Perhitungan Cross Section Hamburan Elektron-Atom Dengan Menggunakan Analisis Gelombang Parsial

PERHITUNGAN CROSS SECTION HAMBURAN ELEKTRON-ATOM DENGAN MENGGUNAKAN ANALISIS GELOMBANG PARSIAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

TONI APRIANTO MANIK 050801043

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : PERHITUNGAN CROSS SECTION HAMBURAN ELEKTRON-ATOM DENGAN MENGGUNAKAN

ANALISIS GELOMBANG PARSIAL

Kategori : SKRIPSI

Nama : TONI APRIANTO MANIK

Nomor Induk Mahasiswa : 050801043

Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 7 September 2010

Diketahui

Departemen Fisika FMIPA USU Pembimbing Ketua,

NIP. 195510301980031003 NIP. 194806101976031003

PERNYATAAN

PERHITUNGAN CROSS SECTION HAMBURAN ELEKTRON-ATOM DENGAN MENGGUNAKAN ANALISIS GELOMBANG PARSIAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 7 September 2010

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang pemurah dan Maha Penyanyang, dengan limpah kurnia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Dalam penulisan skripsi ini penulis menyadari bahwa apa yang penulis dapatkan di bangku perkuliahan belumlah apa-apa dibandingkan dengan ilmu fisika. Penulis juga menjadi terbuka wawasannya dan menyadari bahwa ilmu fisika, khususnya fisika teori terus berkembang selama manusia dapat berpikir. Kesadaran penulis akan hal itu menyebabkan penulis dipenuhi semangat untuk berkreasi mengembangkan teori yang telah ada. Sekarang setelah penulis merampungkan skripsi ini, penulis menyadari bahwa dibutuhkan dua hal agar manusia dapat melakukan sesuatu, yakni Izin Tuhan serta Optimisme manusia tersebut bahwa dia mampu melakukannya.

Dalam penulisan skripsi ini dan masa perkuliahan banyak yang telah berjasa kepada penulis , kepada mereka penulis mengucapkan terima kasih. Adapun ucapan terima kasih penulis tujukan kepada:

1. Tuhan yesus kristus yang begitu baik bagi penulis, memberikan gagasan-gagasan kreatif dalam pikiran penulis.

2. Papa dan mama tercinta, yang tidak henti-hentinya memberi dukungan moral, materi, semangat dan cinta kasih yang tak pernah menuntut balas.

3. Drs. Tenang Ginting M.Si selaku pembimbing penulisan skripsi ini yang telah memberikan banyak masukan dalam penulisan skripsi ini, bahan perkuliahan dan berbagai pemahaman mengenai berbagai teori,

Departemen Fisika FMIPA USU yang telah membimbing selama perkuliahan, Pegawai di FMIPA USU.

5. Teman-teman mahasiswa khususnya stambuk 2005 yang telah menjadi teman diskusi yang menyenangkan.

Akhirnya penulis berharap agar skripsi ini dapat memberikan gagasan-gagasan baru bagi yang membacanya sehingga skripsi ini memberikan suatu kontribusi bagi fisika serta dapat menjadi batu loncatan bagi penelitian-penelitian lainnya. Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak lepas dari berbagai kesalahan , untuk itu penulis mohon maaf.

