KEKONSISTENAN HAMILTONIAN PADA GERAK
GELOMBANG INTERFACIAL
IHSANUDIN
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang Interfacial adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, September 2008
Ihsanudin
ABSTRACT
IHSANUDIN. Hamiltonian Consistency of Interfacial Wave Motion. Under supervision of JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
The interfacial wave is an internal wave that occurs at boundary of two layers fluid. It appears because there is difference of mass density between the two layers. The objective of this thesis is to formulate the motion of internal wave with flat base and flat as well as free upper bound surface. The motion equation obtained is a Hamiltonian system. The Hamiltonian in this system is expressed by variable of wave deviation and horizontal component of potential velocity. Under assumption that interfacial wave moves only in one direction, it can be shown that the Hamiltonian depends on the solution of the wave motion equation. The coefficients of the equation depend on the physical characteristics of the two layers of fluid, i.e. thickness and mass density. The numerical results show that Hamiltonian in the system is constant. It is consistent with Hamiltonian characteristic, which does not depend on time.
RINGKASAN
IHSANUDIN. Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang Interfacial. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan fluida, karena adanya perbedaan rapat massa pada setiap lapisan fluida. Perbedaan rapat massa air laut dapat disebabkan oleh perbedaan kadar garam dan temperatur pada setiap lapisan air laut. Perbedaan rapat massa dapat menimbulkan aliran partikel-partikel fluida. Aliran dari partikel-partikel fluida membentuk suatu gelombang yang disebut gelombang internal. Pada fluida dua lapisan, gelombang internal terjadi pada batas kedua lapisan fluida (interface). Gelombang internal ini disebut gelombang interfacial. Beberapa peneliti pernah mengamati adanya gelombang internal yang memiliki amplitudo 100 meter pada kedalaman kurang dari 1000 meter dengan panjang gelombang 1 kilometer sampai dengan 10 kilometer.
Dalam penelitian ini diformulasikan suatu persamaan gerak gelombang interfacial dengan batas bawah berupa dasar rata dan batas atas berupa permukaan rata dan juga batas atas berupa permukaan bebas. Persamaan gerak dinyatakan dalam suatu sistem Hamiltonian. Berdasarkan sistem Hamiltonian tersebut diturunkan suatu persamaan gerak gelombang yang merambat hanya dalam satu arah yang dinyatakan dalam peubah simpangan gelombang interfacial. Selanjutnya kekonsistenan dari Hamiltoniannya dikaji secara numerik.
Fluida yang ditinjau dalam penelitian ini adalah fluida ideal, yaitu fluida
yang tak mampat (incompressiable) dan tak kental (inviscid). Domain fluida
adalah fluida dua lapisan, dengan batas bawah berupa dasar rata dan batas atas berupa bidang sembarang. Berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum diturunkan persamaan dasar fluida dua lapisan yang dinyatakan dalam besaran potensial kecepatan. persamaan dasar fluida tersebut berupa persamaan Laplace yang berlaku pada seluruh domain. Sedangkan syarat batasnya adalah syarat batas kinematik dan syarat batas dinamik. Persamaan dasar yang diperoleh selanjutnya dinyatakan dalam sistem Hamiltonian dengan Hamiltonian (energi total) didefinisikan sebagai penjumlahan energi kinetik dan energi potensial. Salah satu sifat Hamiltonian yang ditinjau adalah bahwa besaran Hamiltonian tetap, artinya nilai Hamiltonian tidak berubah terhadap waktu.
Pada penelitian ini, formulasi Hamiltonian pada gerak gelombang interfacial dengan batas bawah berupa dasar rata dan batas atas ditinjau dua kasus, yaitu batas atas berupa permukaan rata dan batas atas berupa permukaan bebas. Formulasi yang dibuat melibatkan suatu operator Dirichlet-Neumann. Penyederhanaan dilakukan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang dengan amplitudo kecil. Penyederhanaan ini memberikan suatu persamaan gerak gelombang yang merambat dalam dua arah. Selanjutnya ditinjau gelombang yang merambat hanya dalam satu arah, dan memberikan suatu sistem Hamiltonian. Hamiltonian dalam sistem ini dihitung secara numerik.
komponen kecepatan potensial dalam arah horizontal. Untuk gelombang interfacial yang ditinjau bergerak hanya dalam satu arah, sistem Hamiltonian yang
diperoleh merupakan suatu persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Nilai
Hamiltonian dalam sistem Hamiltonian ini konstan terhadap waktu atau dengan kata lain tidak mengalami perubahan sampai waktu yang lama. Hal ini konsisten
dengan sifat Hamiltonian, yaitu tidak berubah terhadap perubahan waktu. Untuk
kasus dalam penelitian ini, dengan menggunakan data perbandingan ketebalan
lapisan atas dan lapisan bawah adalah 1/10, sedangkan perbandingan rapat massa
antar lapisan atas dan lapisan bawah adalah 1/5, memberikan nilai Hamiltonian masing-masing untuk kasus batas atas berupa permukaan rata dan berupa pemukaaan bebas adalah 9,1 x 10-7 dan 1.3 x 10-6 .
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
KEKONSISTENAN HAMILTONIAN PADA GERAK
GELOMBANG INTERFACIAL
IHSANUDIN
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Tesis : Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang Interfacial
Nama : Ihsanudin
NIM : G551060261
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini adalah gelombang
internal, dengan judul Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang
Interfacial.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S dan
Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing selaku ketua dan anggota Komisi
Pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar
Komisi dan selaku ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak
memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis disampaikan pada
Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh
keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini
bermanfaat
Bogor, September 2008
Ihsanudin
KEKONSISTENAN HAMILTONIAN PADA GERAK
GELOMBANG INTERFACIAL
IHSANUDIN
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang Interfacial adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, September 2008
Ihsanudin
ABSTRACT
IHSANUDIN. Hamiltonian Consistency of Interfacial Wave Motion. Under supervision of JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
The interfacial wave is an internal wave that occurs at boundary of two layers fluid. It appears because there is difference of mass density between the two layers. The objective of this thesis is to formulate the motion of internal wave with flat base and flat as well as free upper bound surface. The motion equation obtained is a Hamiltonian system. The Hamiltonian in this system is expressed by variable of wave deviation and horizontal component of potential velocity. Under assumption that interfacial wave moves only in one direction, it can be shown that the Hamiltonian depends on the solution of the wave motion equation. The coefficients of the equation depend on the physical characteristics of the two layers of fluid, i.e. thickness and mass density. The numerical results show that Hamiltonian in the system is constant. It is consistent with Hamiltonian characteristic, which does not depend on time.
