FUNGTOR U-EKSAK DAN U-FUNGTOR
MAFTUL FAHRULROHMAN
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
FUNGTOR
U
-EKSAK DAN U-FUNGTOR
SKRIPSI
Sebagai syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Oleh
MAFTUL FAHRULROHMAN
1111094000038
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI
BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN
SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI
ATAU LEMBAGA MANAPUN
Jakarta, Juni 2015
Maftul Fahrulrohman
ABSTRAK
Maftul Fahrulrohman, Fungtor U eksak dan U fungtor. Di bawah
bimbin-ganGustina Elviyanti, M.Si dan Mahmudi, M.Si.
Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi homomor…sma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Mor…sma yang men-gaitkan kategori satu dengan kategori yang lain disebut fungtor.
Davvaz dan Parnian memperkenalkan generalisasi dari konsep barisan eksak yang disebut barisanU eksak. Kemudian Davvaz dan Shabani memperkenalkan konsep fungtorU eksak danU fungtor. FungtorU eksak adalah fungtor yang mengawetkan sifat keeksakan dari suatu barisan U eksak. U fungtor adalah fungtor dengan kondisi jika setiap homomor…sma ' : A ! B dan setiap U submodulB dengan U Im' makaT (U) ImT (').
Tulisan ini bertujuan untuk menjelaskan struktur fungtor U eksak dan
U fungtor dan membuktikan sifat-sifat dari struktur U eksak fungtor dan U
fungtor.
ABSTRACT
Maftul Fahrulrohman,U exact functor and U functor.
Category is an algebraic structure consisting of the collection of objects, homomorphism between objects, and the composition operation. The notion of U exact sequence was introducted by Davvaz and Parnian as a generalization of exact sequences. Davvaz and Shabani introducted the concepts of U exact functor andU functor. In this paper, we prove the futher results aboutU exact functor and U functor.
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk
Kedua orang tua saya tercinta
Yang aku ketahui hanyalah satu: aku tidak tahu apa-apa.
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul"FungtorU eksak danU fungtor".
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu kewajiban akhir mahasiswa untuk memperoleh gelar sarjana. Penulis mendapat banyak pelajaran selama mengkaji bahan-bahan penelitian yang tidak didapatkan dalam bangku perkuli-ahan. Pelajaran yang paling penting adalah kesabaran, kerja keras dan pantang menyerah dalam mencapai tujuan.
Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do’a dari berba-gai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Dr. Agus Salim M.Si. sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing akademik.
2. Dr. Nina Fitriyati, M.Kom. sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Suma’inna M.Si. sebagai Sekretaris Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji I.
4. Gustina El…yanti M.Si. sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing I.
5. Mahmudi M.Si sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing II.
6. Yudi Mahatma M.Si. sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai penguji II.
7. Edo Abdullah Faqih, S.Si. sebagai dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
8. Para dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi tidak mengurangi rasa hormat penulis kepada mereka.
10. Seluruh teman matematika 2011 yang telah bekerja sebagai rekan seper-juangan selama masa pekuliahan.
11. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu tanpa mengu-rangi rasa hormat, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.
Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat khususnya bagi penulis dan umumnya bagi kita semua dalam rangka menambah wawasan pengetahuan kita.
Jakarta, Juli 2015
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL i
HALAMAN PENGESAHAN ii
PERNYATAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
PERSEMBAHAN vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Rumusan Masalah . . . 2
1.3 Batasan Masalah . . . 2
1.4 Tujuan . . . 2
2 LANDASAN TEORI 3 2.1 Gelanggang dan Modul . . . 3
2.2 Modul Projektif . . . 5
2.3 Rantai Kompleks dan Barisan Eksak . . . 8
2.4 Kategori dan Fungtor . . . 9
2.5 Fungtor Eksak . . . 14
2.6 Rantai U Kompleks dan BarisanU Eksak . . . 15
2.7 Mor…sma U Kompleks dan Rantai U Homotopi . . . 17
3 Fungtor U eksak dan U fungtor 20 3.1 Fungtor U eksak . . . 20
4 KESIMPULAN DAN SARAN 34
4.1 Kesimpulan . . . 34 4.2 Saran . . . 35
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi
homomor…sma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Kategori merupakan
generalisasi dari struktur objek-objek aljabar seperti ruang vektor, grup,
gelang-gang, lapangan, dan modul. Pada struktur ruang vektor kita mengenal pemetaan
linier, pada grup kita mengenal homomor…sma grup, pada gelanggang kita
men-genal homomor…sma gelanggang, dan sebagainya, sedangkan pada kategori, suatu
pengaitan dari kategori satu dengan kategori lain dikenal dengan konsep fungtor.
