Modelling The Risk Probability with Compound Generalized Poisson Distribution

(1)

PEMODELAN PELUANG RISIKO DENGAN MENGGUNAKAN

SEBARAN COMPOUND GENERALIZED POISSON

MASAYU NUR DZIKRIYANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRACT

MASAYU NUR DZIKRIYANA. Modelling The Risk Probability with Compound

Generalized Poisson Distribution. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN

MANGKU.

Insurace is a form of risk management that is used for protection against loss. In insurance companies, the pricing of insurance premium should be based on fair principles, i.e. in accordance with the value of class of risk. The higher the risk, the higher amount of insurance premium will be. The class of risk can be estimated by insurance claim. Modelling the claim frequency is one of the most important areas in risk theory.

Generally, insurance claims can be modelled with Poisson or negative binomial distribution. Gossiaux and Lemaire (1981) and Willmot (1987) have considered generalized Poisson distribution as an alternative to Poisson or negative binomial disribution. Generalized Poisson distribution will be applied if there is overdispersion in data.

Generalized Poisson distribution can be viewed as a compound Poisson (�) and sum of Borel

(�) distribution. If a random variable N (the number of claims) has a generalized Poisson distribution, then the total number of claims has a compound generalized Poisson distribution. A recursive algorithm is needed to model the risk probability of this distribution. First step of this algorithm is to compute the coefficients of the moment generating function, which sum to the probability function of the compound Borel (�) distribution. The next step of this algorithm is to

(3)

ABSTRAK

MASAYU NUR DZIKRIYANA. Pemodelan Peluang Risiko dengan Menggunakan Sebaran

Compound Generalized Poisson. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN

MANGKU.

Asuransi merupakan bentuk manajemen risiko yang digunakan untuk proteksi terhadap kerugian. Penentuan premi dalam perusahaan asuransi harus berdasarkan prinsip adil. Prinsip ini merupakan prinsip penentuan tingkat premi sesuai dengan klasifikasi risiko. Semakin tinggi klasifikasi risiko, maka tarif premi semakin tinggi. Klasifikasi risiko dapat diduga dari klaim asuransi. Pemodelan frekuensi data suatu klaim merupakan salah satu bagian terpenting dari teori kerugian.

Secara umum, klaim asuransi dapat dimodelkan dengan menggunakan sebaran Poisson dan binomial negatif. Gossiaux dan Lemaire (1981), dan Willmot (1987) telah menentukan sebaran alternatif yang dapat digunakan untuk memodelkan klaim yaitu sebaran generalized Poisson. Sebaran generalized Poisson hanya akan berlaku jika terjadi overdispersed pada suatu data.

Sebaran generalized Poisson juga dapat dipandang sebagai perpaduan antara sebaran compound Poisson (�) dan sebaran Borel (�). Jika suatu peubah acak N (banyaknya klaim) memiliki sebaran generalized Poisson, maka total banyaknya klaim tersebut memiliki sebaran compound generalized Poisson. Diperlukan algoritme rekursif untuk memodelkan peluang risiko dari sebaran ini. Algoritme rekursif yang digunakan yaitu dengan menentukan terlebih dahulu koefisien dari fungsi pembangkit momen, yang jika dijumlahkan akan membentuk fungsi peluang dari sebaran Borel (�). Langkah terakhir, yaitu gunakan formula rekursif Panjer pada kasus Poisson (�).

(4)

PEMODELAN PELUANG RISIKO DENGAN MENGGUNAKAN

SEBARAN COMPOUND GENERALIZED POISSON

MASAYU NUR DZIKRIYANA

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Pemodelan Peluang Risiko dengan Menggunakan Sebaran

Compound Generalized

Poisson

Nama

: Masayu Nur Dzikriyana

NIM

: G54070063

Disetujui

Pembimbing I

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.

NIP. 19651218 199002 1 001

Pembimbing II

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 19620305 198703 1 001

Diketahui

Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga, karya ilmiah ini dapat terselesaikan. Shalawat

dan salam selalu tercurah kehadirat nabi “akhir zaman” Muhammad SAW beserta keluarga dan

sahabat. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bpk. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA (selaku dosen pembimbing I), Bpk Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc (selaku dosen pembimbing II), dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S (selaku dosen penguji) untuk semua ilmu, arahan, dan bimbingan yang telah diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini. Penulis juga menghanturkan terima kasih kepada ayah dan mama tercinta, adikku tersayang dan seluruh keluarga besar ayah dan mama atas semua doa, nasihat, kasih sayang, motivasi, dan dukungan yang telah diberikan. Baik selama penyusunan , hingga terselesaikannya karya ilmiah ini.

Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh staf departemen Matematika IPB atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan, sertasegenap dosen Matematika atas semua ilmu yang telah dibeerikan kepada penulis selama kegiatan perkuliahan. Seluruh teman-teman Matematika angkatan 44 serta semua civitas (adik serta kakak) Matematika terima kasih untuk semua doa, dukungan, dan kebersamaannya. Teman-teman kosan (ukhuwah dan srikandi) terima kasih atas semua kasih sayang, perhatian, doa, semangat, dan kebersamaannya. Pengurus bimbel

“Katalis” terima kasih untuk semua doa dan semangat. Semua teman-teman SD Kenari 01 Pagi, SLTP Negeri 8 Jakarta, SMA Negeri 4 Jakarta terima kasih untuk semua doa, semangat, dan motivasi.

Demikianlah penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi ilmu pengetahuan, khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Bogor, Oktober 2011

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 2 Maret 1990 dari bapak Masagus Arumsjah dan ibu Hj. R. Leli M. Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Statistika Terapan, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi staf pengajar Bimbingan Belajar Gumatika mata kuliah Kalkulus TPB (S1), Pengantar Matematika TPB (S1) pada tahun akademik 2008-2010, staf pengajar Bimbingan Belajar MSC mata kuliah Kalkulus pada semester genap tahun akademik 2009-2010, dan staf pengajar Bimbingan Belajar Katalis mata kuliah Kalkulus pada semester genap tahun akademik 2010-2011. Penulis mendapatkan beasiswa dari Persatuan Orang Tua Mahasiswa (POM) IPB pada semester genap tahun akademik 2007-2008, YAAB Orbit pada semester ganjil tahun akademik 2008-2009, dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) IPB pada semester ganjil tahun akademik 2009-2010 sampai semester genap tahun akademik 2010-2011.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ...

viii PENDAHULUAN

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ... 2

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2

Peubah Acak Binomial Negatif, Poisson, Multinomial ... 3

Nilai Harapan, Ragam, dan Momen ... 3

Proses Stokastik ... 4 PEMBAHASAN Proses Compound Poisson ... 5

Sifat Compound Poisson ... 7

Proses CompoundGeneralized Poisson ... 9 Algoritme Rekursif untuk Fungsi Peluang Sebaran Compound GP ...

