Diktat Buku Matematika SMA kelas XI seme

35  66 

Teks penuh

(1)

Kata pengantar

Segala puji bagi Allah SWT yang telah melimpahkan hidayah,beserta inayahNya kepada kita semua sehingga kita masih di beri kesempatan untuk menyelesaikan tugas matematika wajib ini, tak lupa pula kami panjatkan puji syukur atas kemurahan Allah yang telah memberikan kami kelancaran sehingga matematika wajib ini dapat kami selesaikan dengan lancar, sempurna, serta tak kurang dari apapun.

Sebelumnya kami haturkan banyak terimakasih kepada :

Hj. Musthofiyah, S.Pd selaku guru kami pembimbing guru matematika wajib .

Beserta rekan anggota kelompok 6 yang telah membantu dalam menyelesaikan tugas ini.

Kami berharap semoga materi dokumen matematika wajib semester 1 ini dapat memberikan ilmu pengetahuan yang bermanfaatnya bagi kita semua, memberikan wawasan, dan ilmu yang bermanfaat.Semoga dokumen materi ini selain bermanfaat dalam ilmu pengetahuan juga membantu dalam proses pembelajaran.

Sebelum kami akhiri, apabila ada kesalahan dalam penulisan dan pengeditan dokumen materi matematika wajib ini, kami selaku dari kelmpok 6 MIA 1 , memohon maaf sebesar- besarnya.

Trimakasih

Pleret, 22 november 2014 Atas nama Kelompok 6 (Fika Nurida,Eka Oktaviani,Aulia Urrahmani,Indah wulan)

DAFTAR ISI

(2)

program Linear...4

program Linear menggunakan garis selidik... 5

Program Linear menggunakan model matematika... ...7

Penyelesaian masalah menggunakan program linear... ..8

BAB II

Konsep Matriks...10

Jenis- jenis Matriks...11

Perkalian matrik dengan bilangan skalar...13

Perkalian dua matrik...13

Determina matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3...14

Matriks singular...15

Invers matrik ordo 2 x 2... ...16

Rumus invers matrik persegi ordo 3 x 3...17

BAB III

Komposisi fungsi dan invers ...20

Fungsi matematika pada daerah ... 21

Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan sebuah fungsi di ketahui...21

Menentukan fungsi dengan permisalan...22

Menjadikan Fungsi ke invers...23.

Rumus fungsi invers... 24

Rumus fungsi invers dari fungsi pecahan...24

Rumus komposisi fungsi invers...24

BAB IV

 Menemukan konsep baris dan deret tak hingga...28

 Barisan Konstan naik dan turun...28

(3)

DAFTAR PUSTAKA...

38

26 Oktober 2014

Kelompok 6

BAB I

PROGRAM LINEAR

Menentukan Daerah Penyelesaian dengan sistem pertidaksamaan

Pengertian : Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum).

(4)

Y ≥ 0 X + Y ≤ p

x y x,y

0 p 0,p

p 0 P,0

Dengan kata lain (DP) dapat dibatasi oleh (0,0), A (x,y), B (x,y), C (x,y),.Ɵ Dengan daerah B di dapatkan dari proses Eliminasi.

Contoh : a) X ≥ 0

Y ≥ 0

Misal: X + Y 4 3X + Y6

Dengan kata lain (DP) dapat dibatasi oleh (0,0), A (2,0), B (2,2), C (0,4)Ɵ Dengan kata lain B di peroleh dari Eliminasi dengan cara seperti dibawah ini:

B -> x + y = 4 x3 3x + 3y = 12 3x + y = 6 x1 3x + y = 6

3y = 6 y = 2 maka : x + y = 4

x + 2 = 4 x = 4 – 2 x = 2

x y x,y

0 6 0,6

2 0 2,0

gambar grafiks disamping: gambar 1(bab1)

x y x,y

0 4 0,4

(5)

2. program linear menggunakan garis selidik Pengertian garis selidik

Cara lain untuk menyelesaikan program linear adalah dengan menggunakan garis selidik. Garis selidik adalah garis yang diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai optimum.