RINGKASAN
IHSANUDIN. Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang Interfacial. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan fluida, karena adanya perbedaan rapat massa pada setiap lapisan fluida. Perbedaan rapat massa air laut dapat disebabkan oleh perbedaan kadar garam dan temperatur pada setiap lapisan air laut. Perbedaan rapat massa dapat menimbulkan aliran partikel-partikel fluida. Aliran dari partikel-partikel fluida membentuk suatu gelombang yang disebut gelombang internal. Pada fluida dua lapisan, gelombang internal terjadi pada batas kedua lapisan fluida (interface). Gelombang internal ini disebut gelombang interfacial. Beberapa peneliti pernah mengamati adanya gelombang internal yang memiliki amplitudo 100 meter pada kedalaman kurang dari 1000 meter dengan panjang gelombang 1 kilometer sampai dengan 10 kilometer.
Dalam penelitian ini diformulasikan suatu persamaan gerak gelombang interfacial dengan batas bawah berupa dasar rata dan batas atas berupa permukaan rata dan juga batas atas berupa permukaan bebas. Persamaan gerak dinyatakan dalam suatu sistem Hamiltonian. Berdasarkan sistem Hamiltonian tersebut diturunkan suatu persamaan gerak gelombang yang merambat hanya dalam satu arah yang dinyatakan dalam peubah simpangan gelombang interfacial. Selanjutnya kekonsistenan dari Hamiltoniannya dikaji secara numerik.
Fluida yang ditinjau dalam penelitian ini adalah fluida ideal, yaitu fluida
yang tak mampat (incompressiable) dan tak kental (inviscid). Domain fluida
adalah fluida dua lapisan, dengan batas bawah berupa dasar rata dan batas atas berupa bidang sembarang. Berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum diturunkan persamaan dasar fluida dua lapisan yang dinyatakan dalam besaran potensial kecepatan. persamaan dasar fluida tersebut berupa persamaan Laplace yang berlaku pada seluruh domain. Sedangkan syarat batasnya adalah syarat batas kinematik dan syarat batas dinamik. Persamaan dasar yang diperoleh selanjutnya dinyatakan dalam sistem Hamiltonian dengan Hamiltonian (energi total) didefinisikan sebagai penjumlahan energi kinetik dan energi potensial. Salah satu sifat Hamiltonian yang ditinjau adalah bahwa besaran Hamiltonian tetap, artinya nilai Hamiltonian tidak berubah terhadap waktu.
Pada penelitian ini, formulasi Hamiltonian pada gerak gelombang interfacial dengan batas bawah berupa dasar rata dan batas atas ditinjau dua kasus, yaitu batas atas berupa permukaan rata dan batas atas berupa permukaan bebas. Formulasi yang dibuat melibatkan suatu operator Dirichlet-Neumann. Penyederhanaan dilakukan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang dengan amplitudo kecil. Penyederhanaan ini memberikan suatu persamaan gerak gelombang yang merambat dalam dua arah. Selanjutnya ditinjau gelombang yang merambat hanya dalam satu arah, dan memberikan suatu sistem Hamiltonian. Hamiltonian dalam sistem ini dihitung secara numerik.
komponen kecepatan potensial dalam arah horizontal. Untuk gelombang interfacial yang ditinjau bergerak hanya dalam satu arah, sistem Hamiltonian yang
diperoleh merupakan suatu persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Nilai
Hamiltonian dalam sistem Hamiltonian ini konstan terhadap waktu atau dengan kata lain tidak mengalami perubahan sampai waktu yang lama. Hal ini konsisten
dengan sifat Hamiltonian, yaitu tidak berubah terhadap perubahan waktu. Untuk
kasus dalam penelitian ini, dengan menggunakan data perbandingan ketebalan
lapisan atas dan lapisan bawah adalah 1/10, sedangkan perbandingan rapat massa
antar lapisan atas dan lapisan bawah adalah 1/5, memberikan nilai Hamiltonian masing-masing untuk kasus batas atas berupa permukaan rata dan berupa pemukaaan bebas adalah 9,1 x 10-7 dan 1.3 x 10-6 .
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
KEKONSISTENAN HAMILTONIAN PADA GERAK
GELOMBANG INTERFACIAL
IHSANUDIN
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Tesis : Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang Interfacial
Nama : Ihsanudin
NIM : G551060261
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini adalah gelombang
internal, dengan judul Kekonsistenan Hamiltonian pada Gerak Gelombang
Interfacial.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S dan
Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing selaku ketua dan anggota Komisi
Pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar
Komisi dan selaku ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak
memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis disampaikan pada
Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh
keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini
bermanfaat
Bogor, September 2008
Ihsanudin
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Serang pada tanggal 16 Februari 1979 dari ayah
A. Rif’adi Imku dan ibu Jawita Z. Penulis merupakan putra pertama dari enam
bersaudara.
Tahun 1997 penulis lulus dari SMA Negeri Ciruas, dan pada tahun yang
sama lulus seleksi masuk Universitas Diponegoro Semarang. Penulis memilih
Jurusan Matematika Terapan pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam dan selesai pada tahun 2002.
Tahun 2002 penulis menjadi staf pengajar di MTs Al-Khaeriyah
Kepandean-Serang. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program
Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR ... xi DAFTAR LAMPIRAN ... xii
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan Penelitian ... 2 1.3 Sistematika Penulisan ... 2
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Dasar Fluida ... 4 2.2 Fluida Dua Lapisan ... 5 2.3 Sistem Hamilton ... 7
III PEMBAHASAN
3.1 Formulasi Hamiltonian ... 13 3.1.1 Batas Permukaan Rata ... 13 3.1.2 Batas Permukaan Bebas ... 15 3.2 Gerak Gelombang Interfacial ... 17 3.2.1 Batas Permukaan Rata ... 17 3.2.2 Batas Permukaan Bebas ... 22 3.3 Kajian Numerik …………... 26
IV KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan ……….... 33
4.2 Saran ………..…… 34
DAFTAR PUSTAKA ... 35
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1. Domain Fluida Dua Lapisan ... 6
2. Hamiltonian dari gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa
permukaan rata ... 30
3. Hamiltonian dari gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1. Hamiltonian dengan Batas Atas Rata ... 37
2. Hamiltonian dengan Batas Atas Bebas ... 39
3. Linearisasi Operator dengan Mathematica 5. 1 ... 43 4. Gerak Gelombang Interfacial dengan Batas Atas Rata ... 44
5. Gerak Gelombang Interfacial dengan Batas Atas Bebas ... 52
I PENDAHULUAN
1. 1 Latar Belakang
Gelombang merupakan suatu fenomena alam yang menarik untuk diamati.
