Kasus-kasus Buruk Penggunaan Metode Titik Interior pada Optimisa si Linear

SI MODEL

GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE

DA

DATA JUMLAH TKI JAWA

ｂｾｎｇａｎ＠

PEMILIHAN

ｕ ｾｽｬｬＪ

＠

ERDASARKAN

KWlll

DBSCAN

Oleh : Hertln De

I Karfina, Rini Cahyandart, Asep Sollh Awallu

REPRESENTASI HIMPUNAN BARISAN KODON KE DALAM

ｓｔｒｕｋｔｕｾ＠

Oleh : Yurio Windlatmoko, Ema Carnia, lsah Alsah

JurnaJ Matematika Integratif

Volume 10 No I, April 2014

Jurnal

MATEMATIKA INTEGRATIF

Pimpinan Redaksi

Anggota Redaksi

Penyunting Ahli

Alamat Redaksi

Dr. Endang Rusyaman

Dr. Diah Chaerani

Dr. Juli Rejito

Nurul Gusriani, M .Si.

Anita Triska, M .Si.

: Prof. Dr. Sudradjat

Prof. Dr. Budi Nurani

Prof. Dr. Asep K. Supriatna

Dr. Ema Carnia

Dr. Stanley P. Dewanto

Dr. Setiawan Hadi

Dr. F. Sukor:w

Dr. Nursanti Anggriani

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran

JI. Raya Jatinangor Km 21 , Jatinangor Telp./Fax : 022-7794696

http://math.unpad.ac.id/jmi dan e-mail: jmi.unpad@gmail.com

lSSN 1412-6184

Jumal Matematika lntegratif terbit dua kali dalam satu tahun {bulan April dan Oktober)

Jurnal Matematika lntegratif

Jurnal Matematika lntegratif (JMI) adalah jurnal nasional matematika yang

dimaksudkan sebagai wadah komunikasi para matematikawan serta ilmuwan lain

dari praktisi yang banyak menggunakan matematika dalam kegiatan penelitiannya.

JMI menerima naskah dalam bidang kajian matematika secara luas, yang meliputi

diantaranya, analisis, aljabar, geometri, matematika terapan , pendidikan matematika

dan kajian multidisipliner berbasis matematika yang berasal dari permasalahan

diluar matematika .

.Jurn.tl ｾｫｴｨｭ ＮｴｵｾＮｴ＠ ｬｮｩＮﾷＮＺｲＮＱ ｾ ＱＱ＠

\· .. 1um1· !" ;\1 l \µn l .!fl! I h;i) 4.} 7

Kasus-kasu s Buruk P enggunaan Metode Titik Interior pada

Optimisa si Linear

Bib Par u hum Silalah i

Departl'llll'n .\lntl·1mmka. Fakulia,:;

.\!IP:\ .. I

n,.:mut

l'l·rtam:rn Bo!!( r

.JI.

.\Terami.

Kampu"

IPB

ｄ｡ｲｭ｡ｾ｡Ｎ＠

Bo!!ur.

I

ｨｬＩｾｦｬ＠

Email

b1hpanihum l

11yaho1.1.co111

ABSTR.\1\

.\ll·todt• t1t1k 11H1·nor acblah :-uan1 m1·todl' dl'll)!all \\ :tkl\l pul1111111ual dalam ll\l'll,h'h0:-a1k:tn m,1,;alah 1J)Jt1m1,..;1,..1 lim·ar .\IPtodl·

mik

intl•r111r ,..p1111g nwnggunakan <t'11 /r<1/ p<tlh "'t•h:u.::11 p:1nclu.111 nwnuju ..,.1lu ... i upt ima lnya. l 'acb p:11x·r ini

dilwrikan :-U.llll ll'l:>l'I. ma

\'ang ＱＱｬｬＧｬｬｾﾷＺｵＺＱ｢ｮ＠

bahwa-:111\':l kvndah1 l\'dundan dap:ll llll'll)..'\lhah pu,..at analiuk

fflllnil flCllh

｜｡ｮｾ＠

:-1.•kali!..'1.I,..

lllt'llJ..'\1hah < l'lllni/ 1x1tlr.

Ddl!..'.an ha nt uan l\

111"1.·ma

1111 dit:1111p1lkan "'ll.llll k.l"'ll' d1mana

nwto<ll'

t111k 11\ll'l'ivr

!l\·11.111juk k«IJ:\ hun1k tl1•m!.ll\ ad.my:1 kt·mhll;1 n·tlund.m l\l·mudian 1h,..<1.iika11 -1:at u ma,..abh opti1111,.;1,..i l11war yam! 11wm1hk1 ｮﾷＱＱＱＱｾ Ｑｬ＠ path d1·ll!.!illl pola 1.1!.f/.<ll! l'ul. 1 /l\!"/,l!.! p:ida n•1111 al pa th Ｎｭｾ｡＠ lllt'llt.:ak1h:11 kan ml'lod .. Ill ik inh'rt111' J,, •k1·11a l1·b1h

lama

dalam 1111·11uju ,..ulu,..i 11p11mal.

.\llS Tl?A CT

ht/1'/'ltlr/1<i111/ 1111•/h11d 1., <I lllt'l lrud 111/h /J<•(\11111111<1/ /11111 /111

·"'Ir

ｩ ｮＮｾ＠ /111 1'(l/'1>/lli1111:<1/l11'1 111·11h/n11 ,, / 11/1'/'1111/1<1111 / 1111'1h11d,, 11//<'/I 1181' /hi'< 1'11/f(t/ / XI/fr(/,, II .lflll<futl('( ' /u /ftl' up/llllllf .,u/11//<1/I. /11 //11 ., /111/)1 '1'. II t' /11'1'."'Jl[ I/ tft1·t1/'t I/I ll f:u /,·'/II/(',, t/i11t /flt' 1n/1111c/u11/ n111,1n1111/., <Wl 1h1111.!!•'

tit,·

ww/1/11 n·ntn·

••/th,

11·111ml 1x1th

wrd

tlt111 /;,,,., '11111!!1' th1· 1 rn/11tl /Mlh. \\'itlt /Ir" l•../fl u/ tlt i.,

th11Jn11: l<<'fit"'''"/ 11 r<1.'• 1,lt1n·1111111/1 •n111·1:.u111t 1111 th111/ /111., hwl 1,.·1/•11111r1111•". '/11 1•11111·•tl·••1>1·1•1·11rn l1111·•11· .. pt11111:11tt1111

/ ll'11i./1 !II /( hu Ii

/111,,

r

I

11/111 /)' ''" II 1th II :t,!!:11!! /1<1/lt'I ..

