• Tidak ada hasil yang ditemukan

Ringkasan matematika sma ipa Vektor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Ringkasan matematika sma ipa Vektor"

Copied!
5
0
0

Teks penuh

(1)

VEKTOR

A Definisi Vektor :

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik ujung Q.

Q

a

P B. Beberapa pengertian vektor :

1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu. Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z

berturut-turut adalah :

i =

3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang sama.

C. Operasi Vektor

1. Penjumlahan dan pengurangan vektor 2. Perkalian skalar dengan vektor

3. Besar atau panjang vektor

a. |a| = 32 4. Perbandingan

(2)

D. Perkalian Skalar dua Vektor

. a. b = |a| |b| cosα a

α

b

α menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b

Jika a =   

 

  

 

3 2 1 a a a

dan b =   

 

  

 

3 2 1 b b b

maka

a. b = a1b1+a2b2 +a3b3 E. Besar sudut antara dua Vektor

cos

α

=

| | . | |

. b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

. b b b

a a a

b a b a b a

+ + +

+

+ +

; 0≤

α

≤ 0

180

F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vector lain

1. Proyeksi skalar ortogonal

A a

θ b

0 c C B

|OC| = |c| = | |

. b b a

Proyeksi skalar ortogonal a pada b

Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

2. Proyeksi vektor ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

|c| =       

2 | |

. b b a

. b

Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi G. Rumus-rumus tambahan :

1. |a+ b| = 2(a2 +b2)−|ab|2 bukti :

|a+b|2=a2 +b2 +2|a||b|cosα

⇔ |a+b|= a2+b2+2|a||b|cosα ….(1)

|ab|2=a2+b2 −2|a||b|cosα ⇔ 2|a||b|cosα = 2 + 2 −

b

a |ab|2 …(2)

Substitusi (2) ke (1)

|a+b|= a2 +b2 +a2 +b2−|ab|2 = 2(a2 +b2)−|ab|2

2. |a- b| = 2(a2 +b2)−|a+b|2 bukti :

|ab|2=a2 +b2 −2|a||b|cosα

⇔ |ab|= a2 +b2 −2|a||b|cosα ….(1)

|a+b|2=a2 +b2 +2|a||b|cosα

⇔ −2|a||b|cosα = a2 +b2 − |a+b|2 …(2) Substitusi (2) ke (1)

|ab|= a2 +b2 +a2 +b2−|a+b|2 = 2(a2 +b2)−|a+b|2

(3)

Contoh Soal

Soal-soal UN2010 – UN2012

UN2010

1. Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika

sudut antara ABdan AC adalah

α

maka cos

α

=

….

A. 2 2 1

C. 0 E. - 2 2 1

B. 2 1

D. -2 1

Jawab:

cos α =

| | . | |

. AC AB

AC AB

AB = B – A = (–1,1,0)

AC = C – A = (1, –2,2)

cos α =

2 2 2

2

2 ) 2 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 1 (

0 ) 2 . 1 ( ) 1 . 1 (

+ − + +

+ −

+ − + −

= 3 . 2

3

= -2 1

= -2 1

2 2

= -2 1

2

Jawabannya adalah E UN2010

2. Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika

AB wakil vektor u dan AC wakil v maka proyeksi

vector u pada v adalah ….

A. 4 1

(i+ j+k) C. 4(j+k) E. 8(i+ j+k)

B. -i+k D. 4(i+j+k)

Jawab:

Proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah :

|c| =       

2 | |

. v

v u

. v

AB = u = B – A = (2-3, 1-2 ,0 – (-1)) = (-1, -1, 1)

AC = v = C – A = (-1-3, 2-2 , 3 – (-1)) = ( - 4, 0, 4)

|c| =

2

|

|

.

v

v

u

. v

=

  

  

+ + + − −

2 ) 16 16 (

) 4 . 1 ( 0 ) 4 . 1 (

( - 4i+4k)

=       +

32 4 4

( - 4i-2k) = 4 1

( - 4i+4k)

= 4 1

.4 (- i+k) = - i+k

Jawabannya adalah B

UN2011

3. Diketahui titik A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4). Besar sudut ABC adalah....

A. π B. C. D. E. 0

Jawab:

Vektor dan Trigonometri

A

B β

C

A (5, 1, 3), B (2, -1, -1) dan C (4, 2, -4)