Hal ini karena pengaruh yang ditimbulkan dapat merusak lingkungan dan
kehidupan manusia. Pada dasarnya gelombang dibagi dua jenis, yaitu gelombang
permukaan dan gelombang internal. Gelombang permukaan adalah suatu
gelombang yang terjadi di permukaan, yang merupakan batas antara air dan udara.
Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan,
karena adanya perbedaan rapat massa pada setiap lapisan fluida. Perbedaan rapat
massa air laut dapat disebabkan oleh perbedaan kadar garam dan temperatur pada
setiap lapisan air laut. Perbedaan rapat massa dapat menimbulkan aliran
partikel-partikel fluida. Aliran dari partikel-partikel-partikel-partikel fluida membentuk suatu gelombang
yang disebut gelombang internal.
Pada penelitian ini, fluida yang ditinjau adalah fluida ideal, yaitu fluida
yang tak mampat (incompressiable) dan tak kental (inviscid). Selain itu domain fluida diasumsikan terdiri dari dua lapisan. Pada fluida dua lapisan, gelombang
internal terjadi pada batas kedua lapisan fluida (interface). Gelombang internal ini
disebut gelombang interfacial. Sebagai contoh, gelombang yang terjadi pada
pencampuran air dan minyak.
Beberapa peneliti pernah mengamati adanya gelombang internal dengan
amplitudo lebih dari 100 meter pada kedalaman fluida kurang dari 1000 meter
dengan panjang gelombang 1 sampai dengan 10 kilometer [2]. Pengaruh dari
gelombang internal diantaranya adalah dapat mengakibatkan kerusakan pada tiang
penyangga kilang minyak lepas pantai seperti yang terjadi di Laut Andaman.
Kerusakan ini dapat diantisipasi, jika kekuatan gelombang internal di daerah
tersebut dapat diketahui.
Zakharov pada tahun 1968 mengkaji masalah gelombang permukaan air
pada laut dalam yang dapat ditinjau sebagai sistem Hamiltonian dan melibatkan
integral Dirichlet [9]. Selain itu, formulasi Hamiltonian pada fluida dua lapisan
yang masing-masing lapisan berupa fluida ideal dengan batas bawah dan batas
tahun 1997 [3]. Penelitian Zakharov dilanjutkan oleh Craig dan Sulem pada
masalah gelombang permukaan air dengan meninjau sistem Hamiltonian yang
melibatkan operator Dirichlet-Neumann dan sifat dari kecepatan potensial di
permukaan, dan hasil yang diperoleh lebih efisien [6]. Craig dan Groves
memperoleh hasil yang sama dengan yang dilakukan Benjamin dan Bridges dalam
masalah Hamiltonian pada fluida dua lapisan, tetapi melibatkan operator
Dirichlet-Neumann pada seluruh domain fluida baik lapisan atas maupun lapisan
bawah [4].
Pada penelitian ini akan diformulasikan gerak gelombang interfacial
dengan batas atas berupa permukaan rata dan batas atas berupa permukaan bebas
dengan menggunakan formulasi Hamiltonian dan melibatkan operator
Dirichlet-Neumann.
1.2 Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian di atas, tujuan dari penelitian ini adalah
memformulasikan gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa
permukaan rata dan juga batas atas berupa permukaan bebas dan batas bawah
berupa dasar rata dengan menggunakan formulasi Hamiltonian.
Berdasarkan sistem Hamiltonian yang diperoleh akan diturunkan
persamaan gerak gelombang yang merambat hanya dalam satu arah yang
dinyatakan dalam peubah simpangan gelombang interfacial. Selanjutnya,
berdasarkan persamaan gerak yang diperoleh akan dikaji kekonsistenan dari
Hamiltoniannya. Besarnya Hamiltonian pada setiap saat akan ditentukan secara
numerik dengan menggunakan pemotongan deret Fourier.
1.3 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan pada penelitian ini terdiri dari empat bab. Bab I
pendahuluan terdiri dari latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika
penulisan.
Bab II landasan teori terdiri dari persamaan dasar fluida, fluida dua
lapisan, dan sistem Hamilton. Bab III pembahasan terdiri dari formulasi
permukaan bebas, gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa
permukaan rata dan batas atas berupa permukaan bebas, dan kajian numerik.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa konsep yang mendasari penelitian
ini. Konsep dinamika fluida akan disajikan dari pustaka [5] dan [1], sedangkan
teori sistem Hamiltonian dirangkum dari pustaka [7] dan [8].
2.1 Persamaan Dasar Fluida
Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum
kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Menurut hukum kekekalan
massa, laju perubahan massa dalam suatu sel adalah selisih antara massa yang
masuk dan massa yang keluar dari sel tersebut. Sedangkan hukum kekekalan
momentum menyatakan bahwa laju keseimbangan momentum adalah selisih
antara momentum yang masuk dengan yang keluar ditambah dengan gaya-gaya
yang bekerja pada sel tersebut.
Misalkan gerak partikel fluida dinyatakan dalam dua dimensi dengan
kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal berturut-turut adalah u(x,y,t)
dan w(x,y,t). Fluida memiliki rapat massa ( , , )x y t dengan x, y, dan t berturut-turut menyatakan koordinat horizontal, koordinat vertikal, dan waktu.
Berdasarkan hukum kekekalan massa diperoleh persamaan kontinuitas
berikut
0
t u x w y (2.1)
0,
x y
u w (2.2)
dan hukum kekekalan momentum memberikan persamaan Euler berikut
(ut uux wuy) px 0
(2.3)
(wt uwx wwy) py g 0, (2.4)
dengan p dan g berturut-turut menyatakan tekanan dan percepatan grafitasi.
Berdasarkan asumsi fluida tak berotasi (irrotational), yaitu q 0
dengan q u w , maka terdapat fungsi skalar yang disebut fungsi kecepatan
potensial, sehingga q x y . Jadi persamaan (2.2) dapat ditulis
0
Syarat batas untuk gerak partikel fluida adalah syarat batas kinematik dan
syarat batas dinamik. Syarat batas kinematik diturunkan berdasarkan gerak
partikel fluida. Misalkan y 0( , )x t adalah kurva yang membatasi air dan udara
dan dinyatakan oleh persamaan permukaan S x y t( , , ) 0 dengan
0
( , , ) ( , )
S x y t x t y. Jika diasumsikan tidak ada partikel fluida yang
menembus permukaan, maka berlaku DS 0 ,
Dt dengan
D
u w
Dt t x y.