7.

i;:rt!! /Xt/'1 Ill "/ th1

I.

11/111! /kt/Ii 1 .. 11111 II :1 r;11r 111111•/ /I

I'"'"'

fl,.,., .. /111 1!• r t/11111 "'''11/ /,.111111/, 1/i .. 11;11111111/ ..,,fu:,,,1•

Ｑ｜Ｑ ﾷｾ＠ w on.I-:: u /1 n111 /"'l'JJ 1111 t/:,,<f. '' 11/1,if /1<tll1. :1:.::11!! 1111/11111. t• 1!i111./•:nt, ,,,.,/rr11J1h. /.111/ 111.•• ,,, /1111 11r1.;1t1111r:.:1·w1.

I. P(•ndahuluan

I

1 .. r111a,..:ihh:11111pt1n11,..;1,..1lirn·ar10 1.1 :1d :d: 1h ,..11.1111 p1·r111:1l:1h:11 1 d1111:111:1 ,.1·:-1·11r: 111!,! ill!..'i11 nwn11111111u1nk:111 :i1:1u 1111•111:1k,..111n1111k:111 .-.11:11u lu 1n:,..11 u.111:m ,\ :Ill'..'. l11·rh1·111uk l11w:tr.l1•n!.!:111 k1·11cl:d:1 -kt·11d;d;1 \ ';tl\!! ｲｬｬｬｬｾＺＱ Ｑ ＺＱｫＺＱＱＱ＠

d 1l. 1m )ll'r,:1m:1:111 lm1·ar cl.111 :ll:lll p1 ·1t:il.. ,..:111':111 l1111·ar ( 11·1wl111:i11p1111·!11 1:111 11p11m1':""1 l11w:ir 11•l:d1 1111·ml11 •111uk 1·:11:11.111 \;111:: pa11_1an!.!. d1mt1l.11 p.1cla t.d 111 1!117 ,..1 •\\,1!..111ll:i11t11!!1111•111ap:1rkan llll'l11d1 • ,..1 m pl1 •k, llllllll-: llll'll\1•l .. ,a1ka11 111;1,..:il.1h

c11. 111

I\ .

I m; i h:in d.in 11ll'lt1d1• ,..1111p1 .. 1-;,.. :1cl:d.1h Jllllll:th

i1 .. ra,1 \·;111!! cl1J11•rl11k:1111111111k nH·11\1·l1 ,..,11k.111 111:1,:1Ld1 CJI. d.1p.11 111111huh ,..,., .1r.11 k,pu111•11,1:d. l l :il 1111cl1t1111.1ukk:111 p1·rt :1m:1 ,..,.k,d1 11!..!1 1\(,. ,. cl:111 \lint \

l'I

l\ 11'1' cl:11 1 .\l11ll \ 1111·mh1·rtk;111 n1111"h d1m:111;1 111 1·t11d1· -i 1npl 1·k,.. 1111·m .. 1·l11k :111 :! I 111·r:1,..1 11111 uk 1111·11\·1·l1•,..:1ik.111 111:1,..:dah 01. d .. 11!.!.111 :.!•1 111 ·r1 1d:1k-:1m :1. 111 H1 ·nkt1t :1cl:1l ;d 1 111:1,..:1!:1'1 l\11·1 .. .\li 111\ di1n1•11,..i 11·

111111_\',,

k1 ·nd:d a 11 \". , \ ' , ::-:: I - 11\', :·

k

=

I. , II.

cl1ma11;1 f' :ul:ilah l11la11!.'.all p n:-1111' l1·h1h hl'l l I.in '"'' 11 !.!:th d:111 1. - II

IJ

1p.11 cl1\·1·nl1k:1-1 h.tll\\:1 111 111l:d1 \•·rt•·\

cit

clal:1111 cl11m:1111 ma,..;tl:ih

h

1 .... \11 111-. ad:t ,..,.h:ill\:ik :.!11 l\11·1 .\ l 11it\ m1·111111111kk:i11 hall\\a,a11\;1 d1 n:.::111 :1111r:111 p1\·111 l>:i111:n:: 111 • 1 .. d, -1rnpl1 ·k:- .1h.111 1111 ·11c.r 11.111:1::1 -1·11n1.1 n·r;1·k'. \".lll'..! hl'l':tl't I\\ ·1 kt I kt1111p11t:t,..l ,\ :111!! d1p1·rl11k 111.1d.d.th 1·k -p111l1"1l,..i.d t:! ) t

:'t

1: 1k 1111

Ii

111\J•ll 11111

Iii:,..,

11111:1

:ltlll':lll jll\flt fl11• l 1"'" -1111pl1·k:- d:1p: 11d ilw 11k:i 111·1111t11 h \ :111!.! ll\"llll' l lllk: 111\\:tk1 11 1•k ,..p11n1·11-1.1l

l':id:1 t:ih1111 1!17!1 l\ :wl11 \·; 111 m1 · m ap:irk: 111 :-11:111 1 1111•111d1 · l1:1r11 11n111k 11lt·11\1•l1·:-:11k:111 m :1-:il:il1 (JI. d1·11!,!:111 w:1kt 11 JHoli11111111:rlj7J. \ l 1·t11rl1· 1111 d1k1·1l :d d1· JH.':111 11: 1111 :1 1111·111d " 1·lip-111d T1 ·t:q>1 d.!1:1 111 apltl-:1.,..111\:1 rn1·111cl1· .. (1p-111d l1 li1h li11r11k d.1r 111 .. 111cl1• ,..1111p l1 ·k,..

( ':1d;1 1:1!11111 I!•"' I. l\ .1rrn.1 1 k 1r 111"11!.!11,..1rlk:111 m1·111d1· d1·11!.!.111 "·"'"' p11l111111111:il \:111:.'. d1k1·n.d d1·11..'..111 nama ml'iwl1 p11111•k111 l\. 11111ark.1r 1111111k llll'll\1·l1•,..•11h:111

lll.h.d.ili

t

II.

11;1 .

