PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAN MODEL WAKTU KONTINU
DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN STRUKTURAL
MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP
WIDHATUL MILLA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa disertas berjudul Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Widhatul Milla
G151120201
RINGKASAN
WIDHATUL MILLA. Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap. Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan BAGUS SARTONO.
Model deret waktu sangat banyak ditemukan pada berbagai aspek kehidupan. Pemodelan-pemodelan mengenai data deret waktu sudah banyak diterapkan namun belum mampu mengatasi bentuk data deret waktu yang tidak lengkap. Selain itu analisis-analisis data deret waktu tidak mampu menduga suatu nilai untuk jangka panjang dengan interval yang berbeda. Kelemahan dalam analisis data deret waktu tersebut dapat diatasi dengan menggunakan analisis model waktu kontinu. Keberadaan model waktu kontinu muncul akibat adanya keterbatasan dalam merekam data sehingga waktu yang melekat pada data bersifat diskret tidak bersifat kontinu.
Model waktu kontinu memiliki dua pendekatan yaitu pendekatan kalman filter dan pendekatan persamaan struktural. Secara umum kedua pendekatan ini merupakan model diskret sehingga penduga parameter yang diperoleh merupakan parameter diskret. Namun, beberapa peneliti telah membuktikan bahwa adanya persamaan dari struktur matriks yang dihasilkan yaitu penduga parameter hasil penurunan dari model waktu kontinu merupakan elemen-elemen matrik dari hasil analisis model persamaan struktural. Oleh karena itu, dalam menduga parameter-parameter model waktu kontinu dapat menggunakan pendekatan persamaan struktural.
Trend dan juga sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu perlu diamati lebih lanjut guna untuk melakukan pengujian signifikansi dengan cara melihat seang kepercayaan dari penduga parameter. Dalam hal ini selang kepercayaan yang merupakan kisaran dari suatu nilai yang dianggap memuat parameter sebenarnya dapat dilakukan. Salah satu metode yang dapat dilakukan dalam menduga selang kepercayaan adalah metode bootstrap. Dengan demikian tujuan dari penulisan ini adalah untuk mendapatkan sebaran dari nilai penduga parameter model waktu kontinu dan trend dari dugaan parameter tersebut.
Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dugaan parameter model waktu kontinu khususnya dengan pendekatan persamaan struktural tidak menyebar normal. Dengan demikian uji signifikansi pada parameter model waktu kontinu tidak dapat di dekati dengan menggunakan distribusi normal. Hasil pendugaan selang terpendek juga menunjukkan trend penduga parameter model waktu kontinu yang memiliki kecenderungan signifikan dalam melakukan pendugaan untuk satuan waktu yang berbeda. Hal tersebut dibuktikan oleh adanya nilai standar deviasi yang kecil dan dalam selang yang diperoleh tidak memuat nol. Pada kasus penelitian ini, peubah laten prestasi matematika sudah tidak signifikan ketika dilakukan prediksi pada variabel tersebut untuk 80 tahun yang akan dating sedangkan untuk peubah laten pengalaman guru mengajar sudah tidak signifikan ketika dilakukan prediksi pada 30 tahun ke depan.
SUMMARY
WIDHATUL MILLA. Estimation of confidence interval on the continuous time model using bootstrap. Supervised by ASEP SAEFUDDIN and BAGUS SARTONO
Time series model is commonly found in various aspects of life. Modelings of the time series data has been widely applied but have not been able to overcome if the form of time series data are incomplete. In addition, analyzes of time series data is not able to guess a value for the long term with different intervals. Weaknesses in the analysis of time series data can be overcome by using analysis of continuous time models. The existence of a continuous time models arise due to limitations in the data record that time attached to the discrete nature of data is not continuous.
Continuous time models have two approaches method, they are Kalman filter approach and also using structural equation approach. In general, these two approaches are discrete models so that the resulting of parameters estimation are discrete parameters. However, some researchers have proven that the similarity of the resulting structure matrix is the same with the result of decreasing in the parameters of a continuous time model matrix elements of the results of the analysis of structural equation models. Therefore, the assumed parameters of continuous time models can use structural equation approach.
Stabilization and also the distribution of the parameter estimators of continuous time models be examined further in order to perform significance testing. In this case the confidence interval is a range of parameter values considered actual load can be done. One method that can be performed within the confidence interval is suspect bootstrap method. Thus the purpose of this is to get penulusan distribution of alleged continuous time model parameters and the stability of the parameters allegations.
The results obtained show that the alleged continuous time model parameters, especially with structural equation approaches a normal distribution. Thus the significance test on continuous time model parameters can not be approached by using a normal distribution. The shortest interval estimation results also show the trend estimate continuous time model parameters that have a significant tendency in making predictions at a different time unit. This is evidenced by the presence of small value and the standard deviation obtained in the interval does not contain zero. In the case of this study, the latent variables are not significant mathematical achievements already made a prediction on when these variables for 80 years to come while the latent variables of teachers teaching experience has been not significant when the prediction is done in the next 30 years.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Program Studi Statistika
PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN MODEL WAKTU
KONTINU DENGAN PENDEKATAN PERSAMAAN
STRUKTURAL MENGGUNAKAN METODE BOOTSTRAP
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
Judul Tesis : Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural Menggunakan Metode Bootstrap
Nama : Widhatul Milla
NIM : G151120201
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Prof.Dr.Ir.Asep Saefuddin Ketua
Dr. Bagus Sartono, M.Si Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Statistika
Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS.
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Dahrul Syah, MSc. Agr
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas kemudahan dan kelancaran serta ridhoNya sehingga tesis dengan judul “ Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu dengan Pendekatan Persamaan Struktural
Menggunakan Metode Bootstrap “ ini dapat terselesaikan dengan baik. Penelitian
untuk penulisan tesis ini diaplikasikan pada kasus data terapan yang diambil dari TIMSS mengenai prestasi matematika siswa kelas 8.
Terimakasih penulis ucapkan kepada pihak-pihak yang telah membantu proses penyusunan tesis ini, yaitu:
1. Prof. Dr. Ir. Asep saefuddin, M.Sc dan Dr. Bagus Sartono M.Si selaku dosen pembimbing, atas arahan dan bimbingannya serta kesabarannya dalam membimbing selama penulisan tesis ini.
2. Dr.Ir. Anik Djuraidah, MS, selaku Ketua Program Studi Stastistika S2 yang telah turut membantu demi kelancaran penyusunan tesis ini.
3. Dr. Ir. Hari Wijayanto M.Si, selaku penguji tesis yang telah meluangkan banyak waktunya dan memberikan arahan-arahan demi terciptanya kelengkapan dan ketepatan pada tesis ini.
4. Keluarga Besar Program Studi Statistika dan Statistika Terapan IPB,
5. Orang tua serta seluruh keluarga dan sahabat atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya.
Penulis menyatakan sepenuhnya bahwa tesis ini masih banyak kekurangan. Kritikan yang membangun sangat penulis harapkan demi perbaikan tesis ini di masa yang akan datang dan penulis berharap semoga tesis ini dapat bermanfaat terutama bagi para pembaca.
