ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM
DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Oleh
RIDAWARNI PASARIBU 117021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM
DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RIDAWARNI PASARIBU 117021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
Judul Tesis : ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN Nama Mahasiswa : Ridawarni Pasaribu
Nomor Pokok : 117021007
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal 04 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Dr. Erna Budhiarti
3. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
PERNYATAAN
ANALISIS SENSITIVITAS DAN STABILITAS DALAM DEA DENGAN KETIDAKPASTIAN
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 04 Juni 2014 Penulis,
ABSTRAK
Data Envelopment Analysis (DEA) mengabaikan ketidakpastian untuk variable input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan pengamatan terse-but merupakan variable input-output yang sebenarnya guna memilih unit rujukan untuk penaksiran efisiensi. Untuk memasukkan ketidakpastian pada variable input-output dalam DEA, dikembangkan dari teori dominasi stokastik.
Kata kunci : Data envelopment analisis, Ketidakpastian, Stokastik
ii
ABSTRACT
Data Envelopment Analysis (DEA) ignores the uncertainty for the input-output variables by treating the observations as if the observation is an input-output vari-ables to select the actual reference unit for assessment of efficiency. To include uncertainty in the input-output variables in the DEA, developed from theory do-mination of stochastic..
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat ALLAH SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-Nya, sehingga penulis da-pat menyelesaikan tesis dengan judul: Analisis Sensitivitas Dan Stabilitas Dalam DEA Dengan Ketidakpastian. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menye-lesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Su-matera Utara.
Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, MSc(CTM), SpA(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara selaku Pembimbing I yang banyak memberi bimbingan dan petunjuk agar tesis ini dapat selesai dan sesuai dengan yang diharapkan.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magis-ter Matematika Fakultas MIPA Universitas SumaMagis-tera Utara selaku Pembimbing II yang banyak memberi bimbingan dan petunjuk agar tesis ini dapat selesai dan sesuai dengan yang diharapkan.
Ibu Dr. Erna Budhiarti dan Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku pem-banding yang banyak memberikan masukan dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.
iv
Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU angkatan tahun 2011 yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan maupun dalam penulisan tesis ini dan tidak lupa penulis ucapkan terimakasih untuk Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Mate-matika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis yang berhubungan dengan administrasi penulis selama mengikuti pendidikan.
Kepada Drs. Liat Sinaga selaku Kepala Sekolah SMKN 1 Sibolga yang telah memberikan rekomendasi kepada penulis untuk mengikuti Sekolah Pascasarjana USU.
Ayahanda Padlan Pasaribu dan Ibunda Siti Mariam Panggabean tercinta atas segala bantuannya baik doa maupun nasehat yang sangat bermanfaat bagi penulis guna terselesaikannya tesis ini.
Seluruh keluargaku, Suami tercinta Syahrial Efendi Sitompul dan anak-anak tersayang Hafizh Lufti Sitompul & Syakila Nazwa Sitompul yang mem-berikan dorongan dan semangat.
Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khususnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu semuanya diserahkan kepada Allah SWT sebagai Tuhan Yang Maha Kuasa. Amin.
Medan, Juni 2013 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Ridawarni Pasaribu dilahirkan di Sibolga pada tanggal 05 April 1980 dari pasangan Padlan Pasaribu & Siti Mariam Panggabean. Tamat dari Sekolah Dasar Muhammadiyah 01 SIbolga tahun 1993, melanjut ke Sekolah Menengah Pertama Negeri 5 Sibolga dan tamat tahun 1996, kemudian melanjutkan ke SMA Negeri 5 Sibolga dan tamat tahun 1999. Pada tahun 2004 kuliah di Pendidikan UMSU Sumatera Utara. Tahun 2004-2005 penulis menja-di guru menja-di SMP Al Muslimin Pandan. Kemumenja-dian tahun 2005 sampai sekarang mengajar di SMKN 1 Sibolga. Menikah dengan Syahrial Efendi Sitompul tanggal 08 bulan Desember tahun 2007 dan dikarunia dua anak yaitu Hafizh Lufthi Sitompul & Syakila Nazwa Sitompul.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 5
2.1 Konsep Program Linear 5
2.1.1 Bentuk umum program linear 5
2.1.2 Asumsi program linear 7
2.2 Data Envelopment Analysis 7
2.2.1 Orientasi model 9
2.2.2 Asumsi model 10
2.2.3 Kegunaan DEA 10
2.2.4 Keterbatasan DEA 11
2.4 Analisis Sensitivitas 12
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 15
3.1 Model Ketidakpastian 15
3.2 Dasar Data Envelopment Analysis (DEA) 15
3.3 Model Ketidakpastian Dalam DEA 18
3.4 Analisis Sensitivitas dan Stabilitas 19
3.5 Contoh Kasus 23
BAB 4 KESIMPULAN 25
DAFTAR PUSTAKA 26
viii
ABSTRAK
Data Envelopment Analysis (DEA) mengabaikan ketidakpastian untuk variable input-output dengan memperlakukan pengamatan seakan-akan pengamatan terse-but merupakan variable input-output yang sebenarnya guna memilih unit rujukan untuk penaksiran efisiensi. Untuk memasukkan ketidakpastian pada variable input-output dalam DEA, dikembangkan dari teori dominasi stokastik.