Sehingga diperoleh syarat batas kinematik pada permukaan fluida berikut
0t x 0x y 0
di y 0( , )x t . (2.6)
Sedangkan syarat batas kinematik di dasar fluida yang rata (y h) adalah
0
y di y h. (2.7)
Syarat batas dinamik hanya berlaku pada permukaan saja, diturunkan
berdasarkan persamaan Euler dengan asumsi fluida tak kental (invicid) dan
tekanan di permukaan sama dengan tekanan udara, misalnya nol. Jadi syarat batas
dinamik adalah
2 2 0
1
( ) 0
2 x y g
t
di y 0( , )x t , atau
2 0
1
0
2 g
t
di y 0( , )x t . (2.8)
2.2 Fluida Dua Lapisan
Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan yang
masing-masing mempunyai rapat massa yang konstan. Tinjau fluida dua lapisan dengan
domain fluida adalah titik (x, y) dengan h2 y h1 1( , )x t . Misalkan
domain fluida dibagi menjadi dua daerah, yaitu
(i). S t1( , , )2 1 ( , ) :x y 2( , )x t y h1 1( , )x t (ii). S t2( , 2) ( , ) :x y h2 y 2( , )x t .
Misalkan fluida lapisan atas dan bawah masing-masing memiliki rapat
massa 1dan 2 dengan 2 1. Fungsi 1( , )x t dan 2( , )x t berturut-turut
interfacial. Sedangkan fungsi 1 x y t, , dan 2 x y t, , berturut-turut menyatakan kecepatan potensial pada lapisan atas dan lapisan bawah dengan batas
[image:30.612.188.474.169.298.2]atas y h1 1( , )x t dan batas bawah y h2, seperti yang diberikan pada
Gambar 1.
Berdasarkan asumsi fluida tak berotasi (irrotational), diperoleh persamaan
berikut
1xx 1yy 0 pada S t1( , 2, 1)
2xx 2yy 0 pada S t2( , 2). (2.9)
Syarat batas kinematik pada dasar fluida yang rata (y = - h2)adalah
2y 2 N2 0 di y = -h2 , (2.10)
dengan N2 0 1T, yakni vektor normal satuan di y = -h2. Syarat batas
kinematik di y 2( , )x t adalah
1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2
2 1 2 1 1 2 2
1
( ) 1
t y x x x
t y x x x
N N
di y 2( , )x t , (2.11)
dengan 2 2
2 2
1
1 1
T x x
N , yakni vektor normal satuan di y 2( , )x t .
Syarat batas dinamik di y 2( , )x t adalah
2 1
2
2 2 2 2
2 1
2
1 1 1 2
( )
( )
t
t g
g
diy 2( , )x t . (2.12) h1
h2
1 1 ,
y h x t
2 ,
y x t
2
1
x 0
- h2
h1
Berikut ini akan ditinjau dua kasus untuk batas atas fluida, yaitu (i) batas
atas berupa permukaan rata (y h1) dan (ii) batas atas berupa permukaan bebas
1 1( , )
y h x t . Pada kasus batas atas berupa permukaan rata diperoleh
1y 1 N1 0
di y h1, (2.13)
dengan N1 0 1T, yakni vektor normal satuan di y h1. Pada kasus batas atas
berupa permukaan bebas diperoleh
1 2 2 1t 1y 1x 1x 1 N1 1 x 1
di y h1 1( , )x t , (2.14)
dengan 1 1
2 1
1
1 1
T x x
N , yakni vektor normal satuan di y h1 1( , )x t .
Syarat batas dinamik di permukaan bebas y h1 1( , )x t adalah
2 1
2
1t 1 g 1 0 di y h1 1( , )x t , (2.15)
dengan menganggap tekanan permukaan sama dengan tekanan udara yang
diasumsikan nol.
2.3 Sistem Hamiltonian
Didefinisikan fungsi pada ruang M, yaitu pemetaan H M: R dengan
( ) ( , . ,x xx,...) ,
H v h x v v v dx v M , (2.16)
dan h adalah fungsi sembarang dari v beserta turunannya. Turunan variasi dari fungsional H terhadap v didefinisikan sebagai berikut. Jika terdapat operator
simetri miring di ruang M sehingga untuk setiap bilangan real berlaku
0 ,
d
H v s sdx s M
d , (2.17)
maka disebut turunan variasi dari H terhadap v, ditulis dengan notasi vH .
Turunan variasi vH dapat ditentukan dengan cara berikut. Perhatikan
fungsional
, , x x, xx xx,... .
Misalkan r v s, maka diperoleh
2 2
...
...
... .
x xx
x xx
x xx
x xx
x x
dr dr
dH h dr h h
dx
d r d r d r d
h h h
s s s dx
r r r
h d h d h
s dx r dx r dx r
Setelah dilakukan integrasi parsial berulang dan untuk 0, diperoleh
2
2 ...
v
x xx
h d h d h
H
v dx v dx v . (2.19)
Selanjutnya operator :M M disebut operator simetri miring, jika
, , , ,
v s v s v s M , (2.20)
dengan , adalah notasi untuk perkalian dalam. Pada penelitian ini perkalian
dalam yang digunakan berbentuk
, , ,
v s vsdx v s M. (2.21)
Suatu persamaan diferensial parsial dikatakan sebagai sistem Hamiltonian
jika terdapat fungsional H dan sehingga persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditulis dalam bentuk
tv vH. (2.22)
Hamiltonian H merupakan besaran yang tetap, artinya jika v(x,t)
merupakan penyelesaian dari persamaan (2.22), maka nilai H(v(x,t)) tidak berubah
terhadap waktu. Penjelasan mengenai hal ini adalah sebagai berikut.
Jika r v tv, maka
0
0 0
0
,
, t ,
dH r
d r
H v x t
dt dr t
dH r r dH r
dr d
d
H v x t v d
sehingga diperoleh
,
v t
dH
H v
dt . (2.24)
Jika persamaan (2.22) disubsitusikan ke persamaan (2.24), maka diperoleh
,
v v
dH
H H
dt . (2.25)
Karena operator simetri miring, maka vH, vH 0, sehingga
0
dH
dt . (2.26)
Hal ini menunjukan bahwa nilaiH v x t, tidak berubah terhadap waktu t.
Berikut ini akan dibahas sistem persamaan diferensial yang merupakan
sistem Hamiltonian. Didefinisikan fungsional H adalah
1 2 1 2, 1 2 1
( , ) ( , , x, x, xx,....)
