STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHIMDT PADA RUANG HILBERT

(1)

ABSTRAK

STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG HILBERT

Oleh Viptiana

Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Sebelum berbicara mengenai operator linier, perlu diketahui tentang macam-macam ruang metrik yang diantaranya adalah ruang bernorma, ruang banach, ruang pre-Hilbert dan ruang Hilbert. Jenis operator yang dikaji dalam penelitian ini adalah operator Hilbert-Schmidt. Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap.

Diketahui � ruang Hilbert dan ℒ_�merupakan koleksi semua fungsi linier kontinu pada �. Jika diambil sebarang basis orthonormal {��: � ∈ �} maka � ∈ � disebut

(2)

STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHIMDT PADA RUANG HILBERT

Oleh V i p t i a n a

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

(3)

STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG HILBERT

(Skripsi)

Viptiana 0857031007

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(4)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah analisis fungsional. Pembicaraan di dalam analisis fungsional ini tidak terlepas dari teori operator. Operator yang dimaksud yaitu operator linier. Mulai dari awal perkembangannya hingga saat ini, teori operator telah banyak menyelesaikan berbagai permasalahan baik di bidang terapan maupun matematika itu sendiri. Namun seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, teori operator yang lebih maju dan bersesuaian sangat diperlukan.

Seperti telah diketahui, teori operator muncul setelah dikenal adanya ruang vektor (ruang linier). Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Jenis operator yang banyak dikaji saat ini antara lain operator Hilbert-Schmidt.

(5)

sifat-sifatnya dan aplikasinya tersebut, maka peneliti tertarik untuk mempelajari lebih mendalam mengenai materi tentang operator Hilbert-Schmidt tersebut sebagai bahan skripsi atau tugas akhir.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menyelidiki sifat – sifat dasar operator Hilbert–Schmidt

2. Memberikan aplikasi operator Hilbert Schimdt pada beberapa ruang Hilbert– Schmidt

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah

1. Memahami lebih mendalam mengenai konsep operator pada ruang Hilbert. 2. Memahami lebih spesifik mengenai operator linier pada ruang Hilbert

khususnya operator Hilbert-Schmidt dan sifat – sifat dasarnya. 3. Memberikan ide penelitian lain terkait operator linier.

(6)

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ruang Vektor

Definisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas 1. disebut ruang vektor (vector space) atas ℱ jika ada operasi luar * antara keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal

∈ yang memenuhi sifat – sifat :

(i) + = + ,

(ii) ⨁ = + ,

(iii) . = ,

(iv) = ,

untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ.

Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika suatu ruang vektor atas lapangan ℱ, maka berlaku pernyataan – pernyataan berikut:

(7)

(ii) Jika ∈ dan + = , maka = �. (iii) � = � untuk setiap skalar .

(iv) = � untuk setiap ∈ . (v) − = − untuk setiap ∈

(vi) Jika suatu skalar dan ∈ sehingga = � maka = atau = �.

2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear

(8)

Teorema 2.2.4 (Darmawijaya, 2007) vektor bagian . Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat M.

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� ∈ atau { , , … , �} ⊂ dikatakan bebas linier (liniearly independent) jika

(9)

+ + ⋯ + � � = �

berakibat = = ⋯ = _� = .

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� ∈ tak bebas linier jika dan hanya jika terdapat � dengan � sehingga vektor merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Akibat 2.2.10 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� ∈ bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap �, � , vektor bukan merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , _� bebas linier jika dan hanya jika setiap persamaan

∑ = ∑

�

= �

=

(10)

2.3 Basis dan Dimensi

Ruang vektor dikatakan terbangkitkan secara hingga(finitely generated) jika ada vektor – vektor , , … , _� ∈ sehinggga = [ , , … , _�]. Dalam keadaan seperti itu, { , , … , _�} disebut pembangkit (generator) ruang vektor .

Diberikan ruang vektor . Himpunan ℬ ⊂ dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linier.

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Himpunan ℬ ⊂ disebut basis (base)

jika ℬ bebas linier dan = [ℬ].

Ruang vektor terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika mempunyai basis hingga.

(11)

Fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain yang banyak digunakan dan mudah dalam memahaminya adalah fungsi linear, yaitu fungsi yang bersifat aditif dan homogen.

Diberikan dua ruang vektor dan , masing – masing atas lapangan ℱ yang sama. Fungsi : → disebut fungsi linear jika

(i) fungsi aditif (additive)

+ = + untuk setiap , ∈ , dan

(ii) fungsi homogen (homogeneous)

= untuk setiap dan vektor ∈ .