ABSTRAK

CROSS SECTION CALCULATION OF ELECTRON-ATOM SCATTERING USING PARTIAL WAVE ANALYSIS

ABSTRACT

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ……….. ii

Pernyataan……… iii

Penghargaan ………... iv

Abstrak ………... vi

Abstract ………... vii

Daftar Isi………... viii

Daftar Gambar ………. x

Bab 1. Pendahuluan ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah ... 1

1.3 Tujuan Penelitian... 2

1.4 Manfaat Penelitian... 2

1.5 Metode Penelitian... 3

1.6 Sistematika Penulisan... 3

Bab 2. Tinjauan Pustaka ... 4

2.1. Struktur Atom... 4

2.3. Definisi Hamburan ... 7

2.3.1. Hamburan Dua Partikel... 7

2.3.2. Kinematika Hamburan Dua Partikel... 8

2.4. Teori Hamburan Elektron ... 9

2.4.1. Definisi Penampang Lintang Hamburan... 9

2.4.2. Hamburan Elektron Oleh Atom... 10

2.5 Amplitudo Hamburan ... 11

2.6 Solusi partikel Bebas dalam Koordinat Bola ...14

2.7 Perluasan Gelombang Bidang ke dalam Gelombang Spheris ... .16

Bab 3. Hasil Dan Pembahasan ... 18

3.1 Analisis Gelombang Parsial ... 18

3.2 Amplitudo Hamburan Gelombang Parsial... 19

3.3 Tampang Lintang Gelombang Parsial ...20

3.4 Hamburan Oleh Sumur Potensial ... 21

3.5 Pembahasan ... 23

Bab 4. Penutup ... 24

4.1 Kesimpulan ... 24

4.2 Saran ... 24

Daftar Pustaka ... 25

DAFTAR GAMBAR

Halaman

ABSTRAK

CROSS SECTION CALCULATION OF ELECTRON-ATOM SCATTERING USING PARTIAL WAVE ANALYSIS

ABSTRACT

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam memahami interaksi antar partikel, maka yang sering juga dilakukan adalah dengan melakukan hamburan antar partikel ( dengan melakukan tumbukan antar partikel ). Secara garis besar eksperimen hamburan dilakukan dengan membombardir target, yang dapat berupa atom, inti atom atau partikel, dengan partikel lain. Sifat-sifat dan kondisi awal dari partikel proyektil dan target diketahui. Setelah tumbukan, proyektil akan dihamburkan oleh target ke suatu arah. Partikel yang terhambur diterima oleh detektor pada sudut dari arah berkas awalnya. Jadi jumlah partikel yang diterima per detik diukur sebagai fungsi sudut . Partikel masuk dapat menyebabkan suatu reaksi inti terjadi pada target, yang menghasilkan suatu isotop zat radioaktif. Besaran paling penting diukur dalam proses hamburan adalah tampang lintang diferensial (differential cross section) yang menunjukkan kebolehjadian terjadinya hamburan ke sudut tertentu. Tampang lintang total (total cross section) mewakili kebolehjadian untuk segala sudut hamburan. Dalam Perhitungan tampang lintang hamburan digunakan analisis gelombang parsial yang melibatkan penyelesaian persamaan Schrodinger.

Tampang lintang total hamburan elektron diperlukan dalam banyak aplikasi ilmiah dan sangat penting mengembangkan model-model teoritis untuk memahami proses interaksi elektron-atom.

1.2 Batasan Masalah

1. Ketika kita menentukan tampang lintang total (total cross section) dengan metode gelombang parsial digunakan untuk menganalisis kasus hamburan elastic elektron – atom

2. Ketika potensial sentralnya (central potential) mendekati nol pada keadaan stasioner asimtot dari gelombang parsial berperilaku sebagai superposisi gelombang spheris yang datang dan keluar

3. Pergeseran fase (phase shift) menentukan sejumlah fase dari fungsi radial untuk momentum sudut dengan bilangan kuantum yang berbeda untuk potensial

1.3 Tujuan Penelitian

1. Untuk menyelidiki bentuk potensial dari hamburannya dan melihat bentuk geometri dari hasil tampang lintang total (total cross section) dari hamburannya 2. Untuk menyelidiki pengaruh tampang lintang diferensial (diferensial cross

section) terhadap sifat gaya

3. Untuk menyelidiki apakah fungsi gelombang elektron tertarik atau tertolak oleh potensial sentral

4. Untuk menentukan tampang lintang hamburan untuk semua sudut hamburan. Ini dapat dihitung dengan mengintegralkan tampang lintang diferensialnya terhadap sudut azimutnya

1.4 Manfaat Penelitian

1. Dari penelitian ini dapat dipahami proses interaksi yang terjadi antara elektron dan atom target. Tampang lintang total (total cross section) ini menentukan interaksi dinding plasma dan keseimbangan ionisasi dalam plasma.

1.5 Metode Penelitian

Penelitian ini dikerjakan secara teoritis, sehingga kita memerlukan kerangka teoritis yang sudah diakui kebenarannya yaitu model – model standar yang telah ada. Dalam penelitian ini model standar yang digunakan adalah metode gelombang parsial. Model inilah yang digunakan untuk menghitung tampang lintang hamburan elastik elektron – atom.

Karena penelitian ini bersifat teoritis maka diperlukan sumber informasi yang benar dengan memenuhi persyaratan. Sumber informasi ini diperoleh dari buku dan jurnal. 1.6 Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis terbagi menjadi empat bab, dengan penjelasan bab demi bab adalah sebagai berikut,

• Pada bab 1 dikemukakan latar belakang penelitian, batasan masalah, tujuan penelitian, dan metode penelitian yang digunakan.

• Bab 2 merupakan tinjauan pustaka yang membahas mengenai struktur atom, sifat dasar elektron, hamburan dua partikel, teori hamburan elektron, tampang lintang diferensial dan tampang lintang total hamburan, amplitudo hamburan, solusi partikel bebas dalam koordinat bola dan perluasan gelombang bidang ke dalam gelombang spheris.

• Bab 3 berisi hasil dan pembahasan mengenai amplitudo hamburan,tampang lintang total dari hamburan, dan pergeseran fase hamburannya dengan analisa gelombang parsial.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Struktur atom

Struktur atom merupakan satuan dasar materi yang terdiri dari inti atom beserta awan elektron bermuatan negatif yang mengelilinginya. Inti atom mengandung campuran proton yang bermuatan positif dan neutron yang bermuatan netral (terkecuali pada Hidrogen-1 yang tidak memiliki neutron). Elektron-elektron pada sebuah atom terikat pada inti atom oleh gaya elektromagnetik. Demikian pula sekumpulan atom dapat berikatan satu sama lainnya membentuk sebuah molekul. Atom yang mengandung jumlah proton dan elektron yang sama bersifat netral, sedangkan yang mengandung jumlah proton dan elektron yang berbeda bersifat positif atau negatif dan merupakan ion. Atom dikelompokkan berdasarka tersebut. Jumlah proton pada atom menentukan unsur kimia atom tersebut, dan jumlah neutron menentukan isotop unsur tersebut.

