PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI ELZAKI

(1)

Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 227 – 236.

227

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE

TRANSFORMASI ELZAKI

Nova Minarti, Mariatul Kiftiah, Helmi

INTISARI

Persamaan Diferensial Parsial Linear (PDPL) dapat diselesaikan secara analitik dan numerik. Salah satu penyelesaian PDPL secara analitik yaitu dengan menggunakan metode transformasi Elzaki. Metode ini merupakan transformasi integral yang diperoleh dari integral Fourier. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari penyelesaian PDPL dengan menggunakan metode transformasi Elzaki. Penyelesaian PDPL dengan metode transformasi Elzaki dilakukan dengan cara mentransformasikan persamaan tersebut sehingga diperoleh Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Selanjutnya ditentukan penyelesaian dari PDB, kemudian hasilnya ditransformasikan dengan invers transformasi Elzaki agar diperoleh penyelesaian dari PDPL. Penelitian ini menunjukkan bahwa transformasi Elzaki dapat menyelesaikan PDPL orde satu dan orde dua dengan koefisien konstan.

Kata kunci: PDB, Orde eksponensial, Transformasi integral

PENDAHULUAN

Saat ini ilmu pengetahuan memiliki peranan penting dalam perkembangan teknologi dan informasi. Tanpa ilmu pengetahuan, teknologi masa kini akan sulit berkembang dengan cepat dan tepat. Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang konsep dasarnya digunakan untuk pengembangan ilmu-ilmu lain. Matematika terdiri atas beberapa cabang bidang ilmu seperti aljabar, geometri, analisis, statistik, aktuaria dan matematika terapan. Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. Persamaan diferensial terbagi menjadi dua jenis yaitu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

Teknik penyelesaian PDB dan PDP dapat diselesaikan secara analitik dan numerik. Terdapat beberapa contoh kasus PDP yang tidak dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel sehingga PDP tersebut diselesaikan dengan metode numerik. Padahal jika dianalisis lebih dalam PDP tersebut masih dapat diselesaikan secara analitik, yaitu dengan menggunakan metode transformasi integral. Transformasi integral merupakan suatu metode yang efisien untuk menyelesaikan PDP dan telah dikembangkan untuk menyelesaikan masalah matematika dalam bidang teknik [1].

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan PDP secara numerik diantaranya adalah metode beda hingga, method of lines, eliminasi Gauss dan Clark-Nicolson. Sedangkan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan PDP secara analitik, diantaranya metode pemisahan variabel, pemisalan U, integral langsung, transformasi Fourier, transformasi Sumudu, transformasi Laplace, transformasi Elzaki, transformasi Mellin, transformasi Henkel dan transformasi Z.

Metode transformasi Elzaki merupakan salah satu bentuk transformasi integral yang diperoleh dari integral Fourier sehingga didapatkan transformasi Elzaki dan sifat-sifat dasarnya. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Tarig. M. Elzaki pada tahun 2011 dan efektif untuk menyelesaikan permasalahan pada PDB, PDP, sistem pada persamaan diferensial dan banyak diaplikasikan pada bidang teknik dan fisika seperti mesin, lintasan listrik, masalah balok, sistem linear dinamik,

signals-delay pada persamaan diferensial dan persamaan statistik [2]. Solusi dari hasil analisis PDP dilakukan

dengan menginverskan persamaan tersebut menggunakan invers transformasi Elzaki. Sehingga solusi dari PDP dapat dengan mudah diselesaikan. Selain itu metode ini juga dapat menghasilkan penyelesaian khusus secara langsung sesuai dengan nilai awal dan syarat batas yang telah diberikan.

(2)

Rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana cara menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear (PDPL) dengan menggunakan metode transformasi Elzaki. Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji sifat-sifat transformasi Elzaki dan menyelesaikan PDPL orde satu dan orde dua dengan menggunakan metode transformasi Elzaki.

Langkah-langkah dalam menyelesaikan PDPL orde satu dan orde dua dengan menggunakan metode transformasi Elzaki adalah dengan menerapkan sifat-sifat dari transformasi Elzaki. Selanjutnya kedua ruas dari PDPL ditransformasikan dengan sifat-sifat transformasi Elzaki, yaitu dengan cara mereduksi dua variabel bebas menjadi satu variabel bebas atau mentransformasikan PDPL menjadi PDB, kemudian substitusikan nilai awal yang telah diketahui. Persamaan diferensial biasa yang diperoleh diselesaikan dengan teknik penyelesaian PDB. Jika PDPL orde dua dilengkapi dengan syarat batas, maka substitusikan syarat batas yang telah ditransformasikan juga dengan transformasi Elzaki. Setelah didapatkan penyelesaian dari PDB, kemudian hasilnya ditransformasikan dengan invers transformasi Elzaki, sehingga diperoleh solusi penyelesaian dari PDPL yang dicari.