(12)

+ = +

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor atas lapangan ℱ yang sama. Jika : → merupakan fungsi linear maka

(i) − = − untuk setiap ∈ .

(ii) − = − untuk setiap , ∈ .

(iii) � = �̅, dengan � ∈ dan �̅ ∈ masing – masing menyatakan vektor nol.

(iv) ∑�₌ = ∑�₌ untuk setiap skalar , , … , _� dan vektor – vektor , , … , _� ∈ .

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear dan : → sehingga = untuk setiap ∈ , maka linear dan = .

(13)

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear, maka = merupakan ruang bagian di dalam . Himpunan

disebut ruang jelajah (range space) fungsi .

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika : → merupakan fungsi linear, maka

= { ∈ : = �̅}

dan

= − {�}

masing – masing merupakan ruang bagian di dalam . Selanjutnya, himpunan disebut ruang nol (null space) fungsi .

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika berdimensi dan : → merupakan fungsi linear, maka dim .

Diketahui dan , masing – masing ruang vektor. Jika Jika berdimensi dan : → merupakan fungsi linear, maka

(14)

2.5 Fungsi Linear dan Matriks

Jika merupakan ruang vektor real (kompleks) berdimensi n, maka isomorfis dengan ℛ� �� , yaitu terdapat fungsi linear dan bijektif dari ke ℛ� �� .

Akibat 2.5.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama),

(15)

Jika , dan masing – masing adalah ruang vektor – ruang vektor atas lapangan yang sama, maka pernyataan – pernyataan di bawah ini benar :

(i) Untuk setiap ∈ ℒ , dan ∈ ℒ , , maka ∈ ℒ , .

Ruang Hilbert (Hilbert Space) adalah ruang pre-Hilbert yang lengkap

(16)

Untuk setiap , , ∈ ℋ dan skalar , dan (I4) , > 0 jika dan hanya jika ≠ �,

disebut inner-product atau dot product, atau scalar product pada ℋ.

(ii) Ruang linier ℋ yang dilengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-Hilbert (pre-Hilbert space) atau ruang inner-product (inner-product space).

Di bawah ini akan diberikan contoh - contoh Ruang Hilbert :

1. Ruang linier �� dan ℛ� masing-masing merupakan ruang pre-Hilbert merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product:

̃, ̃ = ∑ k̅k n

k=

(17)

3. �[ , ] merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product:

, = ∫ ̅

untuk setiap , ∈ C[a, b]. C[a, b] dapat dianggap sebagai koleksi semua fungsi kontinu bernilai bilangan kompleks. Jadi, ∈ C[a, b] jika dan hanya jika = + � dengan dan masing-masing fungsi kontinu pada [a, b] bernilai bilangan real. Mudah dipahami bahwa jika = + � ∈ C[a, b] maka ̅ = − � ∈ C[a, b]

2.8 Ruang Bernorma

Diberikan ruang linier �. Fungsi ∈ � ↦ ‖ ‖ ∈ ℛ, yang mempunyai sifat-sifat:

(N1) ‖ ‖ , untuk setiap ∈ �

‖ ‖ = , jika dan hanya jika = �, (� vektor nol)

(N2) ‖ ‖ = | |. ‖ ‖, untuk setiap skalar dan ∈ �

(N3) ‖ + ‖ ‖ ‖ + ‖ ‖, untuk setiap , ∈ �,

(18)

2.9 Basis Orthonormal

(i) Basis ortogonal (ortogonal basis) di dalam ruang pre-Hilbert adalah basis yang setiap dua vektornya saling tegak lurus.

(ii) Basis ortonormal (orthonormal basis) di dalam suatu ruang pre-Hilbert adalah basis ortogonal dan setiap anggotanya merupakan vektor satuan (normanya sama dengan 1).

2.10 Operator pada Ruang Hilbert

(19)

Untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ �. Operator disebut operator adjoint atau operator pendamping terhadap operator T.

(20)

Diketahui ℋ � � masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � maka (i) { : ∈ ℋ � = �̅} = { � }⊥

(21)

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahhirrabbil’alamiin. Segala puji bagi Allah SWT atas segala karunia

limpahan kasih sayang dan kemudahan jalan yang diberikan. Shalawat serta salam untuk pemimpin terbaik ummat Rasulullah Muhammad SAW. Tak lupa ucapan terima kasih yang mendalam kepada Mama dan Papa atas doa tulus yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga penulis menyelesaikan skripsi yang berjudul “Studi Tentang Operator Hilbert-Schmidt Pada Ruang Hilbert” yang merupakan

salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

Dengan selesainya skripsi ini, penulis ingin memberikan penghargaan yang tulus dan setinggi-tingginya terhadap pihak-pihak yang telah membantu. Serta penulis ingin mengucapkan terima kasih yang setulusnya kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si. selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan arahan, bantuan, bimbingan dalam menyelesaikan Skripsi ini. 2. Ibu Dorah Aziz, M.Si. selaku dosen Pembimbing II yang telah

memberikan arahan, bantuan, bimbingan, serta saran kepada penulis. 3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si. selaku Pembahas yang telah memberikan

(22)

4. Ibu Dr. Ir. Netty Herawati, M.Sc. selaku Pembimbing Akademik.

5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc, Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku dekan FMIPA Unila.