11 SIMPULAN ...

14 DAFTAR PUSTAKA ...

15 LAMPIRAN ...

(9)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Pembuktian Teorema 3 ... 17

2 Pembuktian persamaan (26) ... 18

5 Pembuktian persamaan (34) dan (36) ... 23

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Ilmu asuransi berkembang sejalan dengan perkembangan ilmu ekonomi dan matematika. Asuransi merupakan bentuk manajemen risiko yang digunakan untuk proteksi terhadap kerugian. Asuransi juga dapat didefinisikan sebagai transfer sepadan dari risiko potensi kerugian dengan suatu premi. Premi asuransi adalah suatu kewajiban yang harus dipenuhi oleh pemegang polis yaitu dengan membayar sejumlah uang kepada perusahaan asuransi pada tiap periode tertentu atau dibayar lunas. Penentuan premi dalam perusahaan asuransi harus berdasarkan prinsip adil. Prinsip ini merupakan prinsip penentuan tingkat premi sesuai dengan klasifikasi risiko.

Klasifikasi risiko merupakan proses dimana perusahaan asuransi memutuskan bagaimana tarif premi harus berbeda dengan karakteristik risiko individu atau barang yang diasuransikan. Semakin tinggi klasifikasi risiko, maka tarif premi semakin tinggi. Klasifikasi risiko dapat diduga dari klaim asuransi. Klaim asuransi merupakan jaminan yang diberikan oleh perusahaan terhadap risiko yang terjadi sesuai kesepakatan yang berupa sejumlah uang. Model frekuensi data suatu klaim merupakan salah satu bagian terpenting dari teori kerugian.

Secara umum, klaim asuransi dapat dimodelkan dengan menggunakan sebaran yang memiliki sifat yang sama. Sebaran yang biasanya digunakan adalah sebaran Poisson, dimana nilai rata-rata (harapan) dari klaim

sama dengan ragam, dan sebaran binomial negatif dimana ragam dari klaim lebih besar dari nilai rata-rata (harapan). Beberapa pengarang termasuk Gossiaux dan Lemaire (1981), dan Willmot (1987) telah menentukan sebaran alternatif yang dapat digunakan untuk memodelkan klaim yaitu sebaran generalized Poisson. Consul (1990) telah membanding-kan sebaran generalized Poisson dengan beberapa sebaran diskret lainnya, dan me-mutuskan bahwa sebaran generalized Poisson adalah sebaran yang cocok untuk memodel-kan frekuensi data suatu klaim.

Menurut Panjer (1981), para aktuaris menyadari bahwa algoritme rekursif rupakan cara yang cukup efisien untuk me-modelkan peluang risiko. Skema rekursif ini digunakan untuk mengevaluasi sebaran dari total klaim dengan asumsi bahwa karakteristik dari klaim memiliki sebaran yang sama dan saling bebas. Sehinggga, Goovaerts dan Kaas (1991) merasa perlu untuk menganalisis peluang risiko dari sebaran compound generalized Poisson secara rekursif.

Tujuan

(11)

LANDASAN TEORI

Untuk memahami dan menyelesaikan

permasalahan yang terdapat dalam karya ilmiah ini, diperlukan beberapa konsep dasar berikut.

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan Acak adalah percobaan yang dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Ruang Contoh adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak, dinotasikan . Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh ().

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 3 (Kejadian Saling Bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

� ∩ =� � .

Secara umum, himpunan kejadian { ; ∈ }, dikatakan saling bebas jika

� ∈

= �( ) ∈

untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.

Definisi 4 (Medan-�)

Medan-� adalah suatu himpunan ℱyang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut: 1.  

2. Jika ∈ ℱ, maka �∈ ℱ 3. Jika 1, 2,… ∈ ℱ, maka

1 i i

A







 . (Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 5 (Ukuran Peluang)

Suatu ukuran peluang P pada (Ω,ℱ) adalah suatu fungsi � ∶ ℱ → 0,1 yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. P

 

 0,P

 

 1

2. Jika 1, 2,… ∈ ℱ, adalah himpunan yang saling lepas, yaitu ∩ =∅ untuk setiap pasangan ≠ , maka

1

( _i)

i P A







= 1

( _i)

i P A







.

Pasangan (Ω, ℱ,�) disebut ruang peluang. (Grimmett & Stirzaker 1992)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 6 (Peubah Acak)

Misalkan  adalah ruang contoh dari percobaan acak dan _{adalah suatu medan-}� dari . Peubah acak X adalah suatu fungsi

∶ Ω→ ℛ, dengan sifat

� ∈Ω: (�) ∈ℱ

untuk setiap ∈ ℛ .

Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah dari ℛ.

(Grimmett & Stirzaker 1992) Catatan:

Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 8 (Fungsi Sebaran)

Misalkan adalah peubah acak dengan ruang

�. Misalkan kejadian = (−∞, ]⊂ �, maka peluang dari kejadian adalah

=�( ) .

Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak .

Definisi 9 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai

( ) ( )

x

X

F x f u du







untuk suatu fungsi � ∶ ℝ →[0,∞) yang dapat diintegralkan. Fungsi �=� disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi .

(12)

Definisi 10 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang suatu peubah acak diskret adalah fungsi :ℝ →[0,1] yang diberikan oleh

 





.

