METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
(Skripsi)
Oleh
Christy Engine Nita
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
Oleh
Christy Engine Nita
Persamaan diferensial tak linear dalam bentuk
dikenal dengan persamaan diferensial Riccati. Bila persamaan diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial Bernoulli dan bila menjadi persamaan diferensial orde-1. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear adalah metode transformasi diferensial. Solusi persamaan diferensial Riccati bergantung pada fungsi dan . Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 15 Januari 1992. Penulis merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Teguh Widodo dan Ibu Sugini, serta kakak dari Doni Heady Wijaya.
Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak AL-AZHAR 2 di Perumnas, Bandar Lampung pada tahun 1997. Pendidikan sekolah dasar di SD AL-AZHAR 1 Kedaton, Bandar Lampung pada tahun 2003. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 10 Bandar Lampung pada tahun 2006. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3, Bandar Lampung pada tahun 2009.
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang luar biasa yang selalu diberikan kepadaku sehingga
aku dapat menyelesaikan hasil karyaku ini.
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk Bapakku Teguh
Widodo dan Ibuku Sugini tersayang sebagai salah satu
wujud cintaku.
Terima kasih untuk setiap doa, dukungan, dan kasih sayang
yang selalu menemani disetiap hariku
Untuk ibu angkatku Ragil Waginem, adikku Doni Heady
Wijaya, sepupuku Adnika Yulita Sari, Afriyani dan Fera
Dian Ariska, terima kasih untuk dukungan serta doa yang
selalu diberikan untukku
Sahabat-sahabat terbaikku, terima kasih untuk semua kisah
MOTO
“Orang tua kita adalah anugerah
terbesar di dalam sebuah kehidupan
”
.
“Man Shobaro Zafiro –
Siapa yang
bersabar akan beruntung”
.
“Belajarlah dari kesalahan di masa lalu,
mencoba dengan cara yang berbeda dan
selalu berharap untuk sebuah kesuksesan
di masa depan
”
.
SANWACANA
Alhamdulillahirobbil‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan, kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing I yang senantiasa membimbing, memberikan arahan, saran dan dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah banyak membantu dan memberikan pembelajaran serta bimbingan kepada penulis. 3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku penguji yang telah
memberikan penulis kritik dan saran pada penelitian ini serta selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
4. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 6. Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
7. Untuk kedua orang tuaku yang luar biasa, mbak Sari, adikku Doni, Afri, Fera dan Aulia, yang tak pernah lelah memberikan doa, saran, perhatian serta dukungan kepada penulis.
8. Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Dian Ekawati, Dinda Ristanti, Tri Handayani, Hasby Alkarim, Miftah Farid Artama, Muhammad Ridho, Rohandi, serta Sofyan Saputra yang selalu ada dan memberi semangat melalui keceriaan serta nasihatnya.
9. Sahabat yang sudah menjadi keluarga Leli Apriyani dan Sherly Nurimani, terima kasih untuk doa, perhatian dan nasihatnya.
10. Sahabat seperjuangan selama menyusun skripsi ini Agustina Ambar Wulan yang selalu menemani.
11. Untuk abang Hendra yang selalu memberikan motivasi, Staff pengajar Soesilo 43 serta anak murid tercinta dan para calon Brigadir yang memberikan keceriaan.
12. Untuk teman-teman Matematika 2010 dan keluarga besar HIMATIKA. 13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
BandarLampung, Februari 2015 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ... i
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penelitian... 5
1.3 Manfaat Penelitian... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Turunan ... 6
2.2 Diferensial... 7
2.3 Persamaan Diferensial ... 7
2.4 Orde, Degree dan Persaman Diferensial ... 8
2.5 Persamaan Diferensial Eksak ... 8
2.6 Persamaan Diferensial Linear Orde-1 ... 10
2.7 Persamaan Diferensial Bernoulli ... 10
2.8 Persamaan Diferensial Riccati ... 11
2.9 Metode Transformasi Diferensial ... 11
BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 14 3.2 Metode Penelitian ... 14
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN V. KESIMPULAN
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami kemajuan. Salah satunya adalah cabang ilmu matematika yang sampai saat ini mengalami perkembangan yang berguna untuk kemajuan teknologi. Para peneliti terus melakukan penelitian untuk selalu menemukan penemuan-penemuan baru yang dapat memberikan sumbangan ilmu pengetahuannya sebagai penunjang berkembangnya ilmu-ilmu lain.
Saat ini tuntutan terhadap penguasaan matematika terapan semakin kuat. Kerja efektif, praktis dan akurat diperlukan baik untuk menjalani kehidupan saat ini (sebagai mahasiswa) maupun nanti bila memasuki dunia kerja. Banyak masalah matematik dapat disajikan dalam bentuk model matematika. Oleh karena itu, khususnya bagi mahasiswa yang mengambil jurusan matematika, IPA dan teknik perlu pengetahuan dasar bagaimana cara mencari solusi suatu model matematika.
