ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENJUMLAHAN DUA BILANGAN BULAT BERPANGKAT TIGA
Oleh
YOGYA PERDANA
Godfrey Harold “G. H.” Hardy (1877-1947) adalah matematikawan Inggris terkemuka, dikenal karena pencapainannya dalam teori bilangan dan analisis matematika. Dia telah menyelidiki dan mencari pembuktian dari sifat-sifat penjumlahan dari dua buah bilangan pangkat tiga, pada tahun 1920. Sebuah karakteristik dasar dari bilangan bulat positif yang dapat dijabarkan sebagai jumlah atau selisih dari dua kubik yang diberikan. Setiap bilangan bulat mempunyai kelipatan terkecil dimana jumlah dari dua kubik dan kelipatannya, di dalam hal dari sebuah fungsi gabungan iterasi dari bilangan bulat, itu nantinya akan berperiode dengan periode 1 atau 2. Penjabaran dari beberapa bilangan bulat sebagai jumlah dari 2 kubik untuk menetapkan modulus adalah selalu mungkin, jika dan hanya jika modulus tidak dapat dibagi oleh 7 atau 9.
Kata Kunci :Sum of Two Cubes, Positive Integer, Modulo, Congruence, Prime.
ABSTRACT
CUBES
By
YOGYA PERDANA
Godfrey Harold “G. H.” Hardy (1877-1947) was an English mathematician, known for his achievement in number theory and mathematical analysis. At 1920, he was research and found the proofs for the characteristic sum of two cubes. An intrinsic characterization of positive integer which can be represented as the sum or difference of two cubes is given. Every integer has a smallest multiple which is a sum of two cubes and such that the multiple, in the form of an iterated composite function of integer, is eventually periodic with period one or two. The representation of any integer as sum of two cubes to a fixed modulus is always possible if and only if the modulus is not divisible by 7 or 9.
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan.
2.1 Bilangan Bulat
Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
Secara umum apabila bilangan bulat dan bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan dan sedemikian sehingga :
= + ,0 <
Dalam hal ini, disebut hasil bagi dan adalah sisa pada pembagian " dibagi dengan ". Jika = 0maka dikatakan habis dibagi dengan , dan ditulis | . untuk tidak habis dibagi ditulis .
Konsep di atas dapat dinyatakan dalam definisi berikut : Definisi 2.1.1
Bilangan bulat membagi habis bilangan bulat (ditulis | ) jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat sehingga = .
Jika tidak membagi habis maka (Sukirman. 1997).
Contoh:
1. 3|18, sebab 18 = 3 dengan = 6
2. 3 10, sebab tidak ada bilangan bulat sehingga 10 = 3 . Sifat-sifat penting keterbagian dinyatakan dalam teorema berikut :
Untuk bilangan-bilangan bulat , , dan berlaku :
8. Jika | maka | , untuk bilangan bulat sebarang.
9. Jika | dan | maka |( + ), untuk sebarang bilangan bulat dan . (Burton, 1994).
Bukti :
(1) Untuk |0, ada suatu bilangan bulat sehingga = 0,
karena 0, maka haruslah = 0sehingga |0. Untuk1| , 1 = , haruslah = sehingga1| . untuk | , = , haruslah = 1sehingga | .■
(2) Misalkan 1, atau 1Maka = 1, karena dan bilangan bulat, haruslah dan sama dengan±1.■
(3) Jika | maka ada suatu bilangan sehingga = , dan jika | maka ada suatu bilangan bulat sehingga = . Jika | dan | maka berlaku :
=
= ( = , untuk setiap bilangan bulat) =
(4) Dengan mengikuti sifat (3), maka | dapat ditulis dengan = , dan | dapat ditulis dengan = .
+ = +
( + ) = + ( + = , untuk bilangan bulat)
= +
Dengan demikian, benar bahwa |( + ).■
(5) Jika | , ada suatu bilangan bulat sehingga dapat ditulis dengan =
= ( = , untuk setiap bilangan bulat) = , dapat ditulis dengan |
= ( = , untuk setiap bilangan bulat) =
Dengan demikian, benar bahwa | .■
(6) Dengan mengikuti sifat (2), jelas jika | , maka | .■
(7) Jika | , maka terdapat bilangan bulat sehingga = , dan jika | maka terdapat bilangan bulat sehingga =
Jika | dan | maka : =
= ( = , untuk setiap bilangan bulat) =
Dengan demikian, jika | dan | maka | .■ (8) Jika | , maka terdapat bilangan bulat sehinga =
=
= ( = , untuk setiap bilangan bulat) =
Dengan demikian jika | maka | untuk setiap bilangan bulat sebarang.■
(9) Jika | , maka terdapat bilangan bulat sehingga = , dan jika | maka terdapat bilangan bulat l sehingga = . Maka berlaku :
+ = + = ( + )
( + )= +
Dengan demikian jika | dan | maka |( + ).■ 2.2 Bilangan Prima
Definisi 2.2.1
Sebuah bilangan > 1 disebut bilangan prima, atau prima sederhana jika faktor-faktornya hanya bilangan positif1dan . Bilangan bulat lebih besar dari 1 yang tidak prima dinamakan bilangan komposit (Burton, 1970).