ABSTRACT
Data Envelopment Analysis (DEA) ignores the uncertainty for the input-output variables by treating the observations as if the observation is an input-output vari-ables to select the actual reference unit for assessment of efficiency. To include uncertainty in the input-output variables in the DEA, developed from theory do-mination of stochastic..
Keyword : Data envelopment analysis, Uncertainty, Stochastic
iii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
DEA adalah suatu model pemograman matematis yang digunakan untuk menghitung efisiensi relatif suatu unit dibandingkan dengan unit-unit lain meng-gunakan berbagai macam input dan output yang sejenis. DEA dapat juga digu-nakan untuk melakukan proses benchmarking. Dengan adanya persoalan ketidak-pastian model DEA dalam menganalisis dan menstabilitaskan pengambilan kepu-tusan maka perlunya teknik untuk menentukan efisiensi relatif dari unit produk-si (umumnya dikenal sebagai pengambilan keputusan unit, atau DMU) diband-ingkan dengan unit lain dengan menggunakan jenis yang sama dari input untuk menghasilkan jenis yang sama dari output.
Ada tiga formulasi pemrograman populer linier yang menunjukkan dalam suatu DMU relatif efisien atau tidak efisien. Model CCR menilai apakah DMU yang efisien pada ukuran skala-paling-produktif (MPSS). Model ini mungkin yang paling banyak digunakan dalam aplikasi DEA. Banker et. al. (1984) memperke-naalkan model Banker, Charnes, dan Cooper (BCC) dan model aditif menen-tukan apakah DMU adalah Pareto-Koopmans efisien. Dalam konteks ekonomi, model BCC dan aditif menemukan permukaan seluruh produksi yang efisien em-piris sedangkan model CCR menemukan subset tepat bahwa permukaan yang terdiri dari unit-unit yang efisien di MPSS tersebut. Untuk single output, satu set-masukan DMU, MPSS adalah ukuran yang menghasilkan produk rata-rata terbesar (yaitu, rasio terbesar output ke input).
2
dan setiap ketidakpastian yang berkaitan dengan nilai-nilai yang diamati. Seti-ap faktor ini dSeti-apat mempengaruhi validitas analisis efisiensi dan mempengaruhi status dari semua unit dalam pertimbangan pengambilan keputusan.
Analisis sensitivitas merupakan elemen penting dari setiap penelitian DEA dengan mengkaji ketahanan dari status masing-masing DMU ketika variasi yang mungkin dalam input dan output. Hal ini lebih dari perpanjangan sederhana dari teori sensitivitas LP tradisional karena sifat dari model DEA.
Analisis sensitivitas tradisional dalam penyusunan program linear berkon-sentrasi pada menemukan nilai optimal solusi baru terhadap suatu masalah, se-bagai perkiraan terbaru dari beberapa sampel data mulai tersedia, tanpa biaya menyelesaikan masalah dari awal. Hal ini dapat berupa penentuan rentang di mana data yang bervariasi tanpa memerlukan perubahan dalam himpunan vektor menyusun dasar yang optimal. Untuk formulasi model DEA, analisis tradisional ini tidak layak karena perubahan dalam nilai-nilai input dan output dari suatu DMU tertentu secara bersamaan mempengaruhi koefisien struktural dan tangan kanan-side untuk semua LPs kedalam analisis ini. Selain itu, asumsi dasar nonde-generasi yang optimal dan keunikan dari solusi optimal dilanggar untuk masalah
DEA. Begitu juga, dalam DEA, perhatian utama merupakan efek yang mungkin memiliki gangguan pada status DMU, bukan hanya pada nilai solusi dari masa-lah pemrograman linier yang mendasarinya. Akibatnya, pendekatan baru untuk analisis sensitivitas harus dikembangkan ketika mempertimbangkan untuk Model lainnya DEA.
Sampai saat ini, sejumlah analisis sensitivitas dalam studi DEA, sebagian besar sehubungan dengan model aditif. Charnes, Cooper, Lewin, Morey, dan Rousseau (1985) menyajikan sebuah studi perturbasi yang terbatas ke output tunggal atau masukan tunggal dengan menggunakan model CCR. Penelitian ini diperpanjang oleh Charnes, Haag, Jaska, dan Semple (CHJS) untuk mengidenti-fikasi daerah stabilitas menggunakan model aditif, di mana gangguan yang di-ijinkan menyebabkan DMU mempertahankan statusnya. Karena model aditif efisien Pareto-Koopmans menemukan perbatasan tanpa memperhatikan masukan atau orientasi output, contoh CHJS yang dibatasi dalam simultan perturbasi dari kedua input dan output dari masing masing dalam model DMU.
