DAFTAR LAMPIRAN
TINJAUAN PUSTAKA Suhu Udara
Handoko (1993) menyatakan bahwa, suhu udara rata-rata harian di daerah tropika termasuk Indonesia relatif konstan sepanjang tahun. Sedangkan suhu udara akan berfluktuasi dengan nyata selama setiap periode 24 jam. Fluktuasi ini berkaitan erat dengan proses pertukaran energi yang berlangsung di atmosfer Eksplorasi Deret Waktu
Data deret waktu merupakan data hasil pengamatan pada sebuah variabel (univariate) yang terjadi dalam kurun waktu (Pankratz 1983). Dengan demikian hal yang perlu diperhatikan dalam mengeksplorasi data deret waktu adalah melihat pola data dengan cara memplotkan data tersebut dengan waktu. Menurut Ramasubramanian (2007), pola data deret waktu dapat dibedakan menjadi empat yaitu :
1. Pola stasioner terjadi bilanilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang tetap.Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Pola Stasioner Pada Data Deret Waktu (Cryer dan Chan 2008).
2. Pola seasonal terjadi apabila data mengalamai peningkatan dan penurunan secara teratur pada periode tertentu. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 Pola SeasonalPada Data Deret Waktu (Cryer dan Chan 2008). 3. Pola trend terjadi bilamana terdapat
kenaikan atau penurunan data terus menerus dalam jangka panjang. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 Pola TrendPada Data Deret Waktu (Cryer dan Chan 2008). 4. Pola cyclical apabila data menunjukan
kenaikan dan penurunan tidak pada periode yang tetap / acak. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4 Pola CyclicalPada Data DeretWaktu(Cryer dan Chan 2008).
Model Deret Waktu dan Kestasioneran Deret waktuadalah suatu gugus tatanan nilai-nilai hasil pengamatan yang bersifat kuantitatif pada suatu individu atau variabelyang diamati pada titik-titik waktu berbeda (Douglas et al. 2008). Biasanya jarak titik-titik waktu tersebut dibuat sama.
Model deret waktu secara umum terdiri dari model rataan bergerak (moving average), model regresi diri (autoregressive) dan proses gabungan keduanya (autoregressive - moving average).
Model regresi diriadalahsuatu bentuk regresi tetapi bukan yang menghubungkan variabel tak
bebas dengan variabel bebas,melainkan menghubungkan nilai-nilai sebelumnya diri sendiri pada timelag (selang waktu) yang bermacam-macam. Menurut Shumway dan Stoffer (2011), modelregresi diri berordo p atau AR (p) secara umum mempunyai bentuk sebagai berikut :
yt =θ1yt-1 + θ2yt-2 +…. θpyt-p+ et Keterangan :
yt = Deret waktu stasioner. yt-1...yt-p = Nilai masa lalu.
θ1 …. θp = Parameter dari model regresi diri dengan θp ≠ 0.
et = Residual pada waktut dengan rata-rata nol dan varian �2.
dengan rata-rata {yt} adalah nol dan θp≠ 0. Jika rata-rata {yt} dan intercept (µ)tidak sama dengan nol, maka model regresi diri menjadi
yt =α + θ1yt-1 + θ2yt-2 +…. θpyt-p+ et dengan α = µ(1 - θ1–θ2 ...θp).
Model rataan bergerak merupakan salah satu metode analisis teknikal sederhana. Dilakukan dengan cara mencari rata-rata bergerak dari suatu variabel selama beberapa periode yang dipengaruhi oleh unsur kesalahan pada saat ini dan masa lalu. Secara umum model rataan bergerak berordoq atau MA(q) mempunyai bentuk sebagai berikut :
yt = et-Ø1et-1-Ø2et-2-…. Øqet-q Keterangan :
yt = Deret waktu stasioner. et = Residual pada waktu t.
Ø1...Øq = Koefisien model rataan bergerak. Nilai koefisien dapat memiliki tanda negatif atau positif, tergantung hasil estimasi dan Øq≠ 0.
et-1...et-q = Residual yangdigunakan oleh model,yaitu sebanyak q menentukan tingkatmodelini rata-rata nol dan varian�2.
Selain model regresi diri dan rataan bergerak, model deret waktujuga dapat dijelaskan oleh model regresi diri dan rataan bergerak secara bersamaan. Model yang memuat kedua proses tersebutadalah model ARMA (Autoregressive Moving Average). Bentuk umum model ini adalah
yt =θ1yt-1 + θ2yt-2 +....θpyt-p + et - Ø1et-1 - Ø2et-2 - .... Øpet-p
dengan θp≠ 0, Øp≠ 0 dan�2> 0. Parameter p dan q merupakan ordo dari fungsi regresi diri dan rataan bergerak. Jika rata-rata {yt} tidak sama dengan nol, maka model regresi diri menjadi yt = α + θ1yt-1 + θ2yt-2 +…. θpyt-p + et - Ø1et-1 - Ø2et-2 -…. Øpet-p
dengan α = µ(1 - θ1–θ2 ... θp).
Pada pemodelan deret waktu diperlukan pemenuhan asumsi tentang kestasioneran data. Menurut Shumway dan Stoffer (2011), deret waktu dikatakan stasioner kuat jika fungsi sebaran bersama dari yt1,...,ytn sama dengan
fungsi sebaran bersama dari yt1+ m ,..., ytn +m.
Dengan demikian
P ≥ � = P{ + ≥ � }
untuk n = 1, 2, 3,… n, tnyang menyatakan index waktu dan m adalah lag antar waktu yang dapat bernilai 0,±1,±2,±3, ....
Di sisi lain deret waktu dikatakan stasioner lemah, jika nilai tengah deret waktu konstan sepanjang waktu(µ = µ) dan nilai fungsi autocovarian konstan (γt,t+m = γ0, k) untuk semua waktu t dan lag-m. Pada kenyataannya definisi kestasioneran yang sering digunakan adalah setasioner lemah. Dengan demikian, data deret waktu dikatakan stasioner jika prilaku data tersebut berfluktuasi di sekitar nilai tengah dan ragam yang relatif konstan sepanjang periode waktu.
Pada pemeriksaan kestasioneran deret waktu dapat dilakukan dengan pendekatan informal dan formal. Pendekatan informal dapat dilakukan dengan eksplorasi plot deret waktu dan pendekatan formal dapat dilakukandengan mengunakan uji akar unit. Salah satu uji akar unit untuk kestasioneran dalam nilai tengah adalah uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) (Cryer & Chan 2008) dan uji untuk kestasioneran dalam ragam adalah uji Bartett dan Levene(Irianto 2004).
Uji ADF pertama kali diperkenalkan oleh David Dickey dan Wayne Fuller. Model sederhana yang digunakan pada uji ADF adalah:
ΔYt=�1+��−1 +
dengan � = ρ-1. Hipotesis yang diuji dari persamaan ini ialah:
H0 : � = 1 (Yttidak stasioner)
H1: �< 1 (Yt stasioner)
Uji signifikansi untuk hipotesis di atas
4
τ. Statistik ujinya adalah sebagai berikut (Harris
& Sollis 2003):
�= � −1 �(�)
Dickey dan Fuller sudah menyusun tabel untuk uji ini. Kaidah keputusan yang digunakan ialah
tolak hipotesis null jika τ lebih kecil dari nilai τ
pada ADF dengan taraf nyata tertentu.
Uji Bartett dan Levenedilakukan untuk mengetahui apakah data percobaan yang digunakan memenuhi asumsi kestasioneran dalam ragam. Adapun hipotesis yang diuji pada uji Bartett dan Levene adalah:
H0: �12=�22=�32=�42=….�2 = 0
H1: Paling sedikit ada satu pasang �2≠ �
′
2
untuk setiap i ≠ i’, dimana i = 1,2,3,4... Jika nilai-p yang dihasilkan pada uji Bartett dan Levene> α, dapat disimpulkan bahwa sisaan telah memenuhi asumsi kestasioneran dalam ragam atau terima H0.
Ketika dalam pemeriksaan kestasioneran deret waktu, diketahui bahwa data tidak stasioner dalam nilai tengah, maka diperlukan proses pembedaan (differencing). Pembedaan menurut Pankratz(1983) adalahoperasi sederhana yang melibatkan perubahan sukuensialdalam menghitung nilai suatu deret waktu. Pembedaan dilakukan ketika data tidak stasioner dalam nilai tengah (nilai tengah berubah setiap waktu). Persamaan proses pembedaan (Alan 1983) adalah
wt = yt - yt-1 t=2,3,4,5...
dengan wtmerupakan variabel yang menyatakan selisih antara pengamatan dalam deret waktu.
Adapun transformsi Box-Cox dilakukan jika ketidakstasioneran dalam ragam tidak dapat diselesaikan dengan pembedaan. Transformasi ini didefinisikan sebagai berikut (Cryer & Chan 2008). = = �− 1 � �� ≠0 ��= 0
Prilaku fungsi korelasi diri (Autocorelation Function/ACF) juga dapat digunakan sebagai dasar penentu kestasioneran deret waktu. Deret waktu yang stasioner dapat dilihat dari pola fungsi korelasi diri yang menunjukkan penurunan nilai-nilai korelasi diri yang cepat mendekati nol. Sebaliknya, deret waktu yang tidak stasioner, jika penurunan nilai-nilai korelsai diri yang lambat (Bowerman &
O’connell 1987).
ARIMA
ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) merupakan model yang dikembangkan secara intensif oleh George Box dan Gwilyn Jenkins yang diterapkan untuk analisis dan peramalan data kurun waktu (time series), sehingga model ini sering dikenal dengan model Box-Jenkins. ARIMA sebenarnya adalah teknik untuk mencari pola yang paling cocok dari sekelompok data (curve fitting), dengan memanfaatkan sepenuhnya data masa lalu dan sekarang untuk melakukan peramalan jangka pendek yang akurat (Pankratz 1983).
Model ARIMA merupakan gabungan antara model regresi diri (autoregressive) dan model rataan bergerak (moving average) dengan data yang telah mengalami proses differencing (pembedaan) sebanyak d kali. Secara umum model ARIMA (p,d,q)menurutJonathan dan Kung-Sik (2008) adalah
wt =θ1wt-1 + θ2wt-2 +…. θpwt-p + et - Ø1et-1 - Ø2et-2 -…. Øpet-p
dengan wt = yt – yt-1. Metode Box-Jenkins
Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menduga model ARIMA adalah metode Box-Jenkins. Selain itu metode ini dapat digunakan hanya pada data deret waktu yang stationer (Pankratz 1983). Metode ini terdiri dari tiga langkah yaitu identifikasi model, pendugaan parameter, dandiagnostik model (Pankratz 1983).
Identifikasi model merupakan tahap untuk menentukan model-model sementara, yaitu dengan menentukan nilai p, q dan d. Penentuan niali-nilai tersebut dilakukan dengan mengamati grafik fungsi ACF (korelogram) dan PACF (korelogram parsial). Nilai p (ordo proses AR) dapat ditentukan dengan melihat nilai pada grafik fungsi PACF dan nilai q (ordo proses MA) dapat ditentukan dengan melihat nilai pada grafik fungsi ACF. Adapun cara identifikasi nilai ordo tersebut secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran 1.
Tahap kedua adalah pendugaan parameter. Pendugaan parameter bertujuan untuk menentukan apakah parameter sudah layak digunakan dalam model. Pendugaan parameter dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode, yaitu metode momen, kuadrat terkecil dan kemungkinan maksimum (likelihood).Pendugaan parameter untuk suatu model dikatakan berpengaruhsignifikan,jika
nilai |t-hitung| lebih besar dari t-tabel (t(1-α/2);df =
n-np),denganαadalah taraf nyata (level of
significance) yangdalam bernilai 0,05 (5%).Freedom of degree(df) adalah tingkat kepercayaan yang didapatkan dari operasi pengurangan antara jumlah data dengan jumlah perkiraan parameter.Persamaan t-hitung(Irianto 2004) adalah
− = �
�(�)
dengan β adalah parameter dugaan, sedangkan SE(β) adalah standar error dari setiap parameter dugaan.
Setelah tahap pendugaan parameter, diagnostik model dilakukan untuk melihat model yang relevan dengan data. Pada tahap ini model harus dicek kelayakannya dengan melihat sifat sisaan dari sisi kenormalan dan kebebasannya.
Secara umum pengecekan kebebasan sisaan model dapat dilakukan dengan menggunakan uji Q modifikasi Box-Pierce (Ljung-Box). Persamaan uji Q adalah (Jonathan & Kung-Sik 2008)
�∗= ( + 2) �2
−
=1
dengan rkadalah nilai korelasi diri sisaan pada lag ke-k, n banyaknya data yang diamati, dan kadalah lagmaksimum.
Statistik uji Q*Ljung-Box menyebar
mengikuti sebaran γ2
(K-p-q),dengan padalah ordo AR dan qadalah ordo MA. Jika nilai Q* lebih
besar dari nilai γ2
(k-p-q), untuk tingkat kepercayaan tertentu (df = k-p-q) atau nilai peluang statistik Q* Ljung-Box lebih kecil dari
taraf nyata (α), maka dapat dikatakan bahwa
sisaan tidak saling bebas.
Selain pengecekan kebebasan pada sisaan, kenormalan pada sisaan dapat dilihat dari niali- p hasil uji shapiro-wilk normality.Jika nilai-p
yang dihasilkan > α, maka dapat disimpulkan
bahwa sisaan telah memenuhi asumsi kenormalan sisaan.
Setelah semua proses dalam metode Box- Jenkis dilakukan tahap berikutnya adalah melakukan overfitting model yaitu membandingkan model dengan model lain yang berbeda satu ordo di atasnya. Hal yang di bandingkan pada overfitting adalah signifikasi parameter, pemenuhan asumsi sisaan, dan
Akaike’s Information Criterion (AIC).
Jika dalam proses overfitting didapatkan model yang relevan dengan data, maka langkah terakhir adalah proses peramalan. Peramalan merupakan proses untuk menentukan data beberapa periode waktu kedepan dari titik waktu ke-t . Setelah peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dengan persamaan menurut Douglas et.al(2008) sebagai berikut :
MAPE =1 |�
=1
(1)|
dengan � 1 adalah relative forecast error. Adapun persamaan � 1 adalah (Douglas et.al2008)
� 1 = − 100
dengan xt adalah data aktual pada waktu ke-t, n adalah jumlah data yang diramal dan ft adalah data hasil ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukan bahwa data hasil peramalan mendekati nilai aktual.