H v v h x v v v v v dx , (2.27)
dengan h fungsi sembarang dari v1 dan v2 beserta turunannya. Turunan variasi
dari fungsi H terhadap v1, yaitu
1
vH , memenuhi
1
1 1 2 1 1
0
, v , ,
d
H v s v H s s M
d , (2.28)
dan turunan variasi dari fungsi H terhadap v2, yaitu
2
v H, memenuhi
2
1 2 2 2 2
0
, v , ,
d
H v v s H s s M
d . (2.29)
Suatu sistem persamaan diferensial parsial dikatakan sistem Hamiltonian,
jika terdapat fungsional H dan operator simetri miring sehingga sistem
persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditulis dalam bentuk
1
2
1 11 12
21 22 2
,
v t
v H v
v H . (2.30)
Sebagai contoh, diberikan persamaan diferensial parsial berikut
0
0
x t
x A
u B u , (2.31)
dengan A dan B adalah konstanta positif. Persamaan (2.31) dapat dinyatakan
0
, 0
x t
x u
H
u H (2.32)
dengan Hamiltonian H didefinisikan oleh
2 2
1 2
H Au B dx. (2.33)
Contoh lainnya adalah sistem Hamiltonian yang diberikan oleh persamaan
diferensial parsial berikut
2
1
2
1
2 1 2 1
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
x x t
x u
x u
H H
u H
u H
(2.34)
dengan Hamiltonian
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
1
2 2
H Au Bu u Cu dx, (2.35)
atau
2 2 2 2
1 1 1 1
0 1
0 2
T T
u u
I A B
H dx
I u B C u . (2.36)
Kemudian, jika dua vektor v dan y memenuhi v = By dengan B suatu matriks, maka hubungan sisitem Hamiltonian kedua vektor tersebut diberikan
pada proposisi berikut.
Proposisi 1
Misalkan y memenuhi persamaan ty yH.
Jika v memenuhi v = By,maka tv vH,
dengan
*
( ) ( ).
B B H v H y
Sebagai contoh, didefinisikan transformasi berikut
r F
s u , (2.37)
dengan
4 4
4 4
4 4
4 4
B A
A B
F
B A
A B
. (2.38)
Dalam hal ini
, , ,
v r s y u , 0
0
x x
. (2.39)
Berdasarkan persamaan (2.32) dan proposisi 1 diperoleh
tv yH, (2.40)
dengan
*
.
F F H v H y
Sebagai contoh lain, didefinisikan transformasi berikut
2 2
1 1
2 2
1 1
R
v u
v u
, (2.41)
dengan
1
0 0
0 0
0 0
0 0
T a b
a b
R R
a b a b
dan
1
2 2
2
1
2 2
2 2
2 1
2 2
1
1 2 1
2 2 2
.
a
b
C A B
Dalam hal ini
2, 1, 2, 1 , 2, 1, 2, 1 ,
v v v y u u
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x x x
x
.
Berdasarkan persamaan (2.34) dan proposisi 1 diperoleh
tv yH,
atau
2
1
2
1
2 1 2 1
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
x x t
x v
x v
H H
v H
v H
(2.43)
dengan
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2 0 2 1 0 1
1
, , , ,
2
H v v c v c v dx (2.44)
dan
2 2 2
0
1
4 2
III PEMBAHASAN
Pada penelitian ini akan dibahas formulasi Hamiltonian bagi gerak
gelombang interfacial. Pembahasan dibagi dalam dua kasus yaitu kasus pertama
dengan batas atas berupa permukaan rata dan kasus kedua dengan batas atas
berupa permukaan bebas. Hamiltonian H didefinisikan sebagai energi total, yaitu
penjumlahan energi kinetik K dan energi potensial P yang dinyatakan oleh
.
H K P (3.1)
3.1 Formulasi Hamiltonian
3.1.1 Batas Permukaan Rata
Pada gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa permukaan
rata, energi kinetik K dan energi potensial P berturut-turut didefinisikan sebagai berikut
2 1
2 2
( )
2 2
1 1
2 2 2 2 1 1
( )
x h
h x
K dy dx dy dx, (3.2)
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2( ) 2 1 .
x h
h x
P g y dydx g y dydx
g x dx
(3.3)
Selanjutnya, energi kinetik direduksi menggunakan operator
Dirichlet-Neumann untuk lapisan bawah (S t2( , 2)). Misalkan 1( )x 1( ,x 2( ))x dan
2( )x 2( ,x 2( ))x . Definisikan operator Dirichlet-Neumann untuk domain
fluida lapisan bawah sebagai berikut
1 2 2 2 2 2 2 2 1 x 2
G N
(3.4)
1 2 2 1 2 1 2 2 1 x 2
G N , (3.5)
dengan 2 2
2 2
1
1 1
T x x
Jadi energi kinetik pada persamaan (3.2) dapat dinyatakan berikut
1 1
2 2 2 2( 2) 2 2 1 1 1( 2) 1
K G G dx. (3.6)
Berdasarkan definisi operator Dirichlet-Neumann, syarat batas kinematik
pada persamaan (2.9) dapat dinyatakan oleh
2 2 2 2 2 1 2 1,
t t
G
G (3.7)
dengan penyelesaian masing-masing berbentuk 1 G11( )2 2t dan
1
2 G2 ( )2 2t. Selanjutnya, definisikan Lagrangian L = K - P, maka dengan
menggunakan persamaan (3.3) dan (3.6), diperoleh
1 1
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2
2 1 2
1
( , ) ( ( ) ( ) )
2
1
( ) ( ) .
2
t t t t t
L G G dx
g x dx
(3.8)
Definisikan peubah
2
2( )x tL, diperoleh
1 1
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
t t
x G G
x x (3.9)
dan berdasarkan persamaan (3.7) dan (3.9), diperoleh
1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( ) ( )) ,
G G G
G G G
(3.10)
sehingga Hamiltonian H pada persamaan (3.1) menjadi
1 1
2
2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2
1
2 2 1 2
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
H G G G G dx
g dx
(3.11)
Jadi sistem persamaan bagi gerak gelombang interfacial dinyatakan dalam
sistem Hamiltonian berikut
2 2
2 , 2
t H t H. (3.12)
Persamaan (3.12) merupakan sistem persamaan tak linear dengan Hamiltonian H
diberikan pada persamaan (3.11). Penurunan persamaan (3.8), (3.9), (3.10), dan
3.1.2 Batas Permukaan Bebas
Formulasi Hamiltonian untuk gerak gelombang interfacial dengan batas
atas berupa permukaan bebas memiliki Lagrangian yang bergantung pada 1( , )x t
dan 2( , )x t . Energi kinetik K dan energi potensial P pada kasus ini berturut-turut didefinisikan
2 1 1
2 2
( ) ( )
2 2
1 1
2 2 2 2 1 1
( )
x h x
h x
K dy dy dx, (3.13)
2 1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 ( 2 1) 2( ) 2 1 1 1( ) .
