MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA)
MAKALAH
Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Multivariat
yang dibimbing oleh Ibu Trianingsih Eni Lestari
oleh
Sherly Dwi Kharisma 100312400839 Silvia Indrayani 100312400844 Vivin Octiana 110312406323
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu statistika adalah Analisis Statistik Multivariat. Ada beberapa metode analisis data statistik yang dapat dipelajari dalam cabang ilmu tersebut, salah satu metode yang cukup banyak diterapkan dalam berbagai bidang adalah MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance. MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan pengembangan dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik untuk menganalisis hubungan antara beberapa variabel bebas dan beberapa variabel terikat. Karakteristik pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu atau satu, namun variabel terikat harus lebih dari satu. Pada Analisis Variansi Multivariat
(MANOVA) analisis yang dilakukan harus memenuhi asumsi sebagai berikut: asumsi data berdistribusi normal multivariate, homogenitas matrik varians kovarians, serta adanya korelasi antar variabel yang digunakan.
1.2Rumusan Masalah
1. Bagaimana hasil uji normal multivariat pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
2. Bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarian pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
3. Bagaimana hasil uji manova pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa?
1.3Tujuan
1. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji multivariat normal pada data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa. 2. Untuk mengetahui bagaimana hasil uji kesamaan matriks kovarians pada
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1Pengertian Analisis Multivariat
Analisis statistika multivariate adalah analisis statistika yang
dikenakan pada data yang terdiri dari banyak variabel dan antar variabel yang saling berkorelasi. Beberapa metode yang termasuk ke dalam golongan analisis ini adalah : Analisis Faktor, Analisis Cluster, Analisis Diskriminan, Analisis Komponen Utama, Korespondensi, dan MANOVA.
2.2Pengertian MANOVA (Multivariate Analysis of Variance)
MANOVA atau Multivariate Analysis of Variance merupakan pengembangan dari ANOVA, yaitu sebagai metode statistik suatu teknik statistik yang digunakan untuk menghitung pengujian signifikansi perbedaan rata-rata secara bersamaan antara kelompok untuk dua atau lebih variable terikat. Karakteristik pada MANOVA yaitu variabel bebas bisa lebih dari satu atau satu, namun variabel terikat harus lebih dari satu. Skala pengukuran variabel bebas berjenis kategorikal artinya data bisa berupa data nominal atau ordinal, sedangkan pada variabel terikat merupakan variabel kontinu artinya data bisa berupa interval atau rasio .
Asumsi yang harus di penuhi dalam MANOVA yaitu: 1. Distribusi datanya harus normal multivariat. 2. Matriks varian kovarian antar levelnya harus sama.
3. Setiap pengamatan manova diasumsikan bersifat independen.
4. Manova mengasumsikan bahwa variabel bebas adalah kategorik dan variabel terikat variabel kontinu dan juga bersifat homogenitas.
Pada Analisis Varians Multivariat ada statistik uji yang dapat digunakan yaitu sebagai berikut:
1. Uji hasil bagi kemungkinan, dengan statistik uji (lambda) dari Wilks atau statistik uji U,
dan (JKPr) = matriks varians kovarians perlakuan
2. Uji telusur dari lawley Hotelling dengan statistik LH tr (JKK)-1 (JKPr) ,
dimana (JKK)-1 adalah invers dari matriks varians kovarians kekeliruan, sedang (JKPr) adalah matrik varians kovarians perlakuan yang
bersangkutan.
3. Uji akar maksimum dari Roy, dengan statistik uji R = akar karakteristik maksimum dari (JKK)-1 (JKPr)
4. Uji pillai dengan statistik uji dimana adalah akar-akar karakteristik dari (JKK)-1 (JKPr).
Dalam hal ini diberikan statistik yang menggunakan statistik U. Ada beberapa sifat pada statistik U yang digunakan untuk menganalisis yaitu, 1. Distribusi U dengan derajat kebebasan (p;m;n) sama dengan distribusi U
yang berderajat kebebasan (m;p;n+m-p)
2. Untuk p = 2 nilai Up;m;n dapat ditransformasikan ke nilai F dengan rumus
dimana U2;m;n menyatakan nilai variabel acak
yang berdistristribusi U dengan derajat kebebasan (2;m;n), sedangkan
F2m;2(n-1) menyatakan nilai variabel acak yang berdistribusi F dengan
derajat kebebasan [2m;(2n-2)].
