2.1 Konsep Program Linear
Program linear merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk lin-ear dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematik tertentu. Jadi pengertian program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analistis yang analisanya menggunakan model matematis, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pe-mecahan optimum terhadap persoalan (Aminudin,2005).
2.1.1 Bentuk umum program linear
1. Bentuk umum program linear untuk kasus memaksimalkan fungsi sasaran : MaksimumZ =Pnj=1cjxj
Dengan batasan : P
j=1xj ≤bi, untuk i= 1,2, . . . , m.
xj ≥ 0, untuk j = 1,2, . . . , n
Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan
Z =c1x1+c2x2+. . .+cnxn Dengan batasan :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn≤bi a21x1+a22x2+. . .+a2nxn≤b2
. . . .
am1x1+am2x2+. . .+amnxn≤b3
x1, x2, . . . , xn≥0
P
j=1xj ≤bi, untuk i= 1,2, . . . , m. xj ≥ 0, untuk j = 1,2, . . . , n
Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan
Z =c1x1+c2x2+. . .+cnxn
Dengan batasan :
a11x1+a12x2+. . .+a1nxn≥bi a21x1+a22x2+. . .+a2nxn≥b2
. . . .
am1x1+am2x2+. . .+amnxn≥b3
x1, x2, . . . , xn≥0
Keterangan
Z : Fungsi Tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal, minimal). cj : Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan xj dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatanjterhadap
Z.
n: Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia. m : Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
xj : Tingkat kegiatan ke-j.
aij : Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatanj.
bi : Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan.
Terminologi umum untuk model program linear diatas dapat dirangkum sebagai berikut :
1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut sebagai fungsi tujuan (objective function).
2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu :
(b) Fungsi batasan non negatif (non-negative contrains) yaitu variabelxj ≥ 0.
3. Variabel-variabelxj disebut sebagai variabel keputusan (decision variable).
4. Parameter model yaitu masukan konstan aij, bi, cj.
2.1.2 Asumsi program linear
Agar penggunaan program linear diatas memuaskan tanpa terbentur pa-da berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi pa-dasar program linear (Amin-udin,2005) sebagai berikut:
1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linear dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan da-pat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.
4. Deterministic (Certainty), berarti bahwa semua parameter (aij, bi, cj) yang terdapat pada program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataanya tidak sama persis.
2.2 Data Envelopment Analysis
menggunakan input dalam memberikan output tertentu dengan cara yang pa-ling optimal dan DEA menggunakan informasi ini untuk membentuk perbatasan (frontier) efisiensi dari data unit-unit organisasi yang tersedia. DEA menggunakan perbatasan efisien ini untuk menghitung efisiensi dari unit-unit organisasi lainnya yang tidak berada pada garis perbatasan yang efisien sehingga dapat memberikan informasi tentang unit-unit yang tidak menggunakan input secara efisien.
Data Envelopment menghitung efisiensi relatif pada sebuah organisasi yang berada dalam kelompok terhadap kinerja organisasi terbaik pada kelompok yang sama. DEA biasanya digunakan untuk mengukur efisisensi pelayananan yang diberikan oleh pemerintah, organisasi non profit maupun BUMN. Unit individual yang dianalisa ini didalam DEA disimbolkan sebagai DMU (Decision Making Unit) atau Unit Pengambilan Keputusan.
Analisis data envelopment (DEA) sebagaimana dikembangkan oleh Charnes et al., (1991) merupakan suatu metode dasar pada sebuah program linear untuk mengevaluasi efisiensi relatif dari beberapa DMU dengan input dan output. Salah satu masalah penting dalam DEA yang telah diteliti oleh banyak kalangan meng-enai DEA adalah analisis sensitivitas dari DMU0 tertentu di bawah unit yang di
evaluasi. Ketertarikan untuk menganalisis sensitivitas DMU frontier berdasarkan Charne et al., (1991), yang terdiri dari himpunan E (sangat efisien), himpunan
E (efisien tapi tidak sangat efisien), dan himpunan F (sangat kurang efisien).
Salah satu tipe analisis sensitifitas DMU adalah berdasarkan pendekatan DEA super efisiensi dimana uji DMU tidak disertakan dalam himpunan referensi (Anderson dan Peterson, Seiford dan Zhu). Charneset al., mengembangkan teknik analisis sensitifitas super efisiensi DEA untuk situasi dimana perubahan propor-sional di asumsikan terhadap suatu input dan output untuk uji DMU. Seiford dan Zhu menciptakan teknik pada Charnes et al., untuk skenario kasus terbu-ruk dimana efisiensi uji DMU menurun sementara efisiensi pada DMU yang lain meningkat. Dalam metodenya, pertubasi data simultan pada input atau output untuk DMUj (j 6= 0) dan DMU0 diasumsikan dengan persyaratan penting dan
2.2.1 Orientasi model
Dalam analisis pendekatan DEA terdapat dua pengklasifikasian dasar mo-del berdasarkan orientasinya yaitu DEA dengan orientasi input dan DEA dengan orientasi Output. Orientasi ini tergantung pada keterbatasan kontrol oleh man-ajemen/pengguna model DEA baik terhadap input atau output yang dimiliki oleh unit tersebut. Model DEA yang berorientasi pada output, digunakan pada unit yang telah memiliki input yang memadai sehingga manajemen unit tersebut hanya berfokus pada output dan pengembangannya melalui stratergi pemasaran atau menaikkan reputasi kualitas pelayanannya di mata pelanggan.