X

p x P X x

Definisi 11 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan dan adalah dua peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat = , ditulis

�| diberikan oleh

�| =

�( , ) �( )

untuk sembarang asalkan � ( ) > 0 . (Grimmett & Stirzaker 1992)

Peubah Acak Binomial Negatif, Poisson dan Multinomial

Definisi 12 (Peubah Acak Binomial Negatif)

Peubah acak dikatakan menyebar binomial negatif dengan parameter , , > 0, = 1− , dan 0 < < 1 jika memiliki fungsi massa peluang

1

(1 )

( ) 1

0 ,

, 0,1, ... lainnya .

X

x r x r

p p

p x r

x

 



  

















Definisi 13 (Peubah Acak Poisson)

Peubah acak X dikatakan menyebar Poisson dengan parameter �, jika memiliki fungsi massa peluang

( )

( , ) ; 0,1, 2, ... !

x

X

e

p x x

x 

 



 

dengan �> 0.

Definisi 14 (Sebaran Multinomial)

Peubah acak diskret ₁, ₂,…, disebut menyebar multinomial dengan parameter n dan 1, 2,…, , n adalah bilangan bulat positif, 0 < < 1 untuk semua = 1,2,…,

dan ₁+ ₂+⋯+ = 1, jika fungsi massa peluangnya

, ,...,

1 2 ( ,1 2,..., )

X X X k k

p x x x 





1 2 1 2

! ...

, 1, 2, ..., ! !... !

0 , lainnya .

k k

x x x

i n p p p

x k

x x x













Nilai Harapan, Ragam dan Momen

Definisi 15 (Nilai Harapan)

(i) Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari , dinotasikan dengan ( ), adalah

( ) _X

( )

x

E X 



x P

x

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan X tidak ada.

(ii)Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang � , maka nilai harapan dari , dinotasikan dengan ( ), adalah

( ) _X( )

E X x f x dx









jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan X tidak ada.

Definisi 16 (Ragam)

Ragam dari peubah acak adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara peubah acak dengan nilai harapannya. Dapat dituliskan

2

2 2

( ) [ ( )] ( ) [ ( )] Var X E X E X

E X E X

 

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka ragam dari X tidak ada.

Definisi 17 (Momen)

(i) Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka momen ke-k dari X, dinotasikan dengan

( ), adalah

( k) k

( )

X x

E X 



x P

x

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka momen dari X tidak ada.

(ii)Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang � , maka momen ke-k dari X, dinotasikan dengan ( ), adalah

( k) k _X( )

E X x f x dx









jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka momen dari X tidak ada.

(13)

Definisi 18 (Fungsi Pembangkit Momen)

Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak

Xdidefinisikan sebagai

( ) ( )

X

tX M t E e

untuk ∈ ℝ sehingga nilai harapan di atas ada.

Proses Stokastik

Definisi 19 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X= , ∈ adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state (state space) .

(Ross 1996)

Definisi 20 (Proses Pencacahan)

Proses stokastik , 0 disebut proses pencacahan (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian (events) yang telah terjadi sampai waktu .

(Ross 1996) Catatan:

Proses pencacahan harus memenuhi: 1. ( ) 0,

2. Nilai adalah integer, 3. Jika < , maka ,

4. Untuk < , maka − sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval ( , ].

Definisi 21 (Inkremen Bebas)

Suatu proses pencacahan dikatakan memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang

terjadi pada sebarang dua interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

(Ross 1996)

Definisi 22 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan , 0

disebut proses Poisson dengan intensitas �,

�> 0 jika: 1. 0 = 0,

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas, 3. Banyaknya kejadian pada sebarang

interval waktu dengan panjang , memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan (mean) � . Jadi, untuk semua > 0 dan

> 0, maka

( ) ( ( ) ( ) )

! n t t P N t s N s n e

n

 



   

untuk = 0,1,…

(Ross 1996)

Definisi 23 (Proses Compound Poisson)

Suatu proses , 0 disebut proses compound Poisson jika proses tersebut dapat dinyatakan sebagai

 

0

, 0

N t

i i

Y t X t







dengan , 0 adalah suatu proses Poisson dengan laju � dan 1, 2,… adalah suatu barisan peubah acak independent and identically distribution (i.i.d) dengan suatu fungsi sebaran F, yang juga bebas terhadap { }.

(14)

PEMBAHASAN

Menurut sejarah, ada dua model dari suatu

risiko, yaitu model risiko individu dan model risiko kolektif. Model risiko individu dapat diperoleh dari banyaknya barang yang diasuransikan dan kerugian dari barang tersebut. Banyaknya klaim secara keseluruhan dapat diperoleh dengan menjumlahkan semua polis yang terdapat pada portofolio. Sedangkan untuk memodelkan sebuah risiko kolektif, dapat diasumsikan bahwa klaim yang diajukan merupakan suatu peristiwa yang terjadi secara acak. Dalam portofolio, model risiko kolektif lebih mudah dipahami daripada model risiko individu. Berikut ini adalah bentuk dari model risiko kolektif seperti yang terdapat dalam Bowers et al. (1997).

Misalkan:

N= banyaknya klaim yang dihasilkan dari portofolio polis pada waktu tertentu. i

X = besarnya klaim ke-i i, 1, 2,..,N Sehingga, model risiko kolektif dapat ditulis-kan seperti berikut

1 2 ... N

.

SX X  X

(1) Secara umum, model (1) merepresentasi-kan klaim secara keseluruhan dari portofolio pada suatu periode waktu. Model ini sering disebut dengan jumlah acak dari klaim ke-i. Peubah acak menyatakan banyaknya klaim dan memiliki keterkaitan dengan frekuensi klaim. Peubah acak 1, 2, . . , menyatakan besarnya klaim ke-i. Agar model lebih mudah untuk diselesaikan, diperlukan dua asumsi pokok, yaitu:

1. Peubah acak ₁, ₂, . . , memiliki sebaran yang sama.

2. Peubah acak dan , = 1,2, . . ,

saling bebas.

Proses Compound Poisson

Salah satu sebaran dari peubah acak N (banyaknya klaim) adalah sebaran Poisson dengan fungsi massa peluang

( ) , 0,1, 2, ... !

n e

P N n n

n       (2) dengan 0.