= - =

2 −1 −1 -

5 1 3 =

(4)

| | = (−3) + (−2) + (−4) = √9 + 4 + 16 = √29

= - = 42

−4 - 5 1 3

= −11

−7

| | = (−1) + 1 + (−7) = √1 + 1 + 49 = √51

= - =

4 2 −4 -

2 −1 −1 =

2 3 −3

| | = 2 + 3 + (−3) = √4 + 9 + 9 = √22

aturan cosinus:

Cos

β

=

! " – ". . "

=

% ! –&' .√ % √&'

= 0

β

= 90

0

=

Jawabannya adalah B

UN2011

4. Diketahui vektor = 4 ( − 2 ) + 2 * dan vektor = 2

( − 6 ) + 4 * . Proyeksi vektor pada vektor adalah....

A. ( − ) + * D. 2 ( − ) + * B. ( − 3 ) + 2 * E. 6 ( − 8 ) +6 * C. ( − 4 ) +4 *

Jawab:

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

|c| =       

2 | |

. b b a

. b

= (,. !(- )(- )! .,)

( !(- ) !, )

(

2 ( − 6 ) + 4 * )

= (.!' !.)

(√,! !' )

(

2 ( − 6 ) + 4 * )

= &.

(

2 ( − 6 ) + 4 * ) = '

(

2 ( − 6 ) + 4 * )

= ( − 3 ) + 2 *

Jawabannya adalah B

UN2012

5. Diketahui vektor = /

0 2

−11 ; = 4 −3

6 ; = 2 −1

3 . Jika

tegak lurus , maka hasil dari ( - 2 ) . (3 ) adalah....

A. 171 B. 63 C. -63 D. -111 E. -171

Jawab: BAB XX Vektor

tegak lurus maka . = 0

/ 02 −11 .

4 −3

6 = 0 p. 4 + 2.(-3) + (-1).6 = 0

4p – 6 – 6 = 0 4p = 12 p = 3

( - 2 ) . (3 ) = 2 32

−1 – 2 4 −3

6 3 . 23 2 −1

3 3

= 2

3 2 −1 –

8 −6 12 3 .

6 −3

9

= −58

−13 . 6 −3

9 = -30 + (-24) + (-117)

= -30 – 24 – 117 = -171

Jawabannya E

UN2012

6. Diketahui vektor =

2 −3

3 dan = 3 −2

−4 . Sudut antara

vektor dan adalah...

A. 1350 B. 1200 C. 900 D. 600 E. 450

Jawab:

a. b = |a| |b| cos

α

cosα =

| | . | |

. b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

. b b b

a a a

b a b a b a

+ + +

+

(5)

=

Referensi

Dokumen terkait

Dari hasil data tabel 2, didapatkan hasil untuk ruang pendaftaran yaitu rata-rata skor adalah 2,77, ini berarti responden menilai cukup untuk ruang pendaftaran.. Berdasarkan pada

Sejak pemberlakuan otonomi daerah melalui Undang-Undang Nomor 32 Tahun 2004 tentang Pemerintahan Daerah, Pasal 18 pemerintah daerah diberikan kewenangan untuk

Penelitian ini juga tidak membedakan tingkat stres berdasarkan lamanya masa kerja para subjek akuntan sehingga tidak dapat dibedakan antara kondisi stres kerja pada akuntan yang

Teknik yang digunakan untuk menghasilkan garisan dalam corak berikut ialah secaraA. Ulangan garisan tebal menimbulkan

Antaranya ialah kima,putu,dan Tompe atau tinompeh.Makanan tradisional kima adalah nama sejenis kerang laut dan terdapat dalam beberapa spesies,antaranya lapiran,kima

a) Kepala LSPro membentuk tim untuk mempelajari dan menginvestigasi banding yang disampaikan oleh klien atau pihak-pihak lainnya. b) Kepala LSPro memberi otorisasi kepada

Penerapan ABB untuk prediktor Cumulonimbus dan thunderstorm pada tahun 2016 menunjukkan indeks <37.76 memiliki jumlah kejadian Cumulonimbus dan thunderstorm yang lebih sedikit

Pembangunan Masjid Al-Jabbar Tahap 1 berupa bangunan (Th 2013); dan Tahap 2 terdiri dari taman dan menara (Th 2014) dengan sumber dana dan pelaksana dari Pemprov Jabar..