Suatu rantai kompleks
Pertanyaan yang muncul adalah bagaimana jikaf0gdiganti dengan Un 1 sebuah
submodul dari Cn 1: Dalam [1]; Davvaz dan Parnian memperkenalkan
gener-alisasi dari konsep ini yang disebut barisan U eksak, yang merupakan
modi-…kasi dari notasi barisan eksak biasa dan menjawab permasalahan di atas.
Ke-mudian dalam [3] Davvaz dan Shabani memperkenalkan generalisasi dari
be-berapa topik dalam aljabar homologik. Mereka mende…nisikan konsep rantai
U kompleks, U homologi, rantai (U; U0) pemetaan; rantai (U; U0) homotopi
dan U fungtor.
Dari itu, penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan struktur fungtorU eksak
dan U fungtor yang telah diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani pada [3] dan
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka permasalahan yang akan dikaji
dalam penulisan ini adalah:
1. Bagaimana struktur dan sifat dari fungtor U eksak?
2. Bagaimana struktur dan sifat dari U fungtor?
1.3 Batasan Masalah
Pembahasan pada penulisan ini menggunakan kategori R Mod.
1.4 Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan struktur fungtor U eksak dan
U fungtor yang telah diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani pada[3]dan
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Gelanggang dan Modul
De…nisi 2.1 Gelanggang adalah himpunan tak kosong R dengan dua operasi,
disebut penjumlahan dan perkalian, sehingga memenuhi
1. (R;+) grup abel
2. (R; :) monoid
3. (R;+; :) distributif, yaitu a(b +c) = ab +ac dan(a +b)c=ac+bc untuk
setiapa; b; c2R
Jika(R ; :)grup maka Rdisebut gelanggang pembagian dan jika (R; :)grup abel
makaR disebut gelanggang komutatif.
Contoh 2.2 Himpunan bilangan bulat Z adalah gelanggang komutatif.
De…nisi 2.3 Misalkan R suatu gelanggang. Sebuah R-modul kanan adalah
him-punan tak kosong M, dengan dua operasi. Operasi pertama disebut penjumlahan
(+) yang mengaitkan (M1; M2) 2 M1 M2 ke M1 +M2 2 M. Operasi kedua
disebut perkalian skalar yang mengaitkan (M; r)2M r ke M r2M: Memeuhi.
1. (M;+) grup abel
2. Untuk setiap M1; M2 2M dan r; s2R berlaku
(a) M1r 2M
(b) M1(rs) = (M1r)s
(c) M1(r+s) =M1r+M1s
(d) (M1+M2)r=M1r+M2r
Dan M dikatakan R modul kiri jika perkalian skalar dilakukan di sebelah kiri.
JikaM merupakan modul kiri sekaligus modul kanan makaM disebutR modul.
Submodul dari M.adalah subhimpunan tak kosong S dengan S M yang
ter-tutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar diM:
Contoh 2.4 1. Himpunan bilangan real R membentuk modul atas dirinya
sendiri dan atas himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian skalar.
2. Himpunan bilangan bulatZmembentuk modul atas dirinya sendiri terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
3. Himpunan bilangan bulat Zn membentuk modul atas Z terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian skalar.
4. Himpunan bilangan bulat Z adalah submodul dari R:
De…nisi 2.5 Misalkan X; Y masing-masing adalah R modul, pemetaan
f :X !Y dikatakan homomor…smaR modul, ditulisR homomor…sma, jika:
1. f(a+b) = f(a) +f(b);8a; b2X
2. f(ka) =kf(a);8a 2X dan k 2R.
Lema 2.6 Misalkan X; Y masing-masing adalah R modul, pemetaan
f :X !Y dikatakan homomor…sma R modul, ditulis R homomor…sma, jika
dan hanya jika
f(ra+sb) = rf(a) +sf(b);8a; b2X dan r; s2R
Contoh 2.7 Diketahui Z modul atas dirinya sendiri. Pemetaan nol ; : Z ! Z
yang dide…nisikan dengan ;(x) = 0, untuk setiap x 2 Z, merupakan
homomor-…sma modul.
;(kx+ly) = 0 = 0 + 0 =k0 +l0
= k;(x) +l;(y)
maka;(kx+ly) = k;(x) +l;(y).
De…nisi 2.8 MisalkanM modul atasR dan S submodul dari M. Modul kuosien
dari M oleh S adalah M=S dimana
M=S =v+S =fv+sjs2Sg
dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar berikut :
(u+S) + (v+S) = (u+v) +S dan r(u+S) = (ru) +S
untuk setiap u+S; v+S 2M=S dan r2R.
Contoh 2.9 Diketahui R modul atas dirinya sendiri dan Z submodul dari R
DiketahuiR Z=fa+Zja2Rg.De…nisikan operasi penjumlahan dan perkalian
skalar pada R Z
(a+Z) + (b+Z) = (a+b) +Z
r(a+Z) = (ra) +Z
untuk setiap(a+Z);(b+Z)2R Zdanr2R. MakaR Zadalah modul kuosien dari R oleh Z.