2.2. Sifat Dasar Elektron

Elektron adalah partikel subatomik yang bermuatan negatif. Seperti semua partikel, elektron dapat berperilaku seperti gelombang. Pernyataan De Broglie yang menyatakan bahwa partikel dapat bersifat sebagai gelombang telah menginspirasi Schrodinger untuk menyusun model atomnya dengan memperhatikan sifat elektron bukan hanya sebagai partikel tetapi juga sebagai gelombang, artinya dia menggunakan dualisme sifat elektron.

Perilaku elektron seperti gelombang dideskripsikan menggunakan fungsi matematika yang disebut orbital elektron. Tiap-tiap orbital atom memiliki satu set bilangan kuantumnya sendiri, yaitu energi, momentum sudut, dan proyeksi momentum sudut. Tiap orbital hanya dapat diduduki oleh dua elektron, yang harus berbeda dalam bilangan kuantum spinnya.

Untuk menentukan kedudukan suatu elektron di dalam atom digunakan 4 bilangan kuantum:

1. Bilangan kuantum utama (n)

Bilangan kuantum utama menyatakan kulit tempat ditemukannya electron yang dinyatakan dalam bilangan bulat positif. Nilai bilangan itu dimulai dari 1,2,3 dan sampai ke-n.

2. Bilangan kuantum azimuth (l)

Bilangan kuantum azimuth menyatakan subkulit tempat elektron berada dan bentuk orbital, serta menentukan besarnya momentum sudut elektron terhadap inti. Banyaknya sub kulit tempat electron berada bergantung pada nilai bilangan kuantum utama (n). Nilai bilangan kuantum azimuth dari 0 sampai n-1.

Analisis mekanika kuantum menunjukkan bahwa besarnya momentum sudut orbital sebuah electron dalam sebuah atom adalah:

3. Bilangan kuantum magnetik (m)

4. Bilangan kuantum spin (s)

Bilangan kuantum spin menyatakan arah rotasi elektron pada porosnya.

Selanjutnya penyelesaian Schrodinger khusus untuk atom hidrogen yang menampilkan keadaan kuantum, sehingga membantu kita memahami sifat-sifat dasar atom. Atom hidrogen terdiri dari inti bermuatan +e dan sebuah elektron (partikel yang bermuatan –e). Untuk memudahkan, inti atom dianggap diam dan elektron mengelilingi inti karena pengaruh gaya coulumb dari inti. Persamaan schrodinger untuk elektron dalam sistim koordinat kartesian tiga dimensi sebagai berikut:

(2.1) Dengan energi potensial listrik,

(2.2)

Karena energi potensial hanya merupakan fungsi dari maka persamaan schrodinger lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan sistem koordinat bola. Persamaan Schrodinger dalam sistem koordinat bola berbentuk,

(2.3) Dan telah diketahui bahwa operator Laplacian adalah:

Dan dalam koordinat bola menjadi,

Dengan , yang dapat ditulis berbentuk,

memberikan bilangan kuantum l, dan bagi fungsi memberikan bilangan kuantum (solusinya lihat pada lampiran I). (Krane Kenneth, 1992).

2.3. Definisi Hamburan

Ketika sebuah cahaya monokromatik mengenai atau menumbuk sebuah partikel, akan terjadi interaksi tertentu antara cahaya tersebut dengan partikel yang ditumbuknya. Cahaya akan direfleksikan (dipantulkan), diserap (dibiaskan), atau terjadi hamburan (scattering). Sama halnya dengan elektron, ketika seberkas elektron menumbuk suatu target maka elektron akan terjadi interaksi dengan atom target yang ditumbuknya. Elektron akan dihamburkan oleh suatu target ke suatu arah tertentu.

Dalam fisika partikel, interaksi dan sifat-sifat partikel dapat diketahui dari eksperimen hamburan yang meliputi hamburan dan peluruhan partikel (lihat gambar 2.2). Dalam proses hamburan yang diukur adalah penampang hamburan untuk sebuah reaksi tertentu. Sedangkan dalam proses peluruhan yang diukur adalah waktu hidup (life time) dari satu partikel yang meluruh menjadi dua, tiga atau lebih.

Untuk menghitung kedua besaran tersebut, penampang hamburan dan waktu hidup mula-mula kita harus menghitung amplitudo mekanika kuantum dalam proses yang dimaksud. Pada penelitian ini kita akan mempelajari bagaimana menghitung penampang hamburan. Untuk itu, kita akan memahami kembali konsep-konsep dalam mekanika kuantum. (Santoso, L.E, 2004).