.\J ..

i ,,; .. 1111 .1cl:il.1h .1\\,d

B.P S1lalah1/ J'.\11 Volume 10 ｾ ｯ＠ I. April 2014. hal 9· Ii

dari berkembangnya metode titik interior.

ｾＱ･ｴｯ､･＠

ini juga efisien dalam aplikasinya. Cara yang

sering digunakan metode titik interior dalam pendekatan menuju solusi optimal adalah dengan

menggunakan

central path.

sebagai panduan. Suatu contoh metode yang menggunakan

central path

dipresentasikan oleh Roos dan Vial

(10] .

Untuk suatu problem dengan npertidaksamaan dan

L

bit

input data. metode mereka memerlukan

O../"iiL

iterasi. Iterasi tersebut merupakan batas atas

terbaik yang diketahu i untuk metode-metode titik int erior.Kemudian Roos. Terlaky dan Vial

mendapatkan batas atas yang sama dengan menggunakan algoritme yang disebut dengan primal·

dual langkah full->:ewton [11]. Batas atas iterasi mereka dinyatakan dalam:

r

nµOl

ililn

£

dimana

µ0

>

0

menotasikan nilai awal barrier parameter. dan

E

adalah akurasi mutlak dari fungsi

tujuan. Buku tersebut menerangkan bahwa bila seseorang rnemilih nilai

E

yang cukup kecil maka

batas atas akan ekivalen dengan

../"iiL

.

Central path

adalah kurva analitik yang bergerak pada interior dari suatu domain menuju solusi

optimal. ldealnya

central path

adalah suatu kurva mulus menuju solusi optimal. Dalam ha! ini

nwtode titik interior dengan

central path

sangat efisien. Dalam prakteknya kurva mungkin memiliki

bl'l>l'rapa belokan-belokan tajam. yang dapat mengakibatkan kinerja metode titik interior menJadi

buruk.

Deza.

ｾ･ｭ｡ｴｯｬｬ｡ｨｩＬ＠

Peyghami dan Terlaky [2] menunjukkan bahwa dengan menambahkan suatu

kendala-kendala redundan terhadap masalah Klee-Minty, dapat memaksa

central path

memiliki

belokan -bclokan yang tajam. Beberapa jenis kcndala redundan kemudian dianalisis. seperti dapat

dilihat pada

13 .

..J.

9]. yang memberikan contoh kasus buruk metode titik interior. Gilbert. Gonzaga

clan Karas mcmbcrikan contoh buruk

central path

pada masalah optimisasi konveks [5].

Pada paprr ini diherikan contoh kasus dimana

ｰｾｮｧｵｮ｡｡ｮ＠

metode titik intcnor untuk masa lah

OL

clnpat

n1emiliki unjuk kerja yang

buruk .

2.

Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan mcnggunakan analisis matcmatika dan dengan hantuan perangkat

lunak

ｾｉａｔｌＮ｜ＱＳ Ｎ＠

3.

Hasil dan P embahasan

Bl'ntuk

,.;tandnr

dari masalnh

OL

aclnlah sehagai herikut:

mm

{c

1

x

Ax

₌

b. x

_ｾ＠

O} .

_!Pl

d1mann

C, \ ER".

b

E

R

111

clan

A

E

R

111

x".

ｾｬ｡ＬＮ［｡ｬｮｨ＠ (J>) .

.-Pnng c)j,.;plrnt clengan ma,.;alah

primal.

ｾｲｴｴ｡ｰ＠

masalah OL berpadanan clengan masalah

01. lamnya >«rng disph111 dl.'ngan masalah

dual.

yang mengandung daia(ll.

b, c)

»ang ;;ama namun

､ＱＱＱｾﾷ｡ｴ｡ｫｮｮ＠

dengan earn >·ang hcrhPda. Dual dari

CP)

aclnlah:

( l))

ch mnnn \

E

R"d,inv

E R111 _{ｾｫｮ ｣｡ｮ＠}

;;olu;;i optimal

_(!')

clan

_(Dl

dengnn mPngi:ru1H1knn nwtodt' titik

mt<•nor dapat cltlnkuknn clPnJrnn nwm·clesmknn

si!"H'lll

1wr;:;amaan lwnkut ·

Ar= b,

x

ｾ＠ 0,

ll Ty

+

S

=

C. S ｾ＠ 0,

XS= JW.

HI' ;-;iJ:i.:ih1 .J.\11\1oluuw 111 :-;., I \pnl :!lll 1. hal ｾ＾ＮＱ＠ ｾ＠

cl11nana

11

aclalah 'L'mharnng bila1wan

ｰｯｾｩｴｩｦ＠

dan

e

adalah ,·ektor satu

.J

1ka ＬＮｩｾｴｬＧｭ＠

tersebut nll'miliki

ｾｯｬｵＺＭＱ＠

unrnk beberapa

11

>

0.

maka dikatakan (Pl clan tDl nwml'nuhi

koncl1,-1

interior. Kl'Ctkn

JI

d1eYaluasi pacla (0,

CtJ)

maka

x

(Jt)

akan mem1liki ;-;uatu kurni pada intl'nor

dat•rnh

fi,..1bel ( P>. klll'Ya mi lah yang di,.l'but dt'ngnn

C't'11tral path

(Pl .

Dl•mikian pula himpunan

{(y(Jt), s{11)) :

I'

E

(0, c:r.i)}

cli:-elrnt dengan

C'l'ntrn/

po th

(Dl

.Jika

p ...

0 maka

\· (11), (y(11),

'>(p))konn

l'!!l'll

ke himpun.111 ,:olu..,i

oprnnal

1

Pl

dan c 01 Pada

,..i:-1

lain .

Jlka

11 ... :r.

maka

x(11), (\'(J1),s(11))

ma:-111!!·ma,.mg

kon,·ergen ke

pu.-;at

wwlit1k

dan

1P1clan101.

3.1 .

.\Ja salah Optimisasi Linear d e11ga11 Kenda/a Red1mdan

l'ada hal!tan mi dilll'nkan ,:twtu

ll'tll'L'lll.1

dimana

cc11tral putlt

clan .suaru ma,:alah 01. lwnrnntuni.r

pada

n•prl''L'nta,;i dan

ma:-alah

OL

IL•r-.drnt.