Bogor, 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
1 PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 3
2 TINJAUAN PUSTAKA 3
Prestasi Matematika TIMSS 3
Model Persamaan Struktural 6
Model Waktu Kontinu 8
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu 9
Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu 11
3 METODE PENELITIAN 13
Data 13
Metode Analisis 14
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 15
Eksplorasi Data 15
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu 17
Pendugaan Selang Kepercayaan 21
5 SIMPULAN DAN SARAN 29
Simpulan 29
Saran 29
DAFTAR PUSTAKA 29
LAMPIRAN 30
DAFTAR TABEL
1 Proporsi Kemampuan pada Dimensi Konten dalam Studi TIMSS 4 2 Proporsi Kemampuan pada Dimensi Kognitif dalam Studi TIMSS 5 3 Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 TIMSS 15 4 Statistik Deskriptif Nilai Matematika Kelas 8 Indonesia 17
5 Hasil Pendugaan Parameter-Parameter EDM 18
6 Hasil pendugaan Parameter-Parameter Model Waktu Kontinu 19 7 Hasil pendugaan parameter diskret dengan berbagai ∆�� 20
8 Hasil Uji Normalitas Kolmogorov Smirnov 23
9 Hasil Pendugaan Selang Terpendek Peubah Laten Prestasi matematika 24 10 Hasil Pendugaan Selang Terpendek Peubah Laten Pengalaman Guru
Mengajar 27
DAFTAR GAMBAR
1 Ilustrasi hubungan Autoregreesive dan Cross Lagged 9 2 Sebaran data Nilai Matematika TIMSS tahun 1995-2011 16 3 Histogram nilai dugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah
Laten Prestasi Matematika 22
4 Histogram nilai Parameter Model Waktu Kontinu pada Peubah Laten
Pengalaman Guru Mengajar 22
5 Keragaman Pendugaan Parameter pada Peubah Laten Prestasi
Matematika 25
6 Keragaman Pendugaan Parameter pada Peubah Laten Pengalaman Guru
Mengajar 26
7 Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk Peubah Laten Prestasi
Matematika dengan berbagai ti 28
8 Lebar Selang Koefisien Autoregressive untuk Peubah Laten
Pengalaman Guru Mengajar dengan berbagai Δti 28
DAFTAR LAMPIRAN
1 Ilustrasi Analisis Model Waktu Kontinu pada Data Penelitian TIMSS 31 2 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆ti untuk
Peubah Laten Prestasi Matematika 32
3 Plot masing-masing nilai parameter diskret dengan berbagai ∆�� untuk
Peubah Pengalaman Guru Mengajar 35
4 Nilai dugaan selang kepercayaan parameter CT dan nilai lebar selang
pada alpha 5% ∆�� = 1 37
5 Program Mplus untuk menduga nilai awal 39
6 Program R CT (Open Mx) 41
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Data deret waktu adalah serangkaian data kuantitatif mengenai nilai-nilai suatu peubah yang tersusun secara bederet (beruntun) dalam suatu periode waktu tertentu. Data deret waktu telah banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu tidak lain pada bidang pendidikan. Sebagai contoh data deret waktu pada bidang pendidikan adalah nilai rata-rata ujian nasional mata pelajaran matematika kelas 6 Sekolah Dasar di Indonesia mulai dari tahun 1995 hingga tahun 2014. Beberapa metode yang telah berkembang hingga saat ini hanya mampu mengatasi suatu kejadian deret waktu dengan cara mencatat suatu kejadian tersebut dalam titik-titik waktu tertentu seperti model pemulusan (smoothing), dekomposisi, regresi, ekonometrik, ARIMA Box Jenskins, model regresi time series, fungsi transfer,
neural network, kalman filter dan lain sebagainya.
Pada umumnya metode-metode analisis data deret waktu dipengaruhi oleh interval waktu tertentu seperti harian, mingguan, bulanan ataupun tahunan sehingga apabila data yang disajikan berupa data deret waktu dengan interval waktu yang bersifat tahunan maka akan kehilangan informasi data yang bersifat bulanan. Selain itu metode-metode analisis data deret waktu tidak mampu menganalisis suatu data deret waktu yang tidak lengkap. Ketidaklengkapan data pada kasus ini seperti suatu data tahunan yang pada tahun 1995 tercatat namun pada tahun 1996 dan tahun 1997 tidak tercatat sedangkan pada tahun 1998 tercatat dan berikutnya tidak tercatat kembali. Pada metode analisis data deret waktu umumnya tidak mampu mengatasi ketidaklengkapan data seperti halnya ilustrasi tersebut. Kelemahan-kelemahan tersebut yang menjadikan para peneliti mengembangkan suatu metode yang mampu mengatasi permasalahan tersebut yaitu dengan cara mengembangkan sebuah model kontinu. Model kontinu erat hubungannya dengan model waktu kontinu yang pertama kali dicetuskan oleh Philips (1959). Philips mengembangkan algoritma rinci pertama untuk mengestimasi model waktu kontinu dari data diskret yang digunakan dalam makroekonomi.
Model waktu kontinu yang juga disebut sebagai model dinamik didefinisikan sebagai model yang berubah secara kontinu berdasarkan waktu. Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan tetapi karena keterbatasan dalam merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat pada data tersebut bersifat diskret. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Bergstrom (1966) yang memperkenalkan EDM (Exact Discrete Model) yaitu model yang menghubungkan paramter model waktu diskret ke dalam nilai yang mendasari parameter model waktu kontinu dengan hubungan non linier. Malinvaud (1980) menggunakan metode jarak terdekat (Minimum Distance) untuk pendugaan parameter EDM. Selanjutnya Harvey & Stock (1985) menggunakan algoritma kalman filter untuk meduga parameter EDM.
2
i i
t
t e
A
A
dengan peubah lainnya. Analisis yang mampu melihat kedua pengaruh antara pengaruh objek dengan pengaruh waktu disebut analisis data panel.
Data panel merupakan penggabungan antara data yang berupa objek dan waktu sehingga mampu melihat pengaruh waktu dan objek secara bersama jika yang terlibat dalam model lebih dari satu objek pengamatan (Baltagi 2005). Menurut Gujarati (2003) penggunaan data panel memiliki kelebihan, yaitu lebih komprehensif, karena jumlah objek pengamatan yang meningkat mampu meningkatkan efisiensi dalam penaksiran parameternya. Namun selain itu Baltagi (2005) menyebutkan bahwa salah satu kelemahan dari data panel yaitu terletak pada rancangan dan pengumpulan data. Penelitian empiris yang menggunakan data panel telah banyak berkembang di berbagai bidang seperti dilakukan Heshmati et al. (1995) yang melakukan penelitian data panel untuk industry pork, Frazier & Kockleman (2005) menggunakan regresi panel spasial untuk penelitian transportasi, Niu et al. (2011) melakukan penelitian mengenai pertumbuhan ekonomi, konservasi energy dan reduksi emisi di delapan negara.
Oud & Singer (2000) melakukan penelitian pada data panel di bidang psikologi dengan model waktu kontinu. Ait & Sahalia (2007) menggunakan pendekatan yang paling sederhana untuk model waktu kontinu yaitu menggunakan metode indirect dengan cara menduga koefisien parameter menggunakan teknik pendugaan diskret kemudian menggunakan koefisien tersebut untuk model waktu kontinu. Oud & Singer (2008) telah melakukan penelitian model waktu kontinu dengan menggunakan metode Kalman Filter yang pada penelitian tersebut masih memiliki kekurangan yaitu adanya autokorelasi pada sisaannya. Voekle et al. (2012) menggunakan model persamaan struktural
(Struktural Equation Model) dalam menduga parameter-parameter model waktu
kontinu.
Model persamaan struktural (SEM) adalah suatu model berupa gabungan dari analisis faktor dan regresi berganda yang dapat digunakan untuk menguji serangkaian hubungan dependen yang terdiri dari beberapa struktur secara serentak (Hair et al. 1998). Oleh karena itu, data panel yang diaplikasikan sebagai penerapan model waktu kontinu tersebut menggunakan peubah latent. Oud & Delsing (2010) mengatakan bahwa untuk mendapatkan parameter kontinu pada model waktu kontinu tetap menggunakan pendekatan-pendekatan diskret. Adapun pendekatan diskret yang pada umumnya digunakan adalah metode Exact Discrete
Model (EDM) dan metode Approximate Discrete Model (ADM).
Toharudin et al. (2007) menuliskan bahwa parameter kontinu dari model waktu kontinu diperoleh dengan pendekatan matematika yang dapat dituliskan sebagai berikut
Berdasarkan persamaan tersebut diatas dapat dikatakan bahwa parameter kontinu dan parameter diskret memiliki hubungan secara matematis yang biasa disebut sebagai matriks drift. �∆�� dilambangkan sebagai matriks drift untuk model waktu diskret sedangkan � dilambangkan sebagai matriks drift untuk model waktu kontinu. Adapun diagonal utama dari matriks drift merupakan penduga dari parameter autoregressive sedangkan diagonal lainnya merupakan penduga dari parameter cross lagged.
