Ringkasan matematika sma ipa Vektor

VEKTOR

A Definisi Vektor :

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik ujung Q.

Q

a

P B. Beberapa pengertian vektor :

1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu. Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z

berturut-turut adalah :

i =

3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang sama.

C. Operasi Vektor

1. Penjumlahan dan pengurangan vektor 2. Perkalian skalar dengan vektor

3. Besar atau panjang vektor

a. |a| = 32 4. Perbandingan

D. Perkalian Skalar dua Vektor

. a. b = |a| |b| cosα a

α

b

α menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b

Jika a =   

 

  

 

3 2 1 a a a

dan b =   

 

  

 

3 2 1 b b b

maka

a. b = a₁b₁+a₂b₂ +a₃b₃ E. Besar sudut antara dua Vektor

cos

α

=

| | . | |

. b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

. b b b

a a a

b a b a b a

+ + +

+

+ +

; 0≤

α

≤ 0

180

F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vector lain

1. Proyeksi skalar ortogonal

A a

θ b

0 c C B

|OC| = |c| = | |

. b b a

Proyeksi skalar ortogonal a pada b

Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

2. Proyeksi vektor ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

|c| = _      

2 | |

. b b a

. b

Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi G. Rumus-rumus tambahan :

1. |a+ b| = 2(a2 +b2)−|a−b|2 bukti :

|a+b|2=a2 +b2 +2|a||b|cosα

⇔ |a+b|= a2+b2+2|a||b|cosα ….(1)

|a−b|2=a2+b2 −2|a||b|cosα ⇔ 2|a||b|cosα = 2 + 2 −

b

a |a−b|2 …(2)

Substitusi (2) ke (1)

|a+b|= a2 +b2 +a2 +b2−|a−b|2 = 2(a2 +b2)−|a−b|2

2. |a- b| = 2(a2 +b2)−|a+b|2 bukti :

|a−b|2=a2 +b2 −2|a||b|cosα

⇔ |a−b|= a2 +b2 −2|a||b|cosα ….(1)

|a+b|2=a2 +b2 +2|a||b|cosα

⇔ −2|a||b|cosα = a2 +b2 − |a+b|2 …(2) Substitusi (2) ke (1)

|a−b|= a2 +b2 +a2 +b2−|a+b|2 = 2(a2 +b2)−|a+b|2

Contoh Soal

Soal-soal UN2010 – UN2012

UN2010

1. Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika

sudut antara ABdan AC adalah

α

maka cos

α

=

….

A. 2 2 1

C. 0 E. - 2 2 1

B. 2 1

D. -2 1

Jawab:

cos α =

| | . | |

. AC AB

AC AB

AB = B – A = (–1,1,0)

AC = C – A = (1, –2,2)

cos α =

2 2 2

2

2 ) 2 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 1 (

0 ) 2 . 1 ( ) 1 . 1 (

+ − + +

+ −

+ − + −

= 3 . 2

3

−

= -2 1

= -2 1

2 2

= -2 1

2

Jawabannya adalah E UN2010

2. Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika

AB wakil vektor u dan AC wakil v maka proyeksi

vector u pada v adalah ….

A. 4 1

(i+ j+k) C. 4(j+k) E. 8(i+ j+k)

B. -i+k D. 4(i+j+k)

Jawab:

Proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah :

|c| = _      

2 | |

. v

v u

. v

AB = u = B – A = (2-3, 1-2 ,0 – (-1)) = (-1, -1, 1)

AC = v = C – A = (-1-3, 2-2 , 3 – (-1)) = ( - 4, 0, 4)

|c| =

_















2

|

|

.

v

v

u

. v

= _

  

  

+ + + − −

2 ) 16 16 (

) 4 . 1 ( 0 ) 4 . 1 (

( - 4i+4k)

=       +

32 4 4

( - 4i-2k) = 4 1

( - 4i+4k)

= 4 1

.4 (- i+k) = - i+k

Jawabannya adalah B

UN2011

3. Diketahui titik A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4). Besar sudut ABC adalah....

A. π B. C. D. E. 0

Jawab:

Vektor dan Trigonometri

A

B β

C

A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4)

= - =

2 −1 −1 -

5 1 3 =

| | = (−3) + (−2) + (−4) = √9 + 4 + 16 = √29

= - = 42

−4 - 5 1 3

= −11

−7

| | = (−1) + 1 + (−7) = √1 + 1 + 49 = √51

= - =

4 2 −4 -

2 −1 −1 =

2 3 −3

| | = 2 + 3 + (−3) = √4 + 9 + 9 = √22

aturan cosinus:

Cos

β

=

! " – "_{. . "}

=

% ! –&' .√ % √&'

= 0

β

= 90

0

=

Jawabannya adalah B

UN2011

4. Diketahui vektor = 4 ( − 2 ) + 2 * dan vektor = 2

( − 6 ) + 4 * . Proyeksi vektor pada vektor adalah....

A. ( − ) + * D. 2 ( − ) + * B. ( − 3 ) + 2 * E. 6 ( − 8 ) +6 * C. ( − 4 ) +4 *

Jawab:

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

|c| = _      

2 | |

. b b a

. b

= (,. !(- )(- )! .,)

( !(- ) !, )

(

2 ( − 6 ) + 4 * )

= (.!' !.)

(√,! !' )

(

2 ( − 6 ) + 4 * )

= _&.

(

2 ( − 6 ) + 4 * ) = '

(

2 ( − 6 ) + 4 * )

= ( − 3 ) + 2 *

Jawabannya adalah B

UN2012

5. Diketahui vektor = /

0 2

−11 ; = 4 −3

6 ; = 2 −1

3 . Jika

tegak lurus , maka hasil dari ( - 2 ) . (3 ) adalah....

A. 171 B. 63 C. -63 D. -111 E. -171

Jawab: BAB XX Vektor

tegak lurus maka . = 0

/ 02 −11 .

4 −3

6 = 0 p. 4 + 2.(-3) + (-1).6 = 0

4p – 6 – 6 = 0 4p = 12 p = 3

( - 2 ) . (3 ) = 2 32

−1 – 2 4 −3

6 3 . 23 2 −1

3 3

= 2

3 2 −1 –

8 −6 12 3 .

6 −3

9

= −58

−13 . 6 −3

9 = -30 + (-24) + (-117)

= -30 – 24 – 117 = -171

Jawabannya E

UN2012

6. Diketahui vektor =

2 −3

3 dan = 3 −2

−4 . Sudut antara

vektor dan adalah...

A. 1350 B. 1200 C. 900 D. 600 E. 450

Jawab:

a. b = |a| |b| cos

α

cosα =

| | . | |

. b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

. b b b

a a a

b a b a b a

+ + +

+

=