Studi Aplikasi Cpm Dengan Program Linier Untuk Optimisasi Biaya Jaringan Kerja

STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM LINIER

UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

SKRIPSI

BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN

080803063

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM LINIER UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN 080803063

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM

LINIER UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

Kategori : SKRIPSI

Nama : BETARINA THERESIA PERANGIN-ANGIN

Nomor Induk Mahasiswa : 080803063

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Agustus 2012

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Agus Salim Harahap, M.Si. Dr. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc.

NIP. 195408281981031004 NIP. 196103181987112001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

PERNYATAAN

STUDI APLIKASI CPM DENGAN PROGRAM LINIER UNTUK OPTIMISASI BIAYA JARINGAN KERJA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing- masing disebutkan sumbernya.

Medan, Agustus 2012

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Penulisan skripsi ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan.

Dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Dr. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc. selaku pembimbing I dan Drs. Agus Salim Harahap, M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Drs. Gim Tarigan dan Drs. Liling Perangin-angin, M.Si.selaku dosen penguji atau pembanding.

3. Prof. Drs. Tulus, Vordipl. Math, M.Si, Ph.D. dan Dra.Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika.

4. Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, dan pegawai di FMIPA USU.

6. Semua sahabat penulis Shanty Agustina Tambunan, Oshin Nathalia, Dina Maria Nadapdap, S. May Sartika yang selalu setia berjuang bersama dalam penyelesaian tulisan ini, masukan-masukan yang membangun dan pelajaran berharga yang sudah diberikan selama masa perkuliahan. Begitu juga untuk Sardes Malau, Novarita dan Anri Aruan yang mau menyediakan tempat untuk belajar dan menyelesaikan tulisan ini. Untuk Raja David yang mau menjadi tempat bertanya setiap saat.

7. Para alumni, senior dan junior matematika semuanya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

selalu ada untuk penulis. Abang Ade Prima yang selalu ada untuk membantu dalam dukungan material. Adik Abdiwa Agung yang selalu bersedia mengantarkan penulis berangkat ke kampus.

9. Para anggota mudika Gereja St. Fransiskus Asisi Padang Bulan Medan atas doa dan dukungan yang selalu ada untuk penulis khususnya Brian Tarigan.

Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis dapat menjadi berkat untuk semua pihak.

Medan, Agustus 2012 Penulis

ABSTRAK

Proyek pembangunan dikatakan baik bila mempunyai perencanaan yang baik. Salah satu perencanaan yang dapat dilakukan adalah dengan membuat jaringan kerja terlebih dahulu. Metode yang dipakai dalam tulisan ini untuk mencari jalur kritis adalah CPM. Kemudian percepatan dilakukan untuk mempersingkat waktu penyelesaian proyek, namun sebaiknya percepatan yang dilakukan mempunyai biaya seminimal mungkin. Maka dari itu digunakan program linier untuk memodelkan fungsi tujuan dan kendala-kendala dalam kasus ini kemudian mencari biaya yang optimal dengan metode simpleks. Dalam tugas akhir ini dihitung waktu dan biaya penyelesaian suatu proyek dimana waktu penyelesaian setiap kegiatan bersifat probabilistik. Metode yang digunakan adalah metode jalur kritis (CPM) dengan pendekatan Program Linier dalam menentukan biaya optimal setelah dilakukan percepatan. Hasil yang diperoleh adalah waktu normal yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut adalah 44 minggu dengan biaya normal. Melalui tabel distribusi normal diperoleh probabilitas selesainya proyek dalam 44 minggu adalah 84%. Untuk mempersingkat waktu penyelesaian proyek menjadi 40 minggu maka pemegang proyek dapat mempersingkat kegiatan memasang pipa bagian dalam 2 minggu dan membentuk papan gypsum dapat dipersingkat dalam 2 minggu. Biaya untuk menyelesaikan proyek dalam 40 minggu adalah $140,000.00.

APPLICATION STUDY CPM WITH LINEAR PROGRAMMING FOR OPTIMIZATION NETWORK COSTS

ABSTRACT

Development projects is said to be good when it has good plan. One of the stages in a plan to do is to create a network. The method used to find the critical path is the Critical Path Method. Then the acceleration done to shorten the project completion time with minimum cost. Therefore linear program is used to model the objective function and constraints in this case, followed by finding the optimal cost with simplex method. This final project is to calculate the time and cost of completing a project in which the completion time of each activity is probabilistic. The method used is the critical path method (CPM) with a Linear Program approach in determining the optimal cost after acceleration. The result shows the normal time required to complete the project is 44 weeks with normal cost. Obtained through the normal probability distribution table project completion in 44 weeks was 84%. To shorten project completion time to 40 weeks of the holder of the project activity to shorten the pipe installed in 2 weeks and can be shortened to form gypsum board in 2 weeks. The cost to complete the project in 40 weeks is $ 140,000.00.

DAFTAR ISI

2.1 Analisa Perencanaan Proyek 6

2.2 Jaringan Kerja 8

2.3 Analisa Jaringan Kerja 9

2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja 10

2.4.1 Elemen jaringan kerja 14

2.4.2 Identifikasi Kegiatan Kritis 16

2.5 Nilai Harapan dan Variansi 17

2.6 Program Linier 18

3.2Penyelesaian Jaringan Kerja 37

3.2.1 Perhitungan dengan CPM 37

3.3Menghitung Nilai Harapan dan Variansi 44

3.4Pertimbangan Waktu-Biaya 46

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 52

4.2 Saran 53

Daftar Pustaka 54

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan 13

Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks 29

Tabel 2.3 Simpleks Awal 32

Tabel 2.4 Iterasi 0 32

Tabel 2.5 Iterasi 1 33

Tabel 2.6 Iterasi 2 33

Tabel 3.1 Nama, Waktu dan Kegiatan yang Mendahului 36 Tabel 3.2 Perkiraan Waktu Optimis, Paling mungkin dan Pesimis 44 Tabel 3.3 Perkiraan Waktu Penyelesaian Proyek pada Jalur Kritis 45 Tabel 3.4 Estimasi Waktu Percepatan dan Estimasi Biaya Percepatan 47

Tabel 3.5 Slope Biaya-Waktu 47

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Grammatical Dummy 12

Gambar 2.2 Logical Dummy 13

Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolahan Air 14

Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja 14

Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada 17 Keadaan Normal dan Dipercepat

Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan 23

Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution 25

Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution 26

Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution 27

Gambar 3.1 Jaringan Kerja Pabrik 37

Gambar 3.2 Jaringan Proyek dan ES 41

ABSTRAK

Proyek pembangunan dikatakan baik bila mempunyai perencanaan yang baik. Salah satu perencanaan yang dapat dilakukan adalah dengan membuat jaringan kerja terlebih dahulu. Metode yang dipakai dalam tulisan ini untuk mencari jalur kritis adalah CPM. Kemudian percepatan dilakukan untuk mempersingkat waktu penyelesaian proyek, namun sebaiknya percepatan yang dilakukan mempunyai biaya seminimal mungkin. Maka dari itu digunakan program linier untuk memodelkan fungsi tujuan dan kendala-kendala dalam kasus ini kemudian mencari biaya yang optimal dengan metode simpleks. Dalam tugas akhir ini dihitung waktu dan biaya penyelesaian suatu proyek dimana waktu penyelesaian setiap kegiatan bersifat probabilistik. Metode yang digunakan adalah metode jalur kritis (CPM) dengan pendekatan Program Linier dalam menentukan biaya optimal setelah dilakukan percepatan. Hasil yang diperoleh adalah waktu normal yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut adalah 44 minggu dengan biaya normal. Melalui tabel distribusi normal diperoleh probabilitas selesainya proyek dalam 44 minggu adalah 84%. Untuk mempersingkat waktu penyelesaian proyek menjadi 40 minggu maka pemegang proyek dapat mempersingkat kegiatan memasang pipa bagian dalam 2 minggu dan membentuk papan gypsum dapat dipersingkat dalam 2 minggu. Biaya untuk menyelesaikan proyek dalam 40 minggu adalah $140,000.00.