3 pengujian signifikansi parameter merupakan hal yang paling utama. Beberapa kriteria kebaikan model antara lain seperti AIC, BIC dan juga dugaan selang kepercayaan dari parameter yang diperoleh. Selang kepercayaan merupakan suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya. Hal terpenting yang digunakan untuk mengevaluasi baik buruknya selang kepercayaan adalah lebar selang dan seberapa besar peluang selang tersebut dapat mencakup nilai parameter yang sesungguhnya (Casella & Berger 2002). Lebar selang sangat dipengaruhi oleh keragaman data sehingga berdasarkan selang kepercayaan parameter mampu melihat keragaman dari parameter model dan juga kestabilan dari parameter model yang didapatkan. Metode pendugaan selang kepercayaan banyak dikaji oleh para peneliti adalah metode bootstrap yang diantaranya yaitu Hall (1988a), Hall (1988b), dan Benton & Krishnamoorthy (2002).
Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan
teknik pengambilan sampel ulang dengan pengembalian (resampling with
replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah
satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias, selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981; Efron & Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu
bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik.
Berdasarkan uraian diatas, peneliti melakukan penelitian yang berjudul pendugaan selang kepercayaan parameter model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural menggunakan metode bootstrap. Sebagai ilustrasi peneliti menggunakan data terapan yang diambil dari Trends in
International Mathematics and Science Study (TIMSS) mengenai prestasi
matematika dan pengalaman guru mengajar kelas 8. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini, antara lain :
1. Mengetahui sebaran dari penduga parameter model waktu kontinu yang digunakan untuk uji signifikansi berdasarkan hasil sebaran yang diperoleh. 2. Menduga selang kepercayaan terpendek dari sebaran penduga parameter
model waktu kontinu.
3. Mengetahui trend nilai penduga parameter dengan membandingkan hasil prediksi dengan menggunakan berbagai ∆��
2 TINJAUAN PUSTAKA
Prestasi Matematika TIMSS
TIMSS adalah studi internasional tentang pergerakan matematika dan sains. Studi ini diselenggarakan oleh International Association for Evaluation of
Educational Achievment (IEA) yaitu sebuah asosiasi internasional untuk menilai
4
menguji prestasi matematika siswa kelas 4 SD (Sekolah Dasar) dan kelas 8 SMP (Sekolah Menengah Pertama).
Metode sampling yang digunakan TIMSS adalah metode Stratified Two
Stage Sampling atau teknik strata 2 tahap. Pada penelitian TIMSS strata pertama
yang digunakan adalah sekolah yang pada tahap pertama ini metode sampling yang digunakan adalah metode pengambilan sampel systematik. Pada survey TIMSS ini, TIMSS dibantu oleh Koordinator Riset Nasional Negara yang dalam hal ini sudah tersedia sampling frame sekolah yang memiliki siswa yang layak berpartisipasi pada penilaian. Sampling Frame sekolah tersebut diurutkan berdasarkan daerah demografis. Selanjutnya strata kedua yang digunakan adalah strata kelas. Pada tahapan kedua ini seluruh siswa pada kelas yang telah terpilih berpartisipasi pada penilaian TIMSS.
TIMSS untuk siswa SMP terbagi menjadi dua dimensi yitu dimensi konten dan dimensi kognitif dengan memperhatikan kurikulum yang berlaku di negara yang bersangkutan. Dimensi konten terdiri atas empat kategori yaitu aljabar, geometri, data dan peluang. Setiap kategori pada dimensi konten meliputi topik bilangan cacah, pecahan dan desimal, bilangan bulat, perbandingan , proporsi, dan presentase. Tabel 1 menunjukkan proporsi kemampuan yang diuji dalam setiap kategori yang dinilai pada dimensi konten. Selanjutnya pada Tabel 2 menunjukkan proporsi kemampuan yang diuji dalam setiap kategori yang dinilai pada dimensi kognitif.
Dimensi Penilaian
Kategori Proporsi (%)
Topik
Konten Bilangan 30 Bilangan cacah Pecahan dan desimal Bilangan bulat
Rasio , proporsi dan persen Aljabar 30 Pola dan hubungan
Ekspresi aljabar Persamaan dan fungsi Geometri 20 Bentuk-bentuk geometri
Pengukuran
Letak dan perpindahan Data dan
Peluang
20 Organisasi dan representasi data Menafsirkan data
Peluang
Pada dimensi kognitif terdiri atas tiga kategori yaitu mengetahui fakta dan prosedur (pengetahuan), menggunakan konsep dan memecahkan masalah rutin (penerapan), dan memecahkan masalah nonrutin (penalaran). Pada dimensi kognitif dimaknai sebagai perilaku yang diharapkan dari siswa ketika siswa tersebut menghadapi masalah pada persoalan dalam dimensi konten. Oleh karena itu pada dimensi kognitif, fokus utamanya adalah pemecahan masalah dalam soal-soal tes yang terkait dengan hampir semua topik dalam dimensi konten.
Bentuk soal-soal dalam TIMSS adalah pilihan ganda, isian singkat dan uraian. Adapun penilaian untuk soal pilihan ganda yaitu nilai 1 jika benar dan 0 jika salah begitu pula dengan isian singkat yaitu 0 jika salah dan 1 jika benar.
5 Sedangkan pada bentuk soal uraian dengan nilai maksimal 10 dan nilai minimalnya adalah nol. Pada soal uraian apabila terdapat jawaban yang tidak sempurna, maka proporsi nilai untuk jawaban mengacu pada kunci jawaban. Nilai ideal pada penilaian prestasi matematika TIMSS yang meliputi kedua konten tersebut adalah 1000 namun mulai dari tahun 1995 hingga berturut-turut tahun 199, 2003, 2007 dan 2011 nilai prestasi matematika siswa berada pada kisaran 265-625.
Dimensi Penilaian
Kategori Proporsi (%)
Topik
Kognitif Penerapan (knowing)
30 Mengingat, mengenali, menghitung, mengukur,mengklarifikasi, mengurutkan Penerapan
(applying)
30 Memilih, merepresentasi, memodelkan, menerapkan, memecahkan masalah rutin Penalaran
(reasoning)
20 Menganalisa, menggeneralisasi, mengintegrasi, memberi, alasan, memecahkan soal non-rutin
TIMSS mengelompokkan kemampuan matematika baik aljabar, data dan peluang, bilangan maupun geometri berdasarkan Math International Benchmark, yaitu: kemapuan siswa dengan skor kurang dari 400, antara 400 sampai kurang dari 475, antara 475 sampai kurang dari 550, antara 550 sampai kurang dari 625, dan skor 625 ke atas. Berdasarkan hasil survey 2007, skor matematika siswa Indonesia berada pada rata-rata 397,1 dan ini termasuk ke dalam kategori sangat rendah dan berada di bawah skor rata-rata TIMSS.
Secara umum banyak sekali faktor yang dapat mempengaruhi prestasi belajar baik internal maupun eksternal. Faktor internal adalah faktor yang berasal dari siswa yang terdiri dari aspek fisiologis dan psikologis. Aspek psikologis dapat mempengaruhi kuantitas dan kualitas perolehan pembelajaran siswa, beberapa hal yang dipandang penting adalah tingkat kecerdasan, sikap siswa terhadap pelajaran, bakat, minat dan motivasi siswa (Syah 2005). Sedangkan pendidikan orang tua, cita-cita pendidikan siswa, jumlah buku yang dimiliki siswa di rumah, ketersediaan perangkat komputer, sosial ekonomi, waktu pengerjakan pekerjaan rumah merupakan faktor eksternal dari siswa yang berpengaruh terhadap prestasi akademiknya (Mullis et al 2005). Khusus dalam bidang matematika, Santoso (Puspendik 2009) telah merangkum faktor-faktor baik internal maupun eksternal yang dapat mempengaruhi prestasi matematika siswa yaitu sebagai berikut:
6
sekolah, para siswa giat belajar di sekolah, para guru sangat mendorong siswa untuk belajar lebih giat.
2. Persepsi siswa terhadap matematika: matematika sangat sulit, matematika bukan keahlainku, matematika membosankan.
3. Minat belajar siswa: berlatih matematika tanpa kalkulator, memecahkan pecahan dan desimal, memecahkan soal-soal geometri, menyajikan data dalam tabel dan diagram, menuliskan persamaan dan fungsi, menghapal rumus-rumus matematika, mengaitkan matematika dengan kehidupan sehari-hari, belajar kelompok, membahas pekerjaan rumah, mendengarkan penjelasan guru, memperoleh kuis dan tes.
