MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
TESIS
Oleh
ANA UZLA BATUBARA
097021002/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ANA UZLA BATUBARA
097021002/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
Nama Mahasiswa : Ana Uzla BatuBara Nomor Pokok : 097021002
Program Studi : Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) (Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
Telah diuji pada
Tanggal 16 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
ABSTRAK
Dalam tesis ini dibahas mengenai perencanaan produksi stokastik pada suatu manufaktur yang sedang berkembang dan memperoleh keuntungan dengan me-minimumkan biaya. Dalam perencanaan produksi ada beberapa ketidakpastian yang dapat menghambat perkembangan seperti: permintaan, bahan baku, per-alatan, tenaga kerja dan waktu. Metode yang digunakan adalah skenario dengan dua tahap, yaitu tahap pertama dengan adanya ketidakpastian pada setiap vari-abel dan pada tahap kedua memberikan keputusan perencanaan produksi. Tahap pertama dan tahap kedua memiliki skenario yang berbeda, ke dua skenario di-gabungkan sehingga menghasilkan model matematika total biaya yang memiliki batas atas dan batas bawah. Sehingga memberikan hasil keseluruhan yang ter-baik dan membantu pengambilan keputusan akibat ketidakpastian, ter-baik dalam hal lembur dan biaya persediaan
ABSTRACT
In this thesis, the stochastic production planning in an emerging manufacturing and earn profits by minimizing costs. In production planning there are several uncertainties that could inhibit the development such as: demand, raw materials, equipment, labor and time. The method used is a generation based with two stages: the first stage with the uncertainty on each variable and the second stage provides production planning decisions. The first stage and second stage have a different scenario, the two scenarios are combined to produce a mathematical model the total cost of having the upper and lower bounds. Thus providing the best overall results and help make decisions due to uncertainty, either in terms of overtime and inventory costs.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT dan tidak lupa saya panjatkan sha-lawat dan beriring salam kepada baginda Rasulullah Muhammad SAW, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Ma-gister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Scselaku sekretaris Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang juga menjadi pembimbing uta-ma yang telah memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembimbing kedua yang banyak mem-berikan bimbingan dan arahan serat motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc sebagai penguji tesis yang juga memberikan bimbingan, arahan dan saran dalam penyempurnaan penulisan tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Univer-sitas Sumatera Utara yang sudah membimbing, mengajar dan membagi sebagian ilmunya kepada penulis.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Ma-tematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Orang tua tercintaMuhammad Djein Batubara danMasliana Pohan dan mertua tersayangLili Suhairi Saragihdan Siti Meisarah Damanikyang telah mencurahkan kasih sayang dan memberikan dukungan baik moril dan materi kepada penulis dan semua keluarga yang senantiasa mendoakan selama penulis menjalankan perkuliahan.
Suami tercinta Muhammad Suprianto Saragih, SE yang telah men-curahkan cinta, kasih sayang, pengertian, dan perhatian kepada penulis selama perkuliahan dan penulisan tesis ini. Anak ku tersayang, Alm Yazda Shah SaragihdanMuhammad Alzamil Saragihyang menemani penulis mengakhiri perkuliahan, terima kasih anak ku tersayang.
Rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara tahun 2009 dari Politeknik Negeri Medan dan terkhusus : Pak Djakaria, Pak Miduk, Pak David, Pak Mizan, Pak Rusli, Eriek, Kak Susi, Astri, Nunik, Eva, dan Vita. Semoga pertemanan kita tak lekang oleh waktu. Kepada Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini, terima kasih atas segala bantuan yang diberikan. Semoga Allah SWT mem-balas segala kebaikan dan bantuan yang diberikan.