3.
4.
5.
Kegunaan dan Kelebihan MANOVA
MANOVA digunakan untuk mengetahui apakah vektor rata-rata populasi sama, dan jika tidak sama, komponen rata-rata mana yang berbeda secara nyata. Karena kemampuannya untuk menganalisis beberapa
• Menyediakan kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa derajat inter-korelasi diantara variabel terikat.
• Menyediakan statistik yang lebih kuat dari ANOVA ketika variabel terikatnyaberjumlah 5 atau kurang.
2.3Distribusi Normal Multivariat
Variabel acak X dikatakan berdistribusi normal dengan rerata dan varians 2, dimana jika fungsi kerapatan probabilitas dari X tertentu
dengan rumus :
grafik dari merupakan kurva atau garis lengkung, atau biasanya dikatakan bentuk lonceng (irisan bentuk lonceng).
Pada situasi multivariat, yang terlibat adalah sekelompok variabel dikatakan berdistribusi normal p-variat dengan vektor rerata
dan matriks varians-kovarians atau matriks dipersi , jika fungsi kerapan probabilitas bersama dari p variabel tertentu oleh rumus:
dimana
Jika Xi,X2,..., Xp berdistribusi normal multivariat maka )
( )'
(X 1 X berditribusi 2p. Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan
distribusi multinormal dapat dilakukan dengan cara membuat q-q plot dari nilaidi2
Xi X)'S1(Xi X
,i 1,..., n.Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson, 1990):
1. Menentukan nilai vektor rata-rata : X
3. Menentukan nilai jarak setiap titik tergeneralisasi pengamatan dengan vektor rata-ratanya di2
Xi X)'S1(Xi X
,i 1,..., n4. Mengurutkan nilai 2
i
d dari kecil ke besar : d(21) d(22) d(23) ... d(2n)
5. Menentukan nilai i n
n i
pi 1/2, 1,...,
6. Menentukan nilai qi sedemikian hingga i q
7. Membuat scatter-plot 2 ) (i
d dengan qi
8. Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50 % nilai 2
- S-1 = invers matrik varians kovarians yang berukuran p x p - p = banyak variabel
Selain dengan memeriksa nilai jarak Mahalanobis setiap pengamatan dengan vektor rata-ratanya. Menurut Mardia (1974) di dalam Rencher (1995) pemeriksaan kemultinormalan data dapat juga dikaji melalui nilai multivariate skewnewss (b1,p ) dan kurtosisnya (b2,p)
X , 2,..., dikatakan berditribusi normal multivariat maka :
- berdistribusi normal baku.
2.4Uji Homogenitas Matrik
Beberapa analisis statistika multivariate seperti discriminant analysis
Untuk menguji syarat ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipoteris dan statistik uji Box-M adalah (Rencher, 1995) :
Hipotesis
hipotesis nol yang berarti matriks varians-kovarians bersifat homogen jika
2
Adapun langkah-langkah uji homogenitas varians-kovarians menggunakan program SPSS 16 adalah sebagai berikut:
a. Buka aplikasi SPSS .
b. Dari worksheet, entry data dilakukan melalui Variable View dan Data View.
c. Dari menu utama SPSS dipilih menu Analyze, kemudian submenu General Linear Model dipilih Multivariate.
d. Setelah tampak dilayar tampilan window Multivariat, kemudian melakukan entry variabel-variabel yang sesuai pada kotak Dependent Variables dan Fixed Factor(s).
e. Selanjutnya Option dipilih Homogenitas test dan Continue, terakhir OK.