4. Perilaku siswa: terlambat sekolah, bolos sekolah, rebut di kelas, meninggalkan jam pelajaran.
5. Sosial ekonomi orang tua: tingkat pendidikan orang tua, kepemilikan buku pelajaran, meja belajar, komputer, internet.
6. Latar belakang guru: lama mengajar, tingkat pendidikan, program studi yang ditempuh.
7. Penilaian guru terhadap sekolah: kepuasan kerja, pemahaman guru terhadap kurikulum dan tujuan pembelajaran, dorongan orang tua, harapan siswa untuk berprestasi.
8. Sarana prasarana sekolah: gedung sekolah, ruang kelas, laboratorium komputer, perpustakaan, buku-buku pelajaran.
Model Persamaan Struktural
Model persamaan struktural (SEM) merupakan salah satu analisis peubah ganda yang mampu menganalisis hubungan variabel secara kompleks. Analisis ini pada umumnya digunakan untuk penelitian-penelitian yang menggunakan banyak variabel dan mampu menganalisis model yang rumit secara simultan. Analisis pada model persamaan struktural ini dapat juga disebut sebagai analisis yang mengkombinasikan beberapa aspek yang terdapat pada analisis jalur dan analisis faktor untuk menduga beberapa persamaan simultan. Analisis jalur adalah metode yang menganalisis sistem pada persamaan struktural dengan membentuk diagram lintas yang menjelaskan mekanisme hubungan antar peubah dengan cara menguraikan kovarian dan korelasi menjadi pengaruh langsung dan tidak langsung (Bollen 1989). Sedangkan analisis faktor adalah analisis koragam diantara peubah yang dijelaskan dalam sejumlah kecil faktor umum (common
factor) ditambah dengan sebuah faktor unik untuk setiap peubah dimana faktor
tersebut tidak secara eksplisit diamati yang dikenal dengan peubah laten (Johnson & Winchern 2002).
Peubah laten merupakan konsep abstrak, seperti perilaku orang, sikap, perasaan dan motivasi. Peubah laten hanya dapat diamati secara tidak langsung dan tidak sempurna melalui pengaruhnya pada peubah teramati. Persamaan struktural mempunyai 2 jenis peubah laten, yaitu peubah eksogen yang dinotasikan dengan dengan ξ (“ksi”) dan peubah endogen dinotasikan dengan
(“eta”). Selanjutnya peubah teramati adalah peubah yang dapat diamati atau
7 y y x x
Cov
Cov
' ' ' 1 ' 1 ' ' 1 ' 1 B B B I B B B I B I B I B Γ : B : Γ : : : (1) dengan
matriks koefisien peubah laten endogenous berukuran matriks koefisien peubah laten eksogenous berukuran vektor peubah laten endogenous berukuran 1 vektor peubah laten eksogenous berukuran 1
vektor sisaan acak hubungan antara dan � berukuran 1
Berikut model persamaan struktural dengan p adalah banyaknya indikator atau peubah teramati pada peubah laten endogen sedangkan q adalah banyaknya indikator atau peubah teramati pada peubah laten eksogen:
(2) (3) dengan
: vektor peubah penjelas tidak bebas yang berukuran p × 1 : vektor peubah penjelas bebas yang berukuran q × 1
Λ : matriks koefisien regresi antara y terhadap peubah yang berukuran p × m
Λ : matriks koefisien regresi antara x terhadap peubah ζ yang berukuran q × n
: vektor sisaan pengukuran terhadap y yang berukuran p × 1 : vektor sisaan pengukuran terhadap x yang berukuran q × 1
Kesalahan struktural muncul disebabkan peubah bebas tidak dapat memprediksi secara sempurna peubah terikat. Kesalahan ini diasumsikan tidak berkorelasi dengan peubah eksogen dari model dan dinotasikan dengan . Kesalahan pengukuran disebabkan oleh indikator-indikator atau peubah-peubah teramati tidak dapat secara sempurna mengukur peubah laten terkait. Komponen kesalahan yang berkaitan dengan peubah teramati dinotasikan dengan , sedangkan yang berkaitan dengan peubah y dinotasikan dengan (Johnson & Winchern 2002).
Pendugaan Parameter Model Persamaan Struktural
Parameter-parameter yang harus diduga dalam model persamaan struktural yaitu Β, Γ, Φ, Ψ. Pendugaan dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi =f , ,Φ,Ψ sedemikian sehingga matriks kovarian yang diturunkan dari model yaitu
8
x x y
x
x y y
y S
, cov ,
cov
, cov ,
cov
tr
S
S
p q
FML log 1 log
ti
ti xti ti
w tix A i1,2,,T
i i
i x w
x 1 i 1,2,,T
sedekat mungkin atau sama dengan matriks kovarian populasi dari peubah-peubah teramati, Σ, yang didekati dengan matriks kovarian sampel dari peubah-peubah teramati yaitu
(5)
Pendugaan dilakukan secara iteratif dengan meminimumkan fungsi pengepasan (fitting function). Fungsi pengepasan merupakan fungsi dari S dan
Σ( ) yaitu F(S, Σ( )). Menurut Bollen (1989), beberapa karakteristik dari F(S,
Σ( )) adalah:
1. F(S, Σ( )) adalah skalar. 2. F(S, Σ( )) ≥ 0.
3. F(S, Σ( )) = 0 jika dan hanya jika Σ( ) = S. 4. F(S, Σ( )) kontinu dalam S dan Σ( ).
Pendugaan parameter dengan metode kemungkinan maksimum secara iteratif akan meminimumkan fungsi pengepasan, F(S, Σ( )), yaitu (Oud & Jansen 2000):
(6)
dengan asumsi Σ( ) dan S definit positif, x dan y berdistribusi normal ganda, dan S memiliki distribusi Wishart (Bollen 1989).
Model Waktu Kontinu
Model waktu kontinu memodelkan hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri dan dengan peubah lainnya pada k periode waktu sebelumnya dengan parameter model yang bersifat kontinu pada berbagai interval waktu. Menurut Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan tetapi karena keterbatasan merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat pada data tersebut bersifat diskret.
Misalnya seorang peneliti melakukan pengamatan selama satu tahun terhadap perkembangan harga emas pada perusahaan ANTAM dengan waktu pengamatan selama 1 minggu ∆�1 = ∆�2 = ⋯=∆�� = 1 minggu , selanjutnya hasil pengamatan tersebut dapat digambarkan ke dalam model diskret
autoregressive sebagai berikut:
(6)
Persamaan (6) tersebut menggambarkan hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri berdasarkan waktu. Dalam hal ini jika peneliti akan melakukan penelitian pergerakan harga emas yang dihubungkan dengan faktor lain seperti harga tukar rupiah dalam seminggu maka, �� adalah vektor berukuran V1dari hasil pengamatan dua peubah yang saling berhubungan yang diamati pada beberapa waktu secara bersama-sama. Oleh karena itu, persamaan (6) dapat dituliskan berikut:
9
t xA b
dt
t dW
G
dt t dW b
t x dt
t dx
G
A
i i i i i i
i t t t t t t
t A x b w
x
dengan, � ∆�� adalah matriks drift dan ∆�� adalah vektor dari galat yang berukuran �× 1, yang diasumsikan tidak berkorelasi antar waktu selanjutnya ∆�� merupakan interval waktu pengamatan.
Oud & Delsing (2010) menuliskan bentuk umum dari model waktu kontinu dengan memasukan komponen intersep b adalah sebagai berikut.
(9)
dengan,
Matriks drift merupakan matriks yang terdiri atas pengaruh autoregressive pada diagonal utama dan pengaruh cross-lagged pada diagonal lainnya. Cross-lagged
yaitu hubungan antara suatu peubah dengan peubah lainnya sedangkan
autoregressive yaitu hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri
pada saat t+1.