3
Hadedet al. (2003) menjelaskan dengan diidentifikasi alokasi input dan out-put, maka dapat dianalisis lebih jauh untuk melihat penyebab ketidakefisiensian. Pengukuran efisiensi kerja lingkungan dapat dilakukan dengan menggunakan me-tode parametrik dan meme-tode nonparametrik, dalam hal ini ada tiga pendekatan untuk menghitung efisiensi kinerja lingkungan stokastik, yaitu stochastic frontier analysis (SFA), distribution free analysis (DFA) dan Data Envelopment Analysis (DEA). Metode pendekatan SFA dan DFA adalah metode pendekatan menggu-nakan metode parametrik, sedangkan DEA menggumenggu-nakan metode non parametrik. DEA diajukan oleh Charnes et al., (1978) dan kemudian diperluas oleh Banker
et al,.(1984). Dengan menggunakan metode DEA dapat mengukur banyak varia-bel input maupun output, tidak memerlukan asumsi mengenai bentuk fungsional dari variabel yang diukur, dan DMU dapat dibandingkan secara langsung dengan DMU lain yang sejenis.
Efisiensi merupakan salah satu parameter kinerja, yang secara teoritis men-dasari seluruh kinerja sebuah perusahaan. Kemampuan menghasilkan output yang maksimal dengan input yang ada, adalah merupakan ukuran kerja yang di-harapkan. Pada saat dilakukan pengukuran efisiensi, perusahaan dihadapkan pa-da kondisi bagaimana menpa-dapatkan tingkat output yang optimal dengan tingkat input yang ada atau menggunakan tingkat input yang minimum dengan tingkat output tertentu.
Namun, ketidakpastian seperti galat pengkuran harus diikutsertakan dalam data observasi. Hal ini memberi indikasi perlunya melakukan analisis sensitivi-tas dan stabilisensitivi-tas pada DEA. Beberapa peneliti DEA telah mengkaji sensitivisensitivi-tas klasifikasi efisiensi dan tak efisiensi terhadap gangguan dalam data. Seiford dan Zhu (1998), Charnes et al., (1985) dan Cooper et al., (2001) menjelaskan model DEA awal mengandaikan bahwa input dan output diukur dengan nilai eksak pada skala ratio.
1.2 Perumusan Masalah
4
gangguan data (pertubed data). Cara demikian ini tidak dapat menghasilkan rentang atau radius perubahan agar tetap dipertahankannya stabilitas untuk se-mua DMU.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk melihat seberapa jauh perubahan dengan analisis sensitivitas sehingga stabilitas dalam data envelopment analysis tetap terjamin.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini untuk meningkatkan efisiensi pemodelan data en-velopment analysis agar dapat menyelesaikan persoalan analisis sensitivitas dan stabilitasnya terhadap decision making analysis.
BAB 2
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Konsep Program Linear
Program linear merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk lin-ear dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematik tertentu. Jadi pengertian program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analistis yang analisanya menggunakan model matematis, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pe-mecahan optimum terhadap persoalan (Aminudin,2005).
2.1.1 Bentuk umum program linear
1. Bentuk umum program linear untuk kasus memaksimalkan fungsi sasaran : MaksimumZ =Pn
j=1cjxj
Dengan batasan : P
j=1xj ≤bi, untuk i= 1,2, . . . , m.
xj ≥ 0, untuk j = 1,2, . . . , n
Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan
Z =c1x1+c2x2+. . .+cnxn
Dengan batasan :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn≤bi
a21x1+a22x2+. . .+a2nxn≤b2
. . . .
am1x1+am2x2+. . .+amnxn≤b3
x1, x2, . . . , xn≥0
2. Bentuk umum program linear untuk kasus meminimumkan fungsi sasaran : MinimumkanZ =Pn
j=1cjxj
6
P
j=1xj ≤bi, untuk i= 1,2, . . . , m.
xj ≥ 0, untuk j = 1,2, . . . , n
Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan
Z =c1x1+c2x2+. . .+cnxn
Dengan batasan :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn≥bi
a21x1+a22x2+. . .+a2nxn≥b2
. . . .
am1x1+am2x2+. . .+amnxn≥b3
x1, x2, . . . , xn≥0
Keterangan
Z : Fungsi Tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal, minimal).
cj : Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan xj dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatanjterhadap
Z.
n: Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia.
m : Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
xj : Tingkat kegiatan ke-j.
aij : Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatanj.
bi : Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan.
Terminologi umum untuk model program linear diatas dapat dirangkum sebagai berikut :
1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut sebagai fungsi tujuan (objective function).
2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu :
(a) Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m.
7
(b) Fungsi batasan non negatif (non-negative contrains) yaitu variabelxj ≥
0.
3. Variabel-variabelxj disebut sebagai variabel keputusan (decision variable).
4. Parameter model yaitu masukan konstan aij, bi, cj.
2.1.2 Asumsi program linear
Agar penggunaan program linear diatas memuaskan tanpa terbentur pa-da berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi pa-dasar program linear (Amin-udin,2005) sebagai berikut:
1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linear dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan da-pat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.
4. Deterministic (Certainty), berarti bahwa semua parameter (aij, bi, cj) yang terdapat pada program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataanya tidak sama persis.