2.3.1 Hamburan dua partikel

perubahan keadaan dinamakan hamburan nonelastis (G.Aruldhas, 1984). Fenomena hamburan ini tentu saja telah banyak dikenal, khususnya dalam fisika nuklir dalam mengungkap karakteristik inti atau interaksi antar nukleon dalam inti. Penjelasan tentang hamburan dalam bab ini hanya bersifat singkat sebagai dasar untuk formulasi pada bab-bab selanjutnya.

2.3.2 Kinematika Hamburan Dua Partikel

Kerangka yang digunakan adalah kerangka laboratorium (Lab.) dan kerangka pusat massa (P.M.). Misalkan m1 menyatakan massa partikel 1, digunakan sebagai proyektil,

dan m2 massa partikel 2 digunakan sebagai target. Di dalam kerangka Laboratorium

(Lab.) mula-mula ( sebelum mengalami hamburan ) m1 dan m2 masing-masing

mempunyai momentum k1 dan k2 dimana k2 = 0, dan pada keadaan akhir ( sesudah

mengalami hamburan ) momentum yang dimiliki m1 dan m2 adalah k′1 dan k . Dalam ′2 menghitung proses hamburan sangat memudahkan jika menggunakan momentum relatif ( p ), yang didefinisikan sebagai :

2 1 2 1 2 m m m m − = + 1 k k

p (2.4)

Pada keadaan awal, partikel target berada dalam keadaan diam, k2 = 0. Maka :

1 1 m µ = k

p (2.5)

Dimana µ adalah massa tereduksi. 1 2 1 2 m m m m µ=

[image:21.595.94.493.108.288.2]

Gambar 2.1. Hamburan dalam kerangka laboratorium dan kerangka P.M (Sakurai J.J, 1994).

2.4. Teori Hamburan Elektron

2.4.1. Definisi Penampang Lintang Hamburan

Untuk dapat mendiskripsikan penampang lintang hamburan, maka dapat dimisalkan kasus seperti ini. Anggap seberkas partikel bermassa m bergerak disepanjang sumbu-z dengan kecepatan dan dihamburkan oleh potensial pusat hamburan (target) pada titik asal. Partikel masuk mengalami suatu gaya ketika memasuki bola berjari-jari

,yang merupakan jarak potensial hamburan. Karena interaksi potensial hamburan, partikel masuk dihamburkan ke semua arah. Sudut antara berkas partikel masuk dan partikel terhambur dinamakan sudut hamburan .

Hasil eksperimen hamburan biasanya dinyatakan dalam bentuk tampang lintang diferensial atau tampang lintang total. Misalkan adalah jumlah partikel yang masuk per satuan luas per satuan waktu dan adalah jumlah partikel yang terhambur dalam sudut ruang pada arah per satuan waktu. Maka tampang lintang diferensial didefenisikan sebagai:

(2.7)

Dimana adalah jumlah partikel yang terhambur per satuan sudut ruang.

Sudut ruang dalam arah

Tampang lintang total adalah integral dari tampang lintang diferensial terhadap sudut ruang .

(2.8)

Kedua besaran dan mempunyai dimensi luas dan oleh karena itu dinamakan tampang lintang. Untuk suatu potensial symmetric spheris, tampang lintang diferensial tidak bergantung kepada dan tampang lintang total menjadi:

(2.9) (Ballentine E. Leslie, 1998)

2.4.2. Hamburan Elektron Oleh Atom

digunakan dua pendeketan untuk memperoleh rumusan teoritis dari penampang lintang hamburannya yaitu:

a. Pendekatan statis

Pada pendekatan statis, dianggap perubahan energi elektron yang terjadi dapat diabaikan ( dan adalah besar vektor gelombang elektron setelah dan sebelum hamburan), sehingga hamburan yang terjadi seolah-olah elastik. Namun demikian pendekatan ini tidaklah sama persis dengan hamburan elastik. Pada hamburan elastik, keadaan sistem hamburan sebelum dan setelah tumbukan adalah sama, sedangkan pada pendekatan static, keadaan sistem hamburan sebelum dan setelah tumbukan dapat berbeda, asalkan perubahan energi elektron yang terjadi masih dapat diabaikan.

b. Hamburan hanya bergantung pada besar perubahan vektor gelombang elektron. Untuk energi datang yang rendah konfigurasi elektron pada atom memiliki cukup waktu untuk terpolarisasi oleh medan yang dihasilkan oleh elektron datang tersebut. Juga untuk energi datang rendah terdapat kemungkinan bahwa elektron datang terperangkap dalam atom dan sebagai gantinya sebuah elektron atomik terpancarkan, yang disebut dengan pertukaran elektron.

2.5. Amplitudo hamburan

Persamaan Schrodinger untuk hamburan dua partikel dapat dituliskan sebagai berikut: (2.10) Pada kerangka pusat massa, hamburan ditentukan dengan Hamiltonian yang sama untuk keadaan terikat sistem.

(2.11)

Dalam persoalan ini energi dari sistem adalah positif dan memiliki spektrum yang kontinu. Oleh karena itu kita mengangapnya hamburan elastik (energinya tidak berubah).