Pada Gambar 1 menggambarkan hubungan antara peubah dan peubah � dari tahun pertama hingga tahun berikutnya. Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 1 terlihat bahwa kedua peubah mempunyai hubungan autoregressive dan hubungan cross lagged, yang mana hubungan autoregressive terlihat pada parameter 11, 22 sedangkan hubungan cross-lagged terlihat pada parameter 12, 21. Parameter 11 artinya hubungan antara peubah � dengan peubah �+1 atau dapat diartikan bahwa peubah pada saat ini memiliki hubungan dengan peubah itu sendiri pada waktu berikutnya, begitu pula dengan parameter 22 . Kemudian parameter 12 artinya peubah � memiliki hubungan dengan peubah ��+1 dan sebaliknya parameter 21 artinya peubah �� memiliki hubungan dengan peubah �+1.
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Oud & Delsing (2010) menjelaskan bahwa parameter dari model waktu kontinu pada persamaan (6) di atas dapat diduga dengan pendekatan-pendekatan diskret baik dengan metode EDM maupun metode ADM. Adapun model umum metode EDM (Exact Discrete Model) adalah sebagai berikut:
(10) : matriks drift
: intersep
: sisaan model waktu kontinu
22 21 12
11
22 12
21 11
� �+1 �+2
� �+1 �+2
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 T i T i i i t t t t t t xt b A b A b A B
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 T i i i t t t Q Q Q t x ψ
e
bb e i i i i t t t t I A A A Α 1
A I Q
Q irow eA i row
i
t
t
#1 #
A I I A A GG
Q ' #
,
dengan, � ��− �� = ��
Parameter-parameter diskret pada persamaan (9) tersebut dapat diperoleh dengan cara menduga parameter-parameter persamaan struktural pada persamaan (1) dan (2). Berdasarkan persamaan (1) dan (2) yang diduga dengan meminimukan nilai fungsi akan memperoleh matriks B dan Ψ . Dalam Voelkle
et al. (2012), matriks �∆��,�∆��, dan matriks kovarian Q ∆ti dari model waktu
diskret dapat diduga dari matriks B dan Ψ dalam persamaan struktural yaitu:
(11)
dan
(12)
Parameter waktu kontinu berupa matriks drift A yang menunjukkan bagaimana hubungan antara suatu peubah dengan peubah itu sendiri dan peubah lainnya pada k periode waktu sebelumnya merupakan parameter yang bersifat kontinu terhadap berbagai interval waktu. Hubungan antara parameter kontinu A dengan parameter diskret yaitu (Toharudin et al. 2007)
(13)
dengan,∆��=∆�1,∆�2,⋯,∆��−1. Operasi ⊗ merupakan perkalian Kronecker , row
artinya menjadikan matriks sebagai vektor dan irow sebagai lawan dari perintah
row yang artinya mengembalikan bentuk vector semula menjadikan bentuk matriks kembali.
Pada persamaan (12) menunjukkan adanya hubungan antara parameter waktu diskret dengan parameter waktu kontinu. Pada beberapa pengamatan yang mempunyai interval waktu yang berbeda maka ∆�� akan selalu berbeda lain halnya dengan pengamatan yang memiliki interval waktu yang sama maka nilai ∆�� akan sama. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa ∆�� akan bergantung pada interval pengamatan yang dilakukan.
11
t x dt t dx A
3 20 3!
1 !
2 1
! t t t
k t e
k k
t A I A A A
A
t t e t t t A t t dt de A A A A A A I A A A A 3 2 3 4 2 3 2 ! 3 1 ! 2 1 ! 3 1 ! 2 1 0
0 0 x te t
x Att
2 2 3 3
! 3 1 ! 2 1 i i i i t t t t t A
eA i I A A A
persamaan model waktu diskret pada persamaan (9) terhadap ∆�� yang dapat dituliskan sebagai berikut
(14)
dengan
(15)
dimana �0 = ��− ∆�� dan ∆�� =� − �0. Dalam hal ini persamaan (15) akan dibuktikan dengan menggunakan deret Taylor berikut
(16)
Perhatikan jika persamaan (13) diturunkan terhadap � maka diperoleh
(17)
Selanjutnya dapat diperoleh persamaan � ∆�� = ∆�� seperti tercantum pada
persaman (13), dengan cara menyamakan persamaan (15) dengan persamaan (10). Dengan demikian parameter model waktu kontinu dapat diperoleh dengan pendekatan deret Taylor seperti pada persamaan (13) yang dapat dituliskan seperti berikut
(18)
Persamaan (17) digunakan untuk melakukan pendugaan parameter diskret dengan nilai ∆�� yang berbeda-beda sesuai dengan kebutuhan pada Penelitian. Hal ini telah diilustrasikan pada Bab berikutnya.
Pendugaan Selang Kepercayaan Parameter Model Waktu Kontinu
Selang Kepercayaan
Penduga bagi parameter populasi ada dua jenis, yaitu penduga titik dan penduga selang atau disebut sebagai selang kepercayaan. Selang kepercayaan merupakan penduga parameter yang berupa kisaran nilai. Sebuah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan sebesar C bagi parameter adalah selang yang dihitung dari data contoh dengan suatu metode tertentu yang memiliki peluang sebesar C untuk menghasilkan selang yang mengandung nilai parameter sesungguhnya (Moore & McCabe 1998).
Secara matematis, Casella & Berger (2001) mendefinisikan selang dugaan tertutup bagi parameter yaitu selang tertutup yang ujung bawah dan ujung
atasnya masing-masing 1,⋯, dan 1,⋯, atau
12
1,⋯, , 1,⋯, disebut selang dugaan acak bagi . Jika �1.⋯,� adalah sampel acak, maka 1,⋯, , 1,⋯, disebut selang penduga (acak) bagi �1.⋯,� . Sedangkan, peluang dari selang penduga bagi, 1,⋯, , 1,⋯, untuk mencakup nilai disebut “peluang pencakupan” dituliskan sebagai berikut:
� 1,⋯, , 1,⋯, = 1,⋯, ≤ ≤ 1,⋯,
Jika besarnya peluang pencakupan adalah 1− , maka selang ini disebut selang kepercayaan 1− x100% bagi . Misalnya, untuk = 0.05 maka diperoleh selang kepercayaan 95% bagi . Bentuk umum dari selang kepercayaan adalah (Moore & McCabe 1998) :
Dugaan titik adalah perkiraan untuk parameter yang tidak diketahui. Batas kesalahan (margin of error) menunjukkan seberapa akurat nilai dugaan tersebut dapat dipercaya, berdasarkan variasi dugaan yang diperoleh.
Levy & Lemeshow (1999) memaknai selang kepercayaan 95% yaitu jika melakukan pengambilan sampel berukuran dari sebuah populasi yang sama berulangkali, dan untuk setiap sampel dilakukan perhitungan selang kepercayaan, maka 95% dari selang kepercayaan tersebut akan mencakup nilai parameter populasi yang sesungguhnya. Penentuan selang kepercayaan bagi parameter populasi dapat dilakukan dengan pembalikan statistik uji, menggunakan besaran pivot, pivoting fungsi sebaran kumulatif, dan metode bayes. Baik buruknya dugaan selang kepercayaan yang diperoleh dapat dievaluasi dengan melihat dua aspek, yaitu lebar selang dan peluang pencakupan. Lebar selang didefinisikan sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan (Casella & Berger 2001).
Metode Bootstrap
Bootstrap adalah prosedur statistika berbasis komputer menggunakan
teknik pengambilan sampel ulang dengan pengembalian (resampling with
replacement). Metode yang diperkenalkan oleh Efron (1979) ini merupakan salah
satu alternatif metode untuk menduga sebaran statistik, galat baku statistik, bias, selang kepercayaan, dan beberapa parameter lain selain rata-rata (Efron 1981; Efron dan Tibsirani 1993). Efron memberikan dua pendekatan bootstrap, yaitu
bootstrap non parametrik dan bootstrap parametrik. Berikut akan dijelaskan
bagaimana konsep kedua pendekatan ini dan kapan pendekatan tersebut cocok digunakan.