2.2 Data Envelopment Analysis
8
menggunakan input dalam memberikan output tertentu dengan cara yang pa-ling optimal dan DEA menggunakan informasi ini untuk membentuk perbatasan (frontier) efisiensi dari data unit-unit organisasi yang tersedia. DEA menggunakan perbatasan efisien ini untuk menghitung efisiensi dari unit-unit organisasi lainnya yang tidak berada pada garis perbatasan yang efisien sehingga dapat memberikan informasi tentang unit-unit yang tidak menggunakan input secara efisien.
Data Envelopment menghitung efisiensi relatif pada sebuah organisasi yang berada dalam kelompok terhadap kinerja organisasi terbaik pada kelompok yang sama. DEA biasanya digunakan untuk mengukur efisisensi pelayananan yang diberikan oleh pemerintah, organisasi non profit maupun BUMN. Unit individual yang dianalisa ini didalam DEA disimbolkan sebagai DMU (Decision Making Unit) atau Unit Pengambilan Keputusan.
Analisis data envelopment (DEA) sebagaimana dikembangkan oleh Charnes
et al., (1991) merupakan suatu metode dasar pada sebuah program linear untuk mengevaluasi efisiensi relatif dari beberapa DMU dengan input dan output. Salah satu masalah penting dalam DEA yang telah diteliti oleh banyak kalangan meng-enai DEA adalah analisis sensitivitas dari DMU0 tertentu di bawah unit yang di
evaluasi. Ketertarikan untuk menganalisis sensitivitas DMU frontier berdasarkan Charne et al., (1991), yang terdiri dari himpunan E (sangat efisien), himpunan
E (efisien tapi tidak sangat efisien), dan himpunan F (sangat kurang efisien).
Salah satu tipe analisis sensitifitas DMU adalah berdasarkan pendekatan DEA super efisiensi dimana uji DMU tidak disertakan dalam himpunan referensi (Anderson dan Peterson, Seiford dan Zhu). Charneset al., mengembangkan teknik analisis sensitifitas super efisiensi DEA untuk situasi dimana perubahan propor-sional di asumsikan terhadap suatu input dan output untuk uji DMU. Seiford dan Zhu menciptakan teknik pada Charnes et al., untuk skenario kasus terbu-ruk dimana efisiensi uji DMU menurun sementara efisiensi pada DMU yang lain meningkat. Dalam metodenya, pertubasi data simultan pada input atau output untuk DMUj (j 6= 0) dan DMU0 diasumsikan dengan persyaratan penting dan
memadai untuk mempertahankan klasifikasi efisiensi DMU, dikembangkan secara khusus.
9
2.2.1 Orientasi model
Dalam analisis pendekatan DEA terdapat dua pengklasifikasian dasar mo-del berdasarkan orientasinya yaitu DEA dengan orientasi input dan DEA dengan orientasi Output. Orientasi ini tergantung pada keterbatasan kontrol oleh man-ajemen/pengguna model DEA baik terhadap input atau output yang dimiliki oleh unit tersebut. Model DEA yang berorientasi pada output, digunakan pada unit yang telah memiliki input yang memadai sehingga manajemen unit tersebut hanya berfokus pada output dan pengembangannya melalui stratergi pemasaran atau menaikkan reputasi kualitas pelayanannya di mata pelanggan.
Jika sebuah organisasi secara teknis tidak efisien dari suatu perspektif yang berorientasi input, maka dia juga akan secara teknis tidak efisien dari suatu per-spektif yang berorientasi output. Dalam pendekatan DEA dikenal dua model pendekatan berdasar hubungan antara variabel input dengan outputnya yaitu mo-del CRS (Constant Returns To Scale) yang dikemukakan oleh Charnes, Cooper dan Rhodes (1978l) serta model VRS (Variable Returns To Scale) yang dikem-bangkan oleh Banker (1984) dari model pendahulunya. Model dengan kondisi CRS mengindikasikan bahwa penambahan terhadap faktor produksi (input), tidak
akan memberikan dampak pada tambahan produksi (ouput).
10
Dengan demikian akan mereduksi multiple input dan multiple outputs ke dalam satu virtual input dan virtual output tanpa membutuhkan penentuan awal nilai bobot. Oleh karena itu, ukuran efisiensi merupakan suatu fungsi nilai bobot dari kombinasi virtual input dan virtual output. Ada juga konsep yang digunakan dalam mendefinisikan hubungan input output dalam tingkah laku dari institusi finansial pada metode parametrik maupun nonparametrik adalah :
i. Pendekatan produksi (the production approach),
ii Pendekatan intermediasi (the intermediation approach), dan
iii Pendekatan asset (the asset approach). Pendekatan produksi melihat in-stitusi finansial sebagai produser dari akun deposit (deposit accounts) dan kredit pinjaman (loans); mendefinisikan output sebagai jumlah dari akun-akun tersebut atau dari transaksi-transaksi yang terkait.
Input-input dalam kasus ini dihitung sebagai jumlah dari tenaga kerja, pengelu-aran modal pada aset-aset tetap (fixed assets) and material lainnya.