Garis selidik persamaannya dibentuk dari rumus fungsi objektif. Untuk menentukan titik optimum pada daerah penyelesaian suatu program linear dengan fungsi objektif f = ax + by maka persamaan garis selidik yang digunakan adalah ax + by = k

Ax + by diperoleh dari bentuk objektif. Garis selidik ini semakin jauh dari O harganya semakin besar sehingga bentuk objektif harga terbesar dan terkecil akan bersesuaian dengan jauh dekatnya garis

Persamaan :

Menentukan nilai optimum ( minimum dan maksimum ) dengan menggunakan garis selidik ax + by = k

dari x ≥ 0 x,y Є c y ≥ 0

dengan kata lain bentuk Obyektifnya : Z = x + y contoh dan caranya :

1. Menentukan nilai x dan y nya.

Misal : x + 3y = 6 dengan 6x + 2y = 24

2. Menentukan ( DP )dengan menentukan daerah- daerah yang dibatasi: Misal : DP = θ(0,0), A(4,0), B(0,2), C(0,2).

3. Dengan kata lain B dicari dengan cara Eliminasi

(6)

4. Degan mencari pembagi dari kedua obyektif

Misal : Z = 20 x + 80 y , maka yang dapat membagi 20, dan 80 adalah 80.

Maka garis selidiknya 80 = 4 x + 1 y, dengan kata lain garis selidik bernilai - ,(-4,-1)

5. Mencari optimum dengan cara mengubah / menjadikan nilai optimum (minimum dan maksimum) berpusat nilai B

Penentuan nilai optimum suatu bentuk fungsi objektif

Untuk menentukan nilai optimum suatu bentuk objektif dengan garis selidik dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut

Menentukan nilai maksimum suatu bentuk fungsi objektif, f + ax +by Langkah – langkah :

1. Bentuklah persamaan garis ax + by = ab memotong sumbu X di titik (b,0) dan memotong sumbu Y di titik (0,a)

2. Buatlah garis – garis yang sejajar dengan ax + by = ab sehingga ditemukan garis yang melalui suatu titik pada daerah himpunan penyelesaian dan terletak paling kanan. Misalnya garis ax + by = k, melalui titik (p,q) yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian dan terletak pada paling kanan maka titik (p,q) tersebut merupakan titik optimum dan nilai maksimum fungsi objektif tersebut adalah k1 = ap + bq

Misal : Z = 20 x + 80 y, maka nilai x,y dari B, tadi dimasukkan dalam optimum disini. Z = 20 .(0) + 80 (2).

(7)

Dimana dalam hal ini caranya hampir sama dengan nomor pembahasan bab 1 no 1 dan 2 hanya disini soal berbentuk dalam soal cerita, disni kita dapat menentukan model matematika , kemudia di lanjut pada penerapan cara matematik no 1 dan 2.

Model matematika pengertian: Model matematika adalah sistim persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.

Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika

Caranya: dalam pembahasan kali ini untuk menentukan model matematika, kita membutuhkan pemahaman, logika, serta konsentrasi, agar dapar tercipta suatu perbandingan yang mewujudkan model matematika itu sendiri. Contoh soal:

Sebuah kopsis menjual bolfoint dan pensil , dan ada beberapa siswa akan membeli bolfoint dan pensil tersebut untuk 2 matapelajaran, pada pelajaran matematika seorang siswa membutuhkan 2 bolfoint dan 1 pensil, pada pelajaran senirupa membutuhkan 6 bolfint dan 4 pensil , persediaan di kopsis tersebut masing- masing memiliki 20 dan 24, dan hasil penjualan kopsis untuk memenuhi beberapa pesanan dari siswa untuk mata pelajaran

matematika Rp 24.000 dan senirupa Rp 20.000. Tentukanlah program linear menggunakan model matematika ini.

Jawab:, misal:

dengan fungsi obyektif Z = Rp 24.000 x + Rp 20.000 y 4. penyelesaian masalah program linear

Misal langsung saja kita ambil contoh soal dari (nomor 3) bab 1 ,dengan 4 langkah sebagai berikut.

