingkan, analisis Procrustes mensyaratkan tiga bentuk transformasi geometris harus dilakukan untuk mendapatkan E yang optimal. Ketiga bentuk transformasi ini adalah translasi, rotasi dan dilasi.
Translasi
Translasi dalam analisis Procrustes merupakan proses penggeseran semua titik pada konfigurasi dan konfigurasi dengan jarak yang tetap dan arah yang sama sehingga kedua konfigurasi memiliki sentroid (titik berat) yang sama.
Penguraian jumlah kuadrat persamaan (54) menghasilkan
. (55)
Karena bentuk kedua dari ruas kanan persamaan (55) bernilai nol, maka diperoleh , (56) di mana 1 , 1 , ,
dengan 1 adalah vektor berukuran yang semua elemennya bernilai 1, dan menyatakan sentroid dari masing-masing konfigurasi dan yang dinyatakan sebagai dan .
Penyesuaian optimal dengan translasi diperoleh dengan menghimpitkan sentroid X dan Y ( . Jadi, norma kuadrat perbedaan minimum dua konfigurasi setelah penyesuaian dengan translasi adalah:
(57)
Rotasi
Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam analisis Procrustes rotasi dilakukan dengan cara menggandakan konfigurasi dengan matriks ortogonal yang meminimumkan jarak antarkonfigurasi.
Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan rotasi adalah
Q
Inf . (58)
Secara aljabar, berdasarkan (54) diperoleh: . (59) Untuk memperoleh nilai yang minimum harus dipilih matriks ortogonal Q yang memaksimumkan nilai .
Misalnya merupakan hasil penguraian nilai singular bentuk lengkap dari matriks , sehingga , dengan adalah matriks diagonal dan merupakan matriks ortogonal, maka
, (60)
dengan merupakan perkalian matriks ortogonal, sehingga juga matriks ortogonal dan berlaku –1 ≤ hij≤ 1. Sehingga diperoleh
. (61)
Jadi, E minimum ketika , mengakibatkan
, (62)
atau
. (63)
Jadi, jarak Procrustes oleh rotasi yang optimal diberikan oleh:
. (64)
Dilasi
Dilasi adalah pembesaran/pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi terhadap sentroidnya. Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan menggandakan konfigurasi Y dengan suatu skalar c. Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan dilasi adalah
c Inf . (65) sehingga . (66) yang dapat dilihat sebagai fungsi kuadrat dalam c, sehingga nilai minimum diperoleh dengan memilih
. (67) Jadi, jarak Procrustes oleh dilasi yang optimal diberikan oleh:
Bakhtiar dan Siswadi (2011) telah menunjukkan bahwa urutan optimal transformasi linear dalam analisis Procrustes ialah translasi, rotasi dan dilasi, dengan jarak Procrustes diberikan oleh:
Untuk memperoleh posisi yang paling sesuai sehingga kedua matriks menjadi semakin dekat dilakukan penyesuaian seperti di atas. Ukuran kesesuaian dua konfigurasi menggambarkan kedekatan (kesesuaian) antara dua matriks. Semakin tinggi nilainya, maka kedua konfigurasi tersebut akan semakin dekat (sama). Ukuran kesesuaian dapat dirumuskan sebagai:
Nilai R2 berkisar antara 0 – 100 %, semakin dekat ke 100 %, semakin dekat dua konfigurasi tersebut.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Implementasi Biplot Kanonik dan Analisis Procrustes dengan Mathematica
Biplot biasa dengan sistem perintah telah terintegrasi ke dalam beberapa program paket statistika seperti SAS, R dan Stata. Sejalan dengan makin berkembangnya teknik komputasi dengan sistem aljabar komputer (SAK), biplot biasa telah diimplementasikan ke dalam SAK Mathematica dengan pemrograman fungsional Mathematica berbasis GUI (Graphical User Interface) (Ardana dan Siswadi, 2009). Tetapi, implementasi biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua konfigurasi menggunakan analisis Procrustes dengan sistem perintah belum terintegrasi dalam suatu program paket statistika. Oleh karena itu dalam penelitian