2.2.2 Asumsi model
Dalam menerapkan model pendekatan DEA, terdapat asumsi-asumsi yang mendasarinya (Ramanathan: 2003) yaitu :
1. DMU harus merupakan unit-unit yang homogenis, yaitu memiliki fungsi dan tujuan yang sama.
2. Jumlah ukuran DMU dari unit-unit yang disampel besarnya 2 atau 3 kali penjumlahan input dan output
2.2.3 Kegunaan DEA
Dengan menggunakan DEA, selain digunakan untuk mengidentifikasikan unit dengan kinerja terbaik, manajemen perawatan kesehatan bisa juga menggu-nakannya untuk menemukan cara-cara alternatif guna mendorong unit perawatan
11
kesehatan lainnya agar menjadi unit berkinerja baik. Selain itu DEA dapat mem-bantu para manajer kesehatan untuk:
1. Menilai kinerja relatif organisasi mereka dengan mengidentifikasi unit de-ngan kinerja terbaik di pasar perawatan kesehatan.
2. Mengidentifikasi cara-cara untuk meningkatkan kinerja apabila organisasi bukan termasuk golongan organisasi dengan kinerja terbaik.
2.2.4 Keterbatasan DEA
Selain kegunaanya yang besar di bidang jasa perawatan kesehatan, DEA pun memiliki keterbatasan-keterbatasan dalam pengaplikasiannya, antara lain :
1. Karena rumus standar DEA menciptakan program linier terpisah untuk se-tiap DMU, masalah besar komputasi kerap terjadi.
2. DEA adalah teknik nonparametrik/deterministik maka uji hipotesis statis-tik sulit dilakukan.
3. Karena DEA merupakan sebuah teknik titik ekstrim, maka kesalahan pe-ngukuran dapat menyebabkan masalah yang signifikan.
4. Hasil pengolahan data dengan memanfaatkan model DEA dapat dengan baik memperkirakan efisiensi relatif dari suatu DMU dibandingkan dengan DMU lainnya namun akan sulit bila menggunakan pendekatan DEA untuk menentukan nilai efisiensi mutlak suatu DMU secara teoritis
2.3 Efisiensi Relatif
12
macam input dan menghasilkan satu macam output saja. Suatu organisasi atau perusahaan sebenarnya berhubungan dengan bermacam-macam sumber daya baik input maupun output yang berbeda. Cara Pengukuran yang digunakan dalam me-tode DEA adalah membandingkan antara input dan output yang dihasilkan dan input yang ada, yaitu :
Efisiensi= Output
input
Metode DEA akan menggunakan program linear dalam menentukan efisiensi relatif terhadap sejumlah decision making unit (DMU). Dalam hal ini bertujuan yang ingin dicapai ialah mendapatkan DMU terbaik diantara sejumlah DMU yang lain dengan membandingkan efisiensi DMU-DMU tersebut.
2.4 Analisis Sensitivitas
Solusi optimal dalam persoalan LP diperoleh di bawah asumsi kondisi de-terminstik (certainty condition), artinya data yang dilibatkan dalam formulasi modelnya bersifat pasti, seperti : harga tetap, kapasitas sumber diketahui secara pasti dan waktu proses yang dibutuhkan telah ditentukan secara pasti. Namun dalam dunia nyata, kondisi deterministik ini tidak realistik : kondisi bersifat di-namis dan selalu ada kemungkinan untuk berubah. Untuk mengantisipasi situasi ini, dibutuhkan suatu analisis sensitivitas untuk mengetahui kepekaan tingkat op-timal terhadap kemungkinan perubahan setiap variabel yang dilibatkan dalam formulasi modelnya.
Analisa perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi Program Linier disebut Post Optimality Analisis. Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai parameter yang digunakan dalam model. Atau Analisis Postop-timal (disebut juga analisis pasca opPostop-timal atau analisis setelah opPostop-timal, atau analisis kepekaan dalam suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu atau beberapa atau semua parameter model terse-but berubah atau menjelaskan pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada.
13
Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postop-timal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut di-atas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya dipelajari melalui Post Optimality analysis dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu:
1. Analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk meli-hat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisa Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parame-ter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameparame-ter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai para-meter tersebut.
2. Analisis yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisis sensitivitas.
3. Analisis yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menen-tukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan Parametric-Programming.
Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier maka analisis sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter :
(1). Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj),
(2). Perubahan Koefisien teknologi (aij) (koefisien input-output),
14
(4). Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m)
(5). Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj) (pe-rubahan nilain).
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Para pengambil keputusan mengakui bahwa masa depan adalah tidak pasti, tetapi usaha-usaha formal untuk memasukan ketidakpastian dalam pengambilan keputusan jarang dilakukan. Akibatnya, banyak keputusan yang biasa yang diam-bil. Banyak permasalahan dalam bidang engineering, ekonometris, riset operasi, dan bidang lainnya yang memerlukan optimasi suatu fungsi dengan satu atau be-berapa variabel independen. Diantara metode tradisional untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah dengan pemograman matematis seperti pemogra-man linier atau metode simpleks, pemograpemogra-man dinamis, dan lain-lain. Dalam metode-metode ini beberapa persamaan harus dilakukan serangkaian percobaan untuk melihat kemungkinan solusi agar memperoleh hasil yang terbaik. Namun apabila fungsinya tidak linier dan ada beberapa variabel, maka usaha keras harus dilakukan. Dengan metode untuk menyelesaikan permasalahan analisis sensitivi-tas dan stabilisensitivi-tas dalam model ketidakpastian DEA maka diperlukan faktor-faktor yang mendukung dalam pengambilan keputusan. Pemodelan dilakukan dalam dua langkah sebagai berikut.