 Langkah I : menentukan model matematika  Langkah II : menentukan daerah penyelesaian  Langkah III : menentukan optimum daris selidik

 Langkah IV : menentukan nilai maksimum dan minimum Langkah I : misal:

dengan fungsi obyektif Z = Rp 24.000 x + Rp 20.000 y

Langkah II : menentukan daerah penyelesaian dengan di batasi θ(0,0), A(4,0), B(8,36), C(0,20). Dengan B di tentuakan eliminasinya :

(8)

2x = 36- 20 2x = 16 x = 8.

Langkah III

Kemudian menentukan garis selidik dengan:

Obyektif Z= Rp 24.000 x + Rp. 20.000 y , maka Z bernilai 120.000 120.000 = (-5,0) + ( 0,-6).

Dengan langkah IV.

Jadi nilai maksimum pada titik B (8,36) Adalah : Z = Rp. 24.000 x + Rp 20.000 y = Rp. 24.000 (8) + Rp. 20.000 (36).

(9)

BAB II

MATRIKS DAN INVERS MATRIKS

1.Konsep matriks

Dalam hal ini kita akan membahas tentang matriks , sebelum kita terjun dalam pembahasan matriks, mari kita memulai dengan mengerti pengertian matrik terlebuh dahulu.

Pengertian: kumpulan bilangan yang terdiri dari baris dan kolom . Dengan pemahaman konsep menggunakan kolom:

Dalam kolom ini , sebuah data menunjukkan hasil pertandingan Classmeeting tahun 2013/2014. Nama Klub main menang seri kalah nilai

XI MIA 1 24 16 8 3 75

Yang mana ordo itu gunanya menunjjukan baris dan kolom seperti, A4x3 artinya terdiri dari 4 baris yang di ikuti 3 kolom.

c) Banyaknya Elemen

Suatu perkalian antara baris dengan kolom, misal : A4x3 = 4 . 3 = 12.

(10)

1) Matriks persegi ordo m x m.

2) Matriks nol = elemen seluruhnya maka menjadi nol. 3) Matriks identitas = menunjukan suatu identitas ordo m x m

Seperti: =

[

1 0

0 1

]

2 x 2 dengan diagonal utama : 1 ,dan elemen baris 0.

4) Matriks diagonal = matriks identitas diagonal utama tidak satu 5) Matriks segitiga atas =

f) Kesamaan Matriks: dima maksud dari kesamaan ini, bukan angka yang sama melainkan hasil akhirnya yang sama jika di hitung dengan matriks,

Contoh:

[

π 10 7 5

]

=

[

180°

100 2+5 33log5

]

g) Penjumlahan dan pengurangan matriks:

Cara: menjumlahkan / mengurangkan elemen yang bersamaan / bersesuaian. Contoh:

Matriks persegi ( bujur sangkar) , matriks yang memilikinordo m x matau banyaknya matriks tersebut.

Contoh :

2 5 6 4 3 9 5 4 7

sifat :

 Matriks Baris : matriks yang hanya terdiri dari baris saja.

(11)

 Matriks Kolom : terdiri hanya kolom saja. Contoh : A=4

3 M x 1

 Matriks tegak : suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh: A=

 Matriks datar: matriks yang banyak baris kurang dari banayaknya kolom, atau bisa disebut kebalikan dari matriks tegak.

Contoh: Z2y4=¿ 4 3 20 6 7

2 x 3 II. Matriks berdasarkan elemen penyusunnya :

 Matriks nol: suatu matriks yang setia unsurnya 0 berordo m x n yang ditulis dengan huruf O. Contoh: O2x3=

0 0 0 0 0 0 0 0 0

3x 3

 Matriks diagonal : suatu matriks bujur sangkar yang semua elemennya di luar diagonal utamanya nol. Contoh : Z=

3 0 0 0 4 0 0 0 5

3 x 3

 Matriks identitas / satuan : matriks diagonal yang semua elemennya diagonal. 1/0 Contoh: Z=1 0 00 1 0

0 0 1

3 x 3

 Matriks Skalar : matriks diagonal yang semua elemennya sama tapi bukan 0 / 1 Contoh: Z =

3 0 0 0 3 0 0 0 3

3x 3

 Matriks segitiga atas (upper triangular)

Matriks bujur sangkar yang semua elemennya dibawah. Diagonal elemennya yang = 0.