7. Mahasiswa Matematika angkatan 1998 s/d 2011. Terutama untuk keluarga besar “EXOTIC 2008” (Excelent of Mathematics angkatan 2008) atas

kebersamaan selama ini, semoga terjalin sampai kapanpun.

8. CIMB Niaga Scholarship yang telah banyak membantu tidak hanya berupa materi namun dorongan serta motivasi sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan gelar Sarjana Sains.

9. Seorang motivator yang selalu hadir dengan sebuah ketulusan, Bambang Kiki Saputra.

10.Teman Seperjuangan, Bang Ales, Septiyani, Isna dan Ma’rufah. 11.Seluruh civitas Matematika, dosen dan staf Jurusan Matematika.

12.Kepada semua pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Harapan penulis semoga Allah SWT membalas seluruh kebaikan mereka. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat serta menambah wawasan dan ilmu pengetahuan khususnya bagi penulis, dan terhadap semua pihak yang memerlukan.

Bandar Lampung, April 2012

(23)

Judul Skripsi : STUDI TENTANG OPERATOR HILBERT SCHIMDT PADA RUANG HILBERT

Nama : Viptiana

No. Pokok Mahasiswa : 0857031007 Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI 1. KOMISI PEMBIMBING

Dr. Muslim Ansori, M.Si.__ Dorrah Aziz, M.Si._______ NIP.19720227 199802 1 001 NIP. 19610128 198811 2 001

MENGETAHUI

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi

(24)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, M.Si.

Sekretaris : Dorrah Aziz, M.Si.

Penguji

Bukan Pembimbing : Agus Sutrisno, M.Si.

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.______ NIP. 19690530 199512 1 001

(25)

Alhamdulillah, karya kecil ini ingin kupersembahan untuk :

Keluargaku Tercinta

Mama dan Papa terima kasih atas doa yang senantiasa menyertai setiap langkahku serta segala pengorbanan yang selama ini diberikan untukku. CIMB Niaga Scholarship terima kasih sudah bersedia menjadi orang tua kedua

yang selalu memberikan dukungan tidak hanya berupa materi, namun dorongan serta motivasi

Guru-guruku

Terima kasih atas segala ilmu yang telah diberikan, semoga kelak ilmu tersebut berguna bagi agama ,nusa, dan bangsa.

Sahabat-sahabatku

Ida Safitri, Latusia Nia Oktamia, Nurashri Partasiwi, Rafyanti Widyarini, Selvi Nila Puspita, Septiyani dan Wiwik Sudestri.

Terimakasih karena kalian

tidak pernah bosan mengingatkanku dan selalu setia mendengarkan keluh kesahku.

Teman-teman Seperjuangan

Teman-teman Matematika 2008

Terimakasih atas persahabatan serta persaudaraan yang hangat dan memberikan kenangan

(26)

Don’t think the best, but think to do the best

(Motto Hidup)

Membacalah maka kau tahu, menulislah maka kau ada

(Fahri Azisa, Penulis)

Pelaut yang ulung tak akan lahir di laut yang tenang

(Jamil Azzaini, Motivator)

Bermental “to give” bukan “to get” apa yang bisa saya

berikan bukan apa yang bisa saya dapatkan

(27)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 17 April 1990. Anak pertama dari pasangan Bapak Supriyadi dan Ibu Yulianis. Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak–kanak di TK PTPN X Pewa Natar pada tahun 1996, pendidikan di tingkat Sekolah Dasar di SD Al-Kautsar pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama di SMP Al-Kautsar pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas di SMA Al-Kautsar pada tahun 2008 dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai Mahasiswa di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama kuliah, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai anggota bidang Kaderisasi dan Kepemimpinan periode 2009/2010 dan sebagai anggota bidang Eksternal periode 2010/2011.

(28)

(29)

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap. Suatu operator linier �: � → � dikatakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal { _�} pada H sehingga

‖�‖�� = (∑‖� � ‖ ∞

�=

) <∞

dan pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di H. Operator Hilbert Schmidt dalam ruang Hilbert .

5.2 Saran