Jika sebuah organisasi secara teknis tidak efisien dari suatu perspektif yang berorientasi input, maka dia juga akan secara teknis tidak efisien dari suatu per-spektif yang berorientasi output. Dalam pendekatan DEA dikenal dua model pendekatan berdasar hubungan antara variabel input dengan outputnya yaitu mo-del CRS (Constant Returns To Scale) yang dikemukakan oleh Charnes, Cooper dan Rhodes (1978l) serta model VRS (Variable Returns To Scale) yang dikem-bangkan oleh Banker (1984) dari model pendahulunya. Model dengan kondisi CRS mengindikasikan bahwa penambahan terhadap faktor produksi (input), tidak
akan memberikan dampak pada tambahan produksi (ouput).
Dengan demikian akan mereduksi multiple input dan multiple outputs ke dalam satu virtual input dan virtual output tanpa membutuhkan penentuan awal nilai bobot. Oleh karena itu, ukuran efisiensi merupakan suatu fungsi nilai bobot dari kombinasi virtual input dan virtual output. Ada juga konsep yang digunakan dalam mendefinisikan hubungan input output dalam tingkah laku dari institusi finansial pada metode parametrik maupun nonparametrik adalah :
i. Pendekatan produksi (the production approach),
ii Pendekatan intermediasi (the intermediation approach), dan
iii Pendekatan asset (the asset approach). Pendekatan produksi melihat in-stitusi finansial sebagai produser dari akun deposit (deposit accounts) dan kredit pinjaman (loans); mendefinisikan output sebagai jumlah dari akun-akun tersebut atau dari transaksi-transaksi yang terkait.
Input-input dalam kasus ini dihitung sebagai jumlah dari tenaga kerja, pengelu-aran modal pada aset-aset tetap (fixed assets) and material lainnya.
2.2.2 Asumsi model
Dalam menerapkan model pendekatan DEA, terdapat asumsi-asumsi yang mendasarinya (Ramanathan: 2003) yaitu :
1. DMU harus merupakan unit-unit yang homogenis, yaitu memiliki fungsi dan tujuan yang sama.
2. Jumlah ukuran DMU dari unit-unit yang disampel besarnya 2 atau 3 kali penjumlahan input dan output
2.2.3 Kegunaan DEA
kesehatan lainnya agar menjadi unit berkinerja baik. Selain itu DEA dapat mem-bantu para manajer kesehatan untuk:
1. Menilai kinerja relatif organisasi mereka dengan mengidentifikasi unit de-ngan kinerja terbaik di pasar perawatan kesehatan.
2. Mengidentifikasi cara-cara untuk meningkatkan kinerja apabila organisasi bukan termasuk golongan organisasi dengan kinerja terbaik.
2.2.4 Keterbatasan DEA
Selain kegunaanya yang besar di bidang jasa perawatan kesehatan, DEA pun memiliki keterbatasan-keterbatasan dalam pengaplikasiannya, antara lain :
1. Karena rumus standar DEA menciptakan program linier terpisah untuk se-tiap DMU, masalah besar komputasi kerap terjadi.
2. DEA adalah teknik nonparametrik/deterministik maka uji hipotesis statis-tik sulit dilakukan.
3. Karena DEA merupakan sebuah teknik titik ekstrim, maka kesalahan pe-ngukuran dapat menyebabkan masalah yang signifikan.
4. Hasil pengolahan data dengan memanfaatkan model DEA dapat dengan baik memperkirakan efisiensi relatif dari suatu DMU dibandingkan dengan DMU lainnya namun akan sulit bila menggunakan pendekatan DEA untuk menentukan nilai efisiensi mutlak suatu DMU secara teoritis
2.3 Efisiensi Relatif
or-macam input dan menghasilkan satu or-macam output saja. Suatu organisasi atau perusahaan sebenarnya berhubungan dengan bermacam-macam sumber daya baik input maupun output yang berbeda. Cara Pengukuran yang digunakan dalam me-tode DEA adalah membandingkan antara input dan output yang dihasilkan dan input yang ada, yaitu :
Ef isiensi= Output input
Metode DEA akan menggunakan program linear dalam menentukan efisiensi relatif terhadap sejumlah decision making unit (DMU). Dalam hal ini bertujuan yang ingin dicapai ialah mendapatkan DMU terbaik diantara sejumlah DMU yang lain dengan membandingkan efisiensi DMU-DMU tersebut.
2.4 Analisis Sensitivitas
Solusi optimal dalam persoalan LP diperoleh di bawah asumsi kondisi de-terminstik (certainty condition), artinya data yang dilibatkan dalam formulasi modelnya bersifat pasti, seperti : harga tetap, kapasitas sumber diketahui secara pasti dan waktu proses yang dibutuhkan telah ditentukan secara pasti. Namun dalam dunia nyata, kondisi deterministik ini tidak realistik : kondisi bersifat di-namis dan selalu ada kemungkinan untuk berubah. Untuk mengantisipasi situasi ini, dibutuhkan suatu analisis sensitivitas untuk mengetahui kepekaan tingkat op-timal terhadap kemungkinan perubahan setiap variabel yang dilibatkan dalam formulasi modelnya.
Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postop-timal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut di-atas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya dipelajari melalui Post Optimality analysis dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu:
1. Analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk meli-hat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisa Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parame-ter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameparame-ter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai para-meter tersebut.
2. Analisis yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisis sensitivitas.
3. Analisis yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menen-tukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan Parametric-Programming.
Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier maka analisis sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter :
(1). Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj),
(2). Perubahan Koefisien teknologi (aij) (koefisien input-output),
(4). Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m)