2.5Uji Korelasi Antar Variabel
Berikut adalah flowchart dari langkah-langkah pengerjaan analisis data:
Memenuhi Pemeriksaan Asumsi
Manova
Tidak Memenuhi Pemeriksaan Asumsi Data Uji Variabel Y dengan Variabel X
ANOVA
Pemeriksaan Asumsi
Uji Independensi
Normal Multivariat
PEMBAHASAN DAN ANALISA
3.1Pembahasan
Masalah yang akan dibahas yaitu kemampuan siswa dalam menguasai mata pelajaran matematika dilihat dari nilai kognitif, afektif dan tingkat kecerdasan IQ. Data terdiri dari dua variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2 (nilai afektif) dan variabel bebas X (tingkat kecerdasan IQ).
Berikut data yang akan digunakan dalam analisis MANOVA yang terdiri dari data nilai kognitif dan nilai afektif siswa dengan tingkat kecerdasan IQ siswa.
Variabel bebas:X= tingkat kecerdasan IQ siswa
level 1 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ, x≤ 100 level 2 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,100 < x ≤ 125 level 3 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ ,125 < x ≤ 150 level 4 siswa yang memiliki tingkat kecerdasan IQ , x >150
Variabel terikat:
Y1:Nilai Kognitif siswa Y2: Nilai Afektif siswa
Tabel 1: Data nilai kognitif siswa, nilai afektif siswa, dan tingkat kecerdasan IQ
No. Y1 Y2 X No Y1 Y2 X
1. 78 75 1 31. 75 72 3
2. 81 78 3 32. 87 84 3
3. 79 76 1 33. 78 75 4
4. 84 81 2 34. 84 81 4
5. 80 77 2 35. 87 84 4
6. 78 75 2 36. 87 84 1
7. 77 74 1 37. 77 74 1
8. 77 74 1 38. 83 80 1
9. 80 77 3 39. 83 78 2
10. 80 77 4 40. 84 80 2
11. 80 77 4 41. 78 78 2
12. 76 73 1 42. 80 80 3
13. 87 84 4 43. 80 78 3
14. 83 80 1 44. 80 79 3
15. 84 81 2 45. 75 78 4
17. 80 77 2 47. 81 78 2
18. 78 75 2 48. 84 79 3
19. 86 83 3 49. 77 80 2
20. 79 76 1 50. 82 80 4
21. 85 82 4 51. 79 78 2
22. 78 75 4 52. 8 79 2
23. 62 59 1 53. 78 77 2
24. 77 74 2 54. 83 80 3
25. 76 73 1 55. 75 72 1
26. 76 73 1 56. 82 79 2
27. 83 80 2 57. 85 79 3
28. 74 71 2 58. 78 76 1
29. 75 72 2 59. 68 74 1
30. 83 80 3 60. 80 78 2
Sebelum melakukan analisis MANOVA, terlebih dahulu ada asumsi-asumsi yang harus dipenuhi terlebih dahulu yaitu data berdistribusi normal multivariate normal dan dan varians data adalah homogen. Berikut
pemeriksaan asumsi-asumsi MANOVA.
a. Pengujian Distribusi Multivariat Normal
Variabel yang diuji hanyalah variabel terikat Y1 (nilai kognitif) dan Y2 (nilai afektif). Berikut pengujian multivariate normal dengan
Berikut scatterplot dari q vs dj
Dilihat dari tabel diperoleh 77.9305 dan bernilai 0.858
sehingga . Dan karena plot membentuk garis lurus sehingga dapat disimpulkan data ini berdistribusi normal multivariat.
b. Homogenitas Matrik Varian Covarian Hipotesis:
0:
H Matrik varians covarians adalah homogen 1:
H Matrik varians covarians tidak homogen
Hipotesis
H0= Kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif)
mempunyai matrik varian-kovarian yang sama variabel X (tingkat kecerdasan IQ).
