ANOVA Klasik Peubah Y kuantitatif
Acara 5: Uji Post-hoc dan Kontras Ortogonal Tujuan: Melakukan perbandingan antarrerata
Melakukan kontras orthogonal dan kontras polinomial Mengenal transformasi data
Uji Lanjutan Pembandingan Antarrerata Pembandingan antarrerata posthoc
Pembandingan antarrerata yang tidak direncanakan sebelumnya dikenal sebagai pembandingan antarrerata posthoc. Pembandingan ini tidak terstruktur, hanya berdasarkan pasangan-pasangan rerata. Untuk tujuan ini tersedia sejumlah metode, tetapi dasar semua metode adalah sama, yaitu dua perlakuan atau populasi berbeda reratanya jika selisih rerata contohnya melebihi suatu nilai tertentu, disebut nilai kritis. Berdasarkan cara mendapatkan nilai kritis ini muncul bermacam metode. Untuk latihan, gunakan data CRD dan RCBD.
Perangkat lunak R melalui library (agricolae) dapat mendukung sebagian besar pembandingan antarrerata di atas. Untuk contoh data CRD dan RCBD, nama peubah dihitung adalah hasil dan nama peubah pengelompok adalah perlakuan. Sebelum memanggil package yang sesuai, perlu dilakukan analisis varians terlebih dahulu. Selanjutnya dimasukkan beberapa parameter yang diambil dari analisis varians tersebut. Dalam acara praktikum berikut, hanya BNT-Fisher, BNJ-Tukey, dan Uji Duncan yang dipraktikkan. Uji pembandingan rerata yang lain dapat Anda coba sebagai tugas yang wajib Anda kumpulkan pada pertemuan berikutnya. Memilih metode pembandingan antarrerata yang tepat adalah memilih satu metode yang memberikan hasil yang dapat menjawab hipotesis awal. Idealnya, anda merencanakan metode sebelum penelitian dilakukan, bukan setelah mendapatkan data!
a. Beda Nyata Terkecil (BNT)atau Least Significant Difference (LSD)
Pada dasarnya, metode ini serupa dengan uji-t untuk dua rerata dari cuplikan independen dengan asumsi varians homogen yang telah kita pelajari pada Acara 1. Uji ini menggunakan distribusi t-Student. Kita menghitung �ℎ�� = ��1−��2
���1−��2. H0 ditolak jika thit > ttabel.
Jadi, H0 ditolak jika Y1−Y2>������.���1−��2; nilai suku kanan disebut batas kritis BNT. H0
ditolak apabila selisih kedua rerata melebihi batas kritis BNT. Perhatikanlah bahwa di bawah asumsi kedua varians rerata homogen sehingga varians selisih kedua rerata dapat
digabungkan, �2��1−��2 =������1
�1+
1
�2�=
2�����
� dengan r merupakan rerata harmonik r1 dan
r2. Batas kritis BNT mengalikan varians selisih rerata dengan ttabel dua sisi, memakai derajat
bebas sesatan pada analisis varians.
BNT-Fisher. Fisher menasehatkan agar metode ini digunakan hanya apabila hasil analisis varians menolak hipotesis nol dan pembandingan tidak dilakukan untuk seluruh pembandingan yang mungkin.
BNT-Bonferroni. Bonferroni menyarankan agar ttabel tidak diperoleh dengan α dibagi 2, tapi dibagi 2k, karena semula hanya ada satu perbandingan antara dua perlakuan, tetapi
perbandingannya akan sebanyak
= 2 t
k untuk t perlakuan. Dengan ketentuan ini, BNT
dimungkinkan untuk pembandingan keseluruhan set pasangan.
BNT-Dunnett. Apabila pembandingan selalu ke salah satu perlakuan acuan, biasanya
berupa kontrol atau pembanding, Dunnett mengajukan metode ini. Batas kritisnya mirip dengan BNT tetapi tidak menggunakan distribusi t-Student melainkan distribusi Dunnett (dapat dilihat pada Daftar Tabel Statistika).
b. Beda Nyata Jujur (BNJ) atau Honestly Significant Difference (HSD)
Metode ini disebut juga metode Tukey. Di sini, batas kritisnya disebut sebagai batas kritis BNJ. Nilai tabel diperoleh dari tabel Tukey atau “Titik Persentil Atas dari Kisaran Ter- Student-kan” yang nilainya ditentukan oleh taraf nyata (alpha), derajat bebas Sesatan, dan banyaknya grup perlakuan. Selain itu, pengali tidak menggunakan varians selisih rerata melainkan varians rerata (artinya tidak dikalikan 2 dan KTSes dibagi langsung dengan rerata harmonik banyaknya data tiap grup perlakuan). Jika tidak terdapat tabel Tukey, kita dapat menghitung nilai tabelnya menggunakan perangkat lunak R, dengan perintah qtukey((1- alpha), banyakperlakuan, lower.tail=T, df=dbSes. Argumen banyakperlakuan adalah banyaknya perlakuan yang dibandingkan dan dbSes adalah derajat bebas Sesatan.