Dan persamaan Schrodinger untuk hamburan dua partikelnya adalah:

(2.12)

Pada jarak yang sangat jauh dari penghambur, efek potensial dapat diabaikan dan berkas sejajar partikel yang masuk dapat dinyatakan sebagai gelombang bidang.

(solusinya lihat pada lampiran G) (2.13) Dimana vektor gelombang

Karena berkas partikel masuk bergerak di sepanjang sumbu-z

(2.14)

Detektor sangat jauh dari penghambur maka bentuk asimtot dari gelombang yang terhambur dapat dinyatakan sebagai gelombang spheris

(2.15)

Dengan dinamakan amplitudo hamburan. Untuk potensial symmetrik spheris, amplitudo hamburan hanya bergantung pada

(2.16)

Secara umum solusi asimtot gelombang dapat ditulis sebagai berikut:

Selanjutnya kita akan melihat hubungan antara amplitudo hamburan dan tampang lintang diferensial . Probabilitas rapat arus ditulis sebagai berikut:

(2.18)

Flux gelombang partikel yang masuk didefinisikan sebagai

(2.19.a)

(2.19.b)

Dan, flux gelombang partikel yang terhambur didefinisikan sebagai

(2.19.c)

Dengan menggunakan koordinat spheris, maka komponen radial dari flux gelombang terhambur menjadi:

(2.19.d)

Atau

(2.19.e)

Persamaan(2.19.e) menunjukkan probabilitas partikel hamburan yang melewati area bola berjari-jari (pada limit

(2.19.f)

(lihat lampiran H) (2.20) Jadi, secara eksperimen amplitudo hamburan dihubungkan dengan observable tampang lintang diferensial.

(G.Aruldhas, 1984)

2.6. Solusi partikel bebas dalam koordinat bola

Kebanyakan fenomena hamburan memiliki potensial yang invarian secara rotasional. Jadi fungsi gelombang total dapat kita tulis ke dalam eigenstate momentum sudut seperti berikut:

(2.21)

Dengan

Substitusi ke persamaan (2.21) menghasilkan:

(2.22)

Dimana, adalah fungsi gelombang angular yang bergantung sudut. Ini cukup diselesaikan dengan menggunakan fungsi associated Legendre.

(2.23)

Dimana untuk dan 1 untuk yang lainnya. Selanjutnya jika fungsi dihubungkan ke persamaan partikel bebas seperti berikut:

(2.24)

(2.25) Dengan syarat batas

karena

Untuk menyelesaikan persamaan (2.25) perlu dilakukan penyederhanaan, dengan mendefenisikan suatu variabel baru:

(2.26)

Maka persamaan (2.25) menjadi:

(2.27)

Solusi persamaan ini dihubungkan ke fungsi spheris Bessel dan sebagai berikut:

atau (2.28)

Maka solusi umumnya adalah:

(2.29)

Dari bentuk fungsi limit

Dengan syarat batas:

Maka solusi persamaan radialnya menjadi:

(2.30)

Oleh karena solusi partikel bebas dalam koordinat spheris maka persamaannya menjadi:

(2.32) Konstanta normalisasi diperoleh dari hubungan ortonormalitas

(2.33)

(2.34)

Konstansta normalisasi adalah:

(2.35)

Dalam hal ini phasenya adalah real. Oleh karena itu solusi partikel bebas dinormalisasikan dalam koordinat spheris:

(2.36)

(Ashok Das,1994).

2.7. Perluasan gelombang bidang ke dalam gelombang spheris

Secara khusus,perluasan gelombang bidang yang masuk dalam komponen momentum sudut dinyatakan sebagai berikut:

(2.37)

Hal ini tidak bergantung kepada sudut azimut , karena partikel yang masuk bergerak di sepanjang sumbu-z. Oleh karena itu, perluasannya dalam gelombang spheris dinyatakan sebagai berikut:

(2.38)

adalah fungsi Bessel spheris dalam orde-l dan adalah polinomial Legendre. Bentuk pada ruas kanan menyatakan gelombang spheris. Gelombang bidang ekuivalen dengan superposisi dari sejumlah gelombang spheris dan gelombang itu sendiri dinamakan gelombang parsial. Secara asimtot,

dapat kita tulis dalam bentuk eksponensial dan kita substitusikan ke persamaan (2.38) maka diperoleh:

(2.40) (lihat lampiran H).

Persamaan ini menunjukkan setiap gelombang parsial dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang yang masuk dan gelombang yang keluar.

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Analisis gelombang parsial

Pengkajian hamburan 2 partikel atau lebih secara analitik pada energi rendah, kita dapat menggunakan teknik perhitungan gelombang parsial (partial wave/P.W). Metode gelombang parsial dikerjakan dalam dua langkah. Pertama, suatu fungsi gelombang yang menyatakan jumlah gelombang yang masuk dan yang terhambur diperoleh dalam bentuk gelombang parsial. Kedua, nilai asimtot fungsi gelombang ini sama dengan pada persamaan (2.17).