2
atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi.
Studi mengenai persamaan diferensial dimulai setelah penemuan Kalkulus dan Integral. Pada tahun 1676 Newton menyelesaikan sebuah persamaan diferensial dengan menggunakan deret tak hingga, sebelas tahun setelah penemuannya tentang bentuk fluksional dari kalkulus diferensial pada tahun 1665. Newton tidak mempublikasikan hal tersebut sampai dengan tahun 1693, pada saat Leibniz menghasilkan rumusan persamaan diferensial yang pertama.
Perkembangan persamaan diferensial sangat pesat dalam tahun-tahun berikutnya. Dalam tahun 1694-1697 John Bernoulli menjelaskan “:Metode Pemisahan Variabel” dan membuktikan bahwa persamaan diferensial homogen orde satu dapat direduksi menjadi bentuk persamaan diferensial dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan. Bernoulli menggunakan metode ini terhadap persoalan-persoalan trayektori ortogonal. John Bernoulli dan saudaranya Jacob Bernoulli (yang menemukan Persamaan Diferensial Bernoulli) berhasil menyederhanakan sejumlah besar persamaan diferensial menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat mereka selesaikan.
Persamaan Diferensial Bernoulli adalah persamaan diferensial orde satu dan bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli adalah
3
Persamaan diferensial tak linear homogen Bernoulli atau yang lazim dikenal dengan sebutan persamaan diferensial Bernoulli menjadi model utama dalam berbagai cabang bidang aplikasi. Persamaan diferensial Bernoulli tersebut dibedakan atas derajat ketaklinierannya (n). Sebagai contoh, persamaan diferensial orde dua Bernoulli (n=2) lazim digunakan untuk memodelkan proses pertumbuhan logistik dalam bidang ilmu hayati dan perilaku chaos. Untuk orde tak linear ketiga (n=3) persamaan diferensial Bernoulli membentuk persamaan Gizbun-Landau atau persamaan quartic yang lazim digunakan dalam menelaah proses terjadinya korosi. Persamaan diferensial Bernoulli juga merupakan bagian tak linear persamaan diferensial parsial Klein Gordon yang dikenal sangat luas pemakaiannya, diantaranya untuk mempelajari dinamika partikel-partikel elementer dan Stokastik resonan, penelaahan transportasi fluxon, pembangkitan laser squeezed.
Sebagaimana lazim dijelaskan pada pustaka matematika, penyelesaian persamaan diferensial Bernoulli selalu dilakukan melalui proses linierisasi sesuai dengan yang direkomendasikan oleh Jacob Bernoulli. Transformasi dari persamaan diferensial tak linear ke dalam persamaan diferensial linear dilakukan dengan menggunakann
“fungsi transformasi Bernoulli”, yang selanjutnya diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial linear.
4
Namun, tidak semua persamaan diferensial tak linear dapat langsung dilinearisasi. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear adalah metode transformasi diferensial. Metode ini dapat digunakan tanpa linearisasi. Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat diterapkan pada persamaan tak linear tanpa linearisasi. Metode ini telah banyak diterapkan untuk menyelesaikan berbagai persamaan. Metode transformasi diferensial untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak linear tanpa linearisasi yaitu persamaan diferensial Riccati.
Persamaan diferensial tak linear dalam bentuk
dikenal dengan persamaan diferensial Riccati. Nama ini untuk mengenang ahli matematika dan filsafat dari Itali, Count Jacopo Francesco Riccati (1676-1754). Bila persamaan diferensial Riccati berbentuk persamaan diferensial Bernoulli dan bila menjadi persamaan diferensial orde-1. Solusi persamaan diferensial Riccati bergantung pada fungsi dan . Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial.
5
yang memiliki galat sama dengan nol, sedangkan metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan bagi).
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah menyelesaikan persamaan diferensial Riccati menggunakan metode transformasi diferensial.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dilakukannya penelitian ini adalah:
1. Mengetahui sifat-sifat transformasi diferensial dan menyelesaikan persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial.
6
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam bab ini diberikan beberapa definisi dan istilah yang digunakan dalam penelitian ini.
Definisi 2.1 (Turunan)
Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca “ aksen”) yang lainnya pada sebarang bilangan adalah
asalkan limit ini ada.
Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa terdiferensialkan di .
Contoh 1.
Andaikan . Cari .
Penyelesaian:
7
(Purcell and Varberg, 1987).
