Profesor TEMA 7

(1)

AUTOMATICA

TEMA 7 :

(2)

AUTOMATICA

Puente sobre el estrecho de Tacoma en Puget Sound, Washington, 7 de noviembre de 1940

Murphy's Laws de Arthur Bloch

LEY DE PUDDER

• Todo lo que empieza bien, acaba mal.

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AUTOMATICA

Objetivos:

Comprender la importancia de que un sistema continuo de control sea estable

Conocer algunos criterios rápidos para saber si un sistema no es estable (Cardano-Vietta)

Saber aplicar el criterio de Routh, que proporciona una condición necesaria y suficiente para la estabilidad, y sus casos especiales

Entender el concepto de estabilidad relativa y su relación con la lejanía de las raíces del eje imaginario

Bibliografía:

Regulación Automática I. E. Andrés Puente. Ed. Servicio de Publicaciones de la ETSII de Madrid,

1997

Ingeniería de Control Moderna. K. Ogata. Ed. Prentice-Hall, 2003

Sistemas de Control Automático. B. Kuo. Ed. Prentice-Hall, 1996

Sistemas Modernos de Control. R. Dorf. Ed. Addison-Wesley, 2006

TEMA 7 :

(4)

AUTOMATICA

TEMA 7 :

ESTABILIDAD DE SISTEMAS

Contenidos:

7.1. Concepto de estabilidad

7.2. Condiciones necesarias para la estabilidad (Cardano-Vietta)

7.3. Criterio de Routh. Casos especiales

7.4. Aplicación del criterio de Routh a sistemas realimentados

(5)

AUTOMATICA

7.1. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL

CONCEPTO DE ESTABILIDAD

Definición de estabilidad :

Las tres definiciones anteriores son equivalentes

t ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = ∞ ≡ 0 , 0 0 , ) ( t en t en t δ ) (t r

3) Todos los polos de su función de transferencia tienen parte real negativa (están situados en el semiplano s izquierdo)

Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si :

2) Su respuesta al impulso tiende a cero con el tiempo

(6)

AUTOMATICA

CONDICIONES NECESARIAS DE ESTABILIDAD

Condiciones necesarias para la estabilidad (Cardano-Vietta) :

Sea un sistema cuyo polinomio característico es :

0 1

1

s

...

a

s

a

s

a

q(s)

=

_n n

+

_n₋ n−

+

Condición de Cardano-Vietta: " Para que el polinomio característico tenga todas sus raíces (polos del sistema) con parte real negativa, es necesario pero no suficiente que todos sus coeficientes, a_i , existan y sean positivos " .

(7)

AUTOMATICA

Construcción de la tabla de Routh :

Sea un sistema cuyo polinomio característico es :

a

+

s

a

+

...

+

s

a

+

s

a

q(s)

n-1 ₁ ₀

1 -n n n

=

La tabla de Routh consta de n+1 filas :

n a_n a_n-2 a_n-4 a_n-6 ... n-1 a_n-1 a_n-3 a_n-5 a_n-7 ...

n-2 b₁ b₂ b₃ ...

filas n-3 c₁ c₂ ...

... ... ...

... ...

1 g₁

0 h₁

Las dos primeras filas se forman directamente con los coeficientes del polinomio característico, a_i .

7.3. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL

CRITERIO DE ROUTH (I)

(8)

AUTOMATICA

a

=

b

n n n n n 1 3 1 2 1

1

− − − −

−

Los elementos de las filas siguientes se calculan de forma secuencial, mediante el siguiente algoritmo:

7.3. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL

CRITERIO DE ROUTH (II)

Criterio de Routh :

a

=

b

n n n n

n 1 5

4 1 2

1

− − − −

−

b

a

b

=

c

1 n n

2 1

3 1

1

− −

−

b

a

b

=

c

n n

3 1 5 1 1 2

1

− −

−

...

" Para que el polinomio característico tenga todas sus raíces (polos) con parte real negativa, es necesario y suficiente que todos los elementos de la primera columna de la tabla de Routh sean positivos.

(9)

AUTOMATICA

CRITERIO DE ROUTH. CASOS ESPECIALES (III)

Casos especiales :

Aparición de un elemento nulo en la primera columna :

Se sigue el siguiente procedimiento:

1) Se sustituye el elemento nulo por un número positivo y tendente a cero ( un infinitésimo, ε+ ₎

2) Continuar con el desarrollo de la tabla en cuyos elementos aparecerá el término ε+

3) Al finalizar la tabla, hacer tender ε+ _Æ _{0 , y estudiar los cambios de signo en la primera}

columna

Todos los elementos de una fila son nulos :

Se sigue el siguiente procedimiento:

1) Tomar la ecuación auxiliar formada por los elementos de la fila anterior a la de ceros (que debe ser de orden par y contiene únicamente potencias pares)

2) Derivando la ecuación auxiliar, se obtiene otra cuyos coeficientes se sustituyen por la fila de ceros

(10)

AUTOMATICA

APLICACIÓN DEL CRITERIO DE ROUTH A SISTEMAS CON REALIMENTACION

G_p(s)

C(s)

H(s) +

-R(s)

K

CONTROL ACTUADOR + PROCESO

E(s)

MEDIDA

(11)

AUTOMATICA

ESTABILIDAD RELATIVA (I)

La estabilidad relativa es una medida cuantitativa de la rapidez con que la respuesta transitoria del sistema tiende a cero. Cuanto menor sea el tiempo en estabilizarse la respuesta, el sistema es más estable relativamente.