Persamaan Schrodinger yang mendiskripsikan hamburan yang diberikan oleh persamaan (2.12). Fungsi gelombang masuk tidak bergantung pada karena partikel masuk bergerak di sepanjang sumbu-z. Jika persamaan gelombang ini diselesaikan maka diperoleh solusinya sebagai berikut:

(lihat lampiran J) (3.1) Dimana adalah persamaan radial:

(3.2)

Diluar range dari potensial ( persamaan ini direduksi ke persamaan partikel bebas:

(3.3)

Dimana

(3.4)

Persamaan diferensial (3.3) memiliki dua solusi bebas dan dimana

Dimana dan adalah suatu konstanta. Fungsi bernilai tak berhingga pada , maka nilai asimtot fungsi gelombang ini adalah:

(3.5)

Jika potensial maka nilai konstanta dapat ditentukan dengan

menyelesaikan persamaan (3.2) ke dalam daerah hamburan dan kemudian diambil solusi asimtotnya, dengan persamaan (3.5). Maka diperoleh suatu konstanta baru dan

dalam bentuk dan dengan hubungan: dan . Maka solusi asimtot dari persamaan (3.2) adalah:

(3.6)

Dimana adalah pergeseran phase (phase shift). Pergeseran phase menentukan sejumlah phase dari fungsi radial untuk momentum sudut dengan bilangan kuantum yang berbeda untuk persoalan potensial . Secara umum solusi asimtotnya adalah:

(3.7)

Dimana adalah amplitudo asimtot. (lihat lampiran J).

3.2. Amplitudo hamburan gelombang parsial

Dengan menyamakan bentuk asimtot pada persamaan (2.17) dengan persamaan (3.7) maka diperoleh:

(3.8)

Dengan mensubstitusi menggunakan persamaan (2.36) dan (2.37), diperoleh:

(3.9) Jika fungsi sinus ditulis dalam bentuk eksponensial dan menyamakan koefisien pada kedua ruas, maka diperoleh:

Karena persamaan (3.10) berlaku untuk semua nilai , dengan menggunakan sifat orthogonal polinomial Legendre maka diperoleh:

(3.11)

Dengan membagi koefisien pada kedua ruas pada persamaan (3.9) maka diperoleh:

Atau

(3.12) Dimana:

Dan

(3.13) Maka persamaan (3.12) dapat ditulis menjadi:

(3.14)

Persamaan (3.14) sebagai jumlah dari semua kontribusi gelombang parsial. (lihat lampiran K).

3.3. Tampang lintang gelombang parsial

Tampang lintang diferensial adalah:

(3.16)

3.4. Hamburan oleh sumur potensial

Aspek hamburan dapat juga digambarkan oleh sumur potensial yang didefenisikan sebagai berikut:

[image:33.595.163.409.282.487.2]

(3.17)

Gambar 3.1. Sumur Potensial

Potensial ini mendekati interaksi gaya kuat antara neutron dan proton. Selanjutnya, anggap energi partikel yang datang adalah energi rendah, sehingga gelombang hamburannya hanya dikontribusikan oleh komponen (gelombang sub kulit-s). Dari persamaan (3.2) , untuk , persamaan radialnya adalah:

Misalkan:

Maka persamaan radialnya untuk menjadi:

(3.18)

Dimana:

(3.19) Jika kita ambil solusi pada persamaan (3.19). Pada suku kedua persamaan (3.19), solusi mempunyai nilai tak berhingga pada sehingga solusinya menjadi;

(3.20)

Dari persamaan (3.2) , untuk , persamaan radialnya adalah:

Misalkan:

Maka persamaan radialnya, untuk menjadi:

(3.21)

Dimana:

Dan solusi persamaan ini adalah:

(3.22)

Atau:

(3.23)

Untuk menentukan pergeseran fase gelombang-s, kita menyamakan solusi persamaan (3.19) dan (3.22) dan kita ambil turunannya pada r = r0 maka diperoleh:

(3.24)

Dan turunannya,

(3.25)

Kemudian persamaan (3.23) bagi dengan persamaan (3.24) maka diperoleh:

(3.26)

3.5. Pembahasan

Dengan memahami analisa gelombang parsial kita dapat menentukan besar pergeseran fase gelombang, tampang lintang diferensial serta tampang lintang total dari hamburan elektron. Bahwa setiap gelombang yang dihamburkan oleh target memiliki bilangan kuantum orbital . Tetapi karena energi partikel yang datang itu sangat kecil,

, semua pergeseran fase untuk adalah hampir nol hal sebab gelombang yang terhambur oleh potensial inti hanya pada subkulit-s. Sehingga pada gelombang dengan (gelombang pada subkulit-s), , karena pergeseran fase bernilai negatif maka fungsi gelombang ini tertolak oleh potensial.