TRANSFORMASI ELZAKI

Transformasi Elzaki merupakan salah satu transformasi integral yang analogi dengan transformasi

Laplace dan transformasi Sumudu. Transformasi Fourier, Laplace dan Sumudu adalah metode yang

baik untuk meyelesaikan persamaan diferensial, begitu juga dengan transformasi Elzaki dan beberapa sifat dasarnya yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial [3].

Transformasi Elzaki didefinisikan untuk fungsi eksponensial. Misalkan diberikan fungsi f dalam himpunan dengan anggotanya adalah fungsi eksponensial yang didefinisikan sebagai berikut:

  

, 1, 2 0 ,

  

j,

 

1 0,



t j k A f t M k k f t Me t    _  _      _  _    

Definisi 1 [3] Diberikan suatu fungsi f :RR . Fungsi T:



k k1, 2



R yang didefinisikan dengan

 

0 , tv T v E f t v v f t e dt      _ _



_,v



k k1, 2



, t0

dengan E f t v_

 

, _ adalah transformasi Elzaki dari fungsi f t yang terdefinisi pada ( ) t[0, ) _{, v}

adalah variabel dalam transformasi Elzaki yang terdapat dalam interval



k k₁, ₂



.

Hubungan antara transformasi Elzaki dengan transformasi Laplace adalah sebagai berikut:

 

v 1 1 , T T F         _{ } _{ }    

 

1 1 v F F T v v    _{ }  _{ }    

dengan F

 

 adalah transformasi Laplace dan adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval ,  adalah variabel dalam transformasi Laplace. Transformasi Elzaki dari adalah notasi eksplisit dari T

 

v  E f x v

 

, _ atau T

 

v  E f t v

 

, _. Simbol ] dan

_{] adalah notasi hasil dan invers transformasi Elzaki [4].} SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI ELZAKI

Transformasi Elzaki mempunyai beberapa sifat operasional dasar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan PDP. Jika E f t v_

 

,  _ T v( ) maka sifat-sifat transformasi Elzaki adalah sebagai berikut:

1. Sifat Perkalian dengan Suatu Konstanta

Teorema 2 [5] Jika diberikan adalah konstanta dan adalah transformasi Elzaki dari maka E_kf t

 

,v _ kT

 

v

(3)

Bukti:

 

0 , t v E kf t v v kf t e dt       



 

, kE f t v   _ _

 

, ( ) E kf t_ v _ kT v

2. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan

Teorema 3 [5] Jika diberikan dan adalah transformasi Elzaki dari dan

dengan a dan b adalah sebuah konstanta maka

 

1 2 , 1 , 2 , 1 2 E af t_ bf t v_aE f t v_ _bE f t v_ _aT v bT v Bukti:

 



 



1 2 1 2 0 , tv E af t bf t v v af t bf t e dt        



 

1 2 0 t t v v v af t e dt bf t e dt       _  _  



 

1 2 0 0 t t v v av f t e dt bv f t e dt     







 

1 2 , 1 2 E af t_ bf t v_aT v bT v 3. Sifat Diferensial

Teorema 4 [5] Jika E f t v_

 

,  _ T

 

v , maka transformasi Elzaki dari turunan terhadap t adalah

a. '

 

, v 0 v T E f_ t v _ vf

b.

''

 

'

 

2 , T v 0 0 v E f_ t v _  f vf

c.

 

0 1 2 , 0 n n n k k k n v t v v T E f v f      _{ } _    



Bukti :

a.

'

 

'

 

0 , tv E f t v v f t e dt    _{ }  



 

0 lim b t v b df t ve dt dt   



 

' , v 0 v T E f_ t v _ vf b. ''

 

'

 

2 , T v 0 0 v E f_ t v _ f vf

Jika _{g t}

 

 _f'

 

_t _maka_{g t}'

 

 _f''_{( )}_t _{dengan menggunakan Teorema 4 (a) diperoleh:}

 

'

 

'' _, E f t v, ' ₀ E v t f v vf          

 

_{ }

1 0 ' 0 T vf vf v v v    _  _  

(4)

 

2

 

'' , T v 0 ' 0 v E f_ t v _ f vf

c.