3.1 Model Ketidakpastian
Langkah pertama dalam pengujian ketahanan adalah identifikasi dari tiga penyebab utama ketidakpastian model, yaitu dalam teori tertentu yang tidak memungkinkan penerapan suatu proses dalam menghasilkan data, populasi tidak diketahui, dan kesenjangan antara konsep sistematis dan pengukuran.
Dengan asumsikan bahwa x adalah vektor keputusan dan ξ adalah vektor ketidakpastian. Karena fungsi tujuan ketidakpastianf(x, ξ) tidak dapat langsung diminimalkan, maka untuk dapat meminimalkan nilai yang diharpkan, yaitu :
minxE[f(x, ξ)]
16
Liu (2007 & 2010) menjelaskan teori ketidakpastian yang telah menjadi ca-bang aksiomatik matematika untuk pemodelan ketidakpastian manusia. Pada bagian ini, beberapa konsep dasar dan hasilnya merupakan variabel ketidakpas-tian.
Misalkan Γ adalah sebuah himpunan kosong, dan l sebuah σ aljabar batas untuk Γ. Dimana elemen∧ ∈ l adalah ditugaskan untuk bilangan M{∧} ∈[0,1] dalam rangka untuk memastikan bahwa jumlahM{∧}memiliki sifat matematika tertentu. Liu (2007 & 2009) memperkenalkan 4 aksioma, yaitu :
Aksioma 1. M{Γ}= 1 untuk seluruh himpunan Γ. Aksioma 2. M{∧}+M{∧c
}= 1 untuk peristiwa ∧ apapun.
Aksioma 3. Untuk setiap urutan dihitung peristiwa∧1,∧2, . . . ,yang mempunyai
M{∪∞
i=1∧i} ≤P∞i=1M{∧}.
Aksioma 4. Misalkan (Γk, lk, Mk) menjadi ruang ketidakpastian bagik = 1,2, . . . , n.
Kemudian ukuran ketidakpastian M merupakan ukuran ketidakpastian dalam memuaskan M{Πn
k=1∧k}=min{1≤k≤n}Mk{∧k}.
Jika fungsi himpunan M memenuhi tiga aksioma, hal ini disebut ukuran ketidak-pastian. Maka Liu (2007) menjelaskan beberapa definisi, yaitu :
Definisi 1. Misalkan Γ adalah himpunan kosong, dan l sebuah σ aljabar batas untuk Γ, dan M adalah ruang ketidakpastian. Kemudian ditempatkan keti-ga atau triplet (Γ, l, M) yang disebut ruang ketidakpastian.
Definisi 2. Sebuah variabel ketidakpastian adalah sebuah ukuran fungsi ζ dari sebuah ruang ketidakpastian (Γ, l, M) ke himpunan bilangan real, dan seterus-nya. Untuk semua himpunan B dari bilangan real, himpunannya :
{ξ ∈B}={γ ∈Γ}|ξ(γ)∈B} (3.1)
untuk semua bilangan realx.
17
Definisi 3. Distribusi ketidakpastian Φ dari sebuah variabel ketidakpastian ξ
yang merupakan definisi dari.
Φ(x) =M{ξ ≤x} (3.2)
Definisi 4. Misalkan ξ adalah variabel ketidakpastian, maka nilai yang diharap-kan dari ξ adalah didefinisikan oleh
E|ξ|=
Contoh 1. Sebuah variabel ketidakpastian ξ disebut linear jika memiliki dis-tribusi linear ketidakpastian.
dinotasikan denganl(a, b) dimana a dan b merupakan bilangan real terhadap
a < b.
Contoh 2. Sebuah variabel ketidakpastian ξ disebut berliku-liku (zigzag) jika memiliki distribusi zigzag ketidakpastian.
Φ(x) =
dinotasikan dengan Z(a, b) dimana a dan b merupakan bilangan real ter-hadap a < b.
Contoh 3. Sebuah variabel ketidakpastianξ disebut normal (zigzag) jika memi-liki distribusi normal ketidakpastian.
Φ(x) = (1 +exp(pi(√e−x)
3σ )) (3.6)
dinotasikan dengan N(e, σ) dimana e dan σ merupakan bilangan real ter-hadap σ <0.
Definisi 5. Sebuah distribusi ketidakpastian P
18
untuk meningkatkan fungsi, kemudian
ξ=f(ξ1, ξ2, . . . , ξn) (3.7)
adalah sebuah variabel ketidakpastian dengan invers distribusi ketidakpas-tian.
3.3 Model Ketidakpastian Dalam DEA
Bagian ini akan memperkenalkan salah satu model ketidakpastian dalam DEA, yang diusulkan oleh Wen et al., (2007). Simbol dan notasi yang diberikan sebagai berikut :
Diberikan model sebagai berikut :
19
solusi optimal dari rumus (3.9).