Nilai harapan dan ragam dari sebaran Poisson berturut-turut adalah

[ ] [ ] . E N Var N 

Dimisalkan bahwa 1 dan 2 adalah nilai harapan dan momen ke- 2 dari , dapat dinyatakan

2

1 2

[ ]

,

[ ]

.

E X  p E X p

Jika peubah acak N (banyaknya klaim) memiliki sebaran Poisson, maka peubah acak S pada persamaan (1) memiliki sebaran compound Poisson. Sehingga, nilai harapan dan ragam dari sebaran ini adalah

1 [ ] E S p

(3) dan

2 [ ] Var S p .

(4)

Bukti (3)

Diketahui: = ₁+ ₂+⋯+ , dengan 1, 2,… menyebar i.i.d dan N menyebar Poisson.

Akan dibuktikan: =� 1. 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 [ ] [ ( | )] [ ( | )] [ | ] ( ) [ ] ( ) [ ( )] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]. [ ]

.

N N i i i n i n i n _ni

i n i

n

E S E E S N E E X N E X N n P N n E X P N n

E X P N n np P N n

p nP N n p E N E S p

            _                



 



Bukti (4)

Diketahui: = ₁+ ₂+⋯+ , dengan 1, 2,… menyebar i.i.d dan N menyebar Poisson.

Akan dibuktikan: � =� 2.

2

2 2 2

1 2

0 1

0 1 1

2 2 2

1 0

2 2 2

1 0 0 2 2 [ ] [ ( | )] [ (( ) | )] [( ) | ] ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )( ) ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) . [ ] ( )

(

N N i i i n i

n n n

i i j

n i i i j

i n

n n

E S E E S N E E X N

E X N n P N n

E X E X E X P N n

nE X n n p P N n

E X nP N n p n n P N n

E S E X 

p

           _ _                     



 





2 2

(15)

2 2

2 2 2

1 2 1

2 2 2

1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

2 2 2

1 1 [ ] [ ] ( [ ]) ( ) ( ) { [ ] } ( [ ] ) ( ) ( ) { [ ] } ( ( [ ]) ) ( ) ( ) { [ ] ( [ ]) } ( ) ( ) { [ ] ( [ ]) } ( ) ( ) { [ ] } ( ) ( ) [ ] ( ) (

Var S E S E S

E X p E N

E N p

E X p E N

p E N

E X p

E N E N

E X p

E N E N

E X p Var N

E X p Var N p

E                                     

 2 2 2

1 1

2 2

2 1 1

2 [ ] ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) [ ]

.

X p p

p p p

Var S p

         

Fungsi pembangkit momen dari sebaran Poisson adalah:

( 1) ( ) t

.

N

e M t e 

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran compound Poisson dapat diperoleh dengan mensubstitusikan fungsi pembangkit momen Poisson pada persamaan berikut

log ( )

( ) [ ] [ [ | ]]

[ ( ) ]

[ ].

( ) [log ( )].

X

N X

N X N M t

tS tS

S

M t E e E E e N

E M t

E e

M t M M t

 



 (5)

Sehingga, fungsi pembangkit momen untuk sebaran compound Poisson, dapat dituliskan sebagai berikut:

log ( )

( )

( ( ) 1)

1

( ) (log ( ))

( )

.

N X

X

S

M_X t M t

e

M t M M t

M t e e       (6) Sebaran Poisson hanya dapat digunakan apabila nilai rata-rata (harapan) dari klaim sama dengan nilai ragam. Namun, jika nilai ragam dari klaim lebih besar dari nilai harapan, maka sebaran yang digunakan untuk peubah acak N (banyaknya klaim) adalah sebaran binomial negatif dengan fungsi massa peluang

1

( ) , 0,1, 2, ...

1

r n n r

P N n p q n

r      













(7)

dengan

0, 0 1, 1 . r  p q p

Nilai harapan dan ragam dari sebaran binomial negatif berturut-turut adalah

2

[ ] rq

,

[ ] rq

E N Var N

p p

 



Dimisalkan bahwa 1 dan 2adalah nilai harapan dan momen ke-2 dari , dapat dinyatakan

2

1 2

[ ]

,

[ ] .

E X p E X p

Jika peubah acak N (banyaknya klaim) memiliki sebaran binomial negatif, maka peubah acak S pada persamaan (1) memiliki sebaran compound binomial negatif. Sehingga, nilai harapan dan ragam dari sebaran ini adalah

1 [ ] rq

E S p

p  (8) dan 2 2

2 2 1

[ ] rq rq

.

Var S p p

p p

 

(9)

Bukti (8)

Diketahui: = 1+ 2+⋯+ , dengan 1, 2,… menyebar i.i.d dan N menyebar binomial negatif.

Akan dibuktikan: E S[ ] rq p₁

.

p  1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 [ ] [ ( | )] [ ( | )] [ | ] ( ) [ ] ( ) [ ( )] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]. [ ]

.

i N N i i i n i n i n i n n i n n

E S E E S N E E X N

E X N n P N n

E X P N n

E X P N n np P N n

p nP N n p E N rq

E S p

p                             



 



Bukti (9)

Diketahui: = 1+ 2+⋯+ , dengan 1, 2,… menyebar i.i.d dan N menyebar binomial negatif.

Akan dibuktikan:

2 2

2 2 1

[ ] rq rq

.