1. Bootstrap non parametrik
Pada pendekatan bootstrap non parametrik, sebaran peluang populasi tidak diketahui. Metode ini bertujuan untuk memperoleh dugaan parameter dan sebaran populasi. Asumsikan = 1, 2,…, adalah sampel acak dari sebaran peluang populasi yang tidak diketahui dan =� adalah parameter yang ingin diduga. Prinsip pembangkitan sampel bootstrap adalah sebagai berikut :
a. Ambil sampel berukuran n secara acak dengan pengembalian dari fungsi sebaran empiris (� ). Fungsi sebaran empiris tersebut adalah sebaran
13 diskret yang menentukan peluang 1 untuk setiap pengamatan � untuk �= 1,2,⋯ .
b. Proses tersebut dilakukan berulang-ulang hingga sebanyak kali.
c. Untuk setiap sampel yang diambil pada proses bootstrap kemudian dihitung dugaan ∗, sehingga diperoleh gugus data 1∗, 2∗,⋯ �∗ . Sebaran dari sebanyak � buah ∗dapat digunakan untuk menduga sebaran dari . Pada umumnya, ukuran B antara 50–200 untuk menduga galat baku , dan paling sedikit 500 untuk menduga selang kepercayaan (Efron dan Tibsirani 1993).
2. Bootstrap parametrik
Pada bootstrap parametrik, sebaran populasi data asli diketahui, tetapi sebaran statistiknya tidak diketahui (Otieno 2002). Pendekatan bootstrap
parametrik membangkitan sampel bootstrap dengan sebaran parametrik (Amiri
et al. 2008).
Berikut adalah prosedur dari pendekatan ini :
Misalkan = 1, 2,…, adalah sampel dari pengamatan yang berasal dari populasi dengan fungsi sebaran , . adalah parameter yang tidak diketahui. Dari data tersebut, dihitung dugaan . Ambil sampel bootstrap, ∗, berukuran dari sebaran � , . Hitung penduga dari setiap sampel
bootstrap, ∗. Ulangi proses ini sebanyak � kali, sehingga diperoleh
1∗, 2∗,…, ∗. Sebaran penarikan sampel dari dapat didekati dengan frekuensi sebaran dari �∗ (Benton dan Krishnamoorthy 2002).
Efron (1993) memberikan ilustrasi bootstrap parametrik untuk menghitung galat baku dari koefisien korelasi. Bootstrap parametrik cenderung memberikan dugaan yang lebih halus mengenai sebaran dari data dengan ukuran sampel kecil dan untuk parameter yang hanya melibatkan sedikit nilai numerik dari data sampel, misalnya median, nilai minimum, dan nilai maksimum (Otieno 2002).
3 METODE PENELITIAN
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data terapan yang diperoleh dari Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). TIMSS mengukur pergerakan kemampuan siswa kelas 4 dan kelas 8 dalam bidang matematika dan sains dengan survei yang dilakukan di beberapa negara secara berkala setiap 4 tahun sekali dimulai sejak dari tahun 1995. Data terapan pada penelitian ini yaitu data prestasi matematika kelas 8 dari 74 negara di dunia pada tahun 1995, 1999, 2003, 2007, dan 2011. Data diambil dari
http://www.timssandpirls.bc.edu/#. Ilustrasi data TIMSS yang diaplikasikan pada
model waktu kontinu terlampir pada Lampiran 1.
Prestasi matematika diukur dengan rata-rata nilai siswa yaitu rata-rata dari 2 aspek baik secara perhitungan maupun secara kognitif. Pada aspek perhitungan nilai matematika dilihat berdasarkan 4 mata pelajaran yaitu pelajaran geometri, data dan peluang, bilangan, dan aljabar sedangan pada aspek kognitif prestasi matematika diukur dengan 3 indikator yaitu indikator applying, knowing dan
14
dikelompokkan oleh TIMSS berdasarkan Math International Benchmark ke dalam lima kategori yaitu:
1. Sangat rendah {skor kurang dari 400 atau (<400)}
2. Rendah {skor antara 400 sampai kurang dari 475 atau [400;475]} 3. Sedang {skor antara 475 sampai kurang dari 550 atau [475;550]} 4. Tinggi {skor antaara 550 sampai kurang dari 625 atau[550;625]} 5. Advance {skor lebih dari 625 atau [>625]}
Penerapan pemodelan waktu kontinu pada data tersebut untuk melihat hubungan prestasi matematika dengan pengalaman guru mengajar. Pengalaman guru dalam mengajar tersebut hanya diukur dengan 1 indikator yaitu lamanya mengajar dalam satuan tahun. Pada variabel latent pengalaman guru berikut yang diukur berdasarkan lamanya mengajar juga dikategorikan menjadi 7 kategori yaitu (0-2, 2-5, 5-9,9-14,14-20,20-27 dan >27).
Metode Analisis Eksplorasi Data
Menghitung statistika deskriptif sebagai informasi awal dalam menganalisis data sebagai pemodelan dan pendugaan selang. Pada hasil analisis statistik deskriptif tersebut dapat diketahui ketidaklengkapan data yang digunakan berdasarkan banyaknya negara yang tidak berpartisipasi di setiap tahunnya.
Pendugaan Selang
Berikut merupakan tahapan-tahapan dalam menduga selang dengan menggunakan model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural :
Tahapan 1:
1. Melakukan resampling pada peubah latent prestasi matematika yang diukur berdasarkan 2 aspek yaitu perhitungan dan kognitif untuk setiap negara dan setiap tahun.
2. Melakukan resampling pada peubah latent motivasi siswa untuk setiap negara di masing-masing tahun.
3. Menghitung nilai rata-rata untuk masing-masing peubah latent dari data hasil resampling langkah 1 dan 2.
Tahapan 2:
Berdasarkan prosedur analisis data pada tahapan 1 akan memperoleh satu data set yang nantinya akan dianalisis untuk mendapatkan parameter-parameter waktu kontinu. Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan parameter-parameter kontinu adalah sebagai berikut:
1. Menduga parameter diskret dari model persamaan struktural yaitu , ,�,� . Analisis pada langkah ini dilakukan dengan menggunakan
software MPlus 7.
2. Sesuai dengan persamaan (5) dan (6), dari langkah 1 akan mendapatkan parameter-parameter diskret pada model EDM. Analisis pada langkah ini dilakukan dengan menggunakan OpenMx versi 1.3.2-2301 pada software
R versi 2.15.2.
3. Selanjutnya menduga parameter kontinu yang secara matematik tertulis pada persaman (9)
Tahapan 3:
15 bangkitan tersebut. Selanjutnya pendugaan selang kepercayaan diperoleh dengan cara menduga lebar selang yang terpendek dengan tingkat kesalahan sebesar 5%. Lebar selang didefinisikan sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan. Menduga lebar selang dari masing-masing nilai ∆��dan melakukan analisis berdarkan hasil lebar selang dugaan yang diperoleh.
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Data terapan yang digunakan pada penelitian ini melibatkan 74 negara termasuk Indonesia mulai dari tahun 1995 dan berturut-turut pada tahun 1999, 2003, 2007 dan 2011 dengan interval waktu yang sama yaitu 4 tahun. Pada data terapan yang digunakan ini tidak semua negara tercatat oleh TIMSS di setiap tahunnya. Seperti halnya Indonesia pada tahun pertama yaitu pada tahun 1995, Indonesia belum tercacat oleh TIMSS namun pada tahun-tahun berikunya Indonesia sudah tercatat oleh TIMSS. Begitu pula dengan negara lainnya seperti halnya negara Austria yang pada tahun pertama TIMSS melakukan penelitian pada bidang matematika dan ilmu pengetahuan untuk kelas 4 dan kelas 8 ini negara Austria sudah tercatat oleh TIMSS namun pada tahun-tahun berikutnya seperti pada tahun 1999, 2003 dan 2007 negara Austria sudah tidak tercatat oleh TIMSS sedangkan pada tahun 2011 negara Austria kembali tercatat oleh TIMSS. Berikut merupakan ringkasan dari statistik deskriptif untuk data prestasi matematika kelas 8 yang dilakukan oleh TIMSS:
Ukuran
Nilai Rata-Rata Matematika kelas 8 TIMMS Tahun
1995
Tahun 1999
Tahun 2003
Tahun 2007
Tahun 2011
N* 33.00 37 25 25 32
Rata-rata 507.3 486.3 463.8 450.8 473 Minimal 260.9 275 264 307 334 Maksimal 643.0 604 605 598 614 Standar Deviasi 67.80 73.1 75.8 73.4 71.3 N* jumlah negara yang tidak tercatat
Berdasarkan Tabel 3 terlihat bahwa dari tahun 1995 hingga berturut-turut tahun 1999, 2003 dan tahun 2007 rata-rata nilai matematika mengalami penurunan sedangkan pada tahun 2011 telah merangkak kembali mengalami kenaikan. Pada tahun 1995 merupakan nilai rata-rata matematika TIMSS tertinggi dibandingkan dengan 4 tahun lainnya sedangkan nilai terendahnya pada tahun 1995 tidak lebih tinggi dengan nilai pada tahun 2011. Selanjutnya dapat diamati pula pada tahun 1995 nilai standar deviasinya paling kecil dibandingkan dengan nilai standar deviasi pada 4 tahun amatan lainnya. Hal tersebut menunjukkan pada tahun 1995 bahwa keheterogenan nilai matematika siswa pada kelas 8 TIMSS relatif kecil yaitu sebesar 67,8. Naik turunnya nilai matematika, ini dapat pula disebabkan oleh adanya pengambilan contoh siswa yang berpartisipasi pada penilaian TIMSS.