Penamhahan kendala·kenclala reduncL111 llapal

nwn!!uhah

<Tntrul p(ltlt

ma:-<tlah <lW<ll

Bt·rikut ·didefim-.1kan pl'llg-t•rtian hl·nclnla n:clunclan .

D<.' fini 'ii

l.

l\c·11clulu

r<'dt111c/(111

czduluh

s1wt11 k1•11dola d111wrrc1 pcrrMlwp11s1111

k1·111/ct!u

fl'rseh111

duri

·'llctlu

11111.,.ci/11/r

()/,

trclul.·

1111·11g11hoh

dcl!'mh

/i .

.;illl'l

don

mcz.-.11loh O f.

li'rsi'hul

ｾｴﾷｬ｡ＱＱ ｪｵ ＱＱＱｹ｡＠

ditll'rlihathan liahwa

c·1·11tut! pczth

clan ,..uatu ma-.alah OL lwrnhah kl'tika clitamhahkan

k1

ndala n•d und.111 k1· ma,.. dah

:rn;il 01. 'l\·ntu

,..;l_la

nilai

11pt1mal

fung..:1

lllJll•lll

ma-.alah 01. dan

ma-.:ilah

n·dunclan1l\ :1

:1clalah

ｾ｡ｭ｡Ｎ＠

1111

ｨｬﾷｮｭｰｬｴｫＮｴｾｬ＠

bah''

:t .nka

nw-..dah 01.

h;111\ :1

mvmiliki

:-a

tu

... .,11, ,..:

uptimal maka lllllllk

JI -

U.

11·11tnzl

1wth

dari kl·dua lll<t:-alah kllll\'l'l'}!t·n k1· ..;olu,.. j ｾﾷ［ＱＱＱｧ＠

,..,11na.

:-;,.fi:d1kny;1 _i ika

11 -

.r 111;11-:a 'c 11/qzl /)<1th f..1111\·vrgl·n

kv pu,..at

:111:1111

ik

111;1,..:il:ih. Tv11n•nia

lwnhut

11w111pvrlih:1tkan lial!:11111 .lna pu,..:11 nnnlllik

l>!'r uh:1h

kl't 1k:1 k1 ·ncla l;1 n·dund:lll dit:1mhahkan kl'

111a:-al.1h

([)1 .

l);da 111

Jll'lllliukt1:111 dipl'1 luka11

lv11111w

lll'nkut:

Lc·n11na

t ..

Ji/:11/;111J(it.,;111/.'1 iur ll'11w111tl11. 11111/.11

fl"·'"'

cz1111/itil:

I DI

11</(l/11/t ....

11/11.-.i uni/· duri

,z,..;/1•111:

, \,\ =

0,

x

ｾ＠

o.

11

y1-,==c.

,;;::o,

.\\ - C'.

Bul<t i.

().1p

11 d1p ..

roh·h

l1;tll\\:1

nl .

.i f..1111d1,..1 1n11•rt11r Ii rp .. 1111h1 m:ik:i -.1,ll'll1 l11·rik111 11·qll'llllh1

.-\(/I I\) = /I 1 h, \ ｾ＠ {), : \I \' .,. \

=

< • \ ;:: ()'

JI 1.\ \ - ('

1..-m m.i cl1d;1pa1kan d1·n!!.t?l nw11cl• ｴＱＱＱＱｾＱｫ｡ＱＱ＠ l\l'lllh.tli , ... ,.1t,1i.:a1 .\. = 11 •,. cl;111 cl1·11!!.lll m .. m::imhtl 11 1111·1111111 t;1k tt · rhtn!!!!a

TIH•o n •n 1 Ｚｾ＠ . .\!1•11/ 111 \ ::; d.<t E !{",cl E U. ·'"'"'"" /;,•11clul11 "rl1111cl1111 1/J1 /)1 ·111!1111 1111 ·1111111/1oh/;1111

I• 11rlt11r1 1111 / , (/)) ,.;, ·h111r.ul. I I.flit. r/1111 tf,.11!!1111 lll"/l!f11111h1/ /1 1111·1111.111 t11l./l'r/.1n!!t:11 . 11111h1 1111..;11/

111t1!it1I: tlr/lt >t111,t11 1/r 111111 f

J/ ..

r/11111:11-i/:i111,f,11:.:c111

t /JH 1

/,111111 1:,:. ·11 / ., ,.-ft:1t1l1

,,,/11-1

"/1lt1J1•tl d1111

111111 {Cl ."

.-\'y

s

<I.

I J 1

Bu kti .

(\ .. 11f.. 1 111 .. n:1111lt;;h

l-. 1·11d:1l:t n·d1111d:1n

11 ' 1· •.: cl. It k:1li k.-11)1

d1p1 ·1»il•·h 111<1'.llalt

11'lltt11d ;111

l

11 ·nk11 1

.1'1 ｓ｣Ｎ ＱＱ Ｍ Ｌﾷ ｾ ｣Ｏ＠

(/ik:iltll.

BP. S1lalahll ｊｾｬｬ＠ \·olume 10 :\o I. April 20 l ｾ Ｎ＠hal 9· ｉｾ＠

min

{er x

+

hid

:

Ax+ hia

=

b,

x

ｾ＠

0,

ｨｩｾ＠

OJ . (PR)

dimana

i

ER.

ｾｉ･ｮｵｲｵｴ＠

Lemma

2.

pusat analitik (DR) secara unik ditentukan oleh

sistem berikut:

Ax

+

hia

=

0,

x

ｾ＠

0,

i

ｾ＠

0,

(2)

AT

y

+

S

=

C, S ｾ＠

0,

(3)

aTy+s=d.

ｳｾｯＮ＠

(4)

XS=

e,

(5)

is=

1.

(6)

ｾ Ｑ ･ｭ｢｡ｧＱ＠

persamaan-persamaan

(2)

dan

(5)

dengan hidan kemudian mendefinisikankembali

xsehingga

x

:=

x/hi),

didapat sistem berikut:

Ax= -a,x

ｾ＠

0, (7)

AT

y

+

s

= '·

s

ｾ＠

o.

(B)

ary+s=d.

ｳｾｯＮ＠

(9)

e

XS= -

(10)

hi'

is=

i.

(11)

Dengan mengambil

h

-+ oo.

d iperoleh dari

(10)

bahwa

xs=O.