2.2 Modul Projektif
Teori yang dijelaskan pada bagian ini mengacu pada [4] dan [5].
De…nisi 2.10 Sebuah pengangkatan dari pemetaanh:C !A00adalah pemetaan
g :C !A dengan pg =h
C
g . # h
makag adalah pengangkatan dari h, ditulis h=p (g),
dimana p : HomR(C; A) !HomR(C; A00):
Berikut ini adalah de…nisi dari modul projektif.
De…nisi 2.11 Misalkan P adalah R mod, P dikatakan projektif jika apabila
diberikan psurjektif dan h suatu pemetaan, maka terdapat pengangkatang, yaitu
terdapat pemetaan g sehingga diagram berikut komutatif
P
g . #h
A p! A00 ! 0
Contoh 2.12 Misalkan Z; Zm =
n
0;1; :::; m 1o; Zn = 0;1; :::; n 1 2
Obj(Z Mod) dengan mjn. Misalkan
p : Zn !Zm
x 7 ! xmodm
1. Jika h : Z ! Zm dengan h(y) = y modm maka g : Z ! Zn dengan
g(z) =z modn adalah pengangkatan dari h.
2. Jika h: Z ! Zm dengan h(y) =ky modm untuk k 2 Z maka g :Z !
Zn dengan g(z) = kz modn adalah pengangkatan dari h.
3. Jika h : Z ! Zm dengan h(y) = (k+y) modm untuk k 2 Z maka
g :Z !Zn dengan g(z) = (k+z) modn adalah pengangkatan dari h.
Bukti.
1. Perhatikan
karena mjn maka
p 0;1; :::; n 1 = 0;1; :::; n 1 modm
= n0;1; :::; m 1o
= Zmodm
= h(Z)
Makag adalah pengangkatan dari h.
2. Perhatikan
pg(Z) = p(kZmodn) = p((kmodn:Zmodn) modn) = p kmodn: 0;1; :::; n 1
karena mjn maka
p kmodn: 0;1; :::; n 1 = kmodn: 0;1; :::; n 1 modm
= (kmodn) modm:n0;1; :::; m 1o
= n0; k; k2; :::; k(m 1)o
= kZmodm =h(Z)
Makag adalah pengangkatan dari h:
3. Perhatikan
karena mjn maka
p kmodn+ 0;1; :::; n 1 = kmodn+ 0;1; :::; n 1 modm
= (kmodn) modm+n0;1; :::; m 1o
= nk; k+ 1; k+ 2; :::; k+ (m 1)o
= (k+Z) modm=h(Z)
Makag adalah pengangkatan dari h.
2.3 Rantai Kompleks dan Barisan Eksak
Teori-teori berikut mengacu pada [5]. Berikut ini de…nisi dari rantai
kom-pleks.
De…nisi 2.13 Rantai kompleksC dariR modul adalah koleksiC = (Cn; dn)n2Z
dimana Cn dan dn masing-masing adalahR modul dan R homomor…sma
(Cn; dn) : !Cn+1 ! dn+1
Cn ! dn
Cn 1 ! dn 1
Cn 2 !
sedemikian sehingga dndn+1 = 0: Pemetaan dn disebut di¤erensial dari C. Lebih
jauh jika Im (dn+1) = ker (dn) n2Z maka C disebut barisan eksak.
Berikut ini adalah de…nisi dari barisan eksak pendek.
De…nisi 2.14 MisalkanA; B;danC adalah modul. Barisan homomor…sma modul
0!A!f B !g C !0
adalah barisan eksak pendek jikaf adalah injektif,g adalah surjektif danIm(g) =
ker(h).
JikaB !g C !0adalah eksak maka g adalah surjektif dan jika0!A!f B
2.4 Kategori dan Fungtor
Teori-teori mengenai kategori dan fungtor berikut mengacu pada [6].
De…nisi 2.15 Suatu kategori C terdiri dari:
1. Kelas objek ObC yang elemennya disebut objek dari C
2. Koleksi himpunan Hom (X; Y); satu untuk setiap pasangan terurut
objek-objek dari X; Y 2 C. Unsur di Hom (X; Y) disebut mor…sma (dari C) dari
X ke Y
3. Koleksi pemetaan
: Hom (X; Y) Hom (Y; Z) ! Hom (X; Z)
(f; g) 7! gf
untuk setiap triple terurut X; Y; Z 2 C.
Ketiga data di atas harus memenuhi
1. Setiap mor…sma f secara tunggal menentukan X; Y 2 C sedemikian
se-hingga f 2Hom (X; Y).