Dengan sifat:

(12)

Contoh: Z =

3 2 2 0 4 1 0 0 5

3x 3.

 Matriks segitiga bawah ( lower triangular)

Matriks bujur sangkar yang semua elemennya diatas. Diagonal elemennya yang = 0.

Contoh: : Z = 3 0 01 4 0 2 2 5 3x 3.

Matriks Simentri; suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke –i kolom ke – jsama dengan unsur pada baris ke – j kolom ke – i. Yang mana segitiga Zij=Zji

.

perkalian Matriks dengan Skalar:

pengertian: suati bilangan real dan A suatu matriks , maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k sehingga :

jika di ketahui:

sifat- sifat perkalian matriks dengan bilangan skalar:

misalkan p,q,dan r adalah bilangan real , serta A dan B matriks- matriks berodo m x n , maka :

1. (q + r ) A = qA + rA

Pengertian :

sebuah perkalian yang mengalikan dua matriks yang dengan ciri kolom x baris dengan nilai yang sama.

(13)

Jika matriks Am x n dan matriks Bp x q dikalikan, maka :

 Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p

 Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q

 Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai

Contoh 1

Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :

a. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks Asama dengan baris matriks B

b. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks Atidak sama dengan baris matriks C

c. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C

d. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks Ctidak sama dengan baris matriks D

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2x2

Pengertian: Misalkan:

maka Determinan A (ditulis ) adalah:

Contoh: P=

(

3 6

4 7

)

=3.7−6.4=0 Matriks ordo 3x3

(14)

Jika maka tentukan !

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

Contoh:

maka tentukan !

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika maka tentukan dengan ekspansi baris pertama!

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

(15)

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

vs

Invers matriks Invers matriks 2x2

Pengertian : pengertian invers : persegi atau buju sangkar yang berordo 2x2 dan 3x3maupun ordo nxn, akan menjadi topik pembahasan kali ini.

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Misalkan:

maka inversnya adalah:

Sifat-sifat invers matriks

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

(16)

Jika diketahui matriks X.A=B

Contoh:

[

y2 y2 5y 3p+2

]

=(y

2

(3p+2))−

(

y2.5y

)

¿3p y2 +2y2

−5y3

=3p y2 −5y3

+2y2

Invers matriks ordo 3 x 3

Pengertian invers matriks 3 x3 : sebuah rumus yang membalikan dari rumus awal (determina),yangb dapat ditentukan

menggunakan beberapa cara. Pada pembahaan ini kita

akan menggunakan cara adjoin dan transformasi.

Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan ( baris jadi kolom , kolom jadi baris ) Oke langsung ke contoh soal berikut ini :

Langkah pertama maka kita harus mencari kofaktor dari A , dengan cara sbb:

Langkah kedua, Setelah hasil dari Kofaktor A ditemukan , maka kita mencari ADJOIN nya =

(17)

Langkah terakhir adalah mencari invers matriks A dengan rumus :

Invers Matriks nxn = 1 / nilai determinan . Matriks Adjoinnya

jadi matriks invers A adalah =

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n

x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks

memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh 2 :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

1. baris kedua : B2 + (-2B1) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

(18)

2. baris ketiga : B3 + 2B2 [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

3. baris ketiga : B3 x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

4. baris kedua : B2 + 3B3 [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B1 + (-3B3) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

5. baris pertama : B1 + (-2B2) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A -1 =

Contoh 3 :

Periksa apakah matriks A3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer

1. baris pertama : B1 x (1/3)

2. baris kedua : B2 + (-2B1)

baris ketiga : B3 + 4B1

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

BAB III

(19)

Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunanlain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawananatau korespondensi dari anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.Jika diketahui himpunan A