3.4 Analisis Sensitivitas dan Stabilitas
Bagian ini akan memberikan analisis sensitivitas dan stabilitas model keti-dakpastian DEA.
Teorema 2. Jika DMU0 adalah αyang tidak efisien, kemudian memenuhi solusi
optimalλ∗
0(α) = 0.
Bukti. Asumsikan sebuah target DMU0 yang merupakan DMU1, yaitu : x0 =
x1, y0 = y1. Untuk α tetap, misalkan solusi optimal (λ∗, s−∗, s+
∗
) dan nilai objektif optimal adalah Pp
i=1s
rema terbukti. Sebaliknya, misalkan λ1 > 0. Karena DMU1 tidak efisien,
terdapat setidaknya satu s−∗i > 0 atau s+∗
j > 0,;i = 1,2, . . . , q. tanpa
mengurangi bentuk umum, asumsikan s−∗1 > 0. Jika λ∗1 = 1, kemudian
M{x11≤x11−s−∗1 }= 0. Kontradiksi menyiratkan bahwa λ∗1 6= 1.
Hal serupa bisa didapatkan dengan
20
solusi layak. Kemudian nilai objektifnya adalah 1 1−λ∗
dengan asumsi λ−1∗ = 0 kemudian teorema tersebut terbukti.
Teorema 3. Jika sebuah DMU dengan (x0, y0) tidak efisien setelah mengevaluasi
model rumus (3.9), DMU baru dengan (ˆx,yˆ) = (˜x0−s−∗,y˜0+s+∗) merupakn
efisien dari α, dimana s−∗ dan s+∗ adalah solusi optimal dari rumus (3.9).
Bukti : efisiensi (ˆx,yˆ) dievaluasi dengan pemecahan masalah di bawah ini :
max
Biarkan solusi optimal menjadi (ˆλ,ˆs+
,sˆ−). Andaikan DMU dengan (ˆx
0,yˆ0)
tidak efisien, maka λ0 = 0 bisa didapatkan dengan Teorema 2. Dengan
21
Namun, bisa juga menulis kendala sebagai berikut :
M{
Karena kendala ini adalah solusi yang layak untuk model (9) dan Ppi=1s
−∗
i +
Pq j=1s
+∗
j adalah maksimal. berarti bahwa memiliki
PP
Teorema 3 telah memberikan wilayah stabil saat DMU yang tidak efisien. Tapi juga ingin mengetahui radius efisien DMUs yang efisien. Untuk tujuan ini,
model berikut ini diusulkan :
22
Bukti : Mempertimbangkan model dea berikut ini untuk mengevaluasi efisiensi relatif dari DMU yang disesuaikan:
max
Untuk A tetap, biarkan solusi optimal untuk menjadi (λ∗
j, λ∗0, s−∗, s
+∗) dan sama bahwa DMU0 tidak efisien. Dari teorema 2, mendapatkan λ∗0 = 0. Sehingga
solusi optimal ini adalah solusi yang layak untuk (3.14). Maka t+i∗ −s
−∗
Ini mengarah ke kontradiksi dengan asumsi.
23
24
Kumbhakar (2002) telah mengembangkan model Just dan Pope dengan mengkaitkan antara ketidakpastian produksi, pilihan ketidakpastian dan ketidak-pastian produksi. Penelitiannya menggunakan data cross section dari budidaya Salmon di Norwegia. Hasil penelitiannya menunjukkan bahwa sebagian besar nelayan bersifat penghindar ketidakpastian. Pakan ikan memiliki potensi un-tuk meningkatkan ketidakpastian produksi sedangkan tenaga kerja manusia dapat menurunkan ketidakpastian produksi. Sementara itu bila dilihat dari sisi efisiensi teknis ditemukan bahwa pakan meningkatkan inefisiensi teknis, sedangkan tenaga kerja menurunkan tingkat inefisiensi teknis.
Liu (2009) menganalisis faktor-faktor yang menentukan penggunaan pestisi-da papestisi-da usahatani kapas di China. Hasil analisisnya menunjukkan bahwa semakin takut petani terhadap ketidakpastian atau semakin risk averse, maka semakin banyak pestisida yang digunakan. Petani-petani yang tidak begitu takut keti-dakpastian produksi, mereka menggunakan pestisida yang lebih sedikit. Ketika petani memutuskan untuk menggunakan seberapa banyak pestisida yang harus digunakan, memaksimumkan keuntungan tidak lagi menjadi tujuan utama.
Petani-petani itu juga tidak memperhatikan kondisi kesehatannya dan
ke-mungkinan keracunan pestisida. Hasil analisis ini memiliki implikasi kebijakan yang penting diantaranya : (1) memberikan jaminan atas kegagalan usahatani sangat diperlukan untuk mengurangi ketakutan petani dalam menghadapi risiko, (2) memberikan pelatihan-pelatihan untuk adopsi teknologi baru yang lebih men-guntungkan dan dapat menurunkan penggunaan pestisida, dan (3) membuat at-uran tentang pemasaran benih supaya dipasar tidak ada benih yang berkualitas rendah.