Negara-negara yang selalu tercatat oleh TIMSS mulai pada tahun 1995 hingga berturut-turut tahun 1999, 2003, 2007 dan 2011 yaitu negara Inggris,
16 80 70 60 50 40 30 20 10 0 650 600 550 500 450 400 350 300 P re s ta s i M a te m a ti k a t a h u n 2 0 1 1 80 70 60 50 40 30 20 10 0 700 600 500 400 300 negara P re s ta s i M a te m a ti k a t a h u n 1 9 9 5 80 70 60 50 40 30 20 10 0 600 550 500 450 400 350 300 negara P re s ta s i M a te m a ti k a t a h u n 2 0 0 7 80 70 60 50 40 30 20 10 0 650 600 550 500 450 400 350 300 250 negara P re s ta s i M a te m a ti k a t a h u n 2 0 0 3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 600 550 500 450 400 350 300 negara P re s ta s i M a te m a ti k a t a h u n 1 9 9 9
Hongkong, Hungaria, Iran, Italia, Jepang, Korea, Lithuania, Rusia, Romania, Singapura, Slovenia, dan USA. Negara Singapura mulai dari periode tahun 1995, 1999 dan 2003 menjadi negara yang memiliki nilai rata-rata matematika siswa kelas 8 TIMSS tertinggi sedangkan pada tahun 2007 negara yang memiliki nilai rata-rata matematika tertinggi adalah negara China. Selanjutnya pada tahun 2011 negara Korea yang menjadi negara yang memiliki nilai rata-rata matematika tertinggi.
Pada periode tahun pertama sampai tahun ketiga yaitu berturut-turut pada tahun 1995, 1999 dan tahun 2003 negara yang memiliki nilai rata-rata matematika terendah adalah negara Afrika Selatan selanjutnya pada tahun 2007 semenjak negara Qatar tercatat oleh TIMSS negara Qatar yang menjadi negara yang memperoleh nilai rata-rata matematika kelas 8 TIMSS terendah. Namun pada tahun terakhir yaitu pada tahun 2011 negara Qatar sudah mengalami kenaikan dan yang memperoleh nilai rata-rata matematika terendah adalah negara Ghana
(a). Tahun 1995 (b). Tahun 1999
(c). Tahun 2003 (d). Tahun 2007
17
Berdasarkan Gambar 2 memaparkan mengenai sebaran data nilai matematika dari tahun 1995 sampai periode tahun 2011 dari beberapa negara di dunia terlihat bahwa negara-negara yang awalnya tercatat oleh TIMSS namun pada tahun selanjutnya negara tersebut tidak tercatat kembali oleh TIMSS begitu pula sebaliknya. Kasus data yang seperti ini yang sangat cocok menggunakan analisis data model kontinu. Pada Gambar 2 tersebut juga menunjukkan mulai dari tahun awal amatan TIMSS yaitu pada tahun 1995 hingga berturut-turut pada tahun 1999, 2003, 2007 dan 2011 memiliki sebaran pola yang berbeda-beda di setiap tahunnya. Selain itu, pengaruh autoregressive antara waktu t dengan waktu t+1 juga tidak dapat diperoleh karena adanya negara-negara yang tidak semuanya tercatat tersebut.
Negara Indonesia pada tahun 1995 belum tercatat oleh TIMSS sedangkan pada tahun-tahun berikutnya Indonesia selalu tercatat oleh TIMSS. Indonesia selain tidak sebagai negara yang memiliki nilai rata-rata matematika tertinggi namun nilai rata-rata matematika siswa kelas 8 di negara Indonesia yang tercatat oleh TIMSS juga masih berada di bawah nilai rata-rata matematika dari 74 negara yang tercatat oleh TIMSS di setiap tahunnya. Berikut merupakan ringkasan dari statistik deskriptif nilai matematika kelas 8 yang dilakukan oleh TIMSS untuk negara Indonesia:
Ukuran
Nilai Matematika kelas 8 Indonesia Tahun
1999
Tahun 2003
Tahun 2007
Tahun 2011 Rata-rata 400.21 418.59 402.65 400.89 Minimal 275.47 137.88 82.69 87.64 Maksimal 592.84 699.36 687.58 658.54 Standar Deviasi 71.60 85.01 84.93 78.02
Nilai rata-rata matematika negara Indonesia pada tahun 1999 hingga berturut-turut tahun 2003, 2007 dan 2011 relatif mengalami penurunan kecuali pada tahun 2003 nilai rata-rata matematika untuk negara Indonesia lebih tinggi dibandingkan pada tahun 1999. Namun dapat diamati pada Tabel 4 menunjukkan pada tahun 2003 meskipun nilai rata-rata matematika lebih tinggi dibandingkan pada tahun 1999 akan tetapi nilai terendah pada tahun 2003 lebih kecil dibandingkan dengan tahun sebelumnya. Selain itu standar deviasi juga menunjukkan bahwa pada tahun 2003 lebih besar dibandingkan pada tahun 1999. Artinya bahwa pada tahun 2003 ini terdapat keheterogenan nilai matematika siswa kelas 8 Indonesia yang tercatat TIMSS yang relatif besar mungkin disebabkan oleh variansi dari sekolah-sekolah yang dalam bidang matematika menonjol atau dapat pula disebabkan oleh adanya faktor lainnya.
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Beberapa tahapan-tahapan penelitian yang telah dipaparkan pada Bab sebelumnya yaitu bahwa untuk menduga parameter waktu kontinu perlu dilakukan pendugaan parameter waktu diskret yaitu dengan menggunakan EDM.
Parameter-Gambar 2. Sebaran data nilai matematika TIMSS tahun 1995-2011
18
0.015 0.823 045 . 0 879 . 0
parameter hasil analisis dengan menggunakan EDM digunakan sebagai nilai awal untuk memperoleh nilai penduga parameter waktu kontinu. Adapun hasil parameter-parameter EDM (�∆��,�∆�� dan �∆��) tersaji pada Tabel 5.
Berdasarkan Tabel 5, dapat diketahui bahwa pengaruh autoregressive
untuk peubah prestasi matematika (am) dan peubah pengalaman guru mengajar (xp) masing-masing signifikan pada taraf nyata 5%. Adapun nilai penduga parameter autoregressive untuk peubah prestasi matematika (am) dan peubah pengalaman guru mengajar (xp) masing-masing yaitu 0.879 dan 0.823. Dalam hal ini dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan model yang dibangun yaitu model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural memperoleh hasil bahwa peubah prestasi matematika (am) pada saat ini memiliki pengaruh dengan peubah prestasi matematika itu sendiri pada waktu sebelumnya. Begitu pula dengan peubah pengalaman guru mengajar (xp) pada saat ini memiliki pengaruh dengan dengan dirinya sendiri pada waktu sebelumnya. Dengan kata lain bahwa peubah pengalaman guru mengajar (xp) dan peubah pada saat ini memiliki hubungan yang signifikan antara peubah peubah prestasi matematika (am) dan peubah pengalaman guru mengajar (xp) pada saat sebelumnya.