Dengan perkataan lain jika(X; Y)6= (X0; Y0)makaHom (X; Y)\Hom (X0; Y0)
=;
2. Untuk setiap X 2 C terdapat mor…sma
1X 2Hom (X; X)
dinamakan identitas padaX, sedemikian sehingga jikaf 2Hom (X; Y)dan
g 2Hom (W; X) maka
3. Komposisi mor…sma bersifat asosiatif, yaitu jika f 2 Hom (X; Y); g 2
Hom (Y; Z) dan h2Hom (Z; W) maka
h(gf) = (hg)f
Dalam [6] dijelaskan bahwa kita juga dapat menulisX 2 Cuntuk menyatakan
X 2ObC, danHomC(X; Y) atau C(X; Y)untuk menyatakan Hom (X; Y):
Mor-…smaf 2Hom (X; Y)juga dapat ditulisf :X !Y atauX !f Y:Pada mor…sma
tersebut, objekX dan Y masing-masing disebut sumber dan target dari f:
Him-punan[X;Y2CHom (X; Y)dinotasikan dengan M or(C):
Jika X suatu objek di C maka 1X tunggal. Dengan demikian terdapat
ko-respondensi satu-satu antara kelas objek dari C dan kelas mor…sma identitas,
oleh karena itu dalam mende…nisikan sifat-sifat pada kategori cukup dilihat
mor-…sma dan komposisi (bukan objek). Pernyataan paling sederhana dalam kategori
adalah suatu komposisi mor…sma sama dengan suatu komposisi lainnya,
mis-alkangf =g0f0:Dalam hal ini kita katakan juga diagram berikut komutatif jika
gf =g0f0:
X !f Y
#f0 #g
X0 !g0 Y0
Contoh 2.16
1. Sets. Objeknya berupa himpunan, mor…smanya berupa pemetaan, dan
kom-posisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
2. Groups. Objeknya berupa grup, mor…smanya berupa homomor…sma grup,
dan komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
3. Ab. Objeknya berupa grup abel, mor…smanya berupa homomor…sma grup,
dan komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa.
4. R Mod. Objeknya berupa R modul, mor…smanya berupa homomor…sma
Pemetaan yang mengawetkan operasi pada kategori disebut fungtor.
De…nisi 2.17 Sebuah fungtor dari kategori C ke kategori D, dinotasikan dengan
F :C ! D, terdiri dari:
1. Pemetaan ObC ! ObD :X!F (X)
2. Pemetaan M orC ! M orD :f !F (f) sedemikian sehingga untuk setiap
f 2 HomC(X; Y) kita punya F(f)2HomD(F (X); F (Y))
Kedua data di atas harus memenuhi kondisi berikut : F(f g) =F (f)F (g);untuk
setiapf; g 2M orC dimana f g terde…nisi. Lebih khusus, F (1X) = 1F(X):
De…nisi 2.18 Misalkan C kategori.
1. Mor…sma f : X ! Y di C dikatakan isomor…sma jika terdapat mor…sma
g :Y !X sehingga gf = 1X dan f g = 1Y:
2. Objek X dan Y dikatakan isomor…k jika terdapat isomor…sma diantara
ke-duanya.
Dengan analogi serupa kita juga dapat mende…nisikan isomor…sma kategori.
Isomor…sma antara ategori C dan Ddiberikan oleh fungtor F : C ! D dan
G : D ! C sedemikian sehingga F G = 1D dan GF = 1C: Namun syarat ini
terlalu kuat dan tidak realistis, oleh karena itu dide…nisikan istilah ekivalensi dua
kategori.
Lebih lanjut de…nisi dari fungtor kontravarian dan fungtor kovarian yang
beerdasarkan pada [5] adalah sebagai berikut.
De…nisi 2.19 Sebuah kontravarian fungtor T : C ! D, dimana C dan D
kate-gori, adalah pemetaan yang memenuhi:
1. Jika C2ObC maka T (C)2ObC
3. Jika C !f C0 !g C00 di C makaT (C00) T!(g) T (C0) T(!f) T(C) di D dan
T (gf) = T(f)T(g)
4. T(1A) = 1T(A) untuk setiap A2ObC
De…nisi 2.20 Sebuah kovarian fungtor T : C ! D, dimana C dan D kategori,
adalah pemetaan yang memenuhi:
1. Jika A2ObC makaT (A)2ObC
2. Jika f :A!A0 di C maka T(f) :T (A)!T (A0) di D
3. Jika A !f A0 !g A00 di C makaT (A) T!(g) T (A0) T(!f) T(A00) di D dan
T (gf) = T(g)T (f)
4. T(1A) = 1T(A) untuk setiap A2ObC
Berikut ini contoh dari fungtor kovarian yang berdasarkan pada [5].