= {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satukurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah,diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.2.Fungsi

a.Pengertian Fungsi

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B

disebut fungsi dari A ke B

jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B

lihat pada gambar disamping, menunjukkan relasi fungsi:

fungsi itu sama dengan relasi dalam disamping ini ada yang disebut sebagai:

 Domain: daerah asal

{a , b , c}

 Kodomain: daerah sekawan

{1,2,3}

 Range : daerah hasil

(20)

R : A → B

A = {1,2,3,4} dan B = [1,2,3,4,5,6} apabila di kaitkan kedua himpunan dengan hubungan “A merupakan setengah dari B” maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut

Fungsi atau Pemetaan

Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis

f : A → B

A disebut dengan daerah asal [domain] B disebut dengan daerah kawan [codomain]

Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari x dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).

(21)

Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan daerah asal A = {a,b,c,d,e}

daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6}

(22)

fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.

Contoh

Misal f: R → R dengan f(x+2) = x2-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1) Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2

f(y) = (y-2)2 – (y-2) = y2 – 4y + 4 – y +2 = y2 -5y + 6 sehingga bisa didapat f(x) = x2 -5x + 6

f(1) = 12 -5(1) + 6 = 2

Komposisi Fungsi

menghitung dengan menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru.

Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci

g(y) = g(f(x))

h(x) = g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))

Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut

Jika f(x) = 2x2 + 1 dan g(x) = x+2

mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas ketika memasukkan nilai x.

a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g (g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x2+1) = 2x2+1 + 2 = 2x2+3

b. (g o f ) (5) = 2(5)2 + 3 = 53

c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f

(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)2 +1 = 2 (x2+4x+4) +1 = 2x2 + 8x +8 + 1 = 2x2 + 8x + 9

d. (f o g) (3) = 2(3)2 + 8(3) + 9 = 51

(23)

Apa itu invers fungsi? Misal fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f dinyatakan dengan f-1: B → A

jika y = f(x) maka x = f-1(y).

Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satu-satu. Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.

Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?

Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya denga y

Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y

Menggantinya dalam fungsi menjadi x

Contoh

Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah: f(x) = 3x + 2

(24)

Pembahasan

Data:

f(x) = 3x + 2 g(x) = 2 − x

a) (f o g)(x)

"Masukkan g(x) nya ke f(x)"

sehingga:

(f o g)(x) = f ( g(x) ) = f (2 − x)

= 3(2 − x) + 2 = 6 − 3x + 2 = − 3x + 8

b) (g o f)(x)

"Masukkan f (x) nya ke g (x)"

sehingga:

(g o f)(x) = g ( f (x) ) = g ( 3x + 2)

= 2 − ( 3x + 2) = 2 − 3x − 2 = − 3x

FUNGSI INVERS

(25)

Inver dari fungsi linier : f(x) = ax + b

maka invers nya adalah :

Fungsi Pecahan :

inversnya adalah :

Fungsi kuadrat :

f(x) = ax2 + bx + c

inversnya adalah :

Jika fungsi f: DfRf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f -1: Rf Df dengan kata lain f -1 adalah fungsi dari Rf ke Df . Perhatikan kembali Definisi 3.4 di atas. Fungsi f: Df Rf adalah fungsi bijektif, jika

yRf merupakan peta dari x Df, maka hubungan antara y dengan f(x) didefinisikan dengan y = f(x). Jika f -1 adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap

x Rf -1adalah peta dari y f 1 D . Hubungan antara x dengan f -1(y) didefinisikan dengan rumus x = f -1(y).

5. Menentukan Rumus Fungsi Invers

Masalah-3.6

Salah satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besar dana yang

diperoleh bergantung pada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 50.000x + 20.000, dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan. a) Tentukanlah invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola tersebut.

b) Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp55.570.000,-. Berapa penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut?

(26)

Diketahui bahwa fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah f(x) = 50.000x+ 20.000

a) Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola Untuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dilakukan sebagai berikut.

y = f(x) = 50.000x + 20.000

b) Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 55.570.000, maka banyak penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalah

f-1(x) = x 20 000

(27)

Deret Aritmatika:

Memulai subbab ini, kita awali dengan mengingat kembali materi yang sudah

pernah kamu pelajari di SMP (Kelas VIII) tentang bagaimana menentukan persamaan garis lurus dan gradien suatu garis. Coba perhatikan bentuk persamaan garis dan gradien garis di bawah ini.