x h x
h x
P g y dy dx g y dy dx
g x g h x dx
(3.14)
Selanjutnya, definisikan 1( )x 1( ,x 2( ))x , 2 2( ,x 2( ))x , dan
3 1( ,x h1 1( ))x . Operator Dirichlet-Neumann untuk domain fluida lapisan
bawah (S t2( , 2)) adalah
1 2 2 2( 2) 2( ) 2 (1 ( x 2) )
G x N dan operator
Dirichlet-Neuman untuk domain fluida lapisan atas (S t1( , 2, 1)) didefinisikan oleh 1 2 1 2 2
1 2 2
1 11 12
2 21 22 3
1 1 1
( . ) (1 ( ( )) ) ( )
, ( ) ( . ) (1 ( ( )) )
x
x
N x
x
G G
G G x N x (3.15)
dengan 1 1
2 1 1 1 1 T x x
N dan 2 2
2 2 1 1 1 T x x N berturut-turut
menyatakan vektor normal satuan di y h1 1 dan y 2. Jadi energi kinetik
pada persamaan (3.13) dapat dinyatakan berikut
1 11 12 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 1
21 22
3 3
( )
T
G G
K G dx
G G . (3.16)
Berdasarkan Operator Dirichlet-Neumann pada persamaan (3.4) dan
(3.15), maka syarat batas kinematik (3.7) untuk 2berlaku, sedangkan persamaan
(2.9) dan (2.12) berturut-turut menjadi
2 11 1 12 3 1 21 1 22 3
( )
.
t t
G G
Dengan menggunakan persamaan (3.14) dan (3.16), Lagrangian diperoleh
dalam bentuk
1
2 11 12 2
1
2 2 2 2 2 1
21 22
1 1
2 2
2 1 2 1 1 1
1 ( ) 2 1 1 ( ) ( ) ( ) . 2 2 T t t t t t t R R G G
L G dx dx
G G
g x dx g h dx
(3.18)
Definisikan
1
1 tLdan 2 2tL, maka diperoleh
1 1
2
2 2 2 2 11 12
2 1
21 22
1 1
2 2 1 1 1 3 ( ) 0 . t t t G G G G G (3.19)
Dengan menggunakan persamaan (3.19), maka persamaan (3.16) dapat ditulis
2 1
2 2 11 12
21 22 3
1 1 1
1 1 2 2 T T t t G G
K dx dx
G G . (3.20)
Penyelesaian persamaan (3.15) dan (3.19) untuk 1, 2, dan 3 dalam variabel
2, 1 adalah
2 1
1
1 2 2 2 12 1
1
2 11 2 12 1 1
3 1
( ( ) )
( )
B G G
B G G (3.21)
dengan B 2G11 1G2( 2).
Jadi persamaan (3.20) dapat dinyatakan oleh
2
1 1
1 1
11 2 2 2 2 12
2 2
1 1 1
21 2 2 22 21 12
1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 T
G B G G B G
K dx
G B G G G B G . (3.22)
Sehingga Hamiltonian diperoleh dalam bentuk
2
1 1
1 1
11 2 2 2 2 12
2 2
1 1 1
21 2 2 22 21 12
1 1
2 2
2 1 2 1 1 1
( ) ( ) 1 ( ) 2 1 1 ( ) ( ) ( ) . 2 2 T R R
G B G G B G
H dx
G B G G G B G
g x dx g h dx
Jadi sistem persamaan gerak untuk gelombang interfacial dengan batas
atas berupa permukaan bebas dinyatakan oleh sistem Hamiltonian berikut
2 2
1 1
2 2
1 1
,
, .
t t
t t
H H
H H (3.24)
Persamaan (3.24) merupakan sistem persamaan tak linear dengan Hamiltonian H
diberikan pada persamaan (3.23). Penurunan persamaan (3.18), (3.19), (3.20),
(3.22), dan (3.23) dapat dilihat di Lampiran 2.
3.2 Gerak Gelombang Interfacial
3.2.1 Batas Permukaan Rata
Berikut ini akan diturunkan persamaan gerak gelombang interfacial
dengan batas atas berupa permukaan rata menggunakan asumsi gelombang
panjang dan amplitudo kecil sehingga diperkenalkan parameter kecil pada
penskalaan berikut
' 2 ' 2
2 2 2
' , ,
x x , (3.25)
yang memberi pengertian bahwa 2 dan u x 2 berorde sama, yaitu O( 2).
Parameter dan penskalaan tersebut akan diaplikasikan pada bentuk Hamiltonian
persamaan (3.11). Agar bentuk Hamiltonian H dinyatakan secara eksplisit, maka
opertor Dirichlet-Neumann pada persamaan (3.4) dan (3.5) dinyatakan dalam
uraian deret Taylor yang masing-masing berbentuk
2 2 2 2 2 2 2
2 3 2
1 2 1 2 1 2 1
2 3 2
tanh tanh tanh
,
tanh tanh tanh
,
G D h D D D D h D D h D
O D
G D h D D D D h D D h D
O D
(3.26)
dengan D i x. Penurunan persamaan (3.26) dapat dilihat pada pustaka [5].
Jika persamaan (3.25) digunakan, maka persamaan (3.26) yang masing-masing
' ' '
2 2 2
4 ' ' ' ' ' ' ' ' 8
2 2 2 2
2 ' 2 4 3 ' 4 ' ' '
2 2 2
6 5 ' 6 2 ' 2 ' ' 2 8
2 2 2
tanh tanh tanh 1 3 2 , 15
G D h D
D D D h D D h D O
h D h D D D
h D h D D O
(3.27)
dan
' ' '
1 2 1
4 ' ' ' ' ' ' ' ' 8
2 1 2 1
2 ' 2 4 3 ' 4 ' ' '
1 1 2
6 5 ' 6 2 ' 2 ' ' 2 8
1 1 2
tanh tanh tanh 1 3 2 . 15
G D h D
D D D h D D h D O
h D h D D D
h D h D D O
(3.28)
Selanjutnya definisikan operator B sebagai berikut
2 1( 2) 1 2( 2)
B G G . (3.29)
Berdasarkan persamaan (3.27) dan (3.28), operator B menjadi
2 2
1 2 2 1
4 ' 3 3 4
1 2 2 1 2 2 1
6 5 5 6 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 2 ' 2 8
2 ' 1 ' ' ' 3 2 ' 15 ' ' .
B h h D
D D h h D
h h D h h
D D O
(3.30)
Sedangkan invers dari operator B adalah
1 1
2
1 2 2 1 3 3
2 1 2 2 1 2 1 2 ' 2 1 2 2 1 1 2 2 1
5 5 2 2
4 '
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 4
2 3 3
2 ' 6
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1
1 ' 1 1 ' 3 2 ' ' ' 15 1 ' 3 B D h h h h D
h h h h
h h h h
D D D
h h h h
h h
D O
h h h h
1
' .