(12)

Karena

(i). (8)

clan (

12)

adalah kondisi-kondisi optimal untuk

(1).

lemma diperoleh.

3.2. Masa l a h K lee-Mi n ty dengan Ken da /a R edund an

Berikut ini akan disaji kan

central path

dari masalah Klee clan :\linty dengan penambahan

kendala rcdundan.

ｾ ｬ ｡ｳ｡ｬ｡ｨ＠

awal Klce-1\lmty yang digunakan adalah masalah 2·dimcns1 dengan

p=

1/3.

sepcrt i

sbb:

mmy

₂

kcndala

O<y

₁ $

1.

( 13)

1

1

3>'1

$ ｙＲ ｾ ｬﾷＳｙＱﾷ＠

Kcndala n•dundan

ｾﾷ｡ｮｧ＠

digunakan adaluh kcn<lala

ｾﾷ｡ｮｧ＠

disajikan pada kolom pt•rtama TabL•I

I.

Kolom hdun

ｭ･ｮｾﾷ｡ｴ｡ｫ｡ｮ＠

gambar

ｾﾷｮｮｧ＠

mem1wrlihatknn cfok pada

central path

ketikn kt•ndala

ｾﾷ｡ｮｧ＠

bcrtautan d1tambahkan

h

kali.

unt uk heberapa

mini

h.

Dari Gambar

I

clan

2

dapat dilihat bahwa

jika

It

hertambah hesar maka pusat anahtik bergcrnk ke suatu ttt1k dari kotak

ｋｬ･｣ﾷＺ｜ｬｩｮｴｾ ﾷ＠

d1mana

slack

kcndala rl'dundan d1maks1mumkan. :•ang :-l'jalan dcngan Tt•ort>ma

:t

Tab le

1.

J\l'ndala redundan masalah

( I :I)

clan gamhar tautnn.

l\c•ndala n'dundan

(:;unbar

Yi

ｾ＠

0

Hr>

)'1 $1 J(rll

I

"+ - )'

>

0

ｾｬ｡ｬ＠

J 2

3

I -

-}

v, + -y

₁ $ 1. 1 ｾＨｨｩ＠

.. 3·

1

" · · -)' >

- 0.

J ｾＨＨＧＩ＠

·' • 3 I

-I

y .. -v

<I ｾｴ･ｬｬ＠

-- 3-l - _ _ _

_

[image:6.623.91.526.106.333.2] [image:6.623.245.413.571.781.2]

BI'. :"1lal11h1 .);I ll \'olum<' IU '."o 1. April ＲＱＱＱｾ＠ ha! !.l· 17

'•

1,

:1

I

: !

I

I

1, - 0

:1 :' _'

, • l::AJ

' . : t r • 1:0

!j"I ·-·

T , . ｾ＠

I

:• _J

ｾﾷ＠ ' !

•t

.

..

: 4 _］ｾ＠ :

.

'·

..

; .:. : l ::

((I )

.111

>

()

(Ii l

111

<

1

,,

Ya

T , . .,

'

: l[

..

_I

r·=

I

o: 1, - 0

:

Ｚｾ＠

=!-

Ｌ｟｟｟｟Ｎｾ ｾｾＢＭＭ I ｾｾＭＭＭｾｾＭＭＧｾｾｾＭＧＭｾｾＭＧＭｾ＠ I I I

...

=·

"

) i

'·

..

,.

"

..

( (') _l/2

>

() _(d)

!

I:!

<

l

<:amhar

I.

Ct·n/rn/

po lh

da r i m a:-alah n•du ndan

ｾ＠

cl inw n,-i Klt•1•

ｾ Ａ ＱＱＱＱ＠

\ clima11: 1 kv11dal;1

r1·du11d:1n ,-1·.1ajar cfi.11ga11

ｾｮ ｬ Ｚｩｨ＠

:'atu -.umhu koordinat

'·

J,

1> ..

nl'.:lll 1111·n:1mh.1hkan k1·mlala n·clund:lll pad;1 ma:-al:1h

ｋｨﾷＱﾷＭｾｬｩｮｴｶＮ＠

clap:11 t<'r1ad1

11·11/ni/

I"''"

lwracl:i d1·k:11 dl'n!!.in 11t1k-t1tik

pojok dari d:wrah fi,..ilwln.'a llal m1 :1k:111 lwr:ik1h:it hurnk

ｾｊｰｴＱＱ､Ｑﾷ＠

1111k 11111·rior :ik.111 11wmhu1uhk:1n 1u·ra:'1 ,·ang IPh1h

ｨ｡ｮｾ ﾷ ｡ｫ＠

un1uk nwnu.111,..c1l11,..111p11mal. Pvnoh:1n11

clil;1kukan dl'IH!'nn 1111•n;11nhah k1· ncla la r1·cl11nclan

y

₁ ｾ＠

O :-l'h:tn,·:ik

:m

ka li d:rn

.":

;?;

O ,..l'han\ :ik

J ."i(l

k:ili .

c;:imhar .{ 1111·111pPrl1ha1k:in

ccnrrcil JJC1lh

d:in ma-.alah

ｾ＠

di1111·n:-1 l\k1·

ｾｬｬｬｬｬ｜ Ｇ＠

d1·n!.!all k1·111lala

n·du11d:rn t•·r-.1·hu1

('1 ·11/ ru/

polh

h1·rada rl1·kat d1·11ga11 1111k-1111k p11.111k clan d:wr:-ih

ｦｩＭＮｩｬｷｬｮｾ ﾷ Ｚｩ Ｎ＠

f)l'll!!an m1·JH!Clln:tk:lll l11t'tnd1· 1i11k mt1·n11r

smrt!l-11pdo/1· f1fllh.folln111111! 1111'1h11r/

cl1pPrl1h:11k:i11 p11l:1

(warn;1

h1ta111J :-:1·lrnah .1:ilur v:rnf,! ditl'mpuh clalam

Jlll'IH'<ll'l

-.11111,j optimal

.1 .. 1.

C011t o h ha!i11s

b11r11 h lai11

T1·lah did1,ku"1k:m h:1hw:1 n•r,..1 rl'<h111cl:i11 dan 111;1,._:dah 1\11

ﾷﾷ｜ ｬ ｭＱｾＭ

cl:ipat 1111·11\ 1·li.1lik.111,

1·11f1t1!