Pengertian Garis Sejajar, Garis Berpotongan, Garis Berimpit

(28)

Pengertian Garis Sejajar, Garis Berpotongan, Garis Berimpit – Dalam Matematika, garis merupakan hal yang akan sering kita bahas, terutama pada grafik, berikut pengertian garis.

Pengertian Garis Sejajar, Garis Berpotongan, Garis Berimpit 1. Garis sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas.

Garis Sejajar

Dua buah garis l dan m adalah sejajar atau ditulis l // m (l sejajar m).

Sifat-Sifat Garis Sejajar

Pada gambar di bawah ini, melalui dua buah titik yaitu titik A dan titik B dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis m. Selanjutnya, apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yang melalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis n.

Berdasarkan uraian di atas, secara umum diperoleh sifat sebagai berikut. Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu.

Selanjutnya perhatikan gambar di bawah ini. Pada gambar di bawah diketahui garis m sejajar dengan garis n (m // n) dan garis l memotong garis m di titik P. Apabila garis l yang memotong garis m di titik P diperpanjang maka garis l akan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q.

Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.

(29)

Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.

2. Garis berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis tersebut berpotongan disalah satu titiknya.

Garis Berpotongan

3. Garis Berimpit

Dua buah garis yang terletak pada satu bidang datar dikatakan berimpit jika dan hanya jika kedua garis itu memiliki paling sedikit dua titik potong (dua titik persekutuan).

Garis Berimpit

Dua buah garis m dan m saling berimpit. Untuk mempermudah pemahaman tentang garis berimpit, cobalah kalian perhatikan jam ketika tepat pukul 12.00. Jarum panjang tepat berimpit dengan jarum pendek atau berada pada satu garis lurus.

4. Garis tegak lurus

Dua buah garis dikatakan salin tegak lurus jika saling berpotongan membentuk sudut 90°.

Garis Tegak Lurus

Sekian materi MATEMATIKA mengenai pengertian garis sejajar, garis berpotongan, garis berimpit.

(30)

Persamaan Garis Lurus

[

Persamaan Garis Melalui 2 Titik

[

dimana dan adalah koordinat dari 2 titik

Persamaan Garis Melalui 1 Titik Dan Diketahui Gradien

[

dimana m adalah gradien dari suatu persamaan garis dan adalah koordinat dari suatu titik

Gradien Garis

[

Gradien Oleh 2 Titik

dimana m adalah kemiringan suatu garis dan kedua titik adalah suatu titik yang akan dihitung kemiringannya

Gradien Oleh Persamaan Garis

Bentuk Baku :

(a dan b ≠ 0)

dimana m adalah gradien yang akan dicari dan, 'a' dan 'b' adalah koefisien dari suatu persamaan

Gradien Garis Umum

dimana m adalah kemiringan garis

Hubungan Dua Buah Garis

Garis Sejajar

[

maksud dari dua buah garis sejajar adalah dua buah persamaan yang gradiennya sama Contoh :

Buktikan sejajar dengan !

Persamaan 1 : memiliki gradien = .

Persamaan 2 : memiliki gradien = .

(31)

Garis Tegak Lurus

maksud dari dua buah garis tegak lurus adalah dua buah persamaan yang gradiennya terbalik Contoh :

Buktikan tegak lurus dengan !

Persamaan 1 (Utama) : memiliki gradien = .

Persamaan 2 : memiliki gradien = .

Lalu kalikan kedua gradien itu . Terbukti bila ,

jadi tegak lurus dengan

Jarak 2 Buah Titik Dan Garis

[]

Jarak 2 Titik

dan

[

Jarak Titik dan Garis

]

Jarak antara garis : dan titik

Contoh Soal :

Contoh Soal :

Dengan cara substitusi, tentukan koordinat titik potong antara garis 3x + y = 5 dan garis 2x – 3y = 7.