BAB 4 KESIMPULAN
Dari hasil penelitian diatas, rentang input dan output dan radius stabilitas DMU0 diidentifikasi sebagai berikut:
1. Dalam pengambilan keputusan atau DMU0 α tidak efisien jika (ˆx0,yˆ0) =
merupakan solusi optimal pemodelan ketidakpastian DEA dalam menganal-isis sensitivitas dan stabilitas parameter DMU.
2. Dan untuk menghitung radius yang efisien dalam pemodelan ketidakpastian DEA dalam menganalisis sensitivitas dan stabilitas jika (ˆx0,yˆ0) = (˜x0 −
DAFTAR PUSTAKA
Banker R. D. A. Charnes, W.W. Cooper.(1984).Some Models for Estimating Tech-nical and Scale Efficiencies in Data Envelopment Analysis,Management Sci-ence Vol.30, pp.1078-1092.
Charnes A.and w.w. Cooper, E. Rodes.(1978).Measuring the Efficiency of Decision Making Units,European Journal of Operational Research,Vol.2,pp.429-444.
Charnes A. J. Rousseau, J. Semple.(1996).Sensitivity and Stability of Efficiency Classifications in Data Envelopment Analysis,Journal of Productivity Analy-sis, Vol.7,pp.5-18.
Charnes A, L. Neralic.(1990).Sensitivity Analysis of the Additive Model in Data Envelopment Analysis,European Journal of Operational Re-search,Vol.48,pp.3323441.
Charnes A. S. Haag, P. Jaska, J. Semple.(1992).Sensitivity of Efficiency Classifi-cations in the Additive Model of Data Envelopment Analysis,International Journal of Systems Science, Vol.23,pp.789-798.
Charnes A, W.W. Cooper, A.Y. Lewin, R.C. Morey, J. Rousseau.(1985).Sensitivity and Stability Analysis in DEA,Annals of Operations Research ,Vol.2,pp.139-156.
Cooper W.W. K.S. Park, J.T. Pastor.(1999).RAM : A Range Adjusted Measure of Inefficiency for Use With Additive Models, and Relations to Other Models and Measures in DEA,Journal of Productivity Analysis, Vol.11,pp.5-24.
Cooper W.W, K.S. Park, G. Yu.(1999).IDEA and AR-IDEA: Models for Dealing With Imprecise Data in DEA,Management ScienceVol.45,pp.597-607.
Cooper W.W. K.S. Park, G. Yu.(2001).IDEA (Imprecise Data Envelopment Anal-ysis) with CMDs (Column Maximum Decision Making Units),The Journal of the Operational Research Society,Vol.52,pp.176-181.
Cooper W.W. K.S. Park, G. Yu.(2001).An Illustrative Application of IDEA (Im-precise Data Envelopment Analysis) to a Korean Mobile Telecommunication Company,Operations Research, Vol.49,pp.807-820.
Entani T, Y. Maeda, H. Tanaka.(2002).Dual Models of Interval DEA and its Exten-sion to Interval Data,European Journal of Operational Research ,no.136,pp.32-45.
Guo, P., Tanaka, H. (2001). Dual Model of Interval DEA and its Extension to Interval Data. European journal of Operational Research. 136, 32-45.
Just, R.E and R.D. Pope. 1979. Production Function Estimation and related Risk Considerations. American Journal of Agricultural Economics 61:67-86.
Kao, C., Liu, S.T. (2000). Fuzzy Efficiency measure in Data Envelopment Analysis.
Fuzzy Sets and Systems. 119, 149-160.
Kumbhakar, S.C. and R. Tveteras. 2003. Risk Preferences”, Production Risk and Firm.
26
27
Lertworasirikul, S., Fang, S.C., Joined, H.L., Nuttle, W. (2003). Fuzzy Data Envel-opment Analysis (DEA) : A Possibility Approach. Fuzzy Sets and Systems.
139, 379-394.
Liu B.(2007).Uncertainty Theory,2nd ed, Springer-Verlag, Berlin.
Liu B.(2009).Some Research Problems in Uncertainty Theory,, Journal of Uncer-tain Systems, Vol.3, No.1,pp.3-10.
Liu B.(2010).Uncertainty Theory: A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty,Springer-Verlag, Berlin.
Petersen N.C.(1990).Data Envelopment Analysis on a Relaxed Set of Assump-tions,Management Science, Vol.36,No.3,pp.305-313.
Seiford L.M. J. Zhu.(1998).Stability Regions for Maintaining Efficiency in Data Envelopment Analysis,European Journal of Operational Research, Vol.108,no.1,pp.127-139.
Seiford L.M. J. Zhu.(1999).Infeasibility of Super Efficiency Data Envelopment Analysis Model,INFOR, 37,2, 174-187.
Tone, K.(2001). A Slack-Based Measure of Efficiency in Data Envelopment Anal-ysis,European Journal of Operational Research, 130, 498-509.
Wen, Meilin. You, Cuilian. (2007). A Fuzzy data Envelopment Analysis (DEA) Model With Credibility Measure,Technical Report.