Untuk menentukan tampang lintang diferensialnya untuk gelombang-s digunakan persamaan (3.15) maka diperoleh:

(3.28)

Untuk menentukan tampang lintang totalnya digunakan persamaan (3.16) maka diperoleh:

(3.29)

Karena energi yang datang sangat kecil maka Maka tampang lintang totalnya menjadi:

(3.30)

BAB 4

PENUTUP

4.1. Kesimpulan

1. Analisis gelombang parsial sangat cocok digunakan untuk kasus-kasus hamburan energi rendah dan energi menengah.

2. Tampang lintang total dari hamburannya merupakan luas penampang dari geometri bola.

3. Semakin besar luas tampang diferensial hamburan elektronnya maka semakin kuat besar gaya interaksi antar elektron. Karena besarnya tampang lintang diferensial hamburan elektron dipengaruhi oleh jumlah elektron yang tercacah (semakin banyak jumlah elektron yang tercacah oleh detektor). 4. Untuk energi partikel datang elektron yang sangat kecil maka pergeseran

fase hamburannya bernilai negatif sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi gelombang elektron yang datang tertolak oleh potensial sentral.

5. Semakin besar sudut pergeseran fasenya maka nilai tampang lintang total (total cross section) hamburan elektronnya semakin besar sehingga jumlah elektron yang tercacah juga semakin banyak.

4.2. Saran

DAFTAR PUSTAKA

A.Kartono, 2005. Study of Pseudostate Expansion in a Simplified Model of Elastic Electron from Helium,Jurnal Matematika dan Sains,Vol.10, no.2, hal.53-58

Antonio,Zecca,1992. Total Cross Section Measurements for Electron Scattering by

NH3,SiH4, and H2S in the Intermediate-energy range,Physical Review A,

Vol.45.

Ballentine E. Leslie, 1998. Quantum Mechanics A Modern Development, Edisi Pertama, World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd.

Beiser Arthur, Konsep Fisika modern, ( McGraw-Hill, Inc. 1987 )

Bethe H.A. & Jackiw, R.W, 1986. Intermediate Quantum Mechanics, Edisi ketiga, Reading Masschusetts: Addison-Wesley Publishing Company Inc.

Blatt, J.M,1967. Practical Points Concerning The Solution of The Schrodinger Equation, J.Comput.Physics,1,382-396.

Jansen R.H.J & de Heer F.J, 1976. Absolute Differential Cross Sections for Elastic Scattering of Electrons by Krypton and Xenon, J. Physics. B, 9, 213-226.

Krane Kenneth S, 1992. Fisika Modern, Penerjemah Hans J. Wospakrik, Cetakan I, Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.

N.l. Romanyuk, 1980. Cross Sections and Characteristic of Electron Scattering by Calcium, Strontium, and Barium Atoms,Eksp.Theor.Fiz.32,no.7,hal.472-475.

Norbuy W.John Prof, 2000. Quantum Mechanics, Physics Departement University Of Wisconsic-Milwaukee.

Paken,Pandiangan, 2004. Perhitungan Tampang Lintang Diferensial Hamburan Elastik Elektron-Argon pada 10,4 eV dengan Analisis Gelombang

Parsial,Journal Matematika & Sains,Vol.6,hal.60-63.

Roman.P, 1965. Advanced Quantum Theory, Reading Masschusetts: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Sakurai J.J, 1994. Modern Quantum Mechanics, Reading Masschusetts: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Santoso, L.E, 2004. Alat Bantu Studi Kualitatif Hamburan Elektron-Atom, Working Paper.

T.Mart, 2008. Numerical Problem in Computation of the hypertriton Production cross sections,J.Theor.Comput.Stud,Vol.8(2008)0403.

LAMPIRAN

A.TRANSFORMASI KOORDINAT

1. Koordinat silinder

Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:

Vector kedudukan adalah

Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah:

Maka:

Grad V =

+

Maka operator grad dalam koordinat silinder adalah:

Operator Laplacian dalam koordinat silinder adalah:

2. Koordinat bola

Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat bola:

Vector kedudukan adalah

+

Maka:

Misalkan V adalah fungsi skalar, Grad V =

+

Operator Laplacian dalam koordinat bola adalah:

B. RUMUS EULER

Rumus Euler adalah :

Sehingga:

C. SIFAT ORTHOGONAL DARI POLINOMIAL LEGENDRE

Sifat orthogonal dari polinomial Legendre adalah:

Dimana:

Bentuk dinyatakan oleh Rodrigues:

D. FUNGSI GELOMBANG HARMONIS SPHERIS

Fungsi gelombang angular yang ternomalisasi dalam harmonis spheris adalah:

Dimana untuk dan 1 untuk yang lainnya. Dengan,

E. FUNGSI HANKEL Fungsi Hankel adalah:

Dan

Fungsi Hankel jenis pertama dan kedua didifenisikan sebagai berikut:

F. MOMENTUM SUDUT TOTAL

Momentum sudut total didefinisikan sebagai:

Besar ketiga vector momentum sudut ini terkuantisasi menurut:

Dan komponen-komponen-z nya terkuantisasi menurut:

G. Penjabaran persamaan (2.12) hingga persamaan (2.14):

Pada sistem pusat massa, persamaan Schrodinger untuk gerak relatif adalah:

Dengan: ; adalah massa partikel yang datang dan adalah massa target. Pada jarak yang sangat jauh dari penghambur, efek potensial dapat diabaikan sehingga persamaan diatas menjadi:

Karena berkas elektron yang datang dianggap sebagai gelombang bidang maka:

Dengan menggantikan nilai ke persamaan diperoleh:

Dengan:

Dengan metode pemisahan variabel dapat digunakan mencari solusi persamaan diferensial diatas.