/J11lh

B.P. S1lalah1; J'.\11 \·olume 10 ｾｯ＠ 1. April :?OH. hal 9· l;

metode uuk interior menjadi buruk. Gilbert. Gonzaga dan Karas memberikan contoh buruk

central

path

pada masalah optimisasi kom·eks [5].

ｾ＠

Cl

c'

O•

02

ｾＱ＠

11

''

lt

o:

11 l l

ｾ＠

h: 5

n•O

\

'

)

c'

/ ｾﾷｏ＠

f

. / _O•

01

o.; Q A _O' = .. _{I r l} 01 Q.A

.,

Ct I J I

(a}

Y2

+

Y1/ 3

>

0

(h)

Y2

+

yi/3

<

1.1

11

Q A OJ

(c)

.1/2 -

m / 3 >

-0. 1

(d) Y2 -

y1/ 'J::;

1

Gnmbar

2.

Cc11tru/I path

dan

ma,.alah

n·dund;111

:.!

d1rnen,i

ｋｉｐ

ｴﾷﾷ ｜ｨｮｴｾ

ﾷ＠

d11nana k!'ndala

n·dundan ;;ejajar cll·ngan -.alnh

:-i\tll

kt•nclala

l\vnkut

ini

d11wrl 1h.11kan

:'ll<Hll

contoh dimana

ccntrol poth

nwmd1k1 pola zigzag. Pola zigzag int

JUJ.!<I

11wngnk1batkan

nwtocl1•

11t1k

111tPr1C1r

lt•hih lama cl:ilam mcmpl•roll'h :-olu:;1 optimal. C'ontoh lwrikut

;iclalah

,·arwn

dan

rnntoh

ｾＭ［ｩｮｧ＠

chlwrikan

olt•h

Dl·za.

Tt•rlak.'· and Zrnehpnko

l-1 1.

1

08

-

'.)6-

01-

02-

o-0

ll I'. :' il;iluh1 .• J'.'111 \ 'olunw JO :\o 1. A1ml ＺＡｉｬｬｾ Ｎ＠ha l H-17

02

r

small-update path ""'"'

ｾＭＭ

ｾＭＭＭＭＭﾭ

ｾＭ

--_______

,

0 1 01.i 0 8

[image:9.614.34.550.74.692.2]

Y.

Gambar 3. Sdnrnh jnlur nwtodc titik

intt•rior

mn ,.;alah

rt>clunclan

ｾ＠ dinwnsi 1\lt>t>-:\lintv dan

ce11/rcil

p(l/

h

·

ｮｾﾷ｡＠

!.la:-:alah OJ. clt•ngan

n·11/m/

path

nwmiliki pola zigzng:

ＱＱＱＱＱＱＩＧｾ＠

k1•nd:1Li 2yL ｾ＠ I ,

-:ly, - ｹｾﾷ＠

1.

(14)

Sy, - ｹｾ Ｚ｟＠ .),

(-1)1 • 1 1 l y

1 -

10•-1

YL

· :),

untuk

i

=

_{1, .. .,111}

-1.

cl1ma11n

111

adalah

jumlah pl•rtidak,.;amaan. ｾｯｬｵＬ［ｩ＠ optimal ma,.;alah tl•r,.;ebut untuk

111;:::

.S adalah:

(

45

- 1

)

v· v;

= 1 ,.,_,

-(_ l ' . _) ( ) 121'10111 - 1

!

I .

l.\<·11kn

paranwtn 111 lwrtamh:di .

y;

ht>ruhnh-uh:ih

antarn ﾷ ｬＮＧＩ Ｏ ｊｾｬ＠ dnn · ·1.1/ 1:!1. -.1•11wntnrn ｹｾ＠

hl'rtamhah

dl'ngan

l;1111hat nwnuju nol. Hal

ini

nwngakihatkan ma,:a lah

ll'r-'e!Hlt nwmiliki ccntrctf p<1th ch•ngan pola zigzag. (;amhar ·I nwnunjukkan

c·c11/ral

path dari ( l ·ll

untuk

m

=

q

d:rn 111

=

22 . 1\·rclapat 111 - 1 lwlnkan padn rn1/ro/ pulh :'l'lwlum nwnuju ,;oht,.;i npt imal. clan "khar" lwlokan lwrkuram:

_11ka

11 nwnurun nwnu.iu nol.

-1 . Si mpu\an

.\l1•111cl<' t1t1k

tnt<·rtor

rlt•nµan

pamh1an

n·ntml path

clalam 11w1111.iu .--0111,.111p111nal 11wmil1k1 unjuk kl·r.i:1 \·;111g

huruk

p:1da ka..:u-.:-ka..:u..:

r·,•11/rril pr1th l)(•r:idn d .. k;it

dronl!an

'"'"11111 :1

111ik ..:udu1

padn d:i1·rah ｬｩＮＮＺｩｬＩＨ ｬ ｮｾ ﾷ［Ｑ＠ ｬ｜ｮＮＮＺｵｾ＠

1rn cl.ipat

l<0

1Jadi 1kngan

adan.\:t

k1·11daln 1vclundan.

Pob r.1).!1.ag pad:1

n'11tm/

p(/th

JllJ.!:t

nwngak1hatkan rrn·t•1d\'

titik

int('nor h t·ntnJllk k1·1jn

hun1k. :\arnun {h-rnikrnn ka . ..:u:-:-ka.--u,. 1vrhun1k

ｈ ﾷ ｲｾﾷｨｵｴ＠

tt•tap clalam

wakw

poli110111ia1.

111' :'1;alal11 .J;\11 \ olunw :11 :-.. • I .\pnl '.!1111. h ol !• I;

..

·.

---

'=

' .

ｾＭ

ＭＭ Ｍ

1.

ｾ＠

I

\

t_•

-

__

...

.·

) I ( "'-· 1 ,.

( ;1 ) ///

=

!J

( Ii ) 111

.

)

.

)

Ｈ ｾ ｡ ｭ｢ ｡ｲ＠ ｾ Ｍ

l'ula 11gza!!

n•n/rCtl pulh

ma,..;1lah

I l ll

Dafta 1·

Pusta ka

l .

I>an t z1g. ( ;,

IL l

ｾｈｩＺｉ＠

..

/,incur

/ 'rngn1111111111g

one!