APPLICATION STUDY CPM WITH LINEAR PROGRAMMING FOR OPTIMIZATION NETWORK COSTS

ABSTRACT

Development projects is said to be good when it has good plan. One of the stages in a plan to do is to create a network. The method used to find the critical path is the Critical Path Method. Then the acceleration done to shorten the project completion time with minimum cost. Therefore linear program is used to model the objective function and constraints in this case, followed by finding the optimal cost with simplex method. This final project is to calculate the time and cost of completing a project in which the completion time of each activity is probabilistic. The method used is the critical path method (CPM) with a Linear Program approach in determining the optimal cost after acceleration. The result shows the normal time required to complete the project is 44 weeks with normal cost. Obtained through the normal probability distribution table project completion in 44 weeks was 84%. To shorten project completion time to 40 weeks of the holder of the project activity to shorten the pipe installed in 2 weeks and can be shortened to form gypsum board in 2 weeks. The cost to complete the project in 40 weeks is $ 140,000.00.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam dunia yang semakin maju ini jaringan kerja sangat penting peranannya untuk

memajukan suatu usaha atau pun proyek yang sederhana hingga proyek besar karena

jaringan kerja memang tidak dapat dipisahkan dalam perencanaan berbagai proyek.

Saat ini banyak ditemui berbagai proyek pembangunan yang harus dikerjakan dengan

baik. Oleh karena itu proyek yang ditangani harus memiliki jaringan kerja yang akan

diterapkan dalam pengerjaannya sehingga dibutuhkan manajemen proyek yang akan

mengelola proyek tersebut mulai dari awal sampai proyek tersebut berakhir.

Dalam manajemen proyek seringkali dijumpai proyek-proyek berbentuk

jaringan yang berskala besar. Untuk mengadakan perencanaan dan pengendalian

proyek yang berjenis jaringan tersebut, seorang manajer menentukan

kegiatan-kegiatan kritis yang sangat mempengaruhi penyelesaian suatu proyek. Perencanaan

adalah penentuan mengenai apa yang harus dicapai , kapan dan bagaimana hal

tersebut dapat dilaksanakan.

Penjadwalan merupakan alokasi dari sumber daya terhadap waktu untuk

menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan. Penjadwalan dibutuhkan untuk

memproduksi order dengan pengalokasian sumber daya yang tepat seperti urutan

pengerjaan part dan kebutuhan material. Dengan pengaturan penjadwalan yang

efektif dan efisien dapat memenuhi order tepat waktu serta kualitas yang telah

ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa pekerjaan harus diproses yang

tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada saat yang sama. Penjadwalan

Metode penjadwalan yang sering dipakai yaitu CPM ( Critical Part Method)

dan PERT ( Project Evaluatoin and Review Technique). CPM ( Critical Part

Method) lebih menekankan pada biaya, juga dibahas adanya tawar-menawar atau

trade-off antara jadwal waktu dan biaya. Berbeda dengan Metode PERT ( Project

Evaluatoin and Review Technique) yang lebih menekankan pada ketidakpastian waktu

kegiatan.

Pada umumnya jangka waktu kegiatan pada setiap penyelesaian proyek

bersifat probabilistik, dimana terdapat ketidakpastian yang disebabkan oleh

faktor-faktor yang dapat terjadi di luar perkiraan, misalnya keadaan cuaca, kondisi pekerja,

ketersediaan bahan bangunan dan sebagainya.

Tulisan ini akan membahas secara menyeluruh mengenai tahapan-tahapan

yang dilakukan pada perencanaan proyek mulai dari awal pengerjaan hingga proyek

selesai dikerjakan. Selain itu perkiraan waktu penyelesaian proyek yang terbaik harus

dipertimbangkan untuk mencapai target yang ingin dicapai, namun tetap harus

menyesuaikan biaya yang akan dikeluarkan. Tujuan dari permasalahan yang akan

diselesaikan akan dimodelkan ke dalam bentuk matematika serta memodelkan

kendala-kendala yang ada dalam kasus ini. Jika perlu mengeluarkan biaya tambahan

sebaiknya seoptimal mungkin. Proyek yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah

proyek pembangunan, namun tidak dijelaskan secara spesifik pembangunan gedung

apa karena ini adalah studi aplikasi yang dikembangkan dari pelajaran yang telah ada.

Alasan penulis menggunakan CPM yaitu karena semua manajer proyek ingin

agar setiap komponen pekerjaan yang saling berkaitan tersebut dapat selesai

secepatnya, atau bahkan ingin lebih cepat dari target yang telah ditentukan namun

dengan biaya percepatan yang seoptimal mungkin. Dari alasan inilah metode CPM

sangat membantu penulis. Selain itu metode yang dapat mencari nilai optimal adalah

dengan menggunakan pendekatan program linier. Program linier merupakan metode

matematika yang dapat mengalokasikaan sumber daya yang terbatas untuk mencapai

suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya

Dari uraian di atas penulis menulis judul “Studi Aplikasi CPM dengan

Program Linier dalam Mencari Biaya Optimal Jaringan Kerja.”

1.2 Perumusan Masalah

Masalah yang dihadapi dalam tulisan ini adalah bagaimana menentukan penyelesaian

kasus ini agar waktu penyelesaian proyek dapat dipersingkat dan menentukan biaya

optimal percepatan menggunakan CPM dengan pendekatan program linier.

1.3 Batasan Masalah

Agar permasalahan tidak terlalu luas, maka dibutuhkan batasan masalah sebagai

berikut:

1. Penulis menggunakan metode jalur kritis (CPM) dengan pendekatan Program

Linier dalam menentukan biaya optimal setelah dilakukan percepatan.

2. Variabel yang digunakan pada tulisan ini adalah:

a). Nama kegiatan

b).Waktu normal dalam menyelesaikan setiap kegiatan

c). Biaya normal pada setiap kegiatan

d). Waktu percepatan setiap kegiatan

e). Biaya percepatan setiap kegiatan

f). Waktu penyelesaian suatu proyek

3. Jangka waktu menggunakan pendekatan probabilistik.

4. Waktu dibatasi mulai dari perencanaan proyek sampai pembangunan proyek

1.4 Tujuan Penelitian

Sejalan dengan masalah yang telah dikemukakan, maka tujuan dari tulisan adalah :

1. Mencari jalur kritis proyek.

2. Mengaplikasikan CPM ( Critical Part Method) dengan program linier untuk

mencari nilai optimal dari percepatan suatu proyek.

3. Untuk mengetahui manfaat pemakaian CPM ( Critical Part Method) pada

penyelesaian suatu proyek.

4. Mencari nilai harapan suatu proyek dapat selesai sesuai target.

5. Untuk menentukan biaya optimum dari percepatan yang dilakukan.

1.5 Kontribusi Penelitian

Tulisan ini dapat digunakan untuk bahan referensi para manajer proyek dalam

merancang rencana kerja secara sistimatis, sehingga diharapkan proyek dapat berjalan

dengan tepat waktu dengan biaya yang optimum.

1.6 Metodologi Penelitian

Metodologi penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Metode yang dipakai oleh penulis adalah CPM ( Critical Part Method) dan

Program Linier.

2. Variabel-variabel yang dipakai dalam tulisan ini adalah sebagai berikut:

a). Nama kegiatan

b).Waktu normal dalam menyelesaikan setiap kegiatan

c). Biaya normal pada setiap kegiatan

d). Waktu percepatan setiap kegiatan

e). Biaya percepatan setiap kegiatan

3. Subjek penelitian

Penulis membuat tulisan berupa studi aplikasi yang menyajikan permasalahan

kompleks dan hasil pengembangan dari buku-buku yang telah ada.