H1:Kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif) mempunyai
matrik varian-kovarian yang berbeda variabel X (tingkat kecerdasan IQ).
Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka H 0diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka H 0ditolak
Output
Dari table terlihat nilai Box’M=12,186 dengan nilai signifikasi 0,254. Karena nilai signifikan lebih besar dari 0,05, maka H 0diterima.
Artinya matrik varians-kovarians pada variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif) adalah sama untuk X (tingkatan kecerdasan IQ). Dengan demikian keputusan gagal menolak H 0dan matrik varians-kovarians
pada data sudah homogen.
c. Uji homogenitas varian
Dengan taraf signifikansi 0,05 dari tabel di atas terlihat angka signifikansi uji Levene diatas menunjukan bahwa untuk kedua variabel Y, yaitu :
Maka H 0diterima. Hal ini berarti matrik varians-kovarians pada variabel
Y1 dan Y2 secara individu adalah sama untuk setiap variabel X. Sehingga bisa dilanjutkan dengan analisis MANOVA.
d. Tabel Manova
Tabel Multivariate Test dibawah ini menjelaskan pengujian perbandingan rata-rata komponen kognitif dan komponen afektif secara bersamaan dengan komponen IQ. Terdapat uji statistic, yaitu Pillai’s Trace, Wilk’s Lamda, Hotelling Trace, dan Roy’s Largers.
Hipotesis
H0= variabel X (tingkat kecerdasan IQ) tidak menunjukkan
perbedaan pada kedua variabel Y (nilai kognitif dan nilai afektif). H1: variabel X (tingkat kecerdasan IQ) menunjukkan perbedaan
pada kedua variabel Y ( nilai kognitif dan nilai afektif). Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka H 0diterima
Jika angka sig. < 0,05, maka H 0ditolak
0.031, 0.026 dan 0,004. Maka bisa dikatakan Ho ditolak. Karena Ho ditolak maka secara bersama-sama nilai kognitif dan afektif menunjukkan perbedaan pada tingkat kecerdasan IQ.
e. Pengujian Model Secara Univariat
Hipotesis
Hipotesis untuk variabel Y dan X secara individu Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif)
H0= Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) tidak menunjukkan
perbedaan pada variabel X (Komponen IQ).
H1= Rata-rata variabel Y (nilai kognitif) menunjukkan
perbedaan pada variabel X (Komponen IQ). Untuk faktor X dan Y2 (nilai afektif)
H0= Rata-rata variabel Y (nilai afektif) tidak menunjukkan
perbedaan pada variabel X (tingkat kecerdasan IQ). H1= Rata-rata variabel Y (nilai afektif) menunjukkan
perbedaan pada variabel X tingkat kecerdasan IQ). Kriteria Keputusan
Jika angka sig. > 0,05, maka H 0diterima
Output
Untuk faktor X dan Y1 (nilai kognitif)
Perhatikan baris faktor X dan sub Y1, dimana angka signifikansi adalah 0,006. Karena lebih besar dari 0,005, maka H0diterima,
atau rata-rata Y2 memang berbeda secara nyata pada X. Untuk faktor X dan Y2 (Komponen Afektif)
Perhatikan baris faktor X dan sub Y2, dimana angka signifikansi adalah 0,004. Karena kurang dari 0,005, maka H0ditolak, atau
BAB IV KESIMPULAN
Hasil pembahasan dan analisa yang dilakukan menunjukan bahwa data yang digunakan dalam pembahasan ini berdistribusi normal multivariate. Pada
pengolahan data dengan menggunakan program paket SPSS didapat kesimpulan bahwa varian-covarians masing-masing variabel yang digunakan dalam
pembahasan adalah homogen. Pengujian MANOVA dapat dilakukan karena asumsi-asumsi awal dapat dipenuhi oleh data yang digunakan. Pengujian
MANOVA memberikan kesimpulan bahwa tingkat kecerdasan IQ menunjukkan