Contoh :
23 adalah bilangan prima karena hanya habis dibagi 1 dan 23
10 adalah bilangan komposit karena habis dibagi 2 dan 5, selain 1 dan 10 sendiri. Teorema 2. 2. 1
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dan 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima. Bukti :
Apabila suatu bilangan komposit maka mempunyai faktor selain 1 dan sendiri, misalnya , yaitu | , maka ada bilangan bulat positif sedemikian hingga = dengan1 < < . Jika suatu bilangan prima, maka membagi | .
Tetapi jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan , misalnya , yaitu | sehingga ada bilangan bulat positif sedemikian sehingga = . Dengan1 < < . Jika suatu bilangan prima, maka | . Karena | dan | , maka | . Jadi terbagi oleh suatu bilangan prima .
Definisi 2.2.2
Dua bilangan bulat dan dikatakan relatif prima jika ( , ) = 1. Jika dan relatif prima, maka terdapat bilangan dan sedemikian sehingga :
+ = 1 (Flath,1989). Definisi 2.2.3
Misalkan , , , bilangan bulat tidak nol. Bilangan tersebut adalah pasangan relatif prima jika faktor persekutuan terbesarnya adalah 1 (Stark, 1970).
Contoh :
Bilangan bulat 4, 15, dan 77 adalah pasangan relatif prima karena Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 4, 15 = FPB dari 4,77 = 1
Teorema 2.2.2
Jika bilangan prima, dan | maka | atau | (Sukirman 1997) Bukti :
2.3 Kekongruenan
Teori kongruensi merupakan pendekatan lain untuk menjawab pertanyaan tentang konsep keterbagian. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan merupakan cara lain untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan bulat.
Definisi 2.3.1
Misalkan dan bilangan bulat dan adalah bilangan bulat positif. Jika |( ), dikatakan bahwa kongruen dengan modulo dan ditulis :
(mod ). (Stark, 1970) Teorema 2.3.1
Misalkan bilangan bulat positif. Untuk semua bilangan-bilangan bulat berlaku:
1. (mod ).
2. Jika (mod ), maka (mod ).
3. Jika (mod )dan (mod ), maka (mod ). (Stark, 1970)
Bukti :
1. Untuk setiap bilangan bulat , terdapat = 0 , sehingga (mod ).
2. Sekarang jika (mod ), maka = untuk setiap bilangan bulat . Sehingga, = ( ) = ( )dan adalah bilangan bulat, maka
(mod ).
= ( ) + ( ) = + = ( ) , yang dapat dinyatakan dengan dengan (mod ).
Teorema terbukti.■ sebuah bilangan bulat. Sehingga berlaku :
( + ) ( + ) = ( ) + ( )
= + = ( + )
Dalam notasi kekongruenan dapat dinyatakan dengan
+ + (mod ).
Maka diperoleh
( ) ( ) = ( ) ( )
= = ( )
dalam notasi kekongruenan dapat dinyatakan dengan (mod ) selanjutnya
= ( + + ) .
karena( + + )adalah bilangan bulat, maka dapat dibagi dengan . Dalam notasi kekongruenan dapat dinyatakan dengan
= (mod )
2. Dengan mengikuti pembuktian (1) maka akan didapatkan :
+ + (mod ), (mod ), (mod ).
Teorema terbukti.■ Teorema 2.3.3
Jika( , ) = 1, maka pengkongruenan linier (mod )mempunyai tepat satu solusi (Sukirman, 1997).
Bukti :
Karena( , ) = 1, maka ada bilangan bulat dan sehingga + = 1. Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan , diperoleh:
( ) + ( ) =
( ) + ( ) =
( ) = ( ) .
Persamaan terakhir ini berarti bahwa ( ) adalah kelipatan . Jadi
( ) (mod ).
Maka residu terkecil dari modulo adalah solusi dari pengkongruenan itu. Sekarang akan ditunjukkan bahwa solusi tunggal.
Misalkan solusi linier itu tidak tunggal, misalkan r dan s masing-masing solusi, maka:
Dengan sifat transitif diperoleh bahwa
(mod ), karena( , ) = 1, maka:
(mod ). Ini berarti |( ).
Tetapi karena dan adalah solusi-solusi dari pengkongruenan itu, maka dan masing-masing residu terkecil modulo , sehingga
< dan 0 <
Dari kedua pertidaksamaan ini diperoleh bahwa < < , tetapi karena |( ) maka = 0 atau = .