 

0 1 2 , 0 n n n k k k n v t v v T E f v f      _{ } _    



Pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi matematika: Misalkan adalah pernyataan  

 

1 2  

 

0 , 0 n n n k k n k v T E f f v t v v      _{ } _    



(i) Akan ditunjukkan bernilai benar untuk

n



1 yaitu

'

 

, v 0

v T E f_ t v _ vf

Berdasarkan pembuktian pada Teorema 4 (a) maka terbukti bernilai benar untuk (ii) diasumsikan benar untuk yaitu  

 

1 2  

 

0 , 0 m m m k k m k v T E f f v t v v      _{ } _    



Akan ditunjukkan P bernilai benar untuk n m 1

dengan  1

 

2 ( 1)  

 

1 0 , 0 m m m k k m k T E f v v f v t v        _{ } _    



Misalkan g t

 

f m

 

t ,maka

 



 



' ' m g t  f t sehingga  

_{ }



 

_{ }



' 1 , , m m E f__  t v_  _ E f t v_    

_{ }

 

_{ }

, 0 m m E f t v v f v        

 

12 1  

_{ }

 

_{ }

1 0 0 0 m k m m k m k T v f f v v v        



  1

_{ }

 

2  1  

_{ }

1 0 , 0 m m m k k m k T E f t v v v v f        _{ } _    



dari pernyataan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa Teorema 4 (c) terbukti. 4. Sifat Integral

Teorema 5 [5] Jika E f t v_

 

,  _ T

 

v , maka transformasi Elzaki dari integral terhadap adalah 0 ( ) , ( ) t E f  d v vT v    _{ }   



 Bukti: Jika dimisalkan

 

0 t h t 



f  d , maka

 

' h t  f t dan h

 

0 0

berdasarkan pembuktian pada Teorema 4 (a) diperoleh:

 

' , , E h t v_ _ E f t v _

 

,

_{ }

0 E h t v vh T v v    _{ } _

 

, ( ) E h t_ _ vvT v

(5)

Teorema 6 [5] Jika E f t v_

 

,  _ T

 

v , maka transformasi Elzaki dari

 

1 2 0 0 0 ( ) n t t t n n w t 

 

 f  d adalah Tn

 

v E w t v n

 

, vnT( )v untuk n1.

Pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi matematika. Misalkan adalah pernyataan T_n

 

v E w_ _n

 

t ,v_vnT( )v (i) Akan ditunjukan bernilai benar untuk n1

 

, ( )

T v E w t_ v_vT v

Berdasarkan pembuktian Teorema 5 maka terbukti bernilai benar untuk n1

(ii) Asumsikan benar untuk n m yaitu Tm

 

v E w m

 

t ,vvmT( )v . Akan ditunjukan bahwa bernilai benar untuk n m 1

dengan

 

1 1 1 , ( ) m m E wm t v T _ v  _ _ _v T v

 

1 1 , m E wm v T _ v   _ t _

 

2 1 1 1 0 0 0 ( ) , m m t t t E f  d v           

 



 

, m vE w t v  _ _ 1 ( ) m v T v 

Dari pernyataan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa Teorema 6 terbukti. 5. Sifat Translasi Pertama

 

,  _ T

 

v , maka

 

, (1 ) 1 at E e f t v av T av v     _{  } _ _   _ _ _ Bukti:

 

0 , . t at at v E e f t v v e f t e dt      _{ }  



 

1 0 v av t v f t e dt     _{ }    



Jika dimisalkan 1 w a v v   atau 1 w v aw   maka

 

0 , 1 t at w w E e f t v f t e dt aw     _{ }   _



 

1 1 awT w  

 

, (1 ) 1 at E e f t v av T av v     _{  } _ _   _ _ _

6. Sifat Translasi kedua

 

,  _ T

 

v dengan {

maka

 

, ( ) a v E g t v_  _ e T v Bukti:

 

0 , tv E g t v v g t e dt       



(6)

 





0 0 a t t v v a v e dt v f t a e dt    







 Misalkan t  a maka dtd



sehingga diperoleh

 

  0 , a v E g t v v f e d           



( ) a v e T v  7. Sifat Konvolusi

Teorema 9 [5] Jika dan adalah transformasi Elzaki dari fungsi dan , maka konvolusi

transformasi Elzaki dari fungsi dan adalah



 

  



 

0 1 * , , ( ) t E f g t v E f g t v F v v v d G               _ _ 



 Bukti:

   

 

0 0 1 1 .v .v z v v F v G v f e d g z e v v dz        



 

1 

 

0 0 v z v f  e  g z dzd     

 

Misalkan z t  maka dzdt

   

 





0 0 1 t v F v G v v f e g t dtd v       





  



0 0 t v v e f  g t  d dt   





  



0 , t E f  g t  d v         







*

 