En el ejemplo de la Figura, el sistema 2 es más estable relativamente que el sistema 1

En un sistema genérico, la estabilidad relativa puede determinarse mediante el tiempo de establecimiento de las raíces dominantes. Como

n s

t

ξω

π

≅

cuanto más alejados estén los polos del eje imaginario ( ξω_n ↑ ) , menor será el tiempo de estabilización y más estable relativamente es el sistema

j

ω

σ

PLANO s

×

2

1

ξ

ω

_n −

ξω

−

(12)

AUTOMATICA

ESTABILIDAD RELATIVA (II)

Se puede utilizar el criterio de Routh para comprobar si todas las raíces están a la

izquierda de un valor s=σ₁ (que equivale a que el tiempo de establecimiento sea menor de )

1

σ

π

≅ s t

j

ω

σ

PLANO s

×

ZONA PROHIBIDA ZONA NO DESEABLE ZONA IDÓNEA

×

PLANO u

×

1

σ

−

×

1

σ

+ = s u 1

σ

− = u s

Para ello, se hace el cambio de variable para trasladar el plano s desde el origen hasta y se aplica el criterio de Routh a la nueva variable u

1

σ

s

u = +

(13)

AUTOMATICA

APLICACIÓN PRACTICA 7:

CONTROL DEL PROCESO DE

(14)

AUTOMATICA

PROCESO DE ACONDICIONAMIENTO DEL TABACO

El

El tabaco

tabaco

es

una

planta

solaná

solan

ácea

cea,

, originaria

originaria

de

de las

las

Antillas,

Antillas

, cuyas

cuyas

hojas

secadas

y curadas

y

curadas

sirven

para

elaborar

cigarros

y para

y

para

ser mascado

ser

mascado

y

aspirado

aspirado.

.

Sufre

un primer proceso

un primer

proceso

de curado

de

curado

en

secaderos

de

los

propios

agricultores,

agricultores

,

tras

el cual

el

cual

se lleva

se

lleva

a

f

(15)

AUTOMATICA

SILOS

DE

OREO

( Opcional )

RESECADO

2

ª

HUMECTACI

Ó

N

1

ª

HUMECTACI

Ó

N

C

Á

MARA DE VAC

Í

O

COMPRA

PRENSADO

BATIDO

PRESELECCI

Ó

N

SELECCI

Ó

N

Vapor y Agua

Vapor, Agua y Aire caliente

Aire caliente

Vapor, Agua y Aire caliente

Suciedad

Suciedad/Tabaco

no apto

ENTRADA DE FARDOS PRODUCTO ACABADO

(Tabaco en cajas)

(16)

AUTOMATICA

El tabaco

se introduc

se

introduce

e

en cá

en c

ámaras de vac

maras de vací

í

o

con el fin de separar las hojas de tabaco y

darles el grado de humedad necesario para

trabajar con ellas

y retrasar su

fermentaci

fermentació

ón

n.

.

(17)

AUTOMATICA

En esta parte del proceso se retiran del

tabaco los cuerpos extra

ños que han

ñ

os que han

venido junto a

venido junto a é

él desde el campo, as

l desde el campo, as

í

como la suciedad.

(18)

AUTOMATICA

El cilindro

humectador de selecci

ó

n

se encarga

de que el tabaco tenga el

grado de humedad

ó

ptimo para

trabajar con

é

l

y no se parta

.

(19)

AUTOMATICA

Es la

ú

ltima parte del proceso donde el

operario puede tener contacto directo con

el tabaco.

Se

separan del tabaco los objetos

extra

extrañ

ños as

os así

í

como las hojas de

tabaco que se considere que no

tienen el color deseado

tienen el color deseado.

.

(20)

AUTOMATICA

El cilindro de segunda humectaci

El cilindro de segunda humectació

ón

n

es el

encargado de dar al tabaco el

grado de humedad

ó

ptimo antes de

que se produzca el batido.

(21)

AUTOMATICA

El batido es la parte del proceso donde la hoja

de tabaco es partida y separada de la vena

central.

(22)

AUTOMATICA

Cuatro estadios de secado

Enfriamiento

Peine salida

Peine salida resecadora

resecadora

Alimentador entrada

resecadora

(23)

AUTOMATICA

Llenado de cajas

Pesado de cajas

Prensado de cajas

(24)

AUTOMATICA

PC SUPERVISOR

AUTÓMATA AUTÓMATA

AUTÓMATA AUTÓMATA

MODBUS

CONTROLADOR CONTROLADOR CONTROLADOR CONTROLADOR

VARIADOR VARIADOR VARIADOR VARIADOR

MOTOR MOTOR MOTOR MOTOR

SENSOR SENSOR SENSOR SENSOR

ACTUADOR ACTUADOR ACTUADOR ACTUADOR

SENSOR SENSOR SENSOR SENSOR

CONTROLLER LINK

CONTROL DEL PROCESO

(25)

AUTOMATICA

Sensor de temperatura

.

Sensor de presi

Sensor de presió

ón

n

.

Sensor de posici

Sensor de posició

ón

n

Sensor de

humedad

CONTROL DEL PROCESO

(26)

AUTOMATICA

Los

variadores

de frecuencia se encuentran se

encuentran situados en:

Resecadora de tabaco

Cilindros H.

Zona subproductos

(27)

AUTOMATICA

Los controladores digitales controlan la temperatura de secado e

Los controladores digitales controlan la temperatura de secado en las

n las

resecadoras

de tabaco y vena.

Realizan los PID en los estadios de secado de las

resecadoras

.

Zona subproductos

Resecadora de tabaco

(28)

AUTOMATICA

[image:28.842.64.766.30.525.2]

Borneros multihilo

Módulos analógicos

Cilindro humectador

Cuadro

(29)

AUTOMATICA

Posee cuatro grupos de información :

Recetas, Pantallas, Alarmas e Históricos.