4. Instrumen dan teknik pengumpulan data

Data nama kegiatan dan waktu estimasi diambil dari hasil tulisan yang pernah

ada. Lalu dikembangkan dengan menambahkan nilai perkiraan waktu

probabilistik untuk penulisan lebih lanjut.

5. Tahap-tahap penelitian

Tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:

a). Data diurutkan dan ditentukan kegiatan-kegiatan mana yang harus

dilakukan sebelumnya atau kegiatan mana yang dapat dikerjakan

secara bersamaan.

b). Mulai membuat diagram jaringan kerja, menentukan jalur kritis dan

kegiatan kritis.

c). Menentukan waktu yang bersifat probabilistik dalam setiap kegiatan.

d). Mencari nilai rata-rata dan standar deviasi.

e). Menentukan nilai harapan suatu proyek dapat selesai sesuai target.

f). Membuat estimasi untuk waktu percepatan, biaya normal dan biaya

percepatan.

g). Menentukan slope biaya dari semua kegiatan.

h). Menentukan persamaan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya.

i). Menentukan biaya percepatan dengan pendekatan program linier.

6. Analisis data

Jalur kritis dapat dicari dengan menggunakan perhitungan maju untuk mencari

waktu mulai paling awal (ES) dan perhitungan mundur untuk mencari waktu

paling lama suatu kegiatan selesai (LF). Setiap simpul yang memiliki nilai ES

dan LF yang sama dihubungkan dengan jalur kegiatan maka disebutlah sebagai

jalur kritis. Kemudian mencari nilai slope biaya terhadap waktu yang akan

dipakai sebagai fungsi tujuan, selanjutnya mencari kendala-kendala yang ada

dalam bentuk program linier. Solusi permasalahan ini dapat dicari dengan

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisa Perencanaan Proyek

Proyek dapat dikatakan sebagai kegiatan terencana dan berurutan yang hanya

berlangsung sekali dimana dalam kegiatan tersebut memiliki saat awal dan saat akhir.

Proyek adalah serangkaian kegiatan yang berlangsung dalam jangka waktu tertentu

dengan alokasi sumber daya yang tersedia dan bertujuan untuk melaksanakan tugas

yang telah ditetapkan. Perencanaan sangat penting didalam pelaksanaan proyek.

Perencanaan yang tidak sesuai akan mengakibatkan kesulitan di dalam

pelaksanaannya. Oleh karena itu, perencanaan proyek harus sesuai dengan batasan

yang dimiliki dan tujuan yang ingin dicapai. Fungsi perencanaan proyek yaitu sebagai

sarana komunikasi bagi seluruh pihak terkait, dasar dalam pengalokasian sumber

daya, dan tolak ukur di dalam pengendalian.

Dari uraian diatas dapat dikatakan bahwa manajemen proyek sangat penting

diterapkan dalam kasus ini. Manajemen proyek adalah usaha merencanakan,

mengorganisir, mengarahkan dan mengkoordinasi serta mengawasi kegiatan dalam

proyek sedemikian rupa sehingga sesuai dengan jadwal, waktu, dan anggaran yang

telah ditetapkan.

Baker (1974) mengatakan bahwa “penjadwalan merupakan alokasi dari sumber daya terhadap waktu untuk menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan.

Penjadwalan dibutuhkan untuk memproduksi order dengan pengalokasian sumber

daya yang tepat seperti urutan pengerjaan part dan kebutuhan material. Dengan

serta kualitas yang telah ditentukan. Penjadwalan diperlukan ketika beberapa

pekerjaan harus diproses yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada

saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas

pemanfaatan setiap sumber daya.”

Santosa (2009) menjelaskan hubungan waktu dan biaya pada keadaan normal

dan crash sehingga umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya

tenaga kerja, peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).

Tahapan-tahapan yang dilakukan pada perencanaan proyek yaitu penerapan

tujuan meliputi pelaksanaan proyek yang diinginkan, serta waku, dan biaya

performansi yang ditargetkan. Kedua, urutan kerja yang berisi seluruh urutan dan

deskripsi pekerjaan-pekerjaan yang perlu dilakukan untuk mencapai tujuan proyek.

Ketiga, perancangan organisasi proyek untuk menentukan departemen-departemen

yang diperlukan di dalam pelaksanaan proyek. Keempat, jadwal kegiatan berisi waktu

pelaksanaan setiap aktivitas, batas selesai dan milestone. Kelima, rencana anggaran

dan sumber daya, perencanaan ini berisikan jumlah anggaran dan sumber daya yang

dibutuhkan untuk terlaksananya tujuan proyek. Terakhir yaitu ramalan mengenai

performansi penyelesaian proyek. Tahap ini berisi performansi yang diharapkan di

dalam penyelesaian proyek.

Pada sebuah perencanaan proyek digunakan alat-alat bantu sebagai berikut:

1. Work breakdown structure (WBS)

Metode ini digunakan untuk mengidentifikasi pekerjaan-pekerjaan yang ada

dalam pelaksanaan proyek.

2. Matriks tanggungjawab

Matriks ini digunakan untuk menentukan organisasi proyek, personil-personil

kunci dan tanggungjawab pekerjaanya.

3. Gantt Chart

Peta ini menggambarkan jadwal induk proyek, dan jadwal pekerjaan secara

4. Jaringan Kerja (Network)

Jaringan kerja digunakan untuk memperlihatkan urutan pelaksanaan pekerjaan

dari awal hingga akhir.

2.2 Jaringan Kerja

Jaringan adalah kerangka dari sistem informasi proyek yang akan digunakan oleh

manajer proyek dalam pengambilan keputusan dengan memperhatikan waktu, biaya,

dan performansi. Jaringan mudah dimengerti oleh setiap individu karena jaringan

berisi tampilan grafis dari aliran dan urutan tiap pekerjaan. Pengembangan jaringan

dapat dengan mudah dilakukan. Sebagai contoh jika material untuk suatu kegiatan

tertunda, dampak kejadian tersebut dapat dengan cepat ditaksir dan peninjauan

kembali terhadap proyek secara utuh.

Jaringan kerja adalah suatu alat yang digunakan untuk merencanakan,

menjadwalkan, dan mengawasi kemajuan dari suatu proyek. Jaringan dikembangkan

dari informasi yang diperoleh dari WBS dan gambar diagram alir dari rencana kerja

proyek. Jaringan menggambarkan beberapa hal yaitu kegiatan-kegiatan proyek yang

harus dilakukan, urutan kegiatan yang logis, ketergantungan antar kegiatan,waktu

kegiatan melalui lintasan kritis.

Manfaat jaringan kerja adalah sebagai berikut:

1. Merupakan dasar dalam perhitungan penyelesaian waktu pelaksanaan proyek.

2. Merupakan dasar dalam penjadwalan tenaga kerja dan paralatan.

3. Alat komunikasi antara seluruh manajer dan kelompok.

4. Alat perhitungan waktu apabila terjadi penundaan proyek.

5. Dasar dalam menggambarkan cash flow dari suatu proyek.

6. Alat untuk mengidentifikasi kegiatan yang kritis sehingga tidak terjadi

keterlambatan dalam penyelesaian.

Jaringan kerja dikembangkan dari WBS. Jaringan kerja merupakan visualisasi

kegiatan-kegiatan yang harus dipenuhi untuk melengkapi proyek. Suatu kegiatan

merupakan elemen pada proyek yang menghabiskan waktu. Sebagai contoh , bekerja

atau menunggu.

Paket pekerjaan dari WBS digunakan untuk membangun kegiatan pada

jaringan kerja. Suatu kegiatan dapat meliputi satu atau lebih paket pekerjaan.