Var S p p

p p

(16)

2 2 2 1 2 0 1 2 1 0 1

2 2 2

1 0

2 2 2

1 0 0 2 [ ] [ ( | )] [ (( ) | )] [( ) | ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ N i i N i n i n i i n n n i j

i i j

i n

n n

E S E E S N E E X N

E X N n P N n

E X

P N n E X E X

nE X n n p P N n

E X nP N n p n n P N n

E S                                



































 







2 2 2

1

] E X( )rq

(

)

{ [ ]E N rq}.

p

  

2

2 2 2

1 2 1

2 2 2

1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 [ ] [ ] ( [ ]) ( ) ( ) { [ ] } ( [ ] ) ( ) ( ) { [ ] } ( ( [ ]) ) [ ] ( ) ( ) ( [ ]) Var S E S E S

rq rq

E X p E N

p p

E N p

rq rq

E X p E N

p p

p E N

rq E N rq

p

E X p

p E N              

















2 2 2 2

1

2 2

1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 2 1

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2 1

( ) ( ) { [ ] ( [ ]) } ( ) ( ) { [ ] } [ ] ( ) [ ] ( ) ( [ ] ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) [ ]

.

rq rq

E X p E N E N

p p

rq rq

E X p Var N

p p

rq rq

E X p Var N p

p p

rq rq

E X p p

p p

rq rq

p p p

p p

rq rq

Var S p p

p p                  

Fungsi pembangkit momen dari sebaran binomial negatif adalah:

1

( )

(

t

) .

r N _e p M q

t





Fungsi pembangkit momen untuk sebaran compound binomial negatif dapat diperoleh dengan mensubstitusikan fungsi pembangkit momen binomial negatif pada persamaan (5). Sehingga, fungsi pembangkit momen untuk

sebaran compound binomial negatif, dapat dituliskan:

log ( )

( ) (log ( )) )

1

(

MX t

r

S N X _e

p

M t M M t

q







( ) ( )

1 ( )

.

r S X p M t qM t   (10)

Sifat Compound Poisson

Sebaran compound Poisson memiliki tiga sifat, yaitu:

1. Jika setiap peubah acak menyebar compound Poisson, maka jumlah dari setiap peubah acak tersebut juga menyebar compound Poisson.

2. Jika peubah acak S dinyatakan SX N1 1X N2 2 ... X Nm m,

maka peubah acak S memiliki sebaran compound Poisson.

3. Jika total klaim berupa bilangan bulat positif, maka untuk mengevaluasi sebaran dari total klaim tersebut digunakan metode rekursif.

Berikut ini akan dijelaskan secara detail sifat-sifat dari sebaran compound Poisson. 1. Jika setiap peubah acak menyebar

compound Poisson, maka jumlah dari setiap peubah acak tersebut juga menyebar compound Poisson.

1 1

( ) ( ) exp{ [ ( ) 1]}

m

i

m

S S i i

i i

M t M t  M t

 











1

( ) exp [ ( ) 1]

.

m i

S i

i

M t   M t





















(11) Agar sifat pertama terpenuhi, maka diperlukan Teorema berikut:

Teorema 1

Jika peubah acak 1, 2,…, saling bebas, dan menyebar compound Poisson dengan parameter � dan fungsi kepekatan peluang dari klaim � , = 1,2, . . . , maka 1+

2+⋯+ , menyebar compound Poisson dengan 1 m i i    



(12) 1 ( ) ( ) . m i i i

P x  P x 





(17)

Bukti Teorema 1

Diketahui:  S_i

~

CP( )_i

 Berdasarkan persamaan (6), maka





( ) exp ( ( ) 1)

.

i

S i i

M t   M t 

Akan dibuktikan:

1 2 ... m

~

( )

SS S  S CP  , maka

1

( ) exp [ ( ( ) 1)]

.

m

i

S i

i

M t   M t

  





























2 1 2 1 1 2 1 2 ( ... ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )... ( ) ( )

exp[ ( ( ) 1)] exp ( ( ) 1) ( ) exp ( ( ) 1)

.

m m m m i tS S tS tS i i i i i S i

t S S S tS

tS tS tS

S S S

m S i m i m i m i

M t E e E e E e e e E e E e E e M t M t M t

M t M t M t

M t M t

                      



















(14) Persamaan di atas, memiliki dua peranan penting dalam memodelkan suatu klaim asuransi. Pertama, jika m_portofolio di-kombinasikan dan klaim majemuk untuk setiap portofolio menyebar compound Poisson dan saling bebas, maka klaim majemuk dari portofolio yang dikombinasikan juga menyebar compound Poisson. Kedua, misal sebuah portofolio tunggal dengan jangka waktu m_{tahun. Diasumsikan klaim} agregat tahunan untuk jangka waktu m_tahun dan klaim majemuk tiap tahun saling bebas dan menyebar compound Poisson. Sebaran tahunan untuk klaim majemuk tidak harus selalu sama. Maka menurut Teorema 1, total klaim untuk jangka waktu m_{tahun menyebar} compound Poisson.

2. Jika peubah acak S dinyatakan 1 1 2 2 ... m m, SX N X N  X N

maka peubah acak S memiliki sebaran compound Poisson.

Misalkan pada kasus berikut, 1, 2,..., m

X X X : menyatakan peubah acak diskret dari sejumlah klaim

( ) i p xi





, ( )p xi : menyatakan peluang untuk setiap

x

i,i1, 2,...,m ₍₁₅₎

i

N : peubah acak tak bebas yang menyatakan banyaknya klaim

Peubah acak Sdinyatakan sebagai 1 1 2 2 ... m m

.

SX N X N  X N

(16) Maka menurut Teorema 2 berikut, peubah acak S_menyebar compound Poisson dan saling bebas. Namun, untuk dapat meng-gunakan Teorema 2 diperlukan pemahaman dasar mengenai sebaran multinomial.

Teorema 2

Jika peubah acak S seperti pada persamaan (16) menyebar compound Poisson dengan parameter  dan fungsi peluang klaim diskret seperti pada persamaan (15), maka

a. N N₁, ₂,...,Nm saling bebas.

b. N_i menyebar Poisson dengan parameter , 1, 2,..., .

i i i m





 

Bukti Teorema 2

Diketahui:

 SX N₁ ₁X N₂ ₂ ... X N_m _m

.

 1 1

.

m i i



 



 0 exp( ) !

.

n n x x n   



 Fungsi peluang dan fungsi pembangkit momen untuk sebaran multinomial adalah



1 2



1 1 2 2

1 2 1 2 ! ... ( , , ..., ) ! !... ! m m m m n n n m n

P N n N n N n

n n n

  

   



1 2



1 2

1

exp ... m

.

n m m t t t i i i

E t N e  e  e

    























Akan dibuktikan:

 



exp



exp



ti 1



.

i i

E tN 





 e 













1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 0 1 2 0 ( ) ... !

exp( ) ...