, E f g t v   

INVERS TRANSFORMASI ELZAKI

Jika transformasi Elzaki dari fungsi adalah atau E f t v , maka fungsi



( ),



adalah invers dari transformasi Elzaki dari dan disimbolkan dengan

 

1





( ) f t E T v

Dimana

E

1 adalah notasi dari invers transformasi Elzaki. Hubungan ini dapat dilihat pada tabel 1. Tabel 1 Transformasi Elzaki dari beberapa fungsi

No f t

 

E f t v_

 

, _ 1 1 2 v 2 t 3 v 3 t1 3 2 v v 4 n t , n0 n v! n2

(7)

No f t

 

E f t v_

 

, _ 5 t e

_

_

2 1 v v  6 at e

_

_

2 1 v av  7 at te

_

_

3 2 1 v av  8 _{sin at}





3 2 2 1 av a v  9 cos at



2



2 2 1 v a v  10 _t_sin_at



2 2



4 2 1 av a v  11 bt_sin e at

_

_

3 2 2 2 1 av bv a v   12 _ebtcos_at





2 2 2 2 (1 ) 1 v bv v bv a    13 sinh at





3 2 2 1 av a v  14 cosh at



2



2 2 1 v a v 

PENYELESAIAN PDPL DENGAN METODE TRANSFORMASI ELZAKI Contoh 10 Persamaan diferensial parsial linear homogen orde satu

Selesaikan PDPL berikut ini dengan menggunakan metode transformasi Elzaki.

2 0 U U U x t  _  _{ }   (1)

Dengan nilai awal U x

 

, 0 6e3x Penyelesaian:

Kedua ruas dari Persamaan (1) ditransformasikan dengan transformasi Elzaki sehingga diperoleh persamaan berikut:

 

2 0 U U E E E U x t    _  _ _ _   _     

 

_{ }

2 0 0 v v v dT T vf T dx v    _  _   

 

2

 

_{ }

2 0 0 v v dT T vf T dx  v   v 

 

_{ }

2

_{ }

1 2 0 dT T v vf v dx v _ _  _   _   (2)

Selanjutnya substitusikan nilai awal ke Persamaan (2), diperoleh Persamaan (3), kemudian PDB diselesaikan menggunakan metode Faktor Integral (FI).

(8)

 

v

_{ }

_v 2 ₁₂ 3x v dT v T ve dx          

(3)

dengan 2 v 2 v dx v x v FI e e      _             

maka

 

1 ₁₂ 3x T v v F FI e I  



 dx

 

3 2 2 1 12 v x v v x v x T ve e d e v x              _ _ 



 2 3 12 . 2 4 x v e v    2 3 6 . 1 2 x v v e       _      (4)

Setelah didapatkan penyelesaian dari PDB, kemudian Persamaan (4) ditransformasikan dengan invers transformasi Elzaki, agar diperoleh penyelesaian dari Persamaan (1)

 

2 1 1 ₆ 3 1 2 x E T v E e v v  _ _{ }  __  _  _     __ _ _ __ _      

 

_, ₆ 2t 3x U x t  e e 3 2 6e x t 

Jadi, penyelesaian PDPL dari Persamaan (1) adalah

 

3 2

, 6 x t U x t  e 

Contoh 11 Persamaan diferensial parsial linear homogen orde dua Selesaikan PDPL berikut ini dengan metode transformasi Elzaki.

2 2 , U U t x  _   I: 0,1

 

dan xI,t 0 (5)

Dengan nilai awal U x

 

, 0 3sin 2x dan syarat batas U

 

0,t 0,U

 

1,t 0. Penyelesaian:

Kedua ruas dari Persamaan (5) ditransformasikan dengan transformasi Elzaki diperoleh:

2 2 U U E E t x      _{  }  _  _    

 

2

 

_{ }

2 0 v T v T d f dx v  v (6)

Selanjutnya substitusikan nilai awal ke Persamaan (6), diperoleh Persamaan (7), kemudian PDB diselesaikan menggunakan metode operator diferensial.

 

2

 

2 3 sin 2 T d v v T v x d v  x   (7)

dapat ditentukan operator Diferensialnya (D), yaitu

2 2 2

1 1 1

( ) sin( ) sin(2 ) sin(2 )

( ) ( ) ( 4 )

T v ax b x x

F D F D  F  

    



Dimana D 4



2_{, kemudian substitusikan nilai D yang diperoleh ke persamaan (8)}

 

1 2 3 sin 2 T v D v x v   _ _     (8)

(9)

2 2 3 sin 2 1 4 v v x     2 1 2 2 3 sin 2 1 4 v x v x _v c e c e v x       (9)

Setelah didapat penyelesaian umum PDB kemudian substitusikan syarat batas ke Persamaan (9) untuk mendapatkan pernyelesaian khusus dari PDB.

Nilai batas pertama U

 

0,t 0

 

0,

 

0

E U_ t  _ E

 

0, 0 U v 

Substitusikan ke Persamaan (9), diperoleh

1 2

0 c c (10)

Nilai batas kedua U

 

1,t 0

 

1,

 

0

E U_ t  _ E

 

1, 0 U v 

substitusikan ke Persamaan (9), diperoleh

1 1

1 2

0 _{c e} u _{c e} u



  (11)

dari Persamaan (10) dan (11), didapatkan nilai dan , sehingga diperoleh penyelesaian khusus dari PDB yaitu:

 





2 2 3 sin 2 1 4 v x T v v     (12)

setelah didapat penyelesaian khusus dari PDB, kemudian Persamaan (12) ditransformasikan dengan invers transformasi Elzaki, agar diperoleh penyelesaian dari Persamaan (5).

 

2 1 1 2 3 sin 2 1 4 v v E T v E x   _ _{ }  _ _   _    

 

2 4 , 3 tsin 2 U x t  e x

Jadi, penyelesaian PDPL dari Persamaan (5) adalah

2

( 4 )

( , ) 3 t 2

U x t  e sin x

PENUTUP

Dari hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa:

1. Sifat–sifat dari transformasi Elzaki adalah sebagai berikut: a. Transformasi Elzaki dari konstanta dan variabel k

Jika adalah konstanta, maka transformasi Elzaki dari adalah

 

 

2 0 [ , ] , tv E f t v E k v v ke dt kv    





Jika adalah variabel, maka transformasi Elzaki dari adalah

 

0 0 , Lim b t v b t v E k v v ke dt v ke dt     







b. Transformasi Elzaki dari fungsi variabel terikat U

 

,

 

(10)

c. Transformasi Elzaki dari turunan pertama fungsi variabel terikat Uterhadap variabel bebas t

d. Transformasi Elzaki dari turunan pertama fungsi variabel terikat Uterhadap variabel bebas x

 

, dT U E v x v x d   _{ } _   

e. Transformasi Elzaki dari turunan kedua fungsi variabel terikat Uterhadap dua variabel bebas x dan t.

 

2 , T (0) U d U d v v E v vf x t dx t dx _  __ _        _ _ _ _           

f. Transformasi Elzaki dari turunan kedua fungsi variabel terikat Uterhadap variabel bebas t

 

2 ' 2 2 0 ( ) , 0 U T v E v f vf t v _           

g. Transformasi Elzaki dari turunan kedua fungsi variabel terikat Uterhadap variabel bebas x

 

2 2 2 , 2 d U E v x dx T v _         

2. Metode transformasi Elzaki dapat menyelesaikan PDPL orde satu dan orde dua dengan koefisien konstan yang melibatkan nilai awal atau nilai awal dan syarat batas.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Kılıçman A. H., Eltayeb. A Note On Integral Transforms and Partial Diﬀerential Equations.

Applied Mathematical Sciences. 2010; 4(3): 109-118.

[2] Elzaki T. M., Salih T. M., Elsayed E. A. On some Applications of New Integral Transform “Elzaki Transform”. Global Journal of Mathematical Sciences: Theory and Practical

International Research Publication House. 2011; 4(1): 15-23.

[3] Elzaki T. M. The New Integral Transform “Elzaki Transform”. Global Journal of Pure and

Applied Mathematics Research India Publications. 2011; 7(1): 57-64.

[4] Elzaki T. M., Salih T. M. On the Connections Between Laplace and Elzaki Transforms. Advances

in Theoretical and Applied Mathematics Research India Publications. 2011; 6(1) 1-10.

[5] Elzaki T. M., Salih T. M., Elsayed E. A. On the new Integral Transform “Elzaki Transform” Fundamental Properties Investigations and Applications. Global Journal of Mathematical

Sciences: Theory and Practical International Research Publication House. 2012; 4(1): 1-13.

[6] Elzaki T. M. Application of New Transform “Elzaki Transform” to Partial Differential Equations.

Global Journal of Pure and Applied Mathematics Research India Publications. 2011; 7(1):65-70.

NOVA MINARTI : FMIPA UNTAN, Pontianak, ovaminarti@gmail.com MARIATUL KIFTIAH : FMIPA UNTAN, Pontianak, kiftiahmariatul@ymail.com HELMI : FMIPA UNTAN, Pontianak, helmi132205@yahoo.co.id

 

_{ }

, T 0 U E v t v vf v   _{ } _  _   