D
(3.31)
Integrand pada Hamiltonian dalam persamaan (3.11) berupa fungsi dari
operator G1 2 B G1 2 2 , sehingga dengan menggunakan penskalaan (3.25)
dan persamaan (3.27), (3.28) dan (3.30), maka persamaan (3.11) menjadi
4
2 2
2 1
2 2 2 2 2 1 2
1 2 2 1 2
4 2 1
1 1 2 2 6
1 2 2 1 7
2 2 2 2
2 1 1 2 2 2 1 2 2 1
, 2 1 3 , 2
h h dx
H D
h h
h h
h h D
h h dx
O h h D D h h
(3.32)
setelah tanda aksen dihilangkan. Dengan mengunakan turunan variasi terhadap
Hamiltonian H pada persamaan (3.32), maka persamaan (3.12) menjadi
2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 1
2
2 1 2 2 1 1 4
2 2
1 2 2 1 2
2 2
2 1 1 2
2 2
2 1 2 2 1 3
2
2 2
2
2 2 1 1 2
2 1 2 2 2
1 2 2 1 1 3 , . 2 t x x x x t x H h h h h
h h h h
h h h h h h H h h g h h (3.33)
Penurunan persamaan (3.32) dan (3.33) dapat dilihat di Lampiran 4. Bentuk
Hamiltonian H pada persamaan (3.32) dapat dinyatakan dalam peubah 2 dan u
sebagai berikut
4
2 2
2 1
2 2 1 2
1 2 2 1 2 6
2 2 1
1 1 2 2 1 2 2 1
2 2
6
2 2 1 1 2
2 2 1 2 2 1
, 2 1 2 3 . 2 x
h h dx
H u u g
h h
h h dx
h h u
h h
h h dx
u
h h
Dengan mengunakan turunan variasi terhadap Hamiltonian H pada persamaan (3.34), maka persamaan (3.33) menjadi
2 1
1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 1 2 2 2
1 2 2 1 2
2 2
2 1 1 2 2 2 1 2 2 1
2 2
2
2 1 1 2
2 1 2 2
1 2 2 1 1
3
. 2
x
t x
t x
h h u
h h
h h h h
u
h h
h h
u
h h
h h
u g u
h h
(3.35)
Persamaan (3.35) merupakan persamaan gerak gelombang interfacial
dengan batas atas berupa permukaan rata yang merambat dalam dua arah.
Persamaan (3.35) sering disebut sebagai persamaan Boussinesq. Penurunan
persamaan (3.34) dan (3.35) dapat dilihat di Lampiran 4.
Berikut ini akan dibahas persamaan gerak gelombang interfacial yang
merabat hanya dalam satu arah. Untuk membahas gerak gelombang tersebut,
maka berikut ini akan dibahas lebih dahulu bentuk eksplisit persamaan gerak
gelombang yang merambat dalam dua arah. Untuk itu, didefinisikan transformasi
berikut
2 1 1 2 2 1 2 1
4 4
2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 1 1 2 2 1 2 1
4 4
2 1 2 1 1 2 2 1
4 4
4 4
g h h h h
h h g h h
r
s g h h h h u
h h g h h
, (3.36)
dengan r dan s masing-masing menyatakan simpangan gelombang yang bergerak
dalam arah kanan dan kiri. Dengan menggunakan persamaan (3.36), persamaan
3 2
7 4
4
2 1 2 1 2 2
1 2 2 1
6
2 1
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
2 1 1 2
2 2
1 2 2 1
2 1 3 2 2 3
4 2 1 , 2 1 2 6 1 2 2 2 .
x x x x
g h h dx
H r s r s
h h
h h
g h h
h h
h h
r r s s
h h
g dx
r r s rs s
h h
(3.37)
Dengan mengunakan turunan variasi terhadap Hamiltonian H pada persamaan
(3.37), maka persamaan (3.35) menjadi
3 2
7 4
2 1 2 1 1 2 2 1 2
3 3 2 1
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
2
2 1 1 2 2 1 2 2
4
2 1 1 2 2 1
6
3 2 ,
4 2
t x
x x
x
g h h
r r
h h
h h
g h h r s
h h
h h g
r rs s h h h h (3.38) 3 2 7 4
2 1 2 1 1 2 2 1 2
3 3 2 1
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
2
2 1 1 2 2 1 2 2
4
2 1 1 2 2 1
6
2 3 .
4 2
t x
x x
x
g h h
s s
h h
h h
g h h r s
h h
h h g
r rs s h h
h h
(3.39)
Penurunan persamaan (3.37), (3.38) dan (3.39) dapat dilihat di Lampiran 4.
Selanjutnya asumsikan gelombang yang ditinjau bergerak dalam arah
kanan, sedangkan arah kiri relatif kecil, sehingga s O( 2). Dengan demikian persamaan gerak gelombang interfacial yang bergerak hanya dalam arah kanan
3 2
7 4
2 1 2 1 1 2 2 1 2
3 2 1
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
2
2 1 1 2 2 1 4
2 1 1 2 2 1
6
, 2 2
t x
x
x
g h h
r r
h h
h h
g h h r
h h
h h g
r r h h
h h
atau
2 2
0 0
t x x xxx
r c r rr r (3.40)
dengan
3 2
7 4
2 1 2 1 0
1 2 2 1 2 1
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
2 1 1 2 2 1
4
2 1 1 2 2 1
1 6
1
. 2 2
g h h
c
h h
h h
g h h
h h
h h g
h h
h h
(3.41)
Persamaan (3.40) merupakan persamaan gerak gelombang interfacial dengan
batas atas berupa permukaan rata yang merambat hanya dalam arah kanan saja.
Persamaan (3.40) sering disebut persamaan KdV.