! exp exp exp m m m m

i i i i

i i m i i n i n n t t t m n n n t t t m n

P N n

e

e e e

n

e e e

n

E t N E E t N N

E t N N n

(18)

1 0

1

exp( )

exp( ) exp(

! ) i i n m t i i n m t i i e n e   

 



       





















 

1 1 1 1

exp( ) exp( )

exp exp 1 17

.

i i m m t

i i i

i i m m t i i i i e

E t N e

            





































Fungsi pembangkit momen seperti yang terdapat pada persamaan (17) menunjukkan adanya kebebasan untuk setiap . Sehingga, jika dimisalkan bahwa = maka fungsi pembangkit momen pada persamaan (17) akan menjadi

 



exp



exp



i 1



.

i

t i

E tN 





 e 





(18) 3. Jika total klaim berupa bilangan bulat positif, maka untuk mengevaluasi sebaran dari total klaim tersebut digunakan metode rekursif berdasarkan Teorema berikut.

Teorema 3

Untuk setiap total klaim dimana sebaran dari fungsi peluang N(menyatakan banyaknya klaim), harus memenuhi persamaan berikut

( )

( 1)

P N n b

a

P N n n



   

 

 

 

, n1, 2, ...

Maka, fungsi sebaran

1

( ) ( ) ( )

x

s s

i

f x

a

bi

p i f x i

x

 



















(19) 1, 2,... x

nilai awal untuk sebaran di atas (0) ( 0) .

s

f P N

Untuk membuktikan Teorema ini, diperlukan lemma berikut.

Lemma

Untuk peubah acak tak negatif 1, 2,…, yang menyebar i.i.d, maka berlaku Persamaan berikut

* *( 1)

1

( ) ( ) ( )

x

n n

i

x x i

p p i p 







1

* *( 1)

( ) ( ) ( ) .

x

i

n n n

x x i

x

p ip i p











Bukti (lihat Lampiran 1).

Famili sebaran untuk banyaknya klaim dapat diperumum dengan asumsi bahwa peubah acak Poisson dengan parameter 

memiliki fungsi kepekatan peluang u( ) dengan �> 0 dan sebaran bersyarat N menyebar Poisson dengan parameter �_dimana



  . Asumsi ini hanya dapat diterapkan pada situasi tertentu. Misalnya, penentuan tingkat premi yang disesuaikan dengan klasifikasi risiko. Semakin tinggi klasifikasi risiko, maka tarif premi semakin tinggi. Untuk pendugaan klasifikasi risiko dapat diduga dari banyaknya klaim yang menyebar Poisson dengan nilai �_{yang berbeda-beda. Frekuensi} relatif dari nilai � ini dapat dinotasikan sebagai (�), dengan menggunakan hukum total peluang, diperoleh fungsi peluang seperti berikut:

0

( ) ( | ) ( )

P N n P N n   u d

  



   0 ( ) ( ) . ! n e

P N n u d

n _      



(20) Sehingga, nilai harapan dan ragam dari sebaran ini adalah

[ ] [ [ | ]] [ ]

E N E E N  E (21) dan

[ ] [ [ | ]] ( [ | ]) [ ] [ ].

Var N E Var N Var E N

E Var

   

Maka fungsi pembangkit momen

( 1)

( ) [ ] [ [ | ]] [ ]

t

tN tN e

N

M t E e E E e  E e 

( ) ( t 1) .

N

M t M_ e 

(22) Keterangan:

( 1)

[ [ tN | ]] et

.

E e  e 

Berdasarakan asumsi bahwa N menyebar Poisson dengan parameter , maka dapat terlihat bahwa Var N[ ]E N[ ].

Proses Compound Generalized Poisson

(19)

parameter � dan �, jika memiliki fungsi massa peluang

 

1

( )

( ) ( , )

!

0,1, 2, ... 23

n n n

n

P N n p e

n

 

  

 



 



  



dengan 0 



1_dan



0.

Dalam asuransi, aplikasi dari sebaran ini dapat ditemukan pada model kerugian, seperti yang terdapat dalam Gerber (1990). Consul (1989) menjelaskan secara detail berbagai macam peristiwa yang terjadi dan mekanisme yang digunakan untuk menyelesaikan setiap peristiwa. Salah satu mekanisme yang digunakan adalah proses bercabang.

Proses bercabang merupakan salah satu bentuk khusus dari rantai Markov dengan waktu diskret , = 0,1,2,… yang ruang statenya adalah bilangan bulat tak negatif. Pada proses ini, disebut sebagai ukuran populasi pada waktu n. Jika , = 1,2,…, ₋₁menyatakan banyaknya keturun-an yketurun-ang dihasilkketurun-an oleh individu ke-i pada generasi ke-(n-1), maka ukuran populasi pada generasi ke-n dapat dituliskan sebagai berikut

   1

1

1 2

1

...

.

n

X

n X i

i

X Z Z Z Z

 



    



Dalam karya ilmiah ini proses bercabang yang digunakan adalah proses bercabang Galton-Watson, yaitu proses yang sering digunakan untuk menerapkan beberapa permasalahan dalam bidang asuransi. Pada proses ini akan dimodelkan suatu proses penyebaran dan peluang risiko terinfeksi penyakit X. Dimisalkan terdapat M individu yang terkena penyakit X. Setiap individu ini akan menularkan penyakitnya kepada

, = 1,2,…, individu, dan setiap individu ini akan menularkan penyakitnya kepada , = 1,2,…, individu, dan begitu seterusnya.

Jika peubah acak M memiliki sebaran Poisson dengan parameter � , dan , ,…

merupakan peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter � , maka total banyaknya individu

yang terinfeksi penyakit ini menyebar generalized Poisson dengan parameter � dan

�. Parameter � dan � adalah bilangan bulat tak negatif. Asumsikan bahwa �< 1 untuk memastikan bahwa peluang dari N_{tidak lebih} dari 1.