Ｑ ｾﾷｸｬ＼ＧＱＱｳｩｯＱＱｳＮ＠ P ri rH'l' t 1111 :\ ..

J:

PrilH'l'\1111 Cn1n•r,.;i 1.'·

I

'n·,.,,.;

·I

.

...

lh·zn. \

:\1•111:1111llah1.

E..

1•,.,

!..d1:11111.

IL and

ｔｶｲｬ｡ｫｾﾷＮ＠

T .

ｾｉｈｈｩ Ｎ＠

Tlw 1·1·1Hral

p:ilh

n-'it:--

.ill

tlw

Yt·rlwt·:-111' l ht·

l\lt-t··

\ li n t .\

l'Ulw.

( )p/11111::ut11111 .\frtli11ds

&

S11/t11 urc.

:!/(.i). /Uf.!!t'' \.if ,\fi.i.

ll1•z;1 .. \. :\1·111at11llah1.

E .. :ind

'l\·rlak.'··

T.

ＺＡｏｴｬｾＮ＠

I Im'

!!nod

.irt· 111t1·ri11r p111111 11w1

hod,·'

ｬ ｜ｨﾷｴﾷＭｾ ｬ ｲｮｴ＠

, .

ntlw:-

t11:h11·11 i11·r:11i1111-n111lpl1·\ll\. h1111111k

.\luth1•11111t1nil l'rn.!!ru111111111.!!

I I.WI.

S1 I . \ ). JUl,!!1 .

.,f

11.

ll1·1.a .. \. T1•rl:1k\.

T. :ind

Z11H h1·11k11.

Z ..

ＺＡＱＱＰｾＱＮＨ＠ ·1·111 r;d

pnl

h

1·un·n 1un·

:1 11d

i11•r;11 r1111-no111p l1•\1l'"

foll' n

dundalll

l\lt ＱﾷＭｾ Ｑ ＱＱＱＱ＠ \ t uh1•'. \ 'r1I 11. 111 \c/1 c1111·1·.-:

111

11p11l11'CI 111r1th1·111<1f1c.,

011d

gluhul

111il11111::u/11111. /Jiil!•· ..!:::;.:!.lfi .\1'11 )°t1rl· ｓＱＱＱﾷＱＱＱｾｮ＠ •

. i

I ;Jll11·r1 ..

J ( •• ( ;1111mt::1. C (· ..

and

l\;1r.t'.

E.

:!0(1.-l. l·::-.ampl1•,.: 111' il l-l)('h;l\·1·d 1·1· 1ll

r:il p:1 1

h,.

in c1111\·1"\ 11p1 1m1/.11 11111. . \/<1th,. 11111t1111 I 1'1 111.! r11m111111 I.! 111: I. 1i11 C• ·' fi.'/. .'l·I

I). l\:irma1

k:ir.

'.\ ..

ｬｾｉＢＭ I. .\ Ill'\\ ｰ ＱＱｬｾﾷＱＱＱＱＱＱＱＱ［ＱｬＭＱＱＱＱＱＱﾷ＠ :11!!11ri1h111 tnr

pr11!.!r:1111111inl.!.( ·,,mh111uf11r1C 11(SJ1nngc1 \ ·l'rloi: .\'1 ·11· ) ·url .. / 111 ) ·I . 1111. ·I. /Ht.L!•'·'

:;/:t

.'1'.'l.i.

l\h.whl\.in. I.(;.

l!l"-ll.

P11ln1111111:tl .\h:1111thm,

111

L11war l 'r.,!.!ra111m11l!.!

/.h11r1111/

\

,,1i, ...

,/t11'1'11111

.\ {11/1 ' /lll/lll.1 I .\111/1'/ll<tflC f,, .. ,, .. ,,, Ft::1I.' rTn111s/11/1·rl 111/11

1-:11!!11--h

Ill

l "."Sh' (

'nm1111tu/1111111/

.\f11th•·111ut11'

1111rl

.\futh1·11111/1111/

l'ln.,1n•

:!II. ;1111.!1'.-: .i.'i-/:!):,!II, /111!!1'." .) / .fi\

..,

!\!•·" \ "

nd \hnr'

<;

.J.

II"" _: ..

11d 1-' 1h1 :-1111pl1·\ .tl!.!11nthm·: . H1-;:!."11·c11111it/11 •.,

Ill

f/>rtll'

lh11d

S'.!11/Hi.'. (·,,,, ( '11l1/11rr11il . f.11 . .; .\n!fl'i•.'·

(·11/1/.

1.1/fi.'I. rfrt!1C11f1·d /u th1 · 1111 ·11111r:,

11/

/hn1d1111· ,o...,

.\/111:/.1'1. /H/!!1·, f .i.'I / /.11 . .\'1 II )'ur/.: : \ nu/1°111/C' fli·1'.""·

ｾｴ＠ :\1 111:1t11ll.ii11.

!-: ...

rnd T.·rl.1k\ . ' I .

ｾＰＱＱＺＭＭＮ＠ \ -1111pl1 ·1:ind11!.!ht1 r n ·du11d.1 11 t ｬ｜ＱＱﾷﾷＭｾＡＱＱＱＱＧ＠ ,·,,n-1n11·t1 .. 1i.

<

Jpt11111::11t111n / • ..t1. ·1.' . :!1.n.

''".!!' ...

.

/11.1

t

/./.

B.P. S1lalahL J'.\11 \"olume JO ｾ ｯ＠ I. ,\prtl ［＿ｏｊｾ＠ hal lJ. J;

10. Roos. C. and Vial. J.-Ph .. 1992.

:\

polynomial method of approximate centers for the linear

programming problem .

.

Wathematical Programming

54,

pages

295-306.

11. Roos. C.. Terlaky. T.. and \'ial. J.-Ph.. 2006.

Interior Point Jfethods for L111ear

Opt1mizatwn.(Second edition of Theory and Algorithms for Linear Optimization, Wiley,

Chichester.

1997).

:\ew York: Springer.

.

'

Jurnal Matematika Integratif

Volume 10 No 1, April 2014

ISSN 1412-6184

PETUNJUKBERLANGGANAN

DAN PUBLIKASI NASKAH

CARA BE R LANGGANAN

Permintaan berlangganan dapat dikirimkan ke alamat

redaksi. ｾＱａｔｅｾｉａｔｉｋａ＠ ｉｾｅｇｒａｔｉｆ＠ diterbitkan dua kali

setiap tahun (bulan April dan Oktober). Harga per

eksemplar terbitan (nomor) Rp. 100.000.00 untuk daerah

Bandung. dan untuk luar Bandung ditambah biaya pengiriman.