Contoh 2.21 Misalkan C adalah kategori dan A 2 ObC, fungtor kovarian hom
TA:C !Sets, dinotasikan Hom (A; ), yaitu
TA(B) = Hom (A; B); 8B 2ObC
dan jika f :B !B0 di C maka
TA(f) : Hom (A; B) !Hom (A; B0)
yaitu
Hom (A; f) =TA(f) :h7 !f h
Misalkan f :B !B0 dan g :B0 !B" maka
Hom (A; f g) = Hom (A; f) Hom (A; g)
: Hom (A; B) !Hom (A; B")
dan bersifat assosiatif, yaitu
Hom (A; f) Hom (A; g) :h7 !f h7 !g(f h) = (gf)h
Misalkan 1B :B !B adalah pemetan identitas, maka
Hom (A;1B) :h7 !1Bh=h
8h2Hom (A; B), maka Hom (A;1B) = 1Hom(A;B)
De…nisi 2.22 Sebuah fungtor T :R Mod ! Ab dikatakan fungtor aditif jika
8R homomor…sma f; g:A !B maka
T (f +g) =T (f) +T(g)
Kemudian berikut ini adalah de…nisi kategori aditif. De…nisi berikut mengacu
pada [9].
De…nisi 2.23 Kategori A dikatakan kategori aditif jika berlaku:
A1 Untuk setiap pasang objek X; Y di A, himpunan HomA(X; Y) merupakan
grup abel dan komposisi mor…sma
HomA(X; Y) HomA(Y; Z)!HomA(X; Z)
bilinier atas Z:
A2 Amemuat objek0(yaitu untuk setiap objek diAmaka himpunanHomA(X;0)
A3 Untuk setiap pasang objek X; Y di A terdapat koproduk X Y:
Keterangan.
1. Kategori yang memenuhi kondisi (A1)dan (A2)disebut kategori pra-aditif
2. Misalkan C adalah kategori dan X; Y objek di C. Koproduk dari X dan
Y di C adalah objek X Y bersama mor…sma 1X : X ! X Y dan
1Y : Y ! X Y dan memenuhi kondisi universal berikut: untuk setiap
objek Z di C dan mor…sma fX : X ! Z dan fY : Y ! Z terdapat
tunggal homomor…smaf :X Y !Zsedemikian sehingga diagram berikut
komutatif.
Z
fX % " -fY
X !
1X
X Y 1Y
Y
Contoh 2.24 Kategori R Modadalah kategori aditif.
2.5 Fungtor Eksak
Teori yang dijelaskan pada bagian ini mengacu pada [5] dan [7].
De…nisi 2.25 Misalkan fungtor aditif F : R Mod ! Ab. F dikatakan
eksak kiri jika untuk setiap barisan eksak 0 ! A ! B ! C, maka barisan
0 !F (A) !F (B) !F (C) adalah barisan eksak.
F dikatakan eksak kanan jika untuk setiap barisan eksak A ! B ! C !
0, maka barisan F (A) ! F (B) ! F (C) ! 0 adalah barisan eksak. F
dikatakan eksak jika memenuhi keduanya.
Proposisi 2.26 HomR(D; ) adalah fungtor eksak adalah eksak kiri.
Proposisi 2.27 P adalah R mod projektif jika dan hanya jika HomR(P; )
2.6 Rantai U Kompleks dan Barisan U Eksak
Teori yang dijelaskan pada bagian ini mengacu pada [3]. Generalisasi dari
rantai kompleks adalah rantaiU kompleks. Berikut de…nisi dari rantaiU kompleks.
De…nisi 2.28 Diberikan keluarga C = (Cn; Un; dn)n2Z dimana Cn; Un adalah
Dari de…nisi di atas maka jelas bahwa rantai kompleks adalah rantai0 kompleks,
dimana 0 barisan submodul 0: Begitu juga dengan rantai (Cn; Un; dn) dengan
sifat dndn+1(Cn+1) = Un+1 juga rantai U kompleks. Jika (Cn; Un; dn) rantai
U kompleks makaIm (dn) d 1(Un 1):JikaIm (dn) =d 1(Un 1) 8n2Zmaka rantai U kompleks tersebut dikatakan barisanU eksak.
2. DiberikanZ12 =
Generalisasi dari barisan eksak pendek adalah barisan U eksak.
De…nisi 2.30 Misalkan 0 ! A f! B !g C ! 0 adalah f0g eksak di
A; U eksak di B; dan f0g eksak di C maka barisan tersebut dikatakan barisan
U eksak pendek.
Barisan 0 ! A f! B g! C ! 0 dikatakan U eksak pendek jika f
injektif, g surjektif, danImf =g 1(U).
Contoh 2.31 1. Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul
2. Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul 0 ! Zl
2.7 Mor…sma U Kompleks dan Rantai U Homotopi
Generalisasi dari mor…sma kompleks adalah mor…smaU kompleks. Berikut
adalah de…nisi dari mor…smaU kompleks.
De…nisi 2.32 Misalkan(C; U; @)adalah rantaiU kompleks dan(C0; U0; @0)adalah
rantaiU0 kompleks. Mor…smaU kompleks adalah barisanF = F
p :Cp !Cp p0 2Z
disubut juga rantai (U; U0) pemetaan.