Misalkan peubah acak menyatakan total banyaknya individu yang tertularkan oleh

orang ke-i, termasuk dirinya sendiri, dan peubah acak _{menyatakan total banyaknya} individu yang tertularkan oleh orang ke-j_yang tertularkan oleh orang ke-i, = 1,2,…, ,

termasuk dirinya sendiri. Sehingga, dengan jelas dapat dinyatakan bahwa peubah acak dan _{memiliki sebaran yang sama.} Persamaan dapat dituliskan sebagai berikut:

1

.

i

ij

L

i j

B B



 



(24) Jika peubah acak dan dapat dinyatakan sebagai B, maka, nilai harapan, ragam serta fungsi pembangkit momen dari persamaan (24) adalah:

Nilai harapan 1 [ ]

1 E B

 





(25) Ragam





2

3 [ ] [ ]

1 [ ]

1 Var B E B

E B 

  





(26)

Fungsi pembangkit momen dari persamaan (24)

 



 



( _B 1)

i

G u

B L B

G u uG G u ue 

 

B

 

t t u G u , maka ute t1

.

₍₂₇₎

Bukti (lihat Lampiran 3). Keterangan :

 Nilai harapan, ragam, dan fungsi pembangkit momen dari persamaan (24) dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa sifat dari sebaran compound Poisson seperti yang terdapat pada pembahasan sebelumnya.

 Peluang � = , pada persamaan (27) merupakan koefisien dari deret kuasa yang dinyatakan dalam .





  

1

, 1, 2, ... !

i i

i e

P B i i

i



  

  

Bukti (25)

Diketahui:

dan dapat dinyatakan sebagai B dan

, ,…~� �

Akan dibuktikan: [ ] 1 1 E B

 

(20)

 

















1 0 1 0 1 1 1 1 i i i i i

i i i

L

ij i j L

ij i i i i

l j

l

ij i i

l j

E B E E B L

E E B L

E B L l P L l

E B P L l

                

 











 





























 

 





 





 





 

0 1 0 0 1 1 1 1 1

.

i i i i i i l

ij i i l j

i ij l

ij i i i l

ij i

i ij

E B P L l

l E B P L l

E B l P L l

E B E L

E B E B

                   





















 



Dimisalkan dan dapat dinyatakan sebagai B, sehingga nilai harapannya

[ ] 1 [ ] [ ] [ ] 1

E B E B

E B E B    

 





[ ] 1 1 1 [ ] 1 E B E B      



Total banyaknya individu yang terinfeksi penyakit ini dapat dituliskan sebagai berikut: 1

.

i M i N B  



(28) Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa peubah acak N memiliki sebaran generalized Poisson. Sehingga, nilai harapan dan ragam dari persamaan ini adalah sebagai berikut Nilai harapan:

 

1

E N 

 

 (29) dan Ragam:

 





3

1

Var N 









(30)

Bukti (28)

Diketahui:

dan dapat dinyatakan sebagai B,

 

~

M P  , dan [ ] 1 1

.

E B

 



Akan dibuktikan:

 

1

E N 

  



 

















  



 









 





1 0 1 0 1 0 1 0 0 M i i M i m i M i m i M i m i i m i m

E N E E N M E E B M

E B M m P M m

E B P M m

E B P M m

mE B P M m

E B mP M m

                          

 











 









































 



   

 

1

.

E B E M

E N 





 



Algoritme Rekursif untuk Fungsi Peluang

dari Sebaran Compound Generalized

Poisson

Banyaknya total klaim dalam perusahaan asuransi memiliki peranan yang lebih penting dibandingkan dengan banyaknya klaim yang ada. Jika peubah acak , = 1,2,…,

menyatakan besarnya klaim yang diberikan oleh perusahaan asuransi sesuai dengan peristiwa yang terjadi, maka peubah acak S dapat dinyatakan sebagai peubah acak compound generalized Poisson �,� dan dapat dituliskan sebagai berikut

1

.

N i i S Z 





(31) Keterangan:

 Peubah acak N_dan , = 1,2,…,

saling bebas.





Z ii, 1, 2,...,N



= Bilangan bulat positif dan memiliki sebaran yang sama dan saling bebas.

(21)

nilai peubah acak N yang cukup besar dan memiliki sebaran diskret. Sehingga, peluang risikonya dapat dinyatakan � = ,

= 0,1,2,…, −1.

Peluang risiko yang diperoleh dari proses rekursif pada karya ilmiah ini dapat dinyatakan sebagai koefisien dari fungsi pembangkit momen . Berdasarkan fakta yang ada, bahwa sebaran GP �,� dapat dipandang sebagai perpaduan antara sebaran compound Poisson � dan sebaran Borel � . Sehingga, persamaan (31) dapat dituliskan

1 M i i S Y 





dimana 1

.

i i B ij j Y Z  



(32) Keterangan:

M= Peubah acak Poisson

 

 i

B = Peubah acak Borel

 

 ij

Z = Besarnya klaim

~

i

Y compound Borel.

Dalam memodelkan peluang risiko terinfeksi penyakit X_{, diketahui bahwa peubah} acak N_{memiliki sebaran} GP �,� , dan peubah acak S_{dapat dinyatakan seperti pada} persamaan (31). Maka, peubah acak

S

memiliki sebaran compound generalized Poisson. Sehingga, berdasarkan persamaan (27) fungsi pembangkit momen dari sebaran compound generalized Poisson ini dapat dinyatakan dalam bentuk implisit seperti berikut

 



GBGZ u1



 t 1 S

G u e  e  dengan t sama seperti

 1

 

.

t

Z te  G u

(33) Berdasarkan fungsi pembangkit momen pada persamaan (33), maka sangat mungkin untuk mengetahui model peluang risiko terinfeksi penyakit X. Untuk memperoleh peluang tersebut, diperlukan dua langkah berikut, yaitu :

1. Langkah pertama dan merupakan langkah terpenting, yaitu:

Tentukan terlebih dahulu koefisien dari

. Total dari koefisien dapat digunakan untuk menentukan fungsi peluang dari peubah acak yang memiliki sebaran Borel. Koefisien dari

dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:

 Diferensialkan persamaan (33) terhadap u sehingga diperoleh

 

1 Z Z t u G u t u

t u G u     



(34) Bukti (lihat Lampiran 5)

Notasikan turunan di atas dengan menggunakan deret kuasa

 

1

;

n n n

t u  u 





 

0

1

;

n n n t u u u

t u 

    



 

0

1

.

n Z n n Z G u r u

G u u

   



(35) Karena koefisien pada kedua ruas persamaan harus sama, maka diperoleh persamaan

 1





0

1

.

n

j n j n j n r  _  _   



(36) Bukti (lihat Lampiran 5).