• Untuk variabel-X adalah:

Dengan:

Untuk mendapatkan hasil persamaan karakteristiknya selalu dinyatakan dalam bentuk eksponensial.

Misal:

Dengan membagi diperoleh:

Maka didapatkan solusi nilai X adalah:

Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh solusi untuk variabel-Y dan variabel-Z. • Untuk variabel-Y adalah:

Dan solusi nilai-Y adalah:

• Untuk variabel-Z adalah:

Dan solusi nilai-Z adalah:

Jika kita gabung ketiga solusi persamaan diatas maka diperoleh:

H. Penjabaran persamaan (2.18) hingga persamaan (2.20):

Probabilitas Rapat Arus didefinisikan sebagai:

Atau

Atau

Probabilitas Rapat Arus Gelombang yang datang adalah:

Dengan:

Dimana:

Atau

Probabalitas Rapat Arus Gelombang yang terhambur adalah:

Probabilitas rapat arus yang melewati area bola berjari-jari adalah:

Dimana:

Karena fungsi gelombang tidak bergantung pada sudut . Maka probabilitas rapat arus yang terhambur adalah:

I. Penjabaran persamaan (2.37) hingga (2.40):

Fungsi gelombang yang datang tidak bergantung pada sudut azimut maka .

Kedua ruas dikalikan dengan dan diintegralkan terhadap maka diperoleh:

Pada ruas kanan merupakan bentuk integral parsial. Bentuk integral ini dapat diselesaikan dengan rumus:

Misalkan :

Hasil integral adalah:

Dengan:

Bentuk kedua pada hasil integralnya akan menghasilkan faktor Oleh karena itu, ketika maka hasil integral

Dengan:

Dengan :

Sehingga,

J. Penjabaran persamaan (3.1) hingga persamaan (3.7)

Persamaan Schrodinger dalam koordinat bola:

...(1) Dimana: adalah massa tereduksi antara elektron dan target, yang dirumuskan sebagai berikut:

Jika kita mengalikan seluruh persamaan (1) dengan didapatkan hasil:

...(2) Untuk mencari solusi persamaan (2) dapat dilakukan dengan cara pemisahan variabel dan kemudian kita susun ulang persamaan hasil pemisahannya untuk menghitung solusinya.

Pertama, kita misalkan fungsi gelombangnya adalah:

…………..(3) Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) dan membagi seluruh persamaan dengan

, maka diperoleh:

...(4) Suku ketiga pada persamaan (4) hanya merupakan fungsi azimut, sedangkan suku yang lainnya hanya merupakan fungsi dan . Persamaan (4) dapat kita atur kembali sehingga menjadi:

Persamaan (5) hanya benar jika kedua ruas itu sama dengan tetapan yang sama, karena suku kiri dan suku kanan merupakan fungsi variabel yang berbeda, untuk memudahkan perhitungan kita misalkan suatu konstanta, , sehingga persamaan diferensial untuk fungsi menjadi:

...(6) Kemudian kita substitusikan , suku ruas kanan persamaan (5) dan susun kembali persamaan tersebut sehingga diperoleh:

...(7) Karena kedua ruas mempunyai persamaan dengan variabel yang berbeda, kita dapat memisalkan suatu konstanta yang sama untuk kedua ruas,yakni sehingga sekarang ruas kanan persamaan (7) menjadi:

...(8) Dan ruas kiri persamaan (7) menjadi:

...(9) Persamaan (6,8,9) dapat ditulis sebagai berikut:

• Persamaan untuk adalah:

• Persamaan untuk adalah:

Untuk menyelesaikan persamaan angularnya yakni dan , digunakan fungsi polinomial Legendre yang terasosiasi yang disebut sebagai fungsi harmonis spheris.

Dimana untuk dan 1 untuk yang lainnya.

Karena fungsi gelombangnya tidak bergantung pada sudut azimut maka fungsi gelombang angularnya tidak mengandung komponen yakni . Sehingga solusi persamaan bagian angularnya menjadi:

Maka solusi fungsi gelombangnya dapat ditulis menjadi:

Fungsi gelombang radialnya adalah:

Dengan :

Dengan :

Solusinya adalah:

Untuk , fungsi gelombang radialnya adalah:

Dengan:

K. Penjabaran persamaan (3.8) hingga persamaan (3.14):

Dengan:

Dengan:

……….(1)

Diperoleh:

Persamaan (2) diselesaikan:

Dengan membagi dan mensubstitusi nilai ke persamaan (2) maka diperoleh:

Dengan: