FORMULE – Matematika 1 & 2
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova
0
30
45
60
90
180
270
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
2
3
π
sin 0
2
1
2
2
2
3
1 0 -1
cos 1
2
3
2
2
2
1
0 -1 0
tg 0
3
3
1
3
±
∞
0±
∞
ctg
±
∞
3
13
3
0
±
∞
0Funkcije komplementarnih kutova
x
x
cos
2
sin
=
−
π
x
x
sin
2
cos
=
−
π
ctgx
x
tg
=
−
2
π
tgx
x
ctg
=
−
2
π
Parnost funkcijax
x
)
sin
sin(
−
=
−
cos(
−
x
)
=
cos
x
tgx
x
tg
(
−
)
=
−
ctg
(
−
x
)
=
−
ctgx
Pretvorbe
I. kvadrant:
ϕ
II. kvadrant:
ϕ
=
π
−
ϕ
0III. kvadrant:
ϕ
=
π
+
ϕ
0IV. kvadrant:
ϕ
=
2
π
−
ϕ
0x
n
n
n
e
x
=
+
∞ →1
lim
(
x
)
xe
x→
+
=
1
0
1
lim
lim
sin
1
0
=
→
x
x
x
lim
x→0cos
x
=
1
Adicijske formule
sin(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
cos(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
sin
x
sin
y
tgxtgy
tgy
tgx
y
x
tg
1
)
(
±
=
±
ctgx
ctgx
ctgxctgy
y
x
ctg
±
=
±
)
1
(
Relacije među trigonometrijskim funkcijama
sin
2x
+
cos
2x
=
1
ctgx
x
x
tgx
1
cos
sin
=
=
x
x
tg
2 2cos
1
1
+
=
x
x
ctg
2 2sin
1
1
+
=
2
1
2
2
sin
2x
tg
x
tg
x
+
=
2
1
2
1
cos
2 2x
tg
x
tg
x
+
−
=
2
1
2
2
2x
tg
x
tg
tgx
−
=
2
2
2
1
2x
tg
x
tg
ctgx
−
=
2
2
cos
1
sin
2x
=
−
x
2
2
cos
1
cos
2x
=
+
x
Funkcije dvostrukog argumenta
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
x
2x
2x
2x
sin
2
1
sin
cos
2
cos
=
−
=
−
x
tg
tgx
x
tg
21
2
2
−
=
ctgx
x
ctg
x
ctg
2
1
2
2−
=
Funkcije polovičnog argumenta
2
cos
1
2
sin
2x
=
−
x
2
cos
1
2
cos
2x
=
+
x
x
x
x
tg
sin
cos
1
2
−
=
x
x
x
ctg
sin
cos
1
2
+
=
2
2
cos
1
sin
2x
=
−
x
2
2
cos
1
cos
2x
=
+
x
Veza realnog broja i kuta
π
α
=
x
rad
⋅
180
180
π
α ⋅
=
rad
x
α
:
180
=
x
rad
:
π
+
+
=
′′
′
3600
60
z
y
x
z
y
x
Logaritamy
=
log
ax
⇔
a
y=
x
Tablica derivacija
)
(
x
f
f
′
(
x
)
c
0
n
x
nx
n−1,n
∈
ℜ
x
a
a
x⋅
ln
a
x
e
e
xx
alog
a
x
ln
1
x
ln
x
1
x
sin
cos
x
x
cos
−
sin
x
tgx
x
2
cos
1
ctgx
x
2
sin
1
−
x
arcsin
21
1
x
−
x
arccos
2
1
1
x
−
−
arctgx
2
1
1
x
+
arcctgx
2
1
1
x
+
−
shx
chx
chx
shx
thx
x
ch
21
cthx
x
sh
21
−
Parcijalna integracija
∫ ���=�� − ∫ ���
Binomni integral
∫ ��∙(�+���)��� ; �,�,� ∈ ℚ
1) � ∈ ℤ
2) �+1
� ∈ ℤ ; supst: �+��� =�� , � je nazivnik
razlomka � 3) �+1
� +� ∈ ℤ ; supst: �
�� +�=��
Trigonometrijske supstitucije
���
2=�→ �= 2������
��= 2��
1+�2 ; ����= 2�
1+�2 ; ����= 1−�2 1+�2
Tablica integrala
1. � �
���= ��+1
�+ 1+�,
� ≠ −1
11. � �ℎ���=�ℎ�+�
2. ���� =��|�| +� 12. � �ℎ���=�ℎ�+�
3. � ����= ��
���+� 13. �
��
�ℎ2�=�ℎ�+�
4. � ����=��+� 14. � ��
�ℎ2�=−��ℎ�+�
5. � ������=−����+� 15. � ��
�2+�2=
1
� ����� � �+�
6. � ������=����+� 16. �
�� �2− �2=
1 2� �� �
�+�
� − ��+�
7. � ��
���2�=���+� 17. �
�� �2− �2=
1 2� �� �
� − � �+��+�
8. � ��
���2�=−����+� 18. �
��
√�2− �2=������
� �+�
9. � �����=−��|����| +� 19. � ��
√�2+ 1=���ℎ�+�
10. � ������=��|����| +� 20. � ��
21. ∫ ��
��2+�=����+√�
2+��+�
Integrali oblika ∫ √���+��+��� svode se na:
1) ∫ √�2− �2��=� 2√�
2− �2+�2 2 ������
�
�+� ,�> 0
2) ∫ √�2+� ��=� 2√�
2+�+�
2����+√�
2+��+�
Integrali oblika ∫ �������������,� ∈ ℤ:
1) ��������, supst: ����=�
2) ��������, supst: ����=�
2) �,������, supst:
2
2
cos
1
cos
2x
=
+
x
2
2
cos
1
sin
2x
=
−
x
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
Integrali oblika ∫ ������� :
1) ��������: ∫ �������=∫(1− ���2�)�������= |����=�|
2) ������: ∫ �������=∫ �1−���2�
2 �
�
��= |2�=�|
Integrali oblika ∫ �������:
1) ��������: ∫ �������=∫(1− ���2�)�������= |����=�|
2) ������: ∫ �������=∫ �1+���2�
2 �
�
��= |2�=�|
Volumen tijela nastalog rotacijom oko:
1) osi x
��=� �[�(�)]2��= �
�
� � �2�� �
�
��=� �([�(�)]2−[�(�)]2)�� �
�
2) osi y
��= 2� � ��(�)�� �
�
��=� � �2�� �
�
Duljina luka krivulje
�=∫ �� 1 +�´2
Konvergencija redova realnih brojeva:
Nužan uvjet: lim�→∞��= 0
Suma reda: �� =∑��=1��
Geometrijski red: ∑∞ ���−1
�=1 =∑∞�=0��� ; �� =�1 1−��
1−�
|�| =�
< 1 → lim �→∞�� =
�1
1− � → �������. → �= lim�→∞��
≥1 → ������.
Harmonijski red: ∑1
� divergira!
Red ∑ 1
�� → �=�> 1 ≤1 → ���→ ����������..
Kriterij konv./div. redova s pozitivnim članovima: 1) K. uspoređivanja I
��≤≥�� → �������������..
2) K. uspoređivanja II
lim �→∞
��
�� ≠0
ravnate se po nizu �� s kojim ste uspoređivali!
3) D´Alambertov k.
lim �→∞
��+1
�� =�
< 1 → �������. > 1 → ������. = 1 → ���������������
4) Cauchyev k.
lim �→∞ ���
� =�=� < 1 > 1 → ���→ ����������.. = 1 → ���������������
Kriterij konv./div. redova s članovima promjenljivog predznaka:
Leibnizov k.
Alternirani red konv. ako:
1) ∃�0∈ ℕ ∶ � ≥ �0 → |��+1|≤|��|
2) lim �� = 0
Redovi potencija: ∑∞�=0��(� − �0)�
1) Cauchyev k.
lim�→∞��|����|= lim�→∞��|��|∙|�| =� ∙|�|
|�| <1
� → � ∈ 〈− 1 �,
1
�〉 → �������…������������.
�=1
�…�����������.
2) D´Alambertov k.
lim�→∞���+1�� +1
��� �= lim�→∞� ��+1
�� � ∙|�| =� ∙|�|
|�| <1
� → � ∈ 〈− 1 �,
1
�〉 → �������…������������.
Taylorov red
�(�) =�(�0) +∑ � (�)
(�0) �! ∞
�=1 (� − �0)�
Taylorov razvoj u točki �0= 0 → MacLaurinov red:
�(�) =�(0) +∑ �(�)(0) �! ∞
�=1 (�)�
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
1) HOMOGENE DJ: �´ =� �� ��
- supst: �=� �
2) LINEARNE DJ: �´ +�(�)�=�(�)
- metoda varijacije konstanti:
- rješava se pripadna homogena dj:
�(�) = 0
�´ +�(�)�= 0
- uzimamo konst c kao �(�)
3) BERNOULLIJEVA DJ: �´ +�(�)�=�(�)∙ �� , � ∈ ℛ\{0,1}
- supst: �= 1
�� −1 → �´ = (1−�)�´
��
- svodimo na linearnu:
- rješava se homogena dj
- � → �(�)
4) CLAIRAUTOVA DJ: �=��´ +�(�´)
- deriviramo: → �´´ = 0 & �+�´(�´) = 0
�´ =� sing. rj.
5) LAGRANGEOVA DJ: �=� ∙ �(�´) +�(�´)
- deriviramo po x: �´ =�
6) EGZAKTNE DJ: �(�,�)��+�(�,�)��= 0
��
�� = �� ��
� �(�,�0)��+� �(�0,�)�� �
�0
=� �