 Koefisien bergantung pada fungsi peluang dari peubah acak Z. Fungsi peluang tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut

pn P Z



i n



,i1, 2,...asumsikan bahwa ₁> 0. Sehingga

 

1

.

n Z n n

G u p u







(37) Berdasarkan persamaan (37) dan (35),

dan dengan membandingkan koefisien dengan

 

Z Z G u G u 

, maka diperoleh persamaan berikut





_ _   1 0 0 1 0 1 1 n n n n n n n n n

n p u

r u u

u p u

          







_ ₁_ ₁

0 1

n

j n j n

j

n p _ r p _{ }

  



0,1, 2,... n (38) Maka dapat dinyatakan sebagai berikut





_{ }1 1 1

0 1

1

n

n n j n j

j

r n p r p

p      





 











0,1, 2,...

n ₍₃₉₎

(22)

dapat diperoleh dengan menggunakan teknik yang sama seperti pada persamaan (38). Tulis kembali persamaan (35), sehingga diperoleh persamaan berikut :

1 0

0

1

1 1

1

k k

k k k k k

n

n n k k n

k

u u

u 



 

   



 

 



 



 



 



0,1, 2,... n

(40) Bukti (lihat Lampiran 7).

Berdasarkan persamaan (39), diperoleh 0= 1, maka persamaan (36) dapat dinyatakan :

 





1

0

1 1

1 n

n j j n

j

n

n k k n k

n r

 

  



 



 



  





Sehingga

 

1

0 1

1

41

.

n n

n j j n k k n

j k

r n

 _  _    _

 



















Peluang dapat diperoleh, jika peluang ₁, ₂,…, dan ₁, ₂,…,

diketahui dengan cara:

 Tentukan terlebih dahulu peluang dari

−1 dengan menggunakan persamaan (40).

 Lalu tentukan +1 dengan meng-gunakan persamaan (41). Jika

� = 0 = 0, maka nilai dari peluang dari 1

 



 

₁



₁

1

1 1

B

i i

P B P Z

P Z p e





 





 

dengan 1> 0 dan 1> 0. 2. Langkah kedua, yaitu:

Setelah menghitung koefisien dari 1, 2,…yang merupakan peluang dari peubah acak , gunakan formula rekursif Panjer untuk menghitung peluang S untuk kasus Poisson � . Jika diketahui bahwa



0





0



P S  P N  e maka









1 s

j j

P S s j P S s j

s 





 



 

1, 2,...

s ₍₄₂₎ Keterangan :

i

 peluang dari peubah acak , 1, 2,...

i Y i

(23)

SIMPULAN

Peluang risiko dapat dimodelkan dengan

menggunakan sebaran compound generalized Poisson yaitu dengan menggunakan algoritme rekursif. Dengan kata lain, sebaran compound generalized Poisson dapat digunakan sebagai sebaran alternatif dari sebaran compound Poisson dan sebaran compound binomial negatif yang biasanya digunakan untuk memodelkan suatu peluang risiko. Sebaran compound generalized Poisson hanya akan berlaku jika terjadi overdispersed pada suatu sebaran data.

Pemodelan peluang risiko secara rekursif dipengaruhi oleh koefisien dari fungsi pembangkit momen. Algoritme rekursif yang digunakan, yaitu dengan menentukan terlebih dahulu koefisien dari fungsi pembangkit momen, yang jika dijumlahkan akan menjadi model peluang dari sebaran Borel � . Langkah terakhir, gunakan formula rekursif Panjer untuk mengevaluasi sebaran Poisson

(24)

DAFTAR PUSTAKA

Bowers NL, et al. 1997. Actuarial

Mathematics. Ed Ke-2. The Society of Actuaries.

Consul PC. 1989. Generalized Poisson Distribution : Properties and Application. New York: M Deker, Inc.

Consul PC. 1990. A Model of Injuries in Auto-accidents. Itteilungen der Schweiz Vereinigung der Versicherungs-mathematiker. Heft 1:161-168.

Gerber HU. 1990. When Does The Surplus Reach a Given Target? Insurance : Mathematics and Economics. 9:115-119.

Goovaerts M.J, Kaas R. 1991. Evaluating Compound Generalized Poisson Distribution Recursively. ASTIN Bulletin. 21:193-197.

Gossiaux A, Lemaire J. 1981. Methodes

d’Adjustement de Distribution de

Sinistres. Buletin of the Association of Swiss Actuaries. 81:87-95.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Process. Ed Ke-2. Oxford: ClarendonPress.

Hogg RV, Craig AT, Mckean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed Ke-6. NewJersey: Prentice Hall, Inc. Panjer HH. 1981. Recursive Evaluation of a

Family of Compound Distribution. ASTIN Bulletin. 12:22-26.

Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed. Ke-2. New York: J Wiley & Sons.

Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed Ke-7. California: Academic Press.

Sundt B, Jewell WS. 1981. Further Results on Recursive Evaluation of Compound Distribution. ASTIN Bulletin. 12:27-39. Willmot GE. 1987. The Poisson Gaussian

(25)

(26)

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 3 Diketahui:









 





, 1, 2, ... 1

0 0

S

P N n b

a n

P N n n

f P N

       

 

 

 

1, 2, ...., N

X X X menyebar bebas stokastik identik.

 





*

 

1

n S

n

f x P N n p x









 

* 1





* 1 x n n i

p x p i p  x i







 

* 1





* 1

.

x n n i n

p x ip i p x i

x   



 Akan dibuktikan:

 

  



1

, 1, 2, ...

x

S S

i

bi

f x a p i f x i x

x  







 

 



 



 



Bukti:





b



1



P N n a P N n

n  







 

 



 



 

 





*

 

1 n S n

f x P N n p x

  





 





 





 





 





 









 





 





 





 





  * 1 1 * 1 1 * 1 * * 1 1 * 1

1 1 1

* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x n i x n i n S n n n n n x n

n i n

x n

n i

b

f x a P N n p x

n

b

aP N