3.2.2 Batas Permukaan Bebas
Berikut ini akan diturunkan persamaan gerak gelombang interfacial
dengan batas atas berupa permukaan bebas menggunakan asumsi gelombang
panjang dan amplitudo kecil sehingga diperkenalkan parameter kecil pada
penskalaan berikut
' 2 ' 2 ' 1 ' 1
2 2 2 1 2 1
' , , , ,
Dengan menggunakan penskalaan (3.42), maka persamaan (3.23) menjadi
3
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 2 1
2 2
2 2
2
2 2
1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
2 1 2
2
2 2
2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2
2 3 3 2 2 2
2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2
2 1
2 2 2
2
2 2 2 2 1
2 2 2 1
2 2
1
3 3
2 6 3
3 3 3 3 2 x x x x h h
H g g u u u
h
h h u h h u
h
h h h h u u
h h h h h h u
u u u 2 1 2 12
2 2 7 1 1 1 , u
u dx O
(3.43)
setelah tanda aksen dihilangkan. Dengan mengunakan turunan variasi terhadap
Hamiltonian H pada persamaan (3.43), maka persamaan (3.24) memberikan
sistem persamaan berikut
2 2
2 2
2 2 1 2 2 2 1
2 2 2 2
2
3 2 3
2 2 1 2 1 2 1 2
2 2
3 2 2 3
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2
2 2
2 2 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 1 1 1 2 1
2
1 2 1 2 2 1 1
2 2 1
3 3
2 6 3
6
1
t x x x x
x x
x
t x x x
x
t x x
h h
u u u u
h h h u u
h h h h h u
u g u u u u
u u h
u h h u
2
2 2 2
2 2
1 2 2 1 1 1
2 1 1
2
3 2 2 3
2 2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 2
2 3 3 2 2 2 3
2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2
2 1
2
1 1 1 1 1
2
2 6 3
6 3 3 6 . x x x x x
t x x
u
u u
h h h h h u
h h h h h h u
u g u u
(3.44)
Selanjutnya didefinisikan transformasi
2 1 '
2 1 2
'
1 1
'
2
2 2 1
'
1 1
1
0 0 0
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
g
g
u
u g
u u
g
(3.45)
dan
2 2
1 1
2 2
1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
a b a b
v a b u
v a b u
, (3.46)
dengan
2 2
1
, ,
1 1
d
a b
d d
(3.47)
dan
2 1 2 1
2 1
1 1 1
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
1
4 .
d h
h h h h h h h
(3.48)
Misalkan batas atas permukaan bebas berupa gelombang dengan
amplitudo yang jauh lebih kecil dari amplitudo gelombang interfacial yang
ditinjau, maka diperkenalkan penskalaan berikut
' '
1 1, v1 v1. (3.49)
Dengan demikian Hamiltonian H pada persamaan (3.43) menjadi
3
2
2 2
2 0 2
2 2
2 2 2 2 7
1 0 1 2 2 2
2
,
x
H c v
c v D v N v dx O
dengan
2 2
0 2 1 2 1 2 1 2 1
2
2 2
2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2
2
2 3 3 2 2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2
2
3 2
2 1 1
2 2 2 3 2 1 2 1 1 4 , 2 3 3
2 6 3
3
3 3 ,
3
2
,
c g h h h h h h
gh
D h h a
gh
h h h h a b
g
h h h h h h b
g g
N a a b
g g
a b b
(3.51)
setelah tanda aksen dihilangkan. Dengan menggunakan turunan variasi terhadap
Hamiltonian H pada persamaan (3.50), maka persamaan (3.44) menjadi
2 2 2
2 0 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
1 0 1
1 1
1 2
.
t x x
t x
t x
t x
c v D v N v
v Nv
c v v
(3.52)
Persamaan (3.52) merupakan persamaan gerak gelombang interfacial dengan
batas atas berupa permukaan bebas yang merambat dalam dua arah (persamaan
Boussinesq). Penurunan persamaan (3.50) dan (3.52) dapat dilihat di Lampiran 5. Berikut ini akan dibahas persamaan gerak gelombang interfacial dengan
batas atas berupa permukaan bebas yang bergerak hanya dalam satu arah. Untuk
membahas gerak gelombang tersebut, maka berikut ini akan dibahas lebih dahulu
bentuk eksplisit persamaan gerak gelombang yang merambat dalam dua arah,
sehingga diperkenalkan transformasi berikut
2 0 2 0 2 0 2 0 4 1 4 4 4 2 2 4 1
4 4 4
c c
c c
r
dengan r dan s masing-masing menyatakan simpangan gelombang yang bergerak dalam arah kanan dan kiri.
Selanjutnya asumsikan gelombang yang ditinjau bergerak dalam arah
kanan, sedangkan arah kiri relatif kecil, sehingga s O( 2). Sehingga dengan
menggunakan persamaan (3.53), Hamiltonian H pada persamaan (3.50) menjadi
3 2 0 5
2 2
2 2 3
1 0 1
0 0
2
.
2 2 x 2 2
H c r dx
D N
c v r r dx
c c
(3.54)
Dengan menggunakan turunan variasi terhadap Hamiltonian H pada persamaan
(3.54), maka persamaan (3.52) menjadi
2 3 2
0
0 0
2 2 2
t x x x
D N
r c r r r r
c c ,
atau
2 2
0 0
t x x xxx
r c r rr r , (3.55)
dengan
0 0
0 0
3
, ,
2 2 2
D N
c c
c c , (3.56)
dimana c0 , D, dan N diberikan pada persamaan (3.51). Persamaan (3.55)
merupakan persamaan gerak gelombang interfacial dengan batas atas berupa
permukaan bebas yang merambat hanya dalam arah kanan saja (persamaan KdV).
Penurunan persamaan (3.54) dan (3.55) dapat dilihat di Lampiran 5.
3.3 Kajian Numerik
Misalkan penyelesaian persamaan (3.40) dan (3.55) merupakan fungsi
periodik dengan perioda 2p dan penyelesaiannya dapat dinyatakan oleh deret
Fourier berikut
0
1
( , ) ( ) k( ) cos( ) k( ) sin( )
k
r x t a t a t kx b t kx ,
(3.57)
dengan
1
( ) ( , ) cos( ) ; 0,1,...
2
k
dan
1
( ) ( , ) sin( ) ; 1, 2,... .
2
k
b t r x t kx d x k
Persamaan (3.57) merupakan uraian deret Fourier untuk fungsi r dengan
koefisien-koefisien ak dan bk tergantung pada variabel waktu t. Dalam
realisasinya, perhitungan dilakukan secara numerik dengan bantuan komputer dan
dilakukan pemotongan terhadap deret tersebut hingga n suku, yaitu
0
1
( , ) ( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )
n
k k
k
r x t a t a t kx b t kx . (3.58)
Hasil yang diperoleh dengan adanya pemotongan ini tidak akan jauh
berbeda dengan penyelesaian eksaknya. Hal ini karena koefisien-koefisien ak dan
bk untuk indeks k yang besar biasanya bernilai sangat kecil. Untuk memudahkan,
maka deret (3.58) ditulis dalam bentuk
( , ) ( ) ( ),
n
k k
k n
r x t c t x (3.59)
dengan
( ), 0
( )
( ), 0.
k
Cos kx k x
Sin kx k
(3.60)
Dengan notasi ini, maka
.
x k k k (3.61)
Dalam penerapannya di komputer, deret Fourier untuk fungsi r cukup
ditulis komponen ck yang dinyatakan dalam bentuk vektor berikut
1 1 0 1 1
( n, n ,..., , , ,..., n , n)
r c c c c c c c (3.62)
Dengan struktur data di atas, maka turunan r terhadap x juga dapat dinyatakan dalam bentuk vektor, yaitu
1 1 1 1
( , 1 ,..., 1 , 0, ,..., 1 , )
xr ncn n cn c c