c. Metode Scheffé
Perbandingan dua perlakuan merupakan bentuk khusus perbandingan yang secara umum merupakan suatu kombinasi linear, dilambangkan dengan L, yang akan dibicarakan di
bagian berikutnya. Metode Scheffé merupakan metode yang dirancang untuk perbandingan demikian. Untuk perbandingan sepasang perlakuan, batas kritisnya adalah �� =�2×�������(� −1)��,(�−1),�. .
d. Uji Duncan atau Duncan’s New Multiple Range Test (DMRT)
Berlainan dengan metode sebelumnya, ada banyak (multiple) batas kritis pada uji Duncan, karena batas kritis yang dipakai untuk suatu pembandingan tergantung jarak dua rerata grup perlakuan yang dibandingkan. Dua rerata grup perlakuan yang berdekatan langsung setelah diurutkan dari terkecil menurut besarnya dikatakan ber”jarak” dua. Jika bersela satu disebut berjarak tiga; dengan dua penyela disebut berjarak empat, dan seterusnya. Batas kritis untuk dua perlakuan berjarak p (p = 2, 3, ... , t) adalah LSRp = SSRdbSes,p*√(RKSes/r). Nilai SSR didapat dari tabel Duncan (silakan lihat Tabel Statistika), yang besarnya tergantung α, dbSes, dan p. DMRT sebenarnya sudah lama dianjurkan untuk tidak digunakan karena selang kepercayaan yang beraneka ragam.
e. Uji SNK (Student-Newman-Keuls)
Metode ini merupakan gabungan antara metode Tukey dan Uji Duncan dalam artifak nilai tabel yang digunakan diambil dari tabel Tukey tetapi batas kritisnya lebih dari satu tergantung jarak rerata perlakuan yang diperbandingkan seperti halnya DMRT. Batas kritisnya adalah SNKα= qα, ν,p . sx .
Cara Penyajian Uji Posthoc
Penyajian hasil posthoc dapat dilakukan dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini. Perlakuan Rerata hasil
A 20 a
B 18 a
D 14 b
C 12 b
E 11 b
Keterangan: Angka yang diikuti oleh huruf yang sama tidak berbeda nyata pada uji HSD- Tukey (α = 5%).
Cara lain penyajian uji posthoc adalah denga menggunakan grafik. Grafik berisi titik rerata dan errorbar yang beruapa selang kepercayaan (confidence interval/CI) yang disesuaikan dengan
jenis uji posthoc. Jenis uji akan menentukan lebar errorbar. Di bawah ini adalah uji dengan errorbar menurut HSD Tukey.
Gambar 1. Peubah hasil di bawah pengaruh perlakuan berdasarkan uji lanjut HSD-Tukey (α = 5%). Keterangan: angka merupakan rerata dan error bars menunjukkan selang kepercayaan.
Penyajian grafik di atas lebih informatif karena kita dapat melihat lebar selang kepercayaan. Semakin lebar selang kepercayaan, maka semakin besar error/residual dalam suatu percobaan. Dua perlakuan akan berbeda nyata jika titik rerata tidak berada pada errorbar perlakuan lain. Contohnya, titik rerata perlakuan B terdapat di dalam errorbar perlakuan A sehingga kedua perlakuan tersebut tidak beda nyata. Perlakuan B berbeda nyata dengan perlakuan C, D, dan E karena titik rerata perlakuan B tidak berada pada errorbar perlakuan C, D, dan E.
Ringkasan tabel uji posthoc disajikan pada tabel berikut.
Posthoc test Batas kritis Ulangan (r) Keterangan LSD r MSE t LSD MSE df 2 , 2 α
= Sama Hanya digunakan ketika n perlakuan tidak lebih dari 3 dan hasil ANOVA signifikan + = 2 1 , 2 1 1 r r MSE t LSD MSE df α Tidak sama Dunnet r MSE t DLSD MSE df 2 * , 2 α
= Sama Hanya digunakan ketika membandingkan masing-masing perlakuan dengan kontrol + = 2 1 * 1 1 , 2 r r MSE t DLSD MSE df α Tidak sama Tukey r MSE q w MSE df p, , α
= Sama Digunakan untuk membandingkan setiap pasangan perlakuan (pairwise). Untuk n
perlakuan yang besar. Direkomendasikan untuk digunakan. + = 2 1 , , 1 1 2 r r MSE q w MSE df p α Tidak sama Scheffe r MSE F df SCD MSE Trtdf df Trt 2 , , α
= Sama Digunakan untuk membandingkan group
perlakuan yang tidak orthogonal. Lebih kritis dari HSD + = 2 1 , , 1 1 r r MSE F df SCD MSE Trtdf df Trt α Tidak sama Bonferoni r MSE tα(2C),n−k 1
Sama Bonferoni digunkan untuk jumlah perlakuan yang sangat besar karena semakin banyak perlakuan, batas kritis akan semakin besar dan sulit menolak H0 (semakin konservatif) ) 1 1 ( 2 1 ), 2 ( r r MSE tα C n−k + Tidak sama DMRT r MSE q R MSE p pdf p = α−1, , Hanya untuk ulangan sama
Tidak disarankan untuk digunakan karena penghitungan selang kepercayaan
inappropriate karena batas kritis beraneka macam SNK Wp = qα,(p, MSE df) MSE r Hanya untuk ulangan sama
Kontras dan Keortogonalan
Bentuk pembandingan sepasang-sepasang dapat dipandang sebagai berikut. H0: (1)*μ1 + (–1)*μ2 = 0
Perhatikan koefisien di muka rerata. Jumlahnya adalah nol (1 dijumlah dengan -1 menghasilkan nol). Bentuk pembandingan berkelompok dapat ditulis ulang sebagai berikut.
H0: 2*μ1 + (–1)*μ2 + (–1)*μ3 = 0.
Penjumlahan koefisien-koefisien tersebut menghasilkan nol pula. Koefisien-koefisien yang menjumlah dan menghasilkan nol disebut sebagai koefisien kontras. Pembandingan yang menggunakan koefisien kontras disebut kontras. Dua kontras disebut saling ortogonal bila penjumlahan terhadap hasil kali (sum of products) koefisien-koefisien yang bersesuaian adalah nol. Jadi, mengambil contoh seri hipotesis nol kita di atas, kontras μ1 = μ2 vs. kontras μ2 = μ3
tidaklah saling ortogonal sebagaimana terlihat di tabel berikut.
Hipotesis nol c1 c2 c3 jumlah
μ1 – μ2 = 0 1 –1 0 0
μ2 – μ3 = 0 0 1 –1 0
Perkalian 0 –1 0 –1
Sebaliknya, kontras μ1 – (μ2 + μ3)/2 = 0 vs. kontras μ2 = μ3 saling ortogonal:
Hipotesis nol c1 c2 c3 jumlah μ1 – (μ2 + μ3)/2 = 0 1 –0.5 –0.5 0 μ2 – μ3 = 0 0 1 –1 0
Perkalian 0 –0.5 0.5 0
Perhatikan baik-baik, bagaimana kontras yang saling ortogonal dapat timbul. Secara umum, pembandingan tiap rerata sepasang-sepasang tidak menghasilkan kontras-kontras yang saling ortogonal, sedangkan pembandingan rerata grup secara berkelompok dapat menghasilkan kontras-kontras yang saling ortogonal.
Sebagai ilustrasi, suatu penelitian dengan ulangan sama mengenai pemberantasan lumut pada perdu teh, menguji perlakuan sebagai berikut: kerik lumut, disemprot glifosat, disemprot fentin-asetat, disemprot bentiokarp, dan tidak diapa-apakan sebagai kontrol. Rerata populasi lima perlakuan dilambangkan dengan µ1, µ2, µ3, µ4, dan µ5. Perhatikan bahwa perlakuannya
adalah perlakuan kualitatif!
H0: 1 2 3 4 5
4 µ
µ µ µ
H0: 2 3 4 1
3 µ
µ µ
µ + + = menguji seberapa efektif pemberantasan kimia dibanding dengan cara manual.
H0: 2 4 3
2 µ
µ
µ + = dibuat untuk membandingkan herbisida non-asam versus asam.
H0: μ2=μ4, yaitu apakah dua herbisida non-asam yang diujikan berbeda. Perhatikan bahwa lima
perlakuan yang diuji disini dapat digolong-golongkan, seperti golongan perlakuan dengan dan tanpa pengendalian lumut, golongan perlakuan dimana pengendalian lumut dilakukan secara manual dan secara kimiawi. Jadi, perlakuannya berstruktur.
Percobaan dengan perlakuan berstruktur hampir selalu menghasilkan penelitian yang baik nalarnya, karena itu pikirkan baik-baik grup-grup perlakuan yang diberikan pada saat merancang penelitian. Buatlah tabel seperti di atas pada MSExcel anda dan berikan koefisien kontras untuk masing-masing hipotesis. Tunjukkan bahwa setiap pasang kontras tersebut saling ortogonal.
R mampu membantu dalam menemukan koefisien yang kontras dan ortogonal. Ikuti perintah berikut dan pahami keluaran yang muncul! Keterangan: x adalah banyaknya grup perlakuan dengan perintah contr.helmert(x). Untuk menguji apakah kontras dan saling ortogonal, silakan ikuti perintah berikut.
> apply(namauji,2,sum) > crossprod (namauji)
> contr.helmert (x, contrasts=F)
No. kontras Hipotesis nol c1 c2 c3 c4 c5 jumlah
1 2 3 4
Catatan: c1adalah koefisien untuk μ1 dst.
Jika terdapat lima perlakuan, maka dapat dibentuk maksimum 4 (atau t–1) kontras- kontras yang saling ortogonal. Pembentukan kontras ortogonal seperti di atas disebut helmert, yaitu dengan membagi menjadi dua kelompok secara bertahap. Cara lain adalah faktorial, yang akan dibahas kelak. Kontras ortogonal dapat disisipkan ke dalam analisis varians, karena jumlah kuadratnya akan menjumlah menjadi jumlah kuadrat grup perlakuan. Berikut adalah data derajat banyaknya lumut (Y) akibat perlakuan herbisida di atas.
Polinom Ortogonal
Untuk perlakuan kuantitatif, jika ulangan dan selang antargrup perlakuannya sama, analisis kecenderungan yang saling ortogonal dapat dengan mudah dilakukan. “Kecenderungan” di sini maksudnya adalah kecenderungan fungsi polinom, apakah hubungannya regresi garis lurus, kuadratik, kubik, atau lebih tinggi lagi. Seperti halnya dengan kontras ortogonal, dimungkinkan ada t–1 kontras dengan derajad bebas satu. Konstantanya kebanyakan telah tersedia pada buku acuan, dan harus dihitung sendiri jika selang antargrup perlakuannya tidak sama, atau ulangannya tidak sama, atau keduanya. Polinom ortogonal sebenarnya merupakan regresi dengan model polinomial. Hanya saja pada polinom ortogonal pengerjaan dilakukan dua kali, yaitu, membuat ANOVA terlebih dahulu, kemudian memasukkan nilai polinom ortogonal. Pada praktikum ini akan ditunjukkan bahawa polinom ortogonal sama dengan regresi polinomial.
Menggunakan data berikut, dapat dilakukan analisis kecenderungan:
Dosis N (ku/ha) Blok Total 1 2 3
0 3 11 10 1 13 16 13 2 19 21 20 3 17 16 21
Koefisien untuk n grup perlakuan dan selang grup antarperlakuannya sama, maka dapat dicari dengan baris perintah contr.poly (n). Koefisien untuk n grup perlakuan dengan
masing-masing grup perlakuan (y1, y2, ..., yn) teridentifikasi memiliki selang yang berbeda,
maka dapat dicari dengan baris perintah contr.poly (n,c(y1,y2,...,yn))
Arti koefisien yang muncul adalah L untuk Linear, Q untuk Kuadratik, dan C untuk Kubik, ^4 untuk Kuartik, dan seterusnya. Setelah mendapatkan koefisien, lakukanlah analisis varians seperti pada kontras ortogonal! Tentukan mana kontras yang signifikan!
Penyajian grafik dapat dikerjakan dengan MsExcel sehingga muncul seperti pada grafik di bawah ini. Perhatikan kedua grafik! Berdasarkan hasil uji lanjut dengan diketahui bahwa terdapat kecenderungan linier dan kuadratik (terdapat tanda signifikansi, cek!). Kesimpulan mengenai hubungan kecenderungan apa yang tepat antara kedua peubah dapat ditentukan berdasarkan hipotesis yang ditegakkan sebelumnya atau dengan melihat keadaan unit percobaan (kecenderungan data) di lapangan.
Transformasi data
Apabila asumsi kehomogenan varians atau keaditifan ternyata tidak terpenuhi (melalui hasil uji-ujinya), hasil analisis varians rendah keabsahannya. Dalam acara sebelumnya dinyatakan bahwa dapat dilakukan analisis varians untuk situasi varians-varians tidak homogen atau melakukan analisis non-parametrik. Pilihan lainnya adalah transformasi data.
Transformasi data adalah mengubah skala data kita melalui formula tertentu agar layak untuk dianalisis varians dan hasilnya valid. Tentu saja, ketika melaporkan hasil analisis, data aslilah yang disajikan, tetapi diberi catatan bahwa datanya diolah dalam bentuk transformasi tertentu. Transformasi data dilakukan apabila:
1) datanya mengikuti distribusi eksponensial,
2) model multiplikatif berlaku (seperti hasil uji Tukey untuk ketakaditifan di atas) 3) tidak homogennya varians ternyata terkait dengan reratanya.
Dengan demikian dikenal bermacam transformasi: a. Transformasi logaritma untuk data eksponensial.
Data yang distribusinya eksponensial, seperti data jumlah telur serangga yang menge- lompok, bentuk logaritmanya akan mengikuti distribusi normal.
b. Transformasi agar data mengikuti model saling jumlah
Data yang mengikuti model saling kali, bentuk logaritmanya akan mengikuti model saling jumlah. Data yang tidak mengikuti model saling jumlah berdasar uji saling jumlah Tukey ditransformasi dengan mempergunakan koefisien regresinya (datanya dikalikan dengan koef. regresinya).
Melakukan transformasi data (variance-stabilizing)
Transformasi data dilakukan karena asumsi ANOVA yang tidak terpenuhi karena tidak dipenuhinya asumsi homoskedastisitas varians. Untuk tetap menggunakan ANOVA, maka data harus ditrasnformasi agar variansnya menjadi “stabil” sehingga asumsi homoskedastisitas terpenuhi. Transformasi data sebenarnya tidak selalu menyelesaikan masalah karena belum tentu dapat menstabilkan varians. Cara yang dianjurkan sebenarnya menggunakan metode lain seperti generalised linear model ataupun linear mixed model. Namun, kedua metode tersebut tidak akan dibahas di sini. Data yang memerlukan transformasi adalah data berupa cacah/hitungan, proporsi, atau dengan kata lain data yang rerata dan variansnya tidak saling independen. Pada ada yang mengikuti distribusi normal rerata dan variansnya saling independen N~(0,σ2).
Data hitungan (cacah atau count) yang bernilai kecil (dekat dengan nol) biasanya memiliki distribusi Poisson, bukan normal, sehingga variansnya sering kali berasosiasi dengan reratanya. Transformasi √� atau √�+�, C konstanta, dapat membantu menjadikan data berdistribusi mendekati normal. C dimunculkan bila ada data yang bernilai 0.
Data turunan yang menggunakan fungsi perkalian (misalnya luas permukaan yang diduga dari diameter) berpotensi berdistribusi eksponensial, sehingga akar variansnya berasosiasi dengan rerata. Transformasi logaritma, log(Y) atau log(Y + C) dengan C suatu konstanta, dapat membantu menstabilkan sebaran data. Basis logaritma biasanya 10 namun dapat dipilih sesuai dengan keperluan.
Data berdistribusi binom dapat muncul pada data yang batas atas dan bawahnya diketahui, seperti data fraksi (antara 0 dan 1), termasuk dalam bentuk persentase, dan data skor. Nilai- nilai yang mendekati batas tepi mudah terpengaruh oleh distribusi ini. Apabila terdapat data “perbatasan” seperti ini, transformasi sin-1√�+� atau arcsin√�+� dapat membantu
membuat distribusi mendekati normal. Sebenarnya, masih banyak transformasi data yang lain seperti Box-Cox transformation, negative binomial trasnformation, dsb. Namun, ketiga trasnformasi di atas adalah yang paling sering digunakan.
Untuk berlatih, lakukan transformasi terhadap dua set data sebelumnya. Anda dapat memasukkan fungsi di MSExcel, lalu membuat berkas data baru. Fungsi di MsExcel yang digunakan yaitu =LOG( ), =SQRT( ), dan =ASIN( ). Setelah data ditransformasi, lakukan analisis terhadap data baru sesuai dengan rancangan yang telah dibuat.
Varlog <- log10(namavar)#transformasi log10 Varroot <- sqrt(namavar) #transformasi akar
Varasin <-(sqrt(namavar/100))) #transformasi arcsin
Berikut ringkasan transformasi data.
Nama transformasi Hubungan rerata dan varians Cara transformasi Log �2 ≅ ��2 log (�) Arcsin �2 ≅ ��(1− �) Distribusi Binomial arcsin√y Square root �2 ≅ �� Distribusi Poisson √�
Skema Uji Posthoc dan Kontras Ortogonal