Contoh 2.33 MisalkanZ8 = 0;1; :::;7 ,Z12=
n
0;1; :::;11o, Z8; 0;4 ;2xmod 8
adalah 0;4 kompleks dan
Z12;n0;4;8o;2xmod 12 adalah n0;4;8o kompleks. Misalkan F = (Fp)p2Z
Perhatikan
Kemudian generalisasi rantai homotopi adalah rantai (U; U0) homotopi.
De…nisi 2.34 Misalkan(C; U; @)adalah rantaiU kompleks dan(C0; U0; @0)adalah
rantai U0 kompleks. Dan misalkan F
p; Gp : Cp ! Cp0 adalah rantai (U; U0)
pemetaan. F dan G dikatakan rantai (U; U0) homotopik, dinotasikan F ' G,
jika terdapat barisan homomor…sma R modul D= (Dp)p2Z, sehingga memenuhi
De…nisikan D= (Dp)p2Z dengan Dp(x) = xmod 12 8x2Z8. Perhatikan
p+1Dp+Dp 1 p (x) = p+1Dp(x) +Dp 1 p(x)
= p+1(xmod 12) +Dp 1(2xmod 8)
= 2 (xmod 12) mod 12 + (2xmod 8) mod 12
= 2xmod 12 + 2xmod 12
= 2x+ 2x= 4x= 4xmod 12
= 5x xmod 12
= 5xmod 12 xmod 12
= Fp(x) Gp(x) = (Fp Gp) (x)
dan
Dp 0;4 = 0;4 mod 12
n
0;4;8o
BAB 3
Fungtor
U
eksak dan
U
fungtor
Pada bagian ini akan dibahas struktur dan sifat dari fungtor U eksak.
3.1 Fungtor U eksak
De…nisi 3.1 Misalkan R dan S gelanggang komutatif dan T fungtor kovarian
aditif dari R modul ke S modul. T adalah U eksak kiri jika memenuhi kondisi
berikut.
Misalkan diberikan barisanU eksak dari R modul dan R homomor…sma
0 !A '!B !C
maka barisan S modul dan S homomor…sma
0 !T (A) T(!') T(B)T(!)T (C)
adalah T (U) eksak.
Contoh 3.2 Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul 0 !
Z2 f! Z5 g! Z5 dengan f(x) = x mod 5 dan g(x) = x mod 5, berdasarkan
Contoh2:31 (1)barisan tersebut adalah 0;1 eksak. Maka barisan0 !HomR
(Z;Z2) f!HomR(Z;Z5) g
!HomR(Z;Z5) adalah HomR Z; 0;1 eksak.
Z
. # &
0 ! Z2 f
! Z5 g
! Z5
Bukti.
Berdasarkan de…nisi f, kita puya f = 0, artinya f (x) = 0 8x 2 Z:
2. Ambil sebarang 2Imf, akan ditunjukkan 2g 1Hom
R Z; 0;1 :
Karenaf monomor…sma makaf :A !Imf isomor…sma. Konstruksikan
Karena f 2 1(HomR(D; U)) maka terdapat g 2 HomR(D; U) sehingga
(f) = f = g: Maka f(x) 2 U 8x 2 D: Oleh karena itu f(x) 2
1(U):
Karena 0 ! A '! B ! C adalah U eksak maka Im' = 1(U),
maka kita punya f(x)2Im':
Karena' monomor…sma maka':A !Im' isomor…sma. Konstruksikan
pemetaan komposisi h:D !A
D f!Imf Im' '
1
!A
makah2HomR(D; A) dan f ='h='(h)sehingga f 2Im':
D
h . #f &
A '! Im' B ! C
De…nisi 3.4 Fungtor aditif kovarian T adalah U eksak kanan jika memenuhi
kondisi berikut.
Misalkan diberikan barisanU eksak dari R modul dan R homomor…sma
A '!B !C !0
maka barisan S modul dan S homomor…sma
T(A) T(!') T (B)T(!) T(C) !0
adalah T (U) eksak.
Contoh 3.5 Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul Zl
f
!
Zm g
! Zm ! 0 dengan f(x) = x modm dan g(x) = x modm, l <
Maka barisan HomR(Z;Zl)
1. Ambil sebarang 2Imf, akan ditunjukkan 2g 1 Hom
3. Ambil sebarang 2Img, akan ditunjukkan 2HomR(Z;Zm):
Karena g epimor…sma dan berdasarkan Contoh 2:12 maka terdapat h :
Z !Zm sehingga gh=g(h) = .
Proposisi 3.6 D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR(D; )
1. Akan dibuktikan Im' 1(HomR(D; U)): Ambil sebarang f 2 Im',
epimor…sma dan karena D adalah R mod proyektif maka terdapat h :
4. Akan dibuktikan HomR(D; C) Im : Ambil sebarangf 2 HomR(D; C),
Karena epimor…sma danD adalah R mod proyektif maka terdapat h:
D !B sehingga h= (h) =f.