Ini berarti bahwa solusi dari pengkongruenan linier tunggal. Teorema terbukti.■ Teorema 2. 3. 4
Setiap bilangan bulat kongruen modulo dengan tepat diantara0, 1, 2, 3, , ( 1). Jika (mod )dengan0 < , maka disebut residu terkecil dari modulo
(Sukirman, 1997). Contoh :
Residu terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1 2.4 Aritmatika Modulo
Definisi 2.4.1
Misalkan bilangan bulat dan adalah bulat> 0, operasi mod (dibaca " modulo ") memberikan sisa jika dibagi , dan ditulis mod = sedemikian sehingga = +
, dengan0 < . Bilangan disebut dengan modulo (Munir, 2004).
Jika dan relatif prima dan > 1, maka dapat ditentukan invers dari modulo . Invers dan modulo adalah bilangan bulat sedemikian sehingga
1(mod )
(Munir, 2004).
Teorema 2.4.1 Chinese Remainder Theorem
Misalkan , , ..., bilangan bulat positif yang saling prima dengan pasangannya maka pesamaan
(mod )
(mod )
Mempunyai solusi bersama modulo ( , , ..., ) yang tunggal (Stark, 1970). Bukti :
Pembuktian dengan induksi matematika untuk bilangan asli . Untuk = 1 berarti (mod ) jelas mempunyai solusi. Untuk = 2, yaitu sistem pengkongruenan = (mod ) dan
= (mod ) dengan ( , ) = 1. , (mod ) berarti = + untuk suatu bilangan bulat . Sehingga + (mod )
(mod ) dengan suatu variabel.
Jadi = + = + ( + )
= ( + ) +
Ini berarti ( + )(mod ).
Pengkongruenan ini memenuhi pengkongruenan untuk = 2. Sekarang sebagai hipotesis diambil bahwa sistem pengkongruenan linier
(mod )mempunyai satu solusi bersama untuk = 1, 2, 3, , ( 1). Misalkan solusi bersama itu , maka sistem (mod ), = 1, 2, 3, , ( 1)dapat dinyatakan sebagai pengkongruenan, yaitu:
(mod )
Sehingga pengkongruenan itu dapat dinyatakan sebagai dua pengkongruenan yaitu :
(mod )
(mod )
Sistem pengkongruenan dari dua pengkongruenan ini mempunyai solusi bersama
mod ( )karena( ) = 1. Karena saling prima maka
terbukti bahwa sistem pengkongruenan (mod )untuk = 1, 2, 3, , mempunyai solusi bersama modulo( ).
Kemudian akan dibuktikan bahwa solusi diatas tunggal. Misalkan dan adalah solusi-solusi bersama dari sistem tersebut, maka :
(mod ) dan (mod )
dan adalah residu terkecil modulo ( , , , ) sehingga , , , < <
, , , .
Mengingat bahwa ( ) adalah kelipatan persekutuan dari , , , , maka dapat disimpulkan bahwa : = 0atau = .
V. KESIMPULAN
Dari hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa terdapat karakteristik
penjumlahan dua bilangan bulat berpangkat tiga, diantaranya = mempunyai solusi di dalam bilangan bulat positif dan jika dan hanya jika tiga syarat berikut ini dipenuhi, yaitu :
1a. Terdapat pembagi | dengan 2
2a. Untuk suatu bilangan bulat positif , ✁ 3 , dan
3a. Bilangan bulat 4 adalah kuadrat sempurna.
Kemudian, misalkan sedemikian rupa sehingga memenuhi satu dari kekongruenan di bawah ini. Maka = + tidak mempunyai solusi dalam :
1. 3atau 4 mod 7
2. 3,4,5atau 6 mod 9
3. 3,4,5,6,10,11,12,13,14,15,17,18,21,22,23,24,25,30,31,32,33,38,39,40,
41,42,45,46,48,49,50,51,52,53,57,58,59,atau 60 mod 63.
Selain itu, terdapat sesuatu yang menarik ketika kondisi modular, darinyang bisa diartikan sebagai penjumlahan dua bilangan bulat berpangkat tiga, dapat dibagi oleh 7 atau 9.
Kemudian jika 2maka dapat menggunakan :
( ) =#{ {1, , }: + mempunyai sebuah solusi}
Sehingga terdapat bilangan bulat positif dimana :
b. 7| dan9 , maka ( ) = 5 7. c. 9|m dan7 maka ( ) = 5 9. d. 7| dan 9| maka ( ) = 25 63.
Ada juga sifat lain yang bisa disimpulkan yaitu misalkan diberikan . Kemudian jika persamaan + mod3 mempunyai sebuah solusi,begitu juga dengan persamaan
KARAKTERISTIK PENJUMLAHAN DUA BILANGAN BULAT BERPANGKAT TIGA
Oleh
Yogya Perdana
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala Rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Karakteristik Penjumlah Dua Bilangan Bulat Berpangkat Tiga” untuk memperoleh gelar sarjanapada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Dalam usaha menyelesaikan skripsi ini penulis tidak lepas dari berbagai hambatan dan kesulitan, namun atas bantuan berbagai pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan sesuai harapan penulis. Untuk itu penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada :
1. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing I atas pengarahan dan bimbingan selama penulis melaksanakan penelitian dan penulisan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing II dan juga selaku Pembimbing Akademik yang telah memberi banyak ide, saran, perhatian, dan bimbingan selama penulis melaksanakan penelitian dan penulisan skripsi ini. 3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si., selaku dosen pembahas yang telah memberikan saran
dan pengarahan demi sempurnanya skripsi ini.
4. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc. Ph. D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Seluruh dosen dan staf karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Kedua orang tuaku tercinta yang telah membesarkanku dan mendidikku dengan penuh kasih sayang serta senantiasa memberikan doa dan dorongan semangat demi keberhasilanku dengan tulus dan ikhlas.
8. Adik-adikku tersayang, Dik Lis, Dik Wid, Dik Sony, Dik Handy yang selalu memberikan semangat, support, dan kasih sayang kepada penulis.
9. Keluarga besar Alm. Mbah Buyut Iman, yang dahulu selalu mendoakan keberhasilanku.
10. Bulek Nur dan Om Acang sekeluarga yang telah banyak membantu penulis selama menyelesaikan kuliah.
11. Sahabat seperjuanganku ; Aang, S.T., Harun, S.T., Doni, S.T., Mega, S.Pd., Ari, S.Hut., Andi, Fajar, S.Pd., Teguh, S.Pd., Hendro, S.Si., Agus, Vicky, Fajrin, S.Ad.N., Bangun, S.H., Nur Manto, S.T., Rian, S.Pd., Terima kasih atas indahnya kebersamaan bersama kalian, senang dan sedih kita bersama, serta berjuang bersama.
12. Mas Eko dan Mba Leny sekeluarga yang selalu memberikan semangat, motivasi, masukan dan juga telah banyak membantu penulis selama menyelesaikan kuliah. 13. Teman-teman Sigma ; Haris, S.Si., Eka, S.Si.Warith, S.Si., Dahiri, M.Si., Eko,
Dhian, Terima kasih atas kebersamaan dan persaudaraannya.
15. Semua teman, kerabat, handai taulan yang mugkin tidak bisa penulis sebutkan satu persatu disini, terima kasih atas semua bantuan dan doanya.
Penulis berharap semoga Allah SWT selalu melimpahkan rahmat dan karunia-Nya dan membalas budi baik dari semua pihak yang telah berjasa kepada penulis. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua.
Motto
Wahai orang-orang yang beriman, jika kamu menolong (agama) Allah, niscaya Dia akan
menolongmu dan meneguhkan kedudukanmu . (Muhammad : 7)
Sayangilah yang ada di muka bumi niscaya engkau akan disayangi oleh yang ada di langit .
(Hadist Riwayat At-Tirmidzi).
Seseorang dengan tujuan yang jelas akan membuat kemajuan walaupun melewati jalan yang
sulit. Seseorang yang tanpa tujuan, tidak akan membuat kemajuan walaupun ia berada di jalan
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua :Amanto, S.Si. M.Si. ...
Sekretaris :Dr. Muslim Ansori, S.Si. M.Si....
Penguji
Bukan Pembimbing :Dra. Dorrah Azis, M.Si. ...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP. 19690530 199512 1 001
Ku ucapkan rasa syukurku pada Allah SWT dan Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Bapak dan Ibu tercinta, Bapak Mulyono dan Ibu Murtini ; Kalian adalah motivasi terbesar dalam meraih cita-citaku.
Adik-adikku tersayang ; Dik Lis, Dik Wid, Dik Sony, Dik Handy yang selalu memberikan semangat, support, dan kasih sayang kepada Kakak kalian.
Seluruh keluarga besarku yang selalu membantu dan memberikan semangat untukku.
Sahabat-sahabat terbaikku yang selalu memberikan kritik, saran, semangat, dan doa.
Judul Skripsi :Karakteristik Penjumlahan Dua Bilangan Bulat Berpangkat Tiga
Nama Mahasiswa :Yogya Perdana
Nomor Pokok Mahasiswa : 0517031070
Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI Komisi Pembimbing
Amanto, S.Si. M.Si. Dr. Muslim Ansori, S.Si. M.Si. NIP. 19730314 200012 1 002 NIP. 19720227 199802 1 001
MENGETAHUI
Ketua Jurusan Matematika