Jawab :

Ikuti langkah-langkah berikut.

(32)

• Tentukan salah satu variabel dari garis tersebut, misalnya y. 3x + y = 5 maka y = 5 – 3x.

• Substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain. 2x – 3y = 7

2x – 3(5 – 3x) = 7 2x – 15 + 9x = 7 2x + 9x = 7 + 15 11x = 22 x = 2

• Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan garis. 3x + y = 5

3 (2) + y = 5 6 + y = 5 y = 5 – 6 y = –1

• Diperoleh x = 2 dan y = –1. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (2, –1)

BAB 6

RUMUS – RUMUS SEGITIGA

Rumus dan Aturan Trigonometri dalam Segitiga – Dear sobat hitung, kali ini rumushitung.com ingin sharing sekaligus ngingetin kembali aturan dan rumus trigonometri yang berlaku dalam segitiga (aturan sinus, aturan cosinus, dan aturan luas). Dalam beberapa soal trigonometri melibatkan berbagai hal terkait segitiga dan kita kadang bingung aturan trigonometri yang mana sih yang harus dipakai. Misalnya sobat ketemu soal seperti di bawah ini. Perhatikan gambar segitiga di bawah, Coba sobat tentukan berapa luas segitiga tersebut?

hayoo pakai aturan trigonometri segitiga yang mana? Mau pakai rumus luas segitiga yang biasa tidak bakal ketemu, adanya sobat malah bingung. Okey untuuk mengingatkan sobat kembali berikut rangkuman tentang aturan trigonometri dalam segitga.

1. Aturan Sinus dalam Segitiga

(33)

loh, darimana asalnya aturan sinus tersebut? mari kita cari tahu pembuktiannya berikut

pembuktian aturan sinus paling mudah melalui pendekatan pembuktian dari rumus luas segitiga. Silahkan baca pembuktian rumus luas segitiga di bagian akhir postingan ini terlebih dahulu. Menurut aturan luas segitiga di dapat

L = ½ bc. sin α … (1)

nah terbukti kan aturan sinus segitiganya.

contoh soal

Pasa sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, C, panjang sisi a,b,c, dan sudut α, β, γ berlaku aturan cosinus

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = a2 + c2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

Pembuktian aturan cosinus

(34)

c2 = (a sin γ)2 + (b-a cos γ)2

c2 = a2 sin2 γ + b2- 2ab cos γ + a2 cos2 γ c2 = a2 sin2 γ + a2 cos2 γ + b2- 2ab cos γ

c2 = a2 (sin2 γ + cos2 γ) + b2- 2ab cos γ (ingat sobat sin2 a + cos2 a = 1) c2 = a2+ b2- 2ab cos γ… (terbukti)

contoh soal

perhatikan gambar di samaping. Titik P dan Q dinyatakan dengan korrdinat polar. Tentukan jarak antar titik Pdan Q.

Jawab:

Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180o – (75o+45o) = 60o. PQ2 = OQ2 + OP2 – 2.OQ.OP cos ∠POQ PQ2 = 32 + 52 – 2.3.5 cos 60o c

PQ2 = 9 + 25 – 30. 0,5 PQ2 = 9 + 25 -15 PQ2 = 19

PQ = √19 = 4,36

3. Aturan Trigonometri Luas Segitiga

Selain aturan sinus dan cosinus dalam segitiga berlaku rumus luas segitiga menggunakan aturan trigonometri. Jika sobat punya sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini

maka berlaku aturan

Luas Segitiga ABC = ½ bc. sin α = ½ ac. sin β = ½ ab. sin γ

(35)

Daftar Pustaka

http://rumushitung.com/2013/09/30/rumus-aturan-trigonometri-segitiga/

http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_garis

http://garda-pengetahuan.blogspot.com/2013/01/pengertian-garis-sejajar-garis.html

http://www.scribd.com/doc/236125500/SMA-Kelas-XI-Semester-I

Figur

gambar grafiks disamping:
gambar grafiks disamping:. View in document p.4
gambar 1(bab1)
gambar 1(bab1). View in document p.4

Referensi

Memperbarui...