Definisi 2.2 (Diferensial)
Difference dalam bahasa inggris artinya beda, sehingga diferensial adalah selisih variabel. Jika dengan adalah suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap variabel bebas , maka adalah diferensial dari variabel tak bebas (terikat) , yang didefinisikan dengan .
Andaikan , dengan adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan, diferensial dari peubah tak bebas (terikat) , disebut juga diferensial total dari , yang didefinisikan (Purcell and Varberg, 1987).
Definisi 2.3 (Persamaan Diferensial)
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu atau lebih dari variabel-variabel bebas. Bila hanya ada satu variabel bebas yang diasumsikan, maka subyek disebut persamaan diferensial biasa.
8
Definisi 2.4 (Orde, Degree dan Persamaan Diferensial)
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan berbentuk:
( ) yang menyatakan hubungan antara perubah bebas ,
perubah tak bebas dan turunannya yaitu .
Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke n.
Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajad) k jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajad k.
Contoh 3.
Karena turunan tertingginya berderajad dua (Kartono, 1994).
Definisi 2.5 (Persamaan Diferensial Eksak)
Suatu persamaan diferensial dengan bentuk
(2.1)
9
(2.2)
Jika persamaan (2.1) eksak, maka karena persamaan (2.2) dan persamaan (2.1), persamaan ini sepadan dengan
Jadi, fungsi adalah konstan dan penyelesaian umum persamaan (2.1) diberikan oleh
(2.3)
Contoh 4.
Persamaan diferensial
(2.4)
adalah eksak, sebab
Jadi, penyelesaian umum persamaan (2.4) berbentuk (secara implisit)
10
Definisi 2.6 (Persamaan Diferensial Linear Orde-1)
Persamaan diferensial linear orde-1 adalah persamaan berbentuk
(2.5)
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi ∫ . Penyelesaian umum persamaan diferensial ini adalah:
∫ ∫ ∫
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum persamaan diferensial:
1. Tentukan faktor integrasi
2. Dapatkan penyelesaian umum persamaan diferensial dengan melakukan integrasi (Kartono, 1994).
Definisi 2.7 (Persamaan Diferensial Bernoulli)
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk:
akan menghasilkan persamaan linear orde satu
11
mempunyai penyelesaian umum persamaan diferensial:
∫ ∫ ∫
(Kartono, 1994).
Definisi 2.8 (Persamaan Diferensial Riccati)
Persamaan diferensial Riccati adalah persamaan diferensial tak linear dalam bentuk Penyelesaian persamaan diferensial Riccati dengan metode transformasi diferensial dilakukan dengan mentransformasikan persamaan diferensial Riccati sesuai dengan sifat-sifat transformasi diferensial (Shepley L. Ross, 1966).
Definisi 2.9 (Metode Transformasi Diferensial)
Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk suatu fungsi yang analitik pada domain D yaitu fungsi yang mempunyai turunan pada setiap titik di persekitaran domain D yang dinyatakan sebagai berikut.
12
dengan merupakan fungsi asli dan merupakan fungsi transformasi. Suatu fungsi di dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
∑
(2.9)
Berdasarkan persamaan (2.8), maka persamaan (2.9) menjadi
∑ , (2.10)
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial. Dari persamaan (2.9) dapat dikatakan bahwa konsep dari transformasi diferensial diturunkan dari deret Taylor (Rahayu, Sugianto dan B. Prihandono, 2012).
Definisi 2.10 (Deret Taylor)
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks yang terdiferensialkan tak hingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks adalah deret pangkat
yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai
∑
13
Turunan ke nol dari didefinisikan sebagai itu sendiri, dan dan didefinisikan sebagai 1.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian literatur seperti internet dan buku-buku penunjang matematika yang berhubungan dengan persamaan diferensial Bernoulli dan persamaan diferensial Riccati.
Tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Membedakan suatu Persamaan Diferensial Bernoulli dengan Persamaan Diferensial Riccati.
2. Menyelesaikan Persamaan Diferensial dengan menggunakan Persamaan Diferensial Riccati.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Penyelesaian dari persamaan diferensial Riccati dapat diselesaikan dengan menggunakan Metode Transformasi Diferensial.
2. Hasil dari
adalah berupa deret pangkat, yaitu
maka diperoleh,
3. Hasil dari
adalah berupa deret pangkat, yaitu
maka diperoleh,
DAFTAR PUSTAKA
Finizio, N dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Ed. Ke-2. Erlangga, Jakarta.
Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset, Yogyakarta.
Purcell, E.J. & Varberg, Dale. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi Kelima, Jilid 2. Alih Bahasa I Nyoman Susila, dkk. Erlangga, Jakarta. Rahayu, Sugianto dan Prihandono, B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Tak
Linear dengan Metode Transformasi Diferensial. Jurnal, Vol. 01, No. 1, 2012.