D
. #h &f
A '! B ! C
Sehingga f 2Im .
Maka dari (1) (4) terbukti bahwa HomR(D; ) adalah U eksak kanan.
Sebaliknya, jika HomR(D; ) adalah U eksak kanan maka epimor…sma.
Oleh karena itu jika : B ! C dan 2 HomR(D; C), yaitu : D ! C,
maka terdapat 2HomR(D; B), :D !C sedemikian sehingga = atau
( ) = . Maka D adalahR modul projektif.
De…nisi 3.7 Fungtor aditif kovarianT adalahU eksak, jika untuk setiap barisan
U eksak pendek dariR modul dan R homomor…sma
0 !A '!B !C !0
maka barisan S modul dan S homomor…sma
0 !T(A) T(!') T (B)T(!)T (C) !0
adalah T (U) eksak.
Contoh 3.8 Diberikan barisan Z modul dan Z homomor…sma modul 0 !
pendek. Maka barisan 0 ! HomR(Z;Zl)
Ambil sebarang 2kerf, akan ditunjukkan = 0:
Berdasarkan de…nisi f, kita puya f = 0, artinya f (x) = 0 8x 2 Z: Karena
f monomor…sma sehingga = 0.
Jelas bahwa
Proposisi 3.9 DadalahR mod proyektif.jika dan hanya jikaHomR(D; )adalah
U eksak.
Sebaliknya, jika HomR(D; ) adalah U eksak maka epimor…sma. Oleh
karena itu jika : B ! C dan 2 HomR(D; C), yaitu : D ! C, maka
terdapat 2 HomR(D; B), : D ! C sedemikian sehingga = atau
3.2 U fungtor
Pada bagian ini akan dibahas struktur dan sifat dari U fungtor kovarian.
De…nisi 3.10 Misalkan T adalah fungtor kovarian. T dikatakan U fungtor
ko-varian jika untuk setiap homomor…sma ' : A ! B dan setiap U submodul B
dengan U Im' sehingga memenuhi kondisi
T (U) ImT (')
Contoh 3.11 Misalkan f : Zm ! Zn; f(x) = xmodn 8x2 Zm dengan njm.
Diketahui 0;1 Imf. maka HomR Z; 0;1 Imf :
Bukti. Ambil sebarang 2HomR Z; 0;1 , akan dibuktikan 2Imf.
Karena 2 HomR Z; 0;1 = f :Z ! 0;1 f homomor…smag maka Im 0;1 dan Im 0;1 Imf sehingga kita punya diagram
Z
. #
Zm f
! Imf Zn
Berdasarkan Contoh 2:12, maka terdapat 2 HomR(Z;Zm) sehingga f =
atau f( ) = . Oleh karena itu 2Imf.
Proposisi 3.12 D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR(D; )
adalah U fungtor kovarian.
Bukti. Misalkan homomor…sma ' : A ! B dan U submodul dari B dengan
U Im' ='(A).
Karena 2 HomR(D; U) = ff :D !U j f homomor…smag maka Im U
dan Im U Im' sehingga kita punya diagram
D
. #
A '! Im' B
KarenaD adalahR modul projektif maka terdapat 2HomR(D; A) sehingga
' = atau '( ) = . Oleh karena itu 2 Im'. Maka HomR(D; ) adalah
U fungtor kovarian.
Misalkan HomR(D; ) adalah U fungtor kovarian. Misalkan ' : A !
Im' B epimor…sma. Karena HomR(D; ) adalah U fungtor kovarian maka
' : HomR(D; A) ! Im' HomR(D; B) epimor…sma. Sehingga jika 2
Im' HomR(D; B), yaitu :D !Im' B maka terdapat 2HomR(D; A)
sehingga' = atau '( ) = . Akibatnya D adalah R modul projektif.
Contoh 3.13 Diketahui Z8; 0;4 ; f ; dengan f(x) = 2xmod 8 8x 2 Z8,
adalah rantai 0;4 kompleks. Maka HomR(Z;Z8);HomR Z; 0;4 ;HomR(Z; f)
adalah rantai HomR Z; 0;4 kompleks.
Bukti. Karena Z8; 0;4 ; @ adalah rantai 0;4 kompleks maka(f f) (Z8)
0;4 dan kita punya homomor…sma (f f) :Z8 ! 0;4 , sehingga
HomR(Z; f f) : HomR(Z;Z8) !HomR Z; 0;4
atau
HomR(Z; f) HomR(Z; f) : HomR(Z;Z8) !HomR Z; 0;4
sehingga(HomR(Z; f) HomR(Z; f)) (HomR(Z;Z8)) HomR Z; 0;4 :
Karena Z8; 0;4 ; @ adalah rantai 0;4 kompleks maka 0;4 Imf. Karenaf :Z8 !Z8; f(x) = 2xmod 8 8x2Z8 maka kita peroleh
Proposisi 3.14 Misalkan T adalah U fungtor kovarian dan (C; U; @) adalah
rantai U kompleks, maka barisan
(T (C); T (U); T (@)) : ::: !T (Cp+1)
T(@p+1)
! T(Cp) T(@p)
! T (Cp 1) !:::
adalah rantai T (U) kompleks.