Kegiatan-kegiaatan ditempatkan sesuai urutannya di dalam penyelesaian proyek.

Jaringan dibangun dengan menggunakan node (kotak) dan anak panah (garis). Node

menggambarkan suatu kegiatan dan panah menunjukkan keterkaitan dan aliran

proyek.

2.3 Analisa Jaringan Kerja

Analisa jaringan kerja proyek adalah suatu sistem kontrol proyek yang berisi kegiatan

tunggal, kegiatan gabungan, kegiatan paralel, dan lintasan kritis. Terdapat beberapa

istilah yang digunakan dalam membangun jaringan kerja yaitu:

1. Kegiatan (Activity)

Untuk manajer proyek, suatu kegiatan merupakan elemen dari proyek yang

membutuhkan waktu pelaksanaan (duration). Juga didefinisikan sebagai hal

yang membutuhkan sejumlah sumber ternaga, equipment, material, biaya dan

sebagainya. Kegiatan biasanya terdiri dari satu atau lebih tugas dari suatu

paket kerja. Deskripsi dari kegiatan seharusnya menggunakan format kata

kerja/kata benda: sebagai contoh, pembuatan fondasi.

2. Kegiatan Memusat (Merge Activity)

Beberapa kegiatan yang berbeda lalu dilanjutkan dengan kegiatan yang sama

sehingga disebut kegiatan memusat (lebih dari satu kaitan aliran panah).

3. Kegiatan paralel (Parallel Activity)

Ini adalah kegiatan yang dikerjakan pada waktu yang bersamaan.

4. Alur (Path)

5. Alur kritis (Critical Path)

Ini berarti alur terpanjang yang terdapat pada jaringan. Jika terdapat suatu

kegiatan yang tertunda (delay) pada alur, maka proyek juga akan tertunda pada

waktu yang sama.

6. Kegiatan (Event)

Istilah ini berupa suatu titik dan digunakan ketika sebuah kegiatan diimulai

atau selesai. Jadi tidak membutuhkan waktu.

7. Kegiatan memencar (Burst Activity)

Kegiatan ini memiliki lebih dari satu kegiatan yang secara bersamaan

mengikutinya (lebih dari satu panah yang terkait mengikutinya).

Analisa jaringan kerja berguna dalam mengkoordinir semua unsur proyek ke

dalam suatu rencana utama (master plan) dengan menerapkan suatu metode kerja

untuk melengkapi proyek sehingga diperoleh:

1. Waktu terbaik untuk pelaksanaan kegiatan (best time).

2. Pengurangan / penekanan ongkos/ biaya (least cost).

3. Pengurangan risiko (least risk).

4. Mempelajari alternatif-alternatif yang terdapat di dalam dan di luar proyek.

5. Untuk mendapatkan atau mengembangkan schedule (jadwal yang optimal).

6. Penggunaan sumber-sumber (resources) secara efektif dan efisien.

7. Alat komunikasi antar pemimpim.

8. Pengawasan pembangunan proyek.

9. Memudahkan revisi atau perbaikan terhadap penyimpangan yang terjadi.

2.4 Teknik-teknik Analisa Jaringan Kerja

Teknik-teknik ini umumnya bertujuan menguraikan dan menentukan

hubungan-hubungan antara berbagai kegiatan dan berbagai penafsiran waktu yang ada.

Waktunya diperlukan untuk setiap kegiatan dalam rencana proyek secara menyeluruh.

Untuk perencanaan dan pengendalian proyek dikenal berbagai teknik jaringan kerja

1. PERT (Program Evaluation and Review Technique)

PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan

penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada

didalam suatu proyek. Teknik ini merupakan suatu metode untuk menentukan jadwal

dan anggaran dari sumber-sumber, sehingga suatu pekerjaan tertentu dapat

diselesaikan tepat pada waktunya.

2. CPM (Critical Path Method)

Metode ini ditemukan oleh perusahaan bahan kimia Amerika yaitu Du Pon Company

pada tahun 1958 untuk memecahkan kesulitan-kesulitan proses fabrikasi. Metode ini

berbentuk diagram network yang hampir mirip dengan PERT. Perbedaanya adalah

dalam penentuan perkiraan waktu. CPM dapat memperkirakan waktu yang dibutuhkan

untuk melaksanakan kegiatan dan dapat menentukan prioritas kegiatan yang harus

mendapat perhatian dan pengawasan yang cermat, agar kegiatan dapat selesai sesuai

dengan rencana.

3. PDM (Preseden Diagram Method)

Pada CPM metode yang dipakai adalah Activity on Arrow (AOA) dimana aktifitas

dan kegiatan diletakkan pada tanda panah, sedangkan pada PDM Activity on Node

(AON) dimana tanda panah hanya menyatakan keterkaitan antar kegiatan. Kegiatan

dari peristiwa pada PDM ditulis dalam bentuk node yang berbentuk kotak segi empat,

sedang anak panah hanya sebagai petunjuk kegiatan-kegiatan yang bersangkutan.

4. Metode AOA (Activity On Arrow)

Untuk membentuk gambar dari rencana jaringan kerja digunakan simbol-simbol,

a. Anak panah = arrow (menyatakan sebuah kegiatan, activity).

b. Lingkaran = node (menyatakan sebuah kejadian atau peristiwa,

event).

c. Anak panah terputus-putus (menyatakan kegiatan semu atau

dummy).

Dummy terdiri dari dua macam, yaitu:

a. Grammatical Dummy diperlukan untuk menghindari kerancuan penyebutan

suatu kegiatan apabila terdapat dua atau lebih kegiatan yang berasal dari

peristiwa yang sama dan berakhir pula pada peristiwa yang sama.

1

1

2 1

2 2

Gambar 2.1 Grammatical Dummy

b. Logical Dummy digunakan untuk memperjelas hubungan antar kegiatan.

Misalnya, terdapat hubungan seperti pada gambar ini, hubungan ini dapat

diartikan bahwa kegiatan 4 dan 5 dapat dimulai setelah kegiatan 1,2, dan 3

selesai. Padahal maksud yang sesungguhnya ialah kegiatan 4 dapat dimulai

setelah kegiatan 1 dan 2 selesai, sedangkan kegiatan 5 dapat dimulai setelah

kegiatan 1,2, dan 3 selesai. Untuk menggambarkan logika ini maka diperlukan

dummy yang dapat memperjelas maksud tersebut.

a b

b

b

a a

c

1 4 1 4

2 2

3 5

3 5

Gambar 2.2 Logical Dummy

Contoh:

Dalam rangka memenuhi permintaan yang semakin meningkat, Perusahaan Daerah

Air Minum (PDAM) merencanakan untuk memasang instalasi pengolah air (water

treatment) baru. Maka terlebih dahulu diidentifikasi kegiatan-kegiatan yang harus

dilakukan. Rincian kegiatan akan diperlihatkan pada tabel di bawah ini.

Tabel 2.1 Daftar Rencana Kegiatan

Kegiatan Kegiatan pendahulu

A. Perencanaan system -

B. Pembuatan saluran air A

C. Pembuatan pondasi A

D. Pemesanan mesin A

E. Pembuatan instalasi listrik C

F. Pemasangan pipa B,E

G. Pemasangan mesin C,D

H. Finishing dan start up F,G

Jaringan kerja pada kasus ini dapat digambarkan dengan memperhatikan urutan

1

B

A C E F H

D G ₂

Gambar 2.3 Jaringan Kerja Pemasangan Instalasi Pengolah Air

1 pada gambar di atas merupakan kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan B dan E

sedang berlangsung sampai kegiatan tersebut berakhir. Demikian juga ₂ merupakan

kegiatan semu yang terjadi saat kegiatan F dan G sedang berlangsung sampai kegiatan

tersebut berakhir.

2.4.1 Elemen Jaringan Kerja

Gambar 2.4 Elemen Jaringan Kerja

Waktu mulai tercepat (ES) untuk masing-masing kegiatan menunjukkan kapan suatu

kegiatan paling cepat dapat dilakukan. Waktu selesai terlama (LF) menunjukkan

kapan suatu kegiatan paling lama dapat diselesaikan. Dalam melakukan perhitungan

penentuan waktu penyelesaian digunakan beberapa terminologi dasar berikut:

a). E (earliest event occurence time )

Saat tercepat terjadinya suatu peristiwa.

b). L (Latest event occurence time)

Saat paling lambat yang masih diperbolehkan bagi suatu peristiwa terjadi.

c). ES (earliest activity start time)

Waktu mulai paling awal suatu kegiatan. Bila waktu mulai dinyatakan dalam

jam, maka waktu ini adalah jam paling awal kegiatan dimulai.

= max⁡{ + ,

EF suatu kegiatan terdahulu = ES kegiatan berikutnya.

e). LS (latest activity start time)

Waktu paling lambat kegiatan boleh dimulai tanpa memperlambat proyek

secara keseluruhan.

, = − ,

f). LF (latest activity finish time)

Waktu paling lama kegiatan diselesaikan tanpa memperlambat penyelesaian

proyek.

= min{ + _{( , )}.

g). t (activity duration time)

Kurun waktu yang diperlukan untuk suatu kegiatan (hari, minggu, bulan).

Slack dapat dihitung dengan cara: Slack=EF-LF=ES-LS.

Perhitungan ES dan LF ini dapat dilakukan dengan melalui 2 tahap yaitu:

1. Hitungan Maju

Dimulai dari Start (initial event) menuju Finish (terminal event) untuk

menghitung waktu penyelesaian tercepat suatu kegiatan (EF), waktu tercepat

2. Hitungan Mundur

Dimulai dari Finish menuju Start untuk mengidentifikasi saat paling lambat

terjadinya suatu kegiatan (LF), waktu paling lambat terjadinya suatu kegiatan

(LS) dan saat paling lambat suatu peristiwa terjadi (L).

2.4.2 Identifikasi Kegiatan Kritis

Pada CPM terdapat dua buah perkiraan waktu dan biaya untuk setiap kegiatan yang

terdapat dalam jaringan. Kedua perkiraan tersebut adalah perkiraan waktu

penyelesaian dan biaya yang sifatnya normal (normal estomate) dan perkiraan waktu

penyelesaian dan biaya yang sifatnya dipercepat (crash estimate). Dalam menentukan

perkiraan waktu penyelesaian akan dikenal istilah jalur kritis, jalur yang memiliki

rangkaian-rangkaian kegiatan dengan total jumlah waktu terlama dan waktu

penyelesaian proyek yang tercepat. Sehingga dapat dikatakan bahwa jalur kritis

berisikan kegiatan-kegiatan kritis dari awal sampai akhir jalur.

Waktu dan biaya pada keadaan normal dan crash dapat dihubungkan sehingga

umur proyek dapat dipersingkat dengan penambahan sumber daya tenaga kerja,

peralatan, modal untuk kegiatan-kegiatan tertentu (crashing).

Contoh bagan CPM sederhana. Tentukan jalur kritis dan waktu tercepat

1 minggu 3 minggu

2 minggu 4 minggu

1

3

Dapat dilihat bahwa jaringan diatas mempunyai dua jalur, yaitu 1-2-4 yang

memerlukan 4 minggu, dan 1-3-4 yang memerlukan waktu 6 minggu. Dengan

demikian waktu tercepat yang diharapkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut

adalah 6 minggu. Sedangkan jalur yang membentuk jalur terpanjang ini yaitu 1-3-4

disebut sebagai jalur kritis ( Critical Path ). Bisa dikatakan bahwa waktu tercepat yang

diharapkan untuk event 4 adalah 6 minggu.

Gambar 2.5 Hubungan antara Waktu dan Biaya pada

Keadaan Normal dan Dipercepat

� � �� �= �� ��� ���� � − �� �� � �

�� � � � − �� �� ���� �

Sebagai contoh, misalnya kegiatan B memiliki waktu normal selama 3 hari

dengan total biaya Rp 40.000,00. Jika kegiatan B dipercepat menjadi 2 hari maka total

biaya menjadi Rp 50.000,00. Biaya percepatan perhari kegiatan B dihitung

Slope Biaya = Biaya Dipercepat −Biaya Normal Waktu Normal−Waktu Dipercepat

=Rp 50.000,00−Rp 40.000,00 3−2

= Rp 10.000,00/ .

2.5 Nilai Harapan dan Variansi

Tiga estimasi waktu kegiatan dalam menyelesaikan permasalahan yang memiliki

waktu probabilistik yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling

mungkin (m) dan waktu kegiatan pesimis (p). Dua asumsi yang dipakai untuk

mengubah o, m dan p menjadi taksiran nilai harapan ( ) dan variansi (�2) dari waktu

yang dibutuhkan suatu kegiatan yaitu bahwa standar deviasi sama dengan seperenam

dari rentang kebutuhan waktu yang mungkin, sehingga untuk variansinya dapat

dituliskan menjadi

�2 ₌ −

6 2

sedangkan nilai harapan suatu proyek dapat ditentukan dengan rumus

= + +4

6 .

2.6 Program Linier

Program Linier (Linear Programming) merupakan metode matematika dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan seperti

memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier berkaitan

dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika.

Asumsi-asumsi yang terkandung dalam formulasi program linier untuk masalah

optimasi sebagai model program linier adalah sebagai berikut:

a. Propertionality

Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber

atau fasilitas, akan berubah secara proposianal dengan perubahan tingkat

Misalnya: = ₁�₁+ ₂�₂+ + �

Setiap pertambahan/ pengurangan 1 unit �1 akan menaikkan/ menurunkan nilai

Z dengan ₁, demikian juga untuk yang lain mempunyai sifat yang sama.

b. Additivity

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai fungsi tujuan setiap kegiatan tidak saling

mempengaruhi atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikkan nilai

fungsi tujuan Z yang diakibatkan oleh kenaikkan suatu kegiatan dapat

ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan

lain atau dapat dikatakan bahwa tidak ada korelasi antara satu kegiatan dengan

kegiatan lain.

Misalnya: = 8�1+ 10�2

Untuk �₁ = 6 dan �₂ = 8

= 8.6 + 10.8 = 128

Jika �₁ bertambah/ berkurang, penambahan/ pengurangan �₁ dapat langsung

ditambahkan/ dikurangkan pada nilai Z, tanpa mempengaruhi bagian Z yang

diperoleh dari �₂.

c. Disibility

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai keluaran (output) yang dihasilkan oleh

setiap kegiatan dapat berupa bilangan pacahan.

d. Deterministic ( Certainty)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model

program linier ( , , ) dapat diperkirakan dengan pasti. Dalam

kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministic, karena keadaan

masa depan jarang diketahui dengan pasti. Untuk mengatasi ketidakpastian

parameter, dikembangkan suatu teknik analisis, guna menguji nilai solusi,

bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter.

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan

yang dihadapi ke dalam model program linier, maka dibutuhkan lima syarat yang

a. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang ingin dipecahkan dan dicari jalan

keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan. Fungsi

tujuan ini dapat berupa dampak positif, manfaat-manfaat, keuntungan, dan

kebaikan-kebaikan yang ingin dimaksimalkan, atau dampak negatif,

kerugian-kerugian risiko, biaya, jarak, waktu, dan sebagainya yang ingin

diminimumkan.

b. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan;

misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu

terlambat dan biaya terendah; atau antara alternatif terpadat modal dengan

padat karya; atau antara kebijakan A dengan B; atau antara proyeksi

permintaan tinggi dengan rendah; dan seterusnya.

c. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.

Misalnya, keterbatasan waktu, keterbatasan biaya, keterbatasan tenaga,

keterbatasan ruangan, dan lain-lain. Keterbatasan dalam sumber daya tersebut

dinamakan sebagai kendala atau syarat ikatan.

d. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif

dalam apa yang disebut model matematika.

e. Keterkaitaan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus

memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. Hubungan

keterkaitan tersebut dapat diartikan sebagai hubungan yang saling

mempengaruhi, hubungan interaksi, interdependensi, timbal-balik, saling

menunjang, dan sebagainya

Fungsi tujuan:

Sumber daya yang membatasi:

Bentuk di atas juga dapat ditulis sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang

dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol ₁, 2,…, merupakan konstribusi

masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada

model matematikanya. Simbol ₁₁,…, ₁ ,… merupakan penggunaan per unit

variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai

koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol 1, 2,…,

menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala

akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (�₁,�2,…,� 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut

kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan

membuat pemodelan lebih mudah dan menarik.

: = 170�1+ 190�2

Dengan kendala: 15�2 1050

20�1+ 16�2 1600

24�1+ 30�2 2400

�1,�2 0

Untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis adalah dengan menetapkan

salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari

nilai variabel yang lain.

1) 15�₂ = 1050

�2 = 70

2) 20�1+ 16�2 = 1600

�1 = 0 16�2 = 1600

�2 = 100

�2 = 0 20�1 = 1600

�1 = 80

3) 24�1+ 30�2 = 2400

�1 = 0 30�2 = 2400 �2 = 80

�2 = 0 24�1 = 2400

�2

120

100 F

80 E

A B G 1

60

C

40

20 2 3

D H

0 20 40 60 80 100 �₁

Gambar 2.6 Grafik Fungsi Tujuan

Daerah yang bersamaan memenuhi ketiga kendala, ditunjukkan oleh area yang diarsir

yaitu OABCD pada gambar. Bagian yang di arsir ini disebut daerah fisibel (fisible

solution).

Untuk mencari titik yang paling menguntungkan adalah dengan

menggambarkan garis fungsi tujuan. Untuk menggambarkan garis fungsi tujuan dalam

grafik adalah dengan menggambarkan perbandingan nilai �₁ dan �₂. Perbandungan

nilai �₁ dan �₂ merupakan perbandingan ₁ dan ₂. Geser grafik fungsi tujuan tersebut

kesemua daerah fisibel. Sebagai pedoman bahwa titik fisibel optimal telah ditemukan

adalah ditentukan oleh titik singgung garis fungsi tujuan dengan area yang fisibel,

yang terjauh dari origin 0 untuk kasus maksimasi sedangkan untuk kasus minimasi

Solusi optimum untuk kasus diatas adalah pada titik C (perpotongan antara

kendala 2 dan kendala 3).

20�1+ 16�2 = 1600 × 6 120�1+ 96�2 = 9600

24�1+ 30�2 = 2400 × 5 120�1+ 150�2 = 1200

-54�₂ = −2400

�2 = 400/9

20�₁+ 16∙400/9 = 1600

�1 = 400/9

Z=170(400/9)+190(400/90=16000

2.6.1 Beberapa Pengertian dalam Program Linier

a. Feasible Solution

Feasible Solution adalah suatu solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang

ada pada persoalan tersebut.

b. In Feasible Solution

In Feasible Solution berarti tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi

semua kendala dalam masalah tersebut.

Contoh:

: = 10�₁ + 8�₂

Dengan kendala: 8�1+ 10�2 40

2�₁ 12

�2 5

�1,�2 0

�₂

6 2

5 3

4

3

2 1

1 �₁

0 1 2 3 4 5 6

Gambar 2.7 Grafik In Feasible Solution

Daerah yang diarsir merupakan daerah hasil. Berdasarkan gambar terlihat

bahwa tidak ada daerah yang tidak melanggar salah satu dari tiga batasan

tersebut. Sehingga tidak ada daerah yang layak.

c. Optimal Solution

Optimal Solution adalah feasible solution yang memberikan nilai terbaik bagi

fungsi tujuannya. Terbaik diartikan sebagai nilai terbesar apabila fungsi

tujuannya maksimasi, dan diartikan sebagai nilai terkecil apabila fungsi

tujuannya minimasi. Pada gambar 2.5 titik C memberikan nilai terbesar

dibandingkan titik O, A, B dan C.

d. Multiple Optimal Solution

Multiple Operation Solution terjadi jika fungsi tujuan pada lebih satu titik

optimal. Misalnya bila contoh pada Gambar 2.5 fungsi tujuannya semula :

= 170�1+ 190�2 berubah menjadi = 100�1+ 80�2, maka akan

terdapat Multiple Optimal Solution yang akan ditunjukkan oleh grafik pada

�2

Gambar 2.8 Grafik Multiple Optimal Solution

Daerah feasible dan optimal berimpit dengan batasan dua. Hal ini berarti

bahwa titik B dan titik C serta titik-titik yang ada di sepanjang garis tersebut

mempunyai nilai Z yang sama dan optimal. Multiple optimal solution akan

memberikan keluwesan dalam memilih solusi bagi pengambil keputusan.

e. Boundary Equation

Boundary Equation terjadi apabila ada kendala dengan tanda sama dengan.

f. Corner Point Feasible Solution

Corner Point Feasible Solution adalah solusi layak yang terletak pada

perpotongan antara dua garis. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah titik O, A,

B, C dan D.

g. Corner Point Infeasible Solution

Corner Point Infeasible Solution adalah titik pada perpotongan dua garis diluar

daerah layak. Pada gambar 2.5 titik tersebut adalah E, F, G dan H.

h. No Optimal Solution

No Optimal Solution terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai

Hal tersebut disebabkan oleh :

1. Tidak ada feasible solution (lihat gambar 2.6).

2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z.

Contoh yang disebabkan faktor ke-2 adalah sebagai berikut:

: = 10�1 + 8�2

Dengan kendala

�1 4

2�₁ 10

�1,�2 0

Batasan tersebut dapat ditunjukkan dengan grafik berikut: �1

Gambar 2.9 Grafik No Optimal Solution

Pengambilan waktu percepatan (crash) yang optimal dengan pendekatan

Program Linier.

= biaya untuk aktivitas normal →

= untuk aktivitas normal → dengan crashing

= slope biaya untuk aktivitas →

Model umum program linier untuk jaringan ini adalah = � . Untuk

kendala yang menjelaskan struktur jaringan dimulai dari event i dengan asumsi bahwa � = 0.

Untuk event berikutnya

� − � +�

� − � +�

� − � +� ₋1

Selanjutnya dengan menggunakan metode simpleks dapat diperoleh jawaban

optimalnya. Pendekatan program linier terhadap jaringan kerja dapat dimodelkan

kedalam bentuk program linier.

Jika dianggap � adalah waktu kejadian simpul terakhir dalam jaringan diatas,

yaitu pada simpul m, maka fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai Min Z = � .

Selanjutnya dikembangkan hambatan model tersebut. Maka ditentukan waktu untuk

aktivitas → sebagai . Kumpulan hambatan yang menyatakan kondisi ini adalah

� − � . Maka model umum program linier untuk jaringan ini dapat dirangkum sebagai = � .

Dengan kendala: � − � untuk seluruh aktivitas →

� ,� 0

Diketahui: � = waktu kejadian pada simpul i � = waktu kejadian pada simpul j

= waktu aktivitas →

2.5.2 Metode Simpleks

Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan

(variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat

lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga

diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi

dari tiga variabel atau lebih.

Masalah program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat

dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang

dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu

algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian

karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan

tabel-tabel.

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu

menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model

matematika persamaan linier, dengan cara mengkonversikan semua ketidaksamaan

menjadi persamaan. Agar persamaan garis memenuhi persyaratan pada daerah

kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model

(artificial variable) pada tiap batasan (constraint) serta member harga nol pada setiap

koefisien c. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

1). Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan

dengan menambahkan variabel slack kedalamnya.

2). Untuk batasan bernotasi dapat dimodifikasikan pada bentuk persamaan

dengan mengurangi variabel suplus dan kemudian menambahkan variabel

buatan (artificial variable) kedalamnya.

3). Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan

(artificial variable) kedalamnya.

Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini

dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel

buatan dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat –M sebagai harga,

dan jika persoalan minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara

pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method).

Perhatikan contoh di bawah ini.

Bentuk standar persoalan di atas menjadi:

. = 7�1+ 3�2

Kendala: 4�1+ 6�2+ 1 = 36

7�1+ 5�2+ 1 = 35

8�1+ 4�2− 2+ 2 = 32 �1, �2 0

Dengan teknik M persamaan di atas menjadi

. = 7�₁+ 3�₂+ ₁ + ₂

7�1+ 5�2+ 1 = 35

8�1+ 4�2− 2+ 2 = 32 �1,�2, 1, 2, 1, 2 0

1. Nilai ₁ digantikan dari fungsi kendala kedua.

1 = 35−7�1−5�2

1 berubah menjadi 35−7�1−5�2 = 35 −7 �1 −5 �2

2. Nilai ₂ digantikan dari fungsi kendala kedua.

2 =32−8�1−4�2+ 2

2 berubah menjadi 32−8�1−4�2+ 2 = 32 −8 �1 −4 �2+

2

3. Fungsi tujuan berubah menjadi

. = 7�₁+ 3�₂ + 35 −7 �₁−5 �₂+ 32 −8 �₁−4 �₂+

2

= 7−15 �1+ 3−9 �2 + 2+ 67

Lakukan langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks. Tabel awal hingga

tabel optimal persoalan dapat dilihat pada tabel berikut:

Fungsi tujuan berubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua �

kekiri.

= 7−15 �1+ 3−9 �2+ 2+ 67

berubah menjadi

Tabel 2.3 Simpleks Awal

Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, nilai Z dapat diperbaiki dengan

meningkatkan nilai �₁ dan �₂ pada persamaan Z menjadi tidak negatif. Untuk itu pilih

kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar, gunakan kolom

ini sebagai entering variabel. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka

terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi

sudah optimal. Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris fungsi

tujuan yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi

telah optimal.

Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio

diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel

yang sebaris.

=

Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci, maka persoalan tidak

memiliki pemecahan.

Kolom pada entering variable dinamakan entering coloumn dan baris yang

berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada

perpotongan entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan element pivot.

Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama : elemen pivot

Karena leaving variablenya ₂ dan entering variablenya �₁, maka gantilah basis ₂

dengan �₁.

Persamaan baru = (persamaan lama) – (koefisien kolom entering × persamaan

pivot baru). Persamaan dapat diperoleh sebagai berikut:

Tabel 2.5 Iterasi 1

Langkah selanjutnya dapat dilakukan seperti di atas hingga diperoleh hasil

optimal.

tujuan tidak ada yang negatif.

2.5.3 LINDO

Cara lain yang dapat digunakan dalam mencari solusi dalam program linier adalah

dengan menggunakan software. Ada banyak software yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah pemrograman linier seperti TORA, LINGO, EXCEL dan

banyak lagi yang lainnya. Adapun salah satu software yang sangat mudah digunakan

untuk masalah pemrograman linier adalah dengan menggunakan Lindo.

Lindo (Linear Interaktive Discrete Optimizer) adalah software yang dapat

digunakan untuk mencari penyelesaian dari masalah pemrograman linier. Prinsip kerja

utama Lindo adalah memasukkan data, menyelesaikan, serta menaksirkan kebenaran

dan kelayakan data berdasarkan penyelesaiannya. Model Lindo minimal memiliki 3

syarat:

1. Menentukan fungsi objektif. Ada dua jenis tujuan yaitu maksimasi (MAX) dan

minimasi (MIN).

2. Variabel. Lindo tidak dapat dijalankan tanpa memasukkan variabel dalam

formula.

3. Batasan (fungsi kendala). Setelah fungsi objektif diketikkan selanjutnya

diketikkan Subject to atau ST untuk mengawali pengetikan batasan. Pada akhir

batasan diketik kata END.

Setelah formula diketikkan dapat dicari solusinya dengan mimilih perintah solve atau

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Gambaran Contoh Kasus

Sebuah perusahaan konstruksi baru memenangkan tawaran $ 5.400.000 untuk

membangun pabrik baru untuk produksi besar. Proses produksi membutuhkan pabrik

untuk operasi selama setahun. Oleh karena itu, kontrak mencakup ketentuan-ketentuan

berikut:

 Hukuman $300.000 jika pembangunan belum selesai dalam tenggang waktu 47 minggu dari sekarang.

 Memberikan tambahan insentif untuk konstruksi cepat, bonus $ 150.000 akan dibayar jika pabrik selesai dalam 40 minggu.

Pemegang proyek menetapkan manajer konstruksi yang terbaik untuk

membantu memastikan bahwa setiap kegiatan tetap pada jadwal. Manajer konstruksi

melihat jauh kedepan terhadap tantangan untuk membawa proyek tetap pada jadwal,

bahkan mungkin menyelesaikan lebih awal.

Manajer konstruksi akan mengatur jumlah pengawai-pengawai untuk

melaksanakan aktivitas kontruksi yang berbeda pada waktu yang berbeda pula. Tabel

Tabel 3.1 Nama, Waktu dan Kegiatan yang Mendahului

Simbol Nama Kegiatan Perkiraan Waktu normal (minggu)

Kegiatan yang mendahului adalah kegiatan yang harus diselesaikan paling

lambat saat awal kegiatan tertentu dari setiap aktivitas yang diberikan (demikian pula,

kegiatan tertentu disebut penerus dari setiap pendahulu terdekatnya). Sebagai contoh,

penggalian tidak perlu menunggu untuk aktivitas lainnya, penggalian harus

diselesaikan sebelum mulai meletakkan dasar, fondasi harus benar-benar diletakkan

sebelum mulai memasang dinding kasar, dll. Ketika sebuah aktivitas memiliki lebih

dari satu pendahulu, semua kegiatan pendahulu harus selesai.

Dalam kasus ini jaringan memainkan peran kunci dalam menangani proyek.

Jaringan kerja dapat menunjukkan hubungan antara kegiatan dan menampilkan

3.2 Penyelesaian Jaringan Kerja

Langkah pertama adalah memecah proyek menjadi kegiatan individu, kemudian

identifikasi kegiatan yang mendahuluinya, waktu mulai paling awal untuk setiap

kegiatan dan memperkirakan waktu tercepat setiap kegiatan berakhir.

Gambar jaringan kerja proyek tersebut dapat di gambarkan seperti berikut:

G 7 H 9 M 2

Gambar 3.1 Jaringan Kerja Pabrik

3.2.1 Perhitungan dengan CPM

Hitungan maju digunakan untuk mencari nilai ES. Hitungan maju dimulai

dengan menghitung simpul awal sampai dengan simpul yang akhir.

- Simpul 1

Kejadian awal ₁ = 0.

- Simpul 2

Kegiatan B dapat dimulai setelah kegiatan A selesai dilakukan, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk kegiatan A adalah ₂ = ₁+A= 0+2=2.

- Simpul 3

Kegiatan C dapat dimulai setelah kegiatan B selesai dilakukan, sehingga waktu

- Simpul 4

Kegiatan D, E dan I dapat dimulai setelah kegiatan C selesai dilakukan,

sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 4 adalah

4 = 3+

= 6 + 10

= 16.

- Simpul 5

Kegiatan G dapat dimulai setelah kegiatan D selesai dilakukan, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 5 adalah

5 = 4+

= 16 + 6

= 22.

- Simpul 6

Kegiatan ₁ dan F dapat dimulai setelah kegiatan E selesai dilakukan.

Kegiatan ₁ merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan E

berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES)

untuk simpul 6 adalah

6 = 4+

= 16 + 4

= 20.

- Simpul 7

Kegiatan 2 merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan I

berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES)

untuk simpul 7 adalah

₇ = ₄+

= 16 + 7

- Simpul 8

Kegiatan H dapat dimulai setelah kegiatan G dan ₁ selesai dilakukan. ₁

merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan E berlangsung hingga

selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 8 adalah

₈ = 5 + , 6+ 1

= 22 + 7 , 20 + 0

= 29 , 20 }

= 29.

- Simpul 9

Kegiatan J dapat dimulai setelah kegiatan F dan 2 selesai dilakukan, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 9 adalah

9 = 6+ , 7+ 2

= 20 + 5 , 23 + 0

= 25 , 23 }

= 25.

- Simpul 10

Kegiatan M dapat dimulai setelah kegiatan H selesai dilakukan, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 10 adalah

₁₀ = 8+

= 29 + 9

= 38.

- Simpul 11

Kegiatan K dan L dapat dimulai setelah kegiatan J selesai dilakukan, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 11 adalah

5 = 9+

= 25 + 8

- Simpul 12

Kegiatan ₃ merupakan kegiatan semu yang terjadi selama kegiatan L

berlangsung hingga selesai dilakukan, sehingga waktu mulai tercepat (ES)

untuk simpul 12 adalah

₇ = 11 +

= 33 + 5

= 38.

- Simpul 13

Kegiatan N dapat dimulai setelah kegiatan K dan ₃ selesai dilakukan,

sehingga waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 13 adalah

₁₃ = ₁₁+ , ₁₂ + ₃

= 33 + 4 , 38 + 0

= 37 , 38 }

= 38.

- Simpul 14

Simpul 14 adalah simpul terakhir dalam penyelesaian proyek ini dan

merupakan waktu terlama yang di pakai dalam kegiatan M dan N, sehingga

waktu mulai tercepat (ES) untuk simpul 13 adalah

₁₄ = ₁₀+ , ₁₃+

= 38 + 2 , 38 + 6

= 40 , 44 }

= 44.

Di bawah ini dapat menjelaskan hasil dari perhitungan maju yang telah di peroleh.

G 7 H 9 M 2

Gambar 3.2 Jaringan Proyek dan ES

Sedangkan hitungan mundur digunakan untuk mencari nilai waktu selesai

terlama (LF) . Hitungan mundur di mulai dengan menghitung dari simpul terakhir

sampai ke simpul awal.

- Simpul 14

Simpul 14 adalah simpul terakhir dan besarnya waktu selesai terlama untuk

simpul ini sama dengan waktu mulai tercepatnya. ₁₄ = ₁₄₌ = 44

- Simpul 7

7 = 9− 3 = 25−0 = 25.

- Simpul 6

6 = min 8− 1 , 9−

= min 33−0 , 25−5

= min 33 , 20

= 20.

- Simpul 5

5 = 8− = 33−7 = 26.

- Simpul 4

4 = min 5− , 6− , 7−

= min 26−6 , 20−4 , 25−7

= min 20 , 16 , (18)

= 16.

- Simpul 3

3 = 4− = 16−10 = 6.

- Simpul 2

2 = 3− = 6−4 = 2.

- Simpul 1

1 = 2 − = 2−2 = 0.

G 7 H 9 M 2

D 6 ₁ N

6

A 2 B 4 C 10 E 4 F 5 J 8 K 4

I 7 ₂ L 5

3

Gambar 3.3 Jaringan Proyek, ES dan LF

Jalur kritis selanjutnya dapat ditentukan dari simpul kejadian yang mempunyai waktu

mulai tercepat (ES) yang sama dengan waktu selesai terlama (LF) dan ditunjukkan

pada garis yang dipertebal seperti pada gambar di atas.

ES1 = LF1

ES2 = LF2

ES3 = LF3

ES₄ = LF₄

ES5 ≠LF5

ES6 = LF6

ES₇ ≠LF₇

ES8 ≠LF8

ES9= LF9

ES₁₀ ≠LF₁₀

ES11 = LF11

ES12 = LF12

ES₁₃ = LF₁₃

yaitu pada kegiatan A, B, C, E, F, J, L, dan N dengan waktu penyelesaian 44 minggu.

Peristiwa pada bagian kritis tidak memiliki waktu yang longgar dalam pengerjaannya

atau dengan kata lain harus tepat waktu agar kegiatan lain tidak terganggu. Aktivitas

dummy tidak memiliki durasi dan durasi total untuk penyelesaian proyek adalah 44

minggu berdasarkan jalur kritis

3.3 Menghitung Nilai Harapan dan Variansi

Untuk lebih meyakinkan bahwa waktu pengerjaan dalam kasus ini benar-benar dapat

selesai dalam 44 minggu maka manajer proyek memperkirakan tiga waktu kegiatan

yaitu waktu kegiatan optimis (o), waktu kegiatan yang paling mungkin (m) dan waktu

kegiatan pesimis (p). Setelah diperoleh data dari tiga estimasi waktu dalam proyek,

kemudian dilakukan perhitungan nilai harapan dan variansi.Nilai harapan merupakan

taksiran waktu penyelesaian dari masing-masing kegiatan. Sedangkan taksiran waktu

penyelesaian kegiatan adalah nilai harapan distribusi probabilitas waktu penyelesaian

kegiatan yang mengikuti distribusi Beta. Tabel 3.2 akan menunjukkan perkiraan

waktu tersebut.

Tabel 3.2 Perkiraan Waktu Optimis, Paling Mungkin dan Pesimis

F 4 4 10 5 1

Kemudian akan ditentukan perkiraan waktu penyelesaian keseluruhan proyek

dari total rata-rata yang ada pada jalur kritis.

Tabel 3.3 Perkiraan Waktu Penyelesaian Proyek pada Jalur Kritis

N 6 4

9

Durasi Proyek � = 44 �2 _{= 9}

Dari tabel dapat dilihat bahwa jalur kritis pada kegiatan A,, B, C, E, F, J, L dan N

mempunyai waktu penyelesain selama 44 minggu. Hal ini menyatakan bahwa

kegiatan-kegiatan ini harus lebih diperhatikan. Karena jika terjadi keterlambatan pada

kegiatan kritis, mengakibatkan keterlambatan pada penyelesaian keseluruhan proyek.

Jika T menyatakan lamanya penyelesaian proyek ( dalam minggu), yang

mendekati distribusi normal dengan rata-rata � = 44, variansi �2 _{= 9 dan d adalah}

batas penyelesaian proyek = 47 minggu, maka standar deviasi � = 3.

� = −�_� = 47−₃44= 1

Dengan melihat tabel kurva normal, maka akan diperoleh nilai _� adalah 0,1587.

Dengan menggunakan pendekatan probabilistik maka peluang proyek selesai kurang

dari 47 minggu adalah

� = � _�

= 1− � > _� = 1−0,1587 ≈0,84.

3.4 Pertimbangan Waktu-Biaya

Di bawah ini akan ditentukan estimasi waktu percepatan dan estimasi biaya

percepatan yang selayaknya dari proyek.

Tabel 3.4 Estimasi Waktu Percepatan dan Estimasi Biaya Percepatan