CARA PUBLI KASI NASKAH

Semua naskah yang ada kaitannya dengan mat emati ka dan komputasi dapat dipublikasikan melalui J urna l ?-.1AT Ef\l'\.TlKA INTEGRATIF. dengan mengirimkan ke alamat redaksi di atas. :-iaskah yang masukakan diseleksi. yang terpilih akan diterbit kan dikenakan biaya Rp. 150.000.00 per naskah. untuk sampai dengan 15 halaman pert ama dan selebihnya akan dikenakan biaya tambahan

Rp. 15.000.00 per halaman. Penulis akan memperoleh satu

eksemplarJurnal 1'LA.TEf\l i\TIKA 1:-ITEGRi\TlF edisi yang memual naskahnya.

CARA P ENGIRlrttAN BIA YA

Pengiriman biaya berlangganan dan biaya penerbitan

naskah dapal dikirimkan mclalui poswescl ke alamat

rednksi. atau ditransfer melalui Bank 11NI Kantor Cabang

ｕｾｐａｄ＠ Bandunj! ｾｯＮ＠ Rek: 0194851595 (a.n :-furul C:usriani.

M.Si. I ｕｾｐａｏ＠ Bandung).

PET U NJUK P ENU LISAN NAS KAH

NASKAH

Nasknh dapat ditulis clalam bahasa !ndo1wsia at;1u clalam

hahasa ＡｮｾｩＮｲｲｩｳ Ｎ＠ Naskah clapal herupa Artike l Kupnsan

(Rl'eit'w) atau Artikel Riset ＱｒｲＮｾ･｡ｲ｣ｨ＠ f'apat. Naskah yang

nwmuat ha sil orisinal µenclit1an akan mcndap11tkl\n

prioritas untuk d1tl'rbit kan

PENG IRIM.AN NAS KAH

N:iskllh d1tuhs dr niian ｾＱｓ＠ Word dalam kua litai; y:rng haik. dik1rim dalnm hentuk Hardcopy dan Softcopy. Nllskah yan11 clikirim harus 1'i11p cctak dan cl1srna1 prrnyl\taan hrlum 1>crnah ditcrh1tkan d1 media t uhs ml\napun clan t1dllk scclang chkmm kc medi:i 111111.

TATALETAK

;..;ask:1h dic-etak dl•ng:rn tmta h1Wtm kontras pada l'lltll muka kerta s H\'S put1h hcrukuran ,\.l t210 x 29fi.9 mmt. Ckurnn mariinntns 2 .. '> cm. marJin haw:ih clan kanan mas inl(·nrnsmg 2

cm.

sedangk:1n marjin km 1 l'm & t1ap halaman cliheri n"nwr ha la man.

H URUF DAN SPA.<:;I

:'\as kAh chtuli5 dC'ngan hurnf ( 'r11t11rv Srhoolbook ukurnn 10

p<11nt clrngan "Hu !<pasi .Judul na sk:ih ｣ｬＱＱｵｨｾ＠ ckngan hunif

Cr11t11r:-· Sr hf)()/ book ukuran I ·I po111t.

Na ma (tanpa gelar) ditulis dengan huruf Century &hoolbook

ukuran 12 point. Afiliasi penulis (dengan alamat lengkap

untuk komunikasi) ditulis dengan huruf Century School book

ukuran 10 point. Abstrak ditulis dengan hurufCenlur_v

School book ukuran 9 point dan Abstract clitulis dengan huruf

Centur)' School book Italic (miring).

JUD UL

Judul Naskah ditulis tebal dengan huruf besar semua dan diletakan di tengah halaman naskah. Judul naskah diikuti

nama dan afiliasi penulis. abstrak. abstract dan kata kunci

(keywords) .

Judul Bagian (diberi nornor urutl.. 2. Dan seterusnya di sisik iri) ditulis tebal dengan huruf besar semua. sedangkan Judul Sub bagian ditulis tebal gabungan huruf besar dan kecil. dirnulai dari sisi kiri kolomjuga.

Contoh:

2. FORM ULASI MODEL 2.1 Mode l Pembe la h a n Sel

ABS TRAK

Abstrak harus ditulis dalam vcrsi bahasa lndoncsill dan bahasa I nggris. Ahstrak maksimum terdiri dari :ZOO kata dan

dilengkapi dcngan kata kunc1 Ｈｫ･ｹｷｯｲ､ＮｾＩＮ＠ Abstrak harus

memuat Pcndahuluan (/ntroduction). Metodc/ Model

CM<'fhodl .\fodl'ls). Hasil (Result). dan Pembahasan/ Diskusi

(Anal_v.ml Disc111111ion).

UCA PAN TE RIMA K.ASIH (A CKNOWLEDGEMENn

[JI

KA ADA)

()ibuat rin,::kas 11clrnga1 ungkapan rasn tcrima kasih kepada pihak yani: mcmhantu penelitian. penelaahan manusk rip. atau penyed1a dana penelttian.

DAFT A R PUST AKA

Harns memuat ;;emua puslaka yang diftunakan di dalam manuskrip. Hanya pustaka yanl( telah diterhitkan ynnl( holch dicantumkan. J\lenggunakan sistcm nama hclakang ( nama kcduA) kecuali untuk pcngarang yang hcrnama hanya :<atu kata. D:1ftar pustaka ditulis ｬ･ｮｾｫ｡ｰ＠ da n hcmmtan menu rut alfahet1s.

Co ntoh p cny u sunan Daft ar Pust a ka :

1. \.ahrel. V .. Murat.\ .. and Th1C'lc. :\ .. 2011. Rcct'nl :\d\·ance;; in Rohust Opt1m17.at1on: An Q,·crv1ew.

Optim1zat1011 Onl111c. http:/ l 1ni:11-. opt1mizat1011-onhnr.org l DB HT.\IL /20 12107 I .1.$.'Ji.html on (Jrtohrr .11. 20/ .1.

2. Ran. Sf'.. Opt1m1;otio11. Thror.' and .·\pp/1cat1on .

PrrnticE'- Hal l. !'\ew Dclhi. 1989