Bukti.
1. Akan dibuktikan T (@p)T (@p+1)T (Cp+1) T (Up 1):
Karena(C; U; @)adalah rantai U kompleks maka
@p@p+1(Cp+1) Up 1 dan kita punya homomor…sma @p@p+1 : Cp+1 !
Up 1, sehingga T (@p@p+1) : T (Cp+1) ! T(Up 1). Karena T kovarian
makaT (@p@p+1) =T (@p)T (@p+1) :T(Cp+1) !T (Up 1)sehingga
T(@p)T (@p+1)T (Cp+1) T(Up 1).
2. Akan dibuktikan T (Up 1) ImT (@p):
Karena(C; U; @)adalah rantaiU kompleks makaUp 1 Im@p. Karena
T adalah U fungtor kovarian dan @p : Cp ! Cp 1 maka kita peroleh
T(Up 1) T (@p) (T (Cp)) atau T(Up 1) ImT (@p).
Contoh 3.15 Lihat Contoh2:33, kita punyaF adalah rantai (f0;4g;f0;4;8g)
pemetaan, makaHomR(Z; F)adalah rantai(HomR(Z;f0;4g);HomR(Z;f0;4;8g))
pemetaan.
Bukti. KarenaFp 1 p = pFp. makaHomR(Z; Fp 1) HomR(Z; p) = HomR Z; p
HomR(Z; Fp).
Karena Fp(f0;4g) f0;4;8g maka kita punya Fpjf0;4g : f0;4g ! f0;4g
se-hinggaHomR(Z; F) (HomR(Z;f0;4g)) HomR(Z;f0;4;8g):
Proposisi 3.16 Misalkan (C; U; @) adalah rantai U kompleks dan (C0; U0; @0)
adalah rantai U0 kompleks. Dan misalkan F = fF
Maka HomR(Z; F)'HomR(Z; G).
Proposisi 3.18 Misalkan T adalah kovarian aditif U fungtor. Jika
F; G : C ! C0 adalah rantai (U; U0) homotopik maka T F; T G : T (C) !
T(C0) adalah rantai (T(U); T(U0)) homotopik.
Bukti. KarenaT adalahU fungtor maka berdasarkan Proposisi 3:16
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Fungtor U eksak adalah fungtor yang mengawetkan sifat keeksakan dari
suatu barisanU eksak. Beberapa sifat dari fungtor U eksak adalah
1. HomR(D; ) adalah U eksak kiri.
2. D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR(D; ) adalah
U eksak kanan.
3. D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR(D; ) adalah
U eksak.
SuatuU fungtor kovarian adalah fungtor yang untuk setiap homomor…sma
':A !B dan setiap U submodulB dengan U Im', memenuhi kondisi
T (U) ImT (')
Beberapa sifat U fungtor adalah
1. D adalah R modul projektif jika dan hanya jika HomR(D; ) adalah
U fungtor.
2. Barisan ::: ! T (Cp+1)
T(@p+1)
! T (Cp) T(@p)
! T (Cp 1) ! :::adalah rantai
T(U) kompleks jika T adalah U fungtor.
3. JikaT adalahU fungtor makaF =fFpgadalah rantai(U; U0) pemetaan.
4.2 Saran
Untuk penulisan selanjutnya diharapkan megkaji lebih dalam topik-topik
DAFTAR PUSTAKA
[1] B.Davvaz dan Y.A Parnian - Gramaleky, A Note on Exact Sequence, Bull.
Malaysian Math. Soc. (2) 22 (1999); 53-56
[2] S.M. Anvariyeh dan B.Davvaz, U-Split Exact Sequence, Far East J. Math.
Sci. (FJMS) 4 (2002), 2, 209-219
[3] B.Davvaz dan H.Shabani-Solt, A generalization of Homological Algebra,
J.Korean Math. Soc, 39 (2002), 6, 881-898
[4] Muchtadi, Intan.Aljabar dan Modul. 2012.
[5] Rotman, Joseph J.An Introduction to Homological Algebra. London: Springer
Verlag.1992.
[6] Gelfand, S.I. dan Y.U.I. Manin,Methods of Homological Algebra, 2nd Editio,
Heidelberg: Springer-Verlag, 1997
[7] Weibel, C.A. An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University
Press, United Kingdom, 1994.
[8] Gustina El…yanti. Generalisasi Kategori Kompleks. Laporan penulisan. UIN
Syarif Hidayatullah Jakarta. Pusat penulisan dan Penerbitan, 2013.
[9] Holm, T. P.J /orgensen dan R.Rouquier, Trianglated Categories, London