Parameter Pendugaan SE
Pengaruh Autoregressive
aamam 0.879* 0.0035
axpxp 0.823* 0.045
Pengaruh Cross Lagged
aamxp 0.045 0.037
axpam -0.015 0.054
Kontanta Peubah Laten
bam 0.114 0.211
bxp 0.797 0.167
Sisaan
Var(wam) 0.131 0.0166
Var(wxp) 0.242 0.029
Cov (wxpam) 0.144 0.092
Pengukuran
M(amt0) 2.479 0.094
M(xpt0) 4.448 0.112
Var(amt0) 0.487 0.104
Var(xpt0) 0.626 0.144
Cov(amt0,xpt0) 0.023 0.02
*Signifikan pada taraf 5%
Selanjutnya berdasarkan Tabel 5 juga dapat dilihat bahwa untuk pengaruh
cross lagged tidak signifikan karena nilai signifikansi lebih dari 0.05 artinya
bahwa tidak ada pengaruh antara peubah prestasi matematika pada saat ini dengan peubah pengalaman guru mengajar pada waktu sebelumnya. Pengaruh cross
lagged pada kasus ini tidak signifikan meskipun nilai dari standar error yang
dihasilkan relatif kecil. Dengan demikian, nilai penduga parameter dari model waktu diskret yang telah disajikan pada Tabel 5 diperoleh matriks drift dari model waktu diskret � ∆�� yaitu:
19
04425 . 0 0
0 03025
. 0
ti IA.tiA
Selain matriks drift untuk model waktu diskret yang memuat pengaruh
autoregressive dan pengaruh cross lagged, pada model waktu diskret terdapat
konstanta untuk masing-masing peubah laten yang digunakan. Konstanta untuk peubah laten prestasi matematika adalah 0.045 sedangkan konstanta untuk peubah laten pengalam guru mengajar adalah -0.015. Dan selain konstanta dan matriks
drift pada model waktu diskret yang dalam menduga parameternya menggunakan
metode ED ini memuat matriks sisaan. Matriks sisaan ini memuat konstanta sisaan untuk masing-masing peubah laten dan kovarian sisaan antara kedua peubah yang digunakan. Keseluruhan hasil penduga parameter EDM yang telah tersaji pada Tabel 5 tersebut kemudian digunakan sebagai nilai awal untuk menduga parameter-parameter model waktu kontinu.
Adapun matriks drift � ∆�� yang didapatkan tersebut perlu untuk dilakukan inisialisasi dengan menggunakan persamaan (16) yaitu
dan karena parameter untuk pengaruh cross lagged tidak signifikan maka akan diperoleh matriks drift baru yaitu matriks drift untuk model waktu kontinu � pada ∆�� = 1
Nilai matriks drift untuk model waktu kontinu � tersebut digunakan sebagai nilai awal dalam menduga parameter model waktu kontinu. Selain dengan menggunakan matriks drift �, keseluruhan penduga parameter yang dihasilkan pada Tabel 5 yaitu konstanta model, sisaan dan pendugaan parameter pengukuran juga digunakan sebagai nilai awal dalam menduga parameter-parameter model waktu kontinu namun tanpa melakukan inisialisasi seperti pada matriks drift.
Parameter Pendugaan SE
Pengaruh Autoregressive
aacac -0.029 0.0096
axpxp -0.052 0.0134
Pengaruh Cross Lagged
aacxp 0 -
axpac 0 -
Kontanta Peubah Laten
bac 0.0746 0.0253
bxp 0.2225 0.0589
Sisaan
Var(wac) 0.0369 0.0047
Var(wxp) 0.0748 0.0104
Cov (wxpac) 0.0079 0.0056
Pengukuran
M(act0) 2.480 0.0945
M(xpt0) 4.462 0.1106
Var(act0) 0.494 0.1061
Var(xpt0) 0.622 0.1434
20
Cov(act0,xpt0) 0.155 0.0917
Berdasarkan Tabel 6 tersebut menunjukkan parameter-parameter model waktu kontinu dan diperoleh matriks drift untuk model waktu kontinu yaitu:
052 . 0 0 0 029 . 0
Pada hasil penduga parameter-parameter model waktu kontinu yang disajikan pada Tabel 6 menunjukkan bahwa matriks drift yang diperoleh hanya memuat pengaruh autoregressive dari kedua peubah yang digunakan yaitu peubah prestasi matematika dan peubah pengalaman guru mengajar. Matriks drift untuk model waktu kontinu yang tersaji pada Tabel 6 tersebut tidak jauh berbeda dengan nilai awal yang digunakan atau nilai dugaan matriks drift yang dihasilkan pada model waktu diskret. Selain itu, nilai dugaan konstanta pengaruh autoregressive dari kedua peubah yang digunakan menghasilkan nilai standar error yang relatif lebih kecil apabila dibandingkan dengan hasil penduga EDM.
Ukuran kebaikan untuk model waktu kontinu dan kajian mengenai uji signifikansi dari nilai penduga parameter model waktu kontinu hingga saat ini belum ada sehingga kebaikan dari hasil penduga parameter untuk model waktu kontinu dengan pendekatan persamaan struktural dapat diamati dengan menggunakan nilai standar error yang diperoleh seperti yang tersaji pada Tabel 6 tersebut. Selain pengaruh autoregressive, pada Tabel 6 juga menunjukkan nilai dugaan untuk konstanta model waktu kontinu yaitu untuk masing-masing-masing peubah prestasi matematika dan peubah pengalaman guru mengajar yaitu masing-masing sebesar 0.0746 dan 0.2225.
∆�� Parameter ∆�� ∆�� Parameter ∆��
0.25 0.987 0 0 0.993 10 5940 , 0 0 0 7483 , 0 0.5 0.974 0 0 0.986 20 3513 , 0 0 0 5599 , 0 1 944 , 0 0 0 971 , 0 30 2663 , 0 0 0 4812 , 0 3 855 , 0 0 0 917 , 0 50
0,238 0 0 224 , 0 5 771 , 0 0 0 865 , 0 70
2.082 0 0 057 , 0 7 695 , 0 0 0 816 , 0 80 45 . 4 0 0 063 . 0
Nilai dugaan untuk pengaruh autoregressive peubah prestasi matematika yaitu 0,9714 dan nilai penduga parameter model waktu kontinu dari pengaruh
autoregressive peubah pengalaman guru mengajar yaitu 0,9492. Selanjutnya
21
-0.040 -0.045 -0.050
-0.055 -0.060
-0.065 -0.070
-0.075 90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
a(acac)
F
r
e
k
u
e
n
s
i
seperti yang terlihat pada Tabel 6 tersebut dilakukan inisialisasi dengan menggunakan ∆�� yang berbeda-beda telah disajikan pada Tabel 7. Kelebihan dari model waktu kontinu yang telah dibangun dan telah dipaparkan pada Bab sebelumnya yaitu kemampuan model dalam menduga parameter-parameter dengan satuan waktu yang berbeda. Pada penelitian ini interval waktu yang digunakan oleh TIMSS dalam melakukan survey yaitu dengan interval waktu 4 tahun. Dalam hal ini jika menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged untuk ∆�� = 1 artinya menduga konstanta pengaruh
autoregressive dan pengaruh cross lagged pada model waktu kontinu untuk
satuan waktu satu tahun. Kemudian jika dengan menggunakan ∆�� = 1/2 artinya menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged untuk satuan waktu dengan interval 6 bulan dan selanjutnya dengan menggunakan ∆�� = 1/4 artinya telah menduga konstanta pengaruh autoregressive dan pengaruh cross lagged untuk satuan waktu dengan interval 3 bulan. Begitu pula kelipatannya seperti yang telah tersaji pada Tabel 7 tersebut dengan menggunakan ∆�� = 2 artinya menduga parameter untuk satuan waktu dengan interval 2 tahun.
Berdasarkan hasil analisis yang telah disajikan pada Tabel 7 hasil pendugaan parameter-parameter model waktu kontinu dalam bentuk matriks drift
tersebut terlihat bahwa semakin meningkat nilai ∆�� yang digunakan maka pengaruh autoregressive akan semakin menurun dan sebaliknya jika semakin menurun nilai ∆�� yang digunakan maka pengaruh autoregres