Medan, Juni 2011
Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan tanggal 24 Juni 1985, anak tunggal dari Muham-mad Djein Batubara dan Masliana Pohan. Pendidikan yang ditempuh penulis :
1. SD Swasta Tri Bakti Kec. Hamparan Perak
2. SLTP PGRI 3 Medan
3. SMA Raksana Medan
4. Jurusan Matematika Universitas Sriwijaya Palembang
Pada tahun 2007 sampai tahun 2011, penulis menjadi guru di SMA Negeri 7 Binjai, tahun 2009 hingga sekarang, penulis menjadi guru di YP Shafiyyatul Amaliyyah dan Dosen IAIN Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Kontribusi Penelitian 3
1.5 Metode Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
BAB 3 PROGRAM STOKASTIK DAN PERENCANAAN PRODUKSI 9
3.1 Program Stokastik 9
3.2 Model Dasar Program Stokastik 9
3.2.1 Model Antisipatif 10
3.2.2 Model Adaptif 10
3.2.3 Model Recourse 11
3.3 Klasifikasi 12
3.4 Pengertian Program Stokastik Dua Tahap 13
3.6 Model Perencanaan Produksi Stokastik Dua Tahap 18
BAB 4 MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU 20
4.1 Definisi Keputusan Tahap Pertama dan Tahap Kedua 20
4.2 Model Perencanaan Produksi Dua Tahap 21
4.3 Pembentukan Model Perencanaan Produksi Dua Tahap 23
BAB 5 KESIMPULAN 29
ABSTRAK
Dalam tesis ini dibahas mengenai perencanaan produksi stokastik pada suatu manufaktur yang sedang berkembang dan memperoleh keuntungan dengan me-minimumkan biaya. Dalam perencanaan produksi ada beberapa ketidakpastian yang dapat menghambat perkembangan seperti: permintaan, bahan baku, per-alatan, tenaga kerja dan waktu. Metode yang digunakan adalah skenario dengan dua tahap, yaitu tahap pertama dengan adanya ketidakpastian pada setiap vari-abel dan pada tahap kedua memberikan keputusan perencanaan produksi. Tahap pertama dan tahap kedua memiliki skenario yang berbeda, ke dua skenario di-gabungkan sehingga menghasilkan model matematika total biaya yang memiliki batas atas dan batas bawah. Sehingga memberikan hasil keseluruhan yang ter-baik dan membantu pengambilan keputusan akibat ketidakpastian, ter-baik dalam hal lembur dan biaya persediaan
ABSTRACT
In this thesis, the stochastic production planning in an emerging manufacturing and earn profits by minimizing costs. In production planning there are several uncertainties that could inhibit the development such as: demand, raw materials, equipment, labor and time. The method used is a generation based with two stages: the first stage with the uncertainty on each variable and the second stage provides production planning decisions. The first stage and second stage have a different scenario, the two scenarios are combined to produce a mathematical model the total cost of having the upper and lower bounds. Thus providing the best overall results and help make decisions due to uncertainty, either in terms of overtime and inventory costs.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perencanaan produksi sebagai suatu perencanaan taktis yang bertujuan un-tuk memberikan keputusan berdasarkan sumber daya yang dimiliki perusahaan dalam memenuhi permintaan akan produk yang dihasilkan. Penentuan jumlah optimal produk yang akan diproduksi menjadi kunci bagi perencanaan produksi yang tepat. Perencanaan produksi dilakukan dengan maksud memenuhi permin-taan pada tingkat biaya yang minimum. Kegiatan produksi sangat ditentukan oleh ketersediaan bahan baku dan jumlah permintaan. Bahan baku merupakan salah satu masukan yang akan diproses untuk menghasilkan produk. Perencanaan dan pengendalian produksi memiliki peranan yang penting dalam pengelolahan persediaan, kapasitas dan penjadwalan. Pengelolahan persediaan bertujuan mi-nimisasi biaya dan kerusakan produk atau bahan, perencanaan kapasitas dimak-sudkan untuk menjamin kelancaran proses produksi dan penjadwalan ditujukan untuk menjaga kualitas dan tingkat persediaan yang minimum.
Dengan adanya banyak sumber daya yang tersedia dapat membantu se-cara langsung perencanaan suatu manufaktur dalam hal produksi sehingga da-pat memenuhi permintaan konsumen dalam waktu tertentu. Perencanaan pro-duksi bertujuan untuk menyesuaikan propro-duksi dengan sumber keputusan untuk memenuhi permintaan konsumen yang akan datang, seperti kapasitas produksi, pembatasan tenaga kerja dan pembatasan waktu lembur yang mana permasalahan tersebut merupakan masalah optimisasi. Tujuan lain dari perencanaan produksi untuk meminimalkan biaya total atau memaksimalkan keuntungan.
mo-2
del deterministik akan menyelesaikan nilai rata-rata atau kejadian terburuk. Solusi dari nilai rata rata yaitu tidak memenuhi batas eror untuk satu penyelesaian dan kejadian terburuk dapat menghasilkan formulasi yang sederhana.
Salah satu bentuk model pemprograman stokastik adalah model pemprogra-man stokastik dua tahap dengan recourse. Program stokastik dua tahap dengan recourse ini merupakan suatu bentuk model khusus yang lebih penting. Dalam hal model seperti ini fungsi objektif biasanya bersesuaian dengan meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan, meskipun dapat juga mengacu pada ni-lai absolut yang diharapkan atau penyimpangan kuadrat tujuan khusus tertentu atau variance dari fungsi sumber tahap kedua.
Beberapa ketidakpastian yang terdapat pada manufaktur dapat dikategorikan dalam dua kategori yaitu ketidakpastian lingkungan dan ketidakpastian sistem. Ketidakpastian lingkungan akan mengacu pada ketidakpastian yang berada di lu-ar cakupan pengendalian proses produksi, seperti ketidakpastian permintaan dan ketidakpastian pasokan mengacu pada ketidakpastian yang berhubungan dengan proses produksi, seperti ketidakpastian hasil, ketidakpastian waktu produksi, keti-dakpastian kwalitas dan produksi yang gagal. Berbagai model analitik dan men-simulasi model yang dilakukan Mula et. al (2006) yaitu melakukan studi tentang perencanaan produksi dengan setiap ketidakpastian yang pada umumnya tidak menghasilkan solusi optimal.
Lai (2006), menyatakan bahwa masalah perencanaan produksi memegang peranan yang sangat penting dalam jaringan manajemen persediaan. Metodologi dari masalah perencanaan produksi dapat juga memberikan jumlah produksi dan tenaga kerja disetiap perencanaan produksi untuk memenuhi permintaan pasar. Dikembangkan juga suatu model pemprograman stokastik dengan penambahan batas. Digunakan juga model dua tahap recourse untuk masalah perencanaan produksi dengan pemprograman stokastik.
ma-3
nufaktur dan manufaktur memiliki solusi yang optimal dengan meminimalkan ter-jadinya kemungkinan yang buruk dan memaksimalkan keuntungan dengan mem-bentuk model matematika. Untuk pemmem-bentukan model matematika, akan diben-tuk bagaimana model matematika sebelum adanya ketidakpastian dan setelah adanya ketidakpastian.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang akan muncul pada suatu manufaktur adalah adanya ketidak-pastian permintaan, ketidakketidak-pastian produksi dan ketidakketidak-pastian banyaknya tena-ga kerja sehingtena-ga menghambat perkembantena-gan sebuah manufaktur, sehingtena-ga perlu di bentuk model stokastik untuk perencanaan produksi yang dapat memberikan solusi yang optimal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah membentuk model perencanaan produksi terpadu dengan meminimalkan biaya pada suatu manufaktur yang sedang berkem-bang sehingga memberikan solusi yang optimal.
1.4 Kontribusi Penelitian
Kontribusi dari penelitian ini adalah membantu suatu manufaktur menjadi lebih baik di waktu yang akan datang, dapat meminimalkan ketidakpastian yang akan terjadi setiap tahun dan tidak menghambat perkembangan manufaktur.
1.5 Metode Penelitian
Adapun metode penilitian yang akan dilakukan pada tesis ini yaitu:
1. Mendefinisikan pengertian tahap pertama dan tahap kedua
4
a. Menentukan dan mendefinisikan parameter dengan tebakan terbaik. b. Menentukan dan mendefinisikan parameter di waktu yang akan datang.
c. Menentukan variabel keputusan.
3. Membentuk model perencanaan produksi dua tahap sesuai dengan skenario perencanaan.
4. Mengembangkan model pada langkah ke tiga dengan menambah beberapa variabel, yaitu :
a. Batas atas dan batas bawah dari skenario b. Probabilitas dari perencanaan skenario
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Masalah yang sering dihadapi dalam perencanaan produksi yaitu penjad-walan, lokasi, transformasi, keuangan, dan teknik pemasaran. Metode yang digu-nakan dengan ketidakpastian untuk pengambilan keputusan ini dengan optimisasi, setiap keputusan dalam ketidakpastian lebih sulit akibat variabel pengambilan ke-putusan. Variabel keputusan logis dengan model diskrit diatur dengan beberapa tahap dan program stokastik, probabilistik pemprograman, dan program stokastik dinamis (Sahinidis, 2004). Salah satu pendekatan untuk masalah dengan keti-dakpastian ini menggunakan program stokastik yaitu memecahkan permasalahan perencanaan produksi dimana kuantitas produksi dibatasi oleh kapasitas penyim-panan persediaan (Liu dan Tu (2008)). Permasalaha lebih lanjut mengasumsikan bahwa kehabisan stok dan kapasitas penyimpanan persediaan bersifat konstan, model perencanaan produksi yang digunakan untuk mengembangkan jadwal pro-duksi yang optimal (Lee et. al (2005)).
Menurut Prajapati (2008), model matematika untuk perencanaan produksi permintaan deterministik dapat diformulasikan sebagai berikut :
Minimum
c. Non negatif dan integer
6
Persamaan (2.1) yaitu untuk meminimalkan biaya, termasuk biaya tenaga kerja, biaya produksi dan biaya penyediaan. Persamaan (2.2) memberikan kepastian persediaan pada setiap waktu ditambah dengan permintaan sama dengan jumlah persediaan dari waktu sebelumnya dan produksi terus menerus. Persamaan (2.3) menyatakan keterbatasan kapasitas dan persamaan (2.4) menunjukkan variabel keputusan P(t) adalah non-negatif dan y(t) adalah biner.
Model program linier untuk bermacam jenis yang terpadu, banyaknya peren-canaan produksi yang terus menerus dan masalah distribusi dinamik. Hal ini juga diangap pengamanan persediaan dan agragasi kapasitas untuk meminimal-kan pengaruh dari ketidakpastian dalam permintaan dan penawaran. Model perencanaan produksi deterministik dan solusinya sangat tergantung pada keaku-ratan dari perkiraan permintaan yang sulit dilakukan akibat informasi yang tidak pasti, sehingga model ketidakpastian perencanaan produksi stokastik perlu dikem-bangkan.
Alonso et. al (2003) menggunakan permodelan stokastik 0 - 1 dan pen-dekatan algoritma untuk ketidakpastian manajemen rantai pemasokan, yang bertu-juan untuk menentukan produksi, tingkat perencanaan , pemilhan produk, alokasi perencanaan dan pemilihan bahan baku. Tujuan yang diharapkan dari pemodelan stokastik 0 - 1 ini keuntungan yang maksimal dari produk yang dihasilkan dengan keuntungan bersih, yang telah dikurangi dengan penyusutan investasi dan biaya operasional. Pada pemodelan stokastik 0-1 ini menggunakan parameter ketidak-pastian adalah harga dan permintaan, biaya bahan baku dan biaya produksi. Permodelan stokastik 0-1 ini menggunakan dua tahap, yaitu pada tahap pertama termasuk keputusan strategis dan tahap kedua termasuk keputusan taktis dari model deterministik. Model yang dihasilkan yaitu :
7
Permasalahan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program ma-tematika, tujuannya adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana dan persyaratan minimum. Keputusan yang dinyatakan oleh peubah berupa bilangan cacah atau non-negatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya per unit, rata rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan peubah (x1, x2, ..., xn), sebagai
con-toh xi menyatakan produksi ke i dari n produk. Bentuk umum program
mate-matikanya adalah : Maksimum
Z =f(x) Kendala
fi(x)≥bi i= 1,2, ..., n (2.5)
x≥0, x∈X Dimana X adalah himpunan real non negatif.
Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse models (Model rekursif)
2. Probabilistically constrained models (Model kendala berpeluang)
Dalam permasalahan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor kepu-tusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan di-pilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah : Minimum
h1(x) +E[h2(y(w), w)]
Kendala
8
f1(x, y(w))≤0, ∀;w∈W
fk(x, y(w))≤0, ∀;w∈W (2.6)
x∈X, y(w)∈Y
Dimana himpunan kendala f1, f2, ..., fk menggambarkan hubungan antara
keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi h2 merupakan penyelesaian yang sering muncul
dari permasalahan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut Probabilistically Constrained Models
yang dirumuskan sebagai berikut :
minZ =f(x)
Kendala
P[g1(x)≤0, ..., gm(x)≤0]≥α (2.7)
h1(x)≤0
h2(x)≤0
BAB 3
PROGRAM STOKASTIK DAN PERENCANAAN PRODUKSI
3.1 Program Stokastik
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matema-tika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bah-wa :
a. Pada program matematik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematik dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik merupakan program matema-tik, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada pa-rameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prak-teknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil yang diperoleh secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W. Jika data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
3.2 Model Dasar Program Stokastik
10
3.2.1 Model Antisipatif
Model ini juga disebut sebagai model statis, yang mana keputusan tidak tergantung pada pengamatan di masa yang akan datang. Perencanaan yang baik harus memperhitungkan semua realisasi yang mungkin dimasa yang akan datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputu-san nantinya.
Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalnya, tingkat keandalanα dengan 0< α≤1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam bentuk
P{w|fj(x, w) = 0, j = 1,2, ..., n} ≥α
Disini x adalah vektor peubah keputusan m dimensi dan fi : RmxΩ → R, j =
1, ..., n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan sepertiP{w|f0(x, w)≤γ},
dimana f0 :RmxΩ→R∪ {+∞} dan γ konstanta.
Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.
3.2.2 Model Adaptif
Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. AndaikanA koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua keja-dian yang mungkin. Keputusanx tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai
minE[f0(x(w), w)|A]
Kendala
[fj(x(w), w)|A] = 0, j = 1,2, ..., n (3.1)
11
Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur. Permasalahan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiapw program deterministik berikut :
minE[f0(x)|A](w)
Kendala
[fj(x)|A](w) = 0, j = 1,2, ..., n (3.2)
x∈X
Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.
3.2.3 Model Recourse
Model ini menggabungkan dua model yang ada, untuk menentukan kebi-jakan tidak hanya mengantisipasi pengamatan di masa datang tapi juga mem-perhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekursif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Permasalahan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai berikut
xadalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari pro-gram tak linier:
minξ(y, w) Kendala
12
y∈RMi
+
dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan {T(w), W(w), h(w)|w∈Ω}adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acakwdan karena itu merupakan pa-rameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk per-soalan tahap kedua. W adalah matriksrecourse danhvector sumber daya tahap kedua.
Secara umum modelrecoursedua tahap dapat diformulasikan sebagai berikut
minf(x) +E
Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen sehingga mudah terselesaikan.
3.3 Klasifikasi
Ada beberapa klasifikasi dari program recourse. Suatu program recourse dikatakan mempunyai
1. Recourse tetap (fix) jika untuk recoursew tetap untuk semua hasil wi.
2. Recourse lengkap jika untuk semuav ∈ Rm, terdapaty≥0 sehinggaw y =v.
3. Recourse relatif lengkap jika untuk semuax≥0 sehinggaAx=bdan untuk semuaw∈Ω ada y≥0 sehingga W(w)y=h(w)−V(w)x.
13
Recourse sederhana merupakan kasus khusus dari recourse lengkap yang selan-jutnya merupakan kasus khusus dari recourse relatif lengkap. Recourse relatif lengkap mengakibatkan semua x layak terhadap kendala tahap I problema re-course mempunyai daerah layak tak kosong. Secara ilustrasi keadaan ini dapat terlihat dari contoh yang dikemukakan sebelumnya.
3.4 Pengertian Program Stokastik Dua Tahap
Banyaknya permasalahan sederhana yang berupa perencanaan dan manaje-men sering tidak data digambarkan dengan model stasis, untuk model bertujuan. Metode program stokastik dua tahap sering digunakan. Model program stokastik dua tahap bergantung pada informasi nilai parameter dari kondisi permasalahan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Permasalahan dinamik dari tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompen-sasi divergensi yang dikondisikan realikompen-sasi permasalahan dan pembuat keputusan tercepat dari tahap sebelumnya.
Permasalahan dinamik memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikon-disikan, kondisi probabilitas atau kendala statistik. Untuk permasalahan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah pada ba-sis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi setiap tahap.
Pada permasalahan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala data dibeda-kan menjadi :
a. Pada pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang dianggap diketahui
b. Pada pembuatan keputusan melengkapi informasi yang ada mengenai re-alisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak tidak diketahui pada tahapan berurutan .
14
penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penye-lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam permasalahan.
Untuk perhitungan dalam analisis program stokastik dua tahap, didefinisi-kan dengan mengandaididefinisi-kan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0,1, ..., n untuk
be-berapa ruang kejadian elementerwi, dimana Ωi berisi satu elemen Ω0. Andaikan
Ωk adalah descartian product Ω
i, i = 1,2, ..., k : wk = (w1, ..., wk); Ωn = Ω dan
andaikan Ω diberikan ukuran probabilisticpyang didefinisikan dengan cara : jika a⊂Ωkmakapk(A) =p(a×Ωk+1×...×Ωn). Dengan ruang probabilistik (ω,P
, P) dengan P
berkaitan dengan σ-algebra, definisi Pk sebagai ukuran probabilistik
pada Ωk
Pk(A|wk+1 ∈B) =
Pk(A×B)
Pk(Ωk×B)
Untuk sebarang A ⊂Ωk, B ⊂Ωk−1.
Xk dinyatakan sebagai descartian produk X
i untuk setiap i = 1,2, ..., k ,
k(wk−1)mk , fungsi vektorBk dinyatakan sebagai ruang
Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimensibk(wk)Pki=1mi . Akhirnya
Ewk(U(wk)|wk−1) menyatakan kondisi ekspektasi matematikaU(wk) dibawah
per-kiraan realisasi wk−1 yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada permasalahan program stokastik dua tahap dengan menggunakan notasi yang dapat dilihat di atas. Misalkan terdapat permasalahan program stokastik tahap ganda :
Eφ0 = (w
cam-15
puran, dan di dalam fungsi akan mendapatkan penyelesaian. Permasalahan prak-tisnya akan tergantung pada penyelesaian pada tiap-tiap tahap yang dapat di hitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi parameter acak yang observasi dari kondisi atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinuXk dengan perkiraan data yang diperlukan tentang
nilai acak sehingga dieroleh model konkrit dan struktur informasi ditentukan oleh keputusan selanjutnya.
Permasalahan stokastik dua tahap dengan kendala yang tidak dapat dikon-disikan adalah:
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan permasalahan program dua tahap dengan kendala kondisional. Model yang kongkrit dari (3.6)-(3.8) pada kasus permasalahan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah :
Penyelesaian permasalahan menjadi himpunan distribusi FXk|wk biasanya
untuk menyelesaikan masalah dengan distribusi yang ditentukan, kemudianFXk|wk
didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak wk, distribusi yang
ditentukan kemudian bergantung pada Xk−1 dan wk. Dikatakan bahwa
per-masalahan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, ji-ka FXk|wk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan Xk−1, tetapi sebelum
pengamatan wk, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada Xk−1
16
Jika permasalahan dua tahap dengan kendala kondisional diselesaikan de-ngan strategi murni, model konkrit (3.6)-(3.8) akan menjadi :
Z
Ωn×Xn
ϕ0(wn, Xn)dFwn,Xn→inf (3.14)
Z
Ωk×Xk
ϕk(wk, Xk)dFwk|wk−1 ≥bk(wk−1) (3.15)
Xk ∈Gk(wk), k= 0,1,2, ..., n (3.16)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada
kon-disi dari masalah penyelesaian. Permasalahan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan wk.
Aturan yang ditentukan untuk menyelesaikanXk=Xk(wk). Jika keputusan
dibuat setelah realisasi dan pengamatan wk−1, tetapi sebelum pengamatan wk,
pada kasus aturan sebelumnya:
Xk =wk−1
Persamaan (3.12)-(3.14) atau (3.15)-(3.17) dikenal sebagai permasalahan stokastik dua tahap dengan rigid model, jika kondisi (3.13) atau (3.16) tidak ada, keputusan tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
3.5 Perencanaan Produksi
Perencanaan produksi adalah pernyataan rencana produksi ke dalam bentuk agregat. Perencanaan produksi ini merupakan alat komunikasi antara manajemen teras (top management) dan manufaktur. Di samping itu juga, perencanaan pro-duksi merupakan pegangan untuk merancang jadwal induk propro-duksi. Beberapa fungsi lain perencanaan produksi adalah :
17
2. Sebagai alat ukur performansi proses perencanaan produksi
3. Menjamin kemampuan produksi konsisten terhadap rencana produksi
4. Memonitor hasil produksi aktual terhadap rencana produksi dan membuat penyesuaian.
5. Mengatur persediaan produk jadi untuk mencapai target produksi dan ren-cana startegis
6. Mengarahkan penyusunan dan pelaksanaan Jadwal induk Produksi.
Tujuan perencanaan produksi adalah :
1. Sebagai langkah awal untuk menentukan aktivitas produksi yaitu sebagai referensi perencanaan lebih rinci dari rencana agregat menjadi item dalam jadwal induk produksi.
2. Sebagai masukan rencana sumber daya sehingga perencanaan sumber daya dapat dikembangkan untuk mendukung perencanaan produksi.
3. Meredam (stabilisasi) produksi dan tenaga kerja terhadap fluktuasi permin-taan.
18
Perencanaan produksi akan melibatkan banyak faktor, seperti bahan baku, mesin atau peralatan, tenaga kerja dan waktu, dimana semua faktor tersebut sesuai dengan kebutuhan yang direncanakan dalam mencapai target produksi ter-tentu yang didasarkan atas perkiraan masing-masing faktor tersebut tidak harus direncanakan sendiri-sendiri sesuai dengan keterbatasan yang ada masing-masing faktor yang dimiliki perusahaan, tetapi rencana tersebut harus dibuat dengan mengacu pada satu rencana terpadu untuk produksi. Rencana produksi tersebut juga harus terkait dengan rencana-rencana lain yang berpengaruh langsung ter-hadap rencana produksi, seperti pemeliharaan, tenaga kerja, pengadaan material dan sebagainya. Keterpaduan ini tidak hanya horisontal saja, tetapi juga secara vertikal. Hal ini berarti rencana jangka pendek harus mengacu pada rencana jang-ka menengah, terpadu dengan rencana jangjang-ka panjang, begitu juga sebaliknya.
3.6 Model Perencanaan Produksi Stokastik Dua Tahap
Untuk setiap pengambilan keputusan dan pelaksanaannya dapat dibagi da-lam beberapa tahap sehingga permasalahan stokastik akan menggambarkan su-atu multi-stage permasalahan optimisasi. Model stokastik dua tahap membuat keputusan dengan menggunakan dua tahap. Tahap pertama variabel keputu-san adalah optimal sebelum adanya kepastian dari variabel yang acak dan tidak pasti. Setelah adanya kepastian dari bariabel acak, variabel pada tahap kedua yang dioptimalkan.
Variabel keputusan tahap pertama disebut komponen struktural yang tetap pada tahap kedua dan tidak adanya ketidakpastian dalam data yang ada. Variabel keputusan tahap kedua disebut komponen kontrol yang merupakan subjek dari ketidakpastian data yang ada. Variabel x dan y akan mendefinisikan dua tahap model stokastik yaitu :
x : menunjukkan vektor variabel keputusan nilai yang optimal pada parame-ter yang tidak pasti.
19
Bentuk umum dari dua tahap model program stokastik dapat dinyatakan sebagai berikut :
minx cTx+E[Q(x, ξ)] (3.17)
Kendala
Ax=b (3.18)
x≥0 (3.19)
Dimana Q(x, ξ) merupakan nilai optimal dari tahap kedua
miny q(ω)Ty (3.20)
Kendala
T(ω)x+Wy =h(ω) (3.21)
y≥0 (3.22)
Tahap kedua tergantung pada dataξω = (q(ω), h(ω), T(ω)) yang merupakan
elemen acak, dimana matriks W diasumsikan diketahui. Mariks T(ω) dan W merupakan matriks teknologi dan sumberdaya. EkspektasiE[Q(x, ξ)] yaitu vektor acak dari ξ=ξ(ω) dengan asumsi bahwa distribusi peluang diketahui.
BAB 4
MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU
Dalam perencanaan produksi akan melibatkan banyak faktor, seperti bahan baku, mesin, tenaga kerja, permintaan, biaya dan waktu. Semua faktor harus sesuai dengan kebutuhan yang direncanakan dalam pencapai target produksi. Untuk pencapaian produksi yang baik diperlukan model yang sesuai dengan per-mintaan, dalam pembentukan model perencanaan produksi faktor faktor yang ada saling mempengaruhi, apa lagi dengan adanya ketidakpastian dari permin-taan konsumen di pasar. Persediaan produksi harus sesuai dengan perminpermin-taan, sehingga suatu manufaktur dapat merencanakan berapa banyak yang harus dipro-duksi.
Penentuan keputusan dan pelaksanaan dalam memproduksi akibat ketidak-pastian membuat manufaktur yang sedang berkembang sulit untuk menentukan keputusan untuk berapa banyak yang diproduksi. Akibat dari ketidakpastian tersebut diperlukan perencanaan yang baik, sehingga diperlukan model stokastik yang dapat memberikan solusi yang optimal dalam hal pembiayaan. Untuk pem-bentukan model tersebut diperlukan perencanaan dengan adanya ketidakpastian dan selanjutnya setelaha adanya kepastian. Maka pada bab ini, akan diberikan dua tahap dalam membuat model perencanaan produksi yang baik untuk manu-faktur dalam perencanaan yang akan dibuat. Model stokastik yang akan dibuat untuk meminimalkan banyaknya biaya yang akan dikeluarkan dalam produksi dan memberikan solusi akibat ketidak konsistenan semua faktor.
4.1 Definisi Keputusan Tahap Pertama dan Tahap Kedua
21
Pada tahap pengoprasian lingkungan perusahaan dengan kapasitas tetap, pembelian dan juga keputusan produksi. Pengambilan keputusan pembelian dan produksi pada tahap pertama dibuat selama (3-4) bulan sebelum terjadi peruba-han permintaan, dan tahap kedua memberikan keputusan. Dengan mengasum-sikan kapasitas produksi bernilai maksimal, banyaknya barang untuk satu peri-ode dan sisa barang tidak berubah. Pada tahap pertama, banyaknya pembelian material untuk memproduksi selama 4 bulan mendatang sebagai persediaan per-mintaan yang akan datang.
Untuk mengembangkan model perencanaan produksi menggunakan :
1. Lembur
Dengan adanya lembur bagi karyawa, maka dapat menimbulkan kenaikan sementara persediaan tanpa adanya penambahan karyawan.
2. Kelengkapan
Untuk mengatasi adanya permintaan yang tinggi, sehingga menghasilkan produksi yang baik.
3. Pemberhentian karyawan
Dengan adanya pemberhentian karyawan saat permintaan menurun, tidak mempengaruhi strategi keputusan karena memiliki pekerja yang terlatih.
4. Backlog
Backlog pesanan dan subkontrak tidak dipertimbangkan dalam penelitian ini
4.2 Model Perencanaan Produksi Dua Tahap
22
parameter yang akan digunakan pada model perencanaan produksi stokastik dua tahap dapat didefinisikan sebagai berikut :
Parameter :
Indeks :
s : indeks dari skenario t : indeks dari periode waktu
Himpunan :
S : himpunan dari skenario T : banyaknya periode
Parameter yang digunakan untuk mengembangkan model program stokastik dua tahap dengan mengasumsikan data diketahui dengan tebakan terbaik, dan penambahan parameter dimasa yang akan datang, sebagaimana berikut ini :
Parameter deterministik :
d(s, t) : perkiraan permintaan produksi dalam periode t Cr : biaya pekerja pertahun
C0 : biaya lebur bagi tenaga kerja
Ch : biaya tahunan perunit dari produk
Cb : biaya pembelian
N : rata-rata jumlah hari dalam periode I0 : persediaan awal
t : produksi harian perorang α : rasio lembur
β : rata- rata biaya produksi
d : kuantitas minimal produksi dalam periode waktu t w : banyak tenaga kerja
ρ : efisiensi tenaga kerja (ρ= 0,9)
Parameter recourse :
23
Variabel keputusan :
P(s, t) : banyak unit yang dihasilkan secara terus menerus setiap jam O(s, t) : banyaknya unit yang dihasikan setiap lembur
I(s, t) : persediaan produksi di akhir periode B(s, t) : banyaknya unit yang harus dibeli y(s, t) : 1 jika ada lembur, 0 yang lainnya
4.3 Pembentukan Model Perencanaan Produksi Dua Tahap
Pada awal dari perencanaan produksi suatu manufaktur harus membuat ran-cangan atau skenario, untuk membuat skenario produksi banyak faktor yang mem-pegaruhi kemungkinan, pengaruh dari kemungkinan tersebut brsifat tidak pasti untuk setiap skenario yang di buat. Segala kemungkinan yang akan terjadi perlu diminimalisasikan untuk meminimalkan biaya total produksi. Dalam hal ini pelu-ang ypelu-ang akan diminimalkan yaitu biaya tenaga kerja sesuai dengan banyaknya tenaga kerja, jika terjadi peningkatan permintaan tidak perlu adanya penamba-han karyawan tetapi terjadi lembur pada tenaga kerja, sehingga banyaknya unit yang dihasilkan pada saat lembur akan sesuai dengan biaya yang dikeluarkan saat lembur. Biaya persediaan untuk setiap unit pertahun harus diminimumkan un-tuk setiap tahunnya, dan dalam skenario juga harus dihitung berapa banyak unit yang akan dibeli oleh konsumen.
Untuk setiap skenario yang dibuat memiliki kendala yang mungkin terjadi, seperti :
a. Bangaimana keseimbangan persediaan produk yang dihasilkan dengan per-kiraan permintaan produksi.
b. Kapasitas produksi yang dihasilkan oleh tenaga kerja.
c. Produksi yang dihasilkan pada saat lembur haruslah lebih banyak dari tidak lembur.
24
e. Persediaan stok produksi
f. Produksi yang sama
g. Banyaknya produksi saat lebur dan persediaan di akhir priode tidak boleh terjadi kekurangan produksi unit.
Dari kemungkinan yang ada dari skenario tersebut dapat dibentuk model matematika sebagai berikut :
Minimum
c. Lembur dan produksi
P(s, t)≥N.τ.ρ.w.y(s, t) ∀s∈S, t∈T (4.5)
O(s, t)≤α.N.τ.ρ.w.y(s, t) ∀s∈S, t∈T (4.6)
d. Batasan minimal produksi
P(s, t)≥N.τ.ρ.w ∀s∈S, t∈T (4.7)
e. Persediaan stok produksi
25
f. Produksi yang sama
P(s, t) =P(s+ 1, t) ∀ s= 1, ..., S, t= 1, ...,4 (4.9)
g. Non-negatif
P(s, t), O(s, t), I(s, t)≥0 ∀s ∈S, t ∈T (4.10) y(s, t) adalah biner ∀s∈S, t∈T (4.11)
Tujuan (4.1) untuk meminimalkan biaya total, termasuk biaya tenaga kerja tahunan, biaya lembur, dan biaya persediaan. Kendala (4.2) dan (4.3) memas-tikan bahwa persediaan awal ditambah produksi lembur selama periode sama dengan permintaan ditambah persediaan akhir. Kendala (4.4) menentukan total produksi yang dihasilkan tenaga kerja rengan waktu yang reguler periode t dan dibatasi kapasitas produksi. Kendala (4.5) dan (4.6) memastikan bahwa, lembur terjadi jika produksi menurun pada tingkat maksimum dan lembur tidak boleh melebihi batas maksimum dengan menetapkan α% dari produksi. Kendala (4.7) mamastikan bahwa produksi dibawah skenario tetap lebih besar dari produksi minimum. Kendala (4.8) menjamin bahwa persediaan akhir pada tiap periode tidak kurang dari stok minimum. Kendala (4.9) memastikan bahwa produksi dibawah skenario akan tetap sama pada empat bulan pertama untuk keputusan tahap pertama. Kendala (4.10) memastikan semua variabel keputusan adalah non-negatif dan kendala (4.11) keputusany(s, t) adalah biner.
Program stokastik bertujuan untuk meminimalkan nilai yang diharapkan, yang pertama biaya persediaan dan produksi tidak termasuk yang sangat mem-pengaruhi dalam pengambilan keputusan. Model yang baik dapat mengupayakan untuk meminimalkan biaya persediaan dan mengurangi hasil yang tidak berbeda antara skenario yang lain.
26
ξs : variabel dengan probabilitasps dalam skenario s
Pengembangan model perencanaan produksi dapat dirumuskan seperti dibawah ini :
Langkah pertama dari fungsi objektif yaitu model stokastik sama dengan biaya total yang diharapkan. Langkah kedua dari fungsi objektifλPS
s=1ps(ξs−
PS′
s′=1p′sξs′)2 digunakan untuk memberikan perbedaan biaya rencana produksi
dalam berbagai skenario. Kendala (4.14) digunakan untuk membedakan biaya antara skenario dalam ε1 dan ε2. Fungsi objektif disini untuk memimalkan
ke-salahan dan mendapatkan solusi yang kurang sesitif terhadap data permintaan disetiap skenario.
Fungsi Objektif
a. Biaya produksi reguler
27
b. Biaya lembur produksi
OC(s) =XT
Selanjutnya dari fungsi objektif yang dibentuk model akibat dari perbedaan skenario dapat di bentuk seperti dibawah ini:
Minimum
Pada bagian pertama fungsi objektif pada persamaan (4.18) merupakan bi-aya total yang berhubungan dengan tenaga kerja pertahun , bibi-aya pekerja yang lembur dan biaya persediaan, bagian kedua pada fungsi objektif yaitu kuadran dari perbedaan antara bagian pertama dari biaya dan setiap biaya skenario. Kendala (4.19) memastikan bahwa perbedaan antara biaya setiap skenario harus tetap antara ε1 dan ε2.
28
maka model biaya total minimum memiliki batas bawah dan batas atas untuk menyeimbangkan skenario yang dibuat untuk perencanaan produksi.
BAB 5
KESIMPULAN
Perencanaan produksi memegang peranan penting dalam perusahaan ma-nufaktur, tetapi ketidakpastian dalam permintaan, produksi, dan biaya membu-at sulit untuk mengambil keuntungan penuh dari model perencanaan produksi. Dalam tesis, model perencanaan produksi stokastik dua tahap diberikan untuk menangani permintaan, produksi dan biaya yang tidak pasti. Pada tahap per-tama, membuat skenario penyesuaian produksi dan permintaan, produksu dan tenaga kerja, persediaan dan permintaan, persediaan dan produksi yang tidak pasti.
DAFTAR PUSTAKA
A. Alonso-Ayuso, L.F.Escudero, A. Garin, M.T.Ortuno dan G. Perez, 2003. An Approach for Strategic Supply Chain Planning under Uncertainty based on Stochastic 0-1 Programming. Journal of Global Optimization, 26:97 - 124. Birge, J.R., Louveaux, F. (1997). Introduction to Stochastic Programming.
Springer-Verlag, New York.
K. Lai, 2006. A stochastic programming approach for multi-site aggregate roduc-tion planning. Journal of the Operational Research Society, 57:123 - 132. Lee, L. H., E. P. Chew, and T. S. N, 2005. Production planning with aproved vendor
matrices for a hard-disk drive manufacturer.European Journal of Operational Research, 162:310 - 324.
Liu, X and Y. Tu, 2008. Production planning with limited inventory capacity and allowed stockout. International Journal of Production Economics, 111:180 -191.
Mula, J., R. Poler, J. Garca-Sabater, and F. Lario, 2006. Models for production planning under uncertainty: A review. International Journal of Production Economics, 103:271 - 285.
Prajapati, M. (2008) . A Stochastic Production Planning Model Under Uncertain Demand. Thesis, Wright State University
