Bahan Ajar Statistika Inferensial

(1)

BAHAN AJAR

STATISTIKA INFERENSIAL

KODE MATA KULIAH

MAT 201

ROMBEL

410140-03

410140-04

410140-05

410140-06

410140-07

Semester Gasal 2011/2012

Disusun Oleh

Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Semarang

(2)

DAFTAR ISI

BAB I PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran

2. Menaksir Rata-rata µ

3. Menaksir Proporsi π

4. Menaksir Simpangan Baku σ

5. Menaksir Selisih Rata-Rata

6. Menaksir Selisih Proporsi

BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan

2. Dua Macam Kekeliruan

3. Langkah Pengujian Hipotesis

4. Uji Hipotesis Rata-Rata

5. Uji Hipotesis Proporsi

6. Uji Hipotesis Varians

7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata

8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi

9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians

10.Uji Homogenitas Varians Populasi

BAB III ANALISIS VARIANS

BAB IV ANALISIS REGRESI

(3)

BAB I

PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran

Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi.

Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara

sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk

menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian

berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai

populasi dibuat.

Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi

dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis,

nilai-nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai-nilai-nilai statistik

dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.

Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan

cara-cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak

diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang

diambil dari populasi yang bersangkutan.

Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata,

simpangan baku dan proporsi.

Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ

bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku σ , proporsi πdan sebagainya.

Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θˆ (baca: theta topi), maka

θˆ dinamakan penaksir.

Sangat diharapkan θˆ=θ, yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal.

Kenyataan yang sering terjadi adalah:

(4)

b. menaksir θ oleh θˆ terlalu rendah.

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians

minimum dan konsisten.

a. penaksir θˆ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θˆ yang

mungkin akan sama dengan θ, ditulis E

( )

θˆ =θ. Penaksir yang tidak

takbias disebut penaksir bias.

b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil

diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika θˆ₁ dan θˆ₂ dua

penaksir untuk θ, jika varians θˆ₁ < varians θˆ₂, maka θˆ₁ merupakan

penaksir bervarians minimum.

c. Misalkan θˆ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel

acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran

populasi menyebabkan θˆ mendekati θ, maka θˆ disebut penaksir

konsisten.

d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir

terbaik.

Jika harga parameter θ ditaksir oleh θˆ tertentu, maka θˆ dinamakan penaksir

atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).

Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes.

Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu

dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x= 160 cm. Jika 160 cm ini

digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika

Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa

matematika Unnes.

(5)

Titik taksiran untuk suatu parameter µ, harganya akan berlainan tergantung

pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya

kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval

taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas

dua harga.

Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat

kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut

koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka

1

0<γ < . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi

dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang

biasa digunakan adalah γ =0,95 atau γ =0,99.

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien

kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang

diperlukan.

Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah:

(I.1) P

(

A<θ <B

)

=γ

Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi

tidak tergantung pada θ.

Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak

antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel,

maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas

menjadi: kita merasa 100 γ% percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam

(6)

2. Menaksir Rata-rata µ

Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan

baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ. Untuk itu

ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu

xdan s. Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x. Dengan kata lain,

nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.

Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan

interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang

dikehendaki.

a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal

Rumus (I.1) menjadi:

(I.2) _γ σ µ _γ σ _⎟⎟=γ

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ₋ _< _< ₊

n z x n

z x

P . .

2 1 2

1

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan _γ

2 1

z = bilangan z dari tabel normal

baku untuk peluang 1₂γ.

Untuk memperoleh 100 γ% interval kepercayaan parameter µ dapat

digunakan rumus:

(I.3)

n z x n

z

x _γ. σ µ _γ. σ

2 1 2

1 < < + −

b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal

Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti

(I.4) µ _⎟⎟=γ

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ ₋ _< _< ₊

n s t x n

s t x

P _p. _p.

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan t_p= nilai t dari daftar distribusi

Student dengan =

(

1+γ

)

2 1

(7)

Untuk interval kepercayaannya:

(I.5)

n s t x n

s t

x− _p. <µ< + _p.

Bilangan

n s t

x− _p. dan

n s t

x+ _p. masing-masing merupakan batas bawah

dan batas atas kepercayaan.

Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N

yakni >5%

N n

, maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi:

(I.6)

1 .

2 1 2

1 ₋

− +

< < − − −

N n N

n z x N

n N

n z

x _γ σ µ _γ σ

(I.7)

1 .

− − +

< < − − −

N n N

n s t x N

n N

n s t

x _p µ _p

c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi normal

Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit

pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat

digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil.

Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel

kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi

asli dari populasi yang bersangkutan.

Hal ini tidak dibicarakan di sini.

Contoh

Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku

5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:

a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30

(8)

Penyelesaian

Diketahui x= 68,6

σ= 5,75

γ = 95% = 0,95

γ 2 1 475 , 0

= Æ z₀_,₄₇₅= 1,96

a. Sampel n = 30 Æ 5%

1000 30 _≤ = N n n z x n z

x _γ. σ µ _γ. σ

2 1 2

1 < < + −

( )

30 75 , 5 . 96 , 1 6 , 68 30 75 , 5 . 96 , 1 6 ,

68 − <µ< +

66,54<µ<70,66

Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah

66 , 70 54

,

66 <µ< .

Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi

tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66.

b. Sampel n = 80 Æ 5%

1000 80 ≥ = N n 1 . 1 . 2 1 2 1 ₋ − + < < − − − N n N n z x N n N n z

x _γ σ µ _γ σ

( )

1 1000 80 1000 . 30 75 , 5 . 96 , 1 6 , 68 1 1000 80 1000 30 75 , 5 . 96 , 1 6 , 68 − − + < < − − − µ

68,6−a<µ<68,6+a

Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah

a a< < +

− 68,6 6

,

68 µ .

Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi

(9)

3. Menaksir Proporsi

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial

berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam

populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk

peristiwa A =

n

x _{. Jadi titik taksiran untuk}_π_adalah n x _.

Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran

sampel n cukup besar.

Rumus 100 γ% keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah

(I.8)

n pq z

p n

pq z

p . .

2 1 2

1 _γ <π < + _γ −

dengan

n x

p= dan q=1−p sedangkan _γ

2 1

z adalah bilangan z yang

diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ 2 1 _.

Contoh

Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan

mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60

orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan

berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.

Penyelesaian

Diketahui γ= 95% = 0,95

γ 2 1

475 , 0

= Æ z0,475= 1,96

0,6

100 60 ₌

=

p Æ q= 0,4

Interval kepercayaan π adalah

n pq z

p n

pq z

p . .

2 1 2

(10)

( ) ( )( )

100

4 , 0 6 , 0 . 96 , 1 6 , 0 100

4 , 0 6 , 0 . 96 , 1 6 ,

0 − <π < +

6960,504<π <0,

% 6 , 69 %

4 ,

50 <π <

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan

berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval

dengan batas 50,4 % dan 69,6 %.

4. Menaksir Simpangan Baku σ

Untuk menaksir varians σ2 dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel

varians s2 berdasarkan sampel acak berukuran n.

(I.9)

(

)

1

2 2

− − =

∑

n x x

s i

Varians _s2_{adalah penaksir takbias untuk varians}σ2_{, tetapi simpangan baku}

s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ. Jadi titik taksiran s

untuk σ adalah bias.

Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians σ2_{, maka 100}γ_%

interval kepercayaan untuk σ2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat.

(I.10)

(

)

( )

(

)

( )

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2

1 1

γ

γ χ

σ

χ ₊ ₋

− < <

− s n s n

dengan n ukuran sampel sedangkan 2₍₁ ₎

2 1 γ

χ ₊ dan 2₍₁ ₎

2 1 γ

χ ₋ diperoleh dari daftar

chi-kuadrat berturut-turut untuk =

(

1+γ

)

2 1

p dan =

(

1−γ

)

2 1

p dengan

(

−1

)

= n

dk .

Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan

(11)

Contoh

Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif

dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan

koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.

Penyelesaian

Diketahui n = 31

s = 6

γ = 99 % = 0,99

₍ ₎ 2₍₁₀_,₉₉_{) (}_,₃₁₁₎ ₍2₀_,₉₉₅_{) ( )}_,₃₀ 53,7

2 1 2

, 1 2

1 + =χ + − =χ =

χ _γ _dk

₍ ₎ 2₍ _{) (} ₎ ₍2₀_,₀₀₅_{) ( )}_,₃₀ 13,8

1 31 , 99 , 0 1 2 1 2

, 1 2

1 ₋ =χ ₋ ₋ =χ =

χ _γ _dk

Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah

(

)

( )

(

)

( )

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2

1 1

γ

γ χ

σ

χ ₊ ₋

− < <

− s n s n

(

)( )

(

)( )

8 , 13

6 1 31 7

, 53

6 1

31 2 2

2 ₋

< < − _σ

(

)( )

(

)( )

8 , 13

6 1 31 7

, 53

6 1

31− 2 _<_σ _< − 2

4,4846<σ <8,8465

Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut

akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan

rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ₁dan σ₁ untuk populasi

pertama, µ₂dan σ₂untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah

sampel acak dengan ukuran n₁ dan n₂ dari masing-masing populasi. Rata-rata

(12)

Akan ditaksir selisih rata-rata (µ₁−µ₂).

Titik taksiran untuk adalah (µ₁−µ₂) adalah (x₁−x₂).

Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:

a. Dalam hal σ₁=σ₂

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ₁=σ₂ =σ yang besarnya

diketahui, maka 100 γ% interval kepercayaan untuk (µ₁−µ₂) adalah

(I.11) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( n n z x x n n z x

x − − _γσ + <µ −µ < − + _γσ +

dengan _γ

2 1

z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ 2 1 _.

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ₁ =σ₂ =σ tetapi besarnya tidak

diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan

dengan s2.

(I.12)

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n s

Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan (µ₁−µ₂) adalah

(I.13) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 . ) ( 1 1 . ) ( n n s t x x n n s t x

x − − _p + <µ −µ < − + _p +

dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan t_p diperoleh dari daftar distribusi

Student dengan =

(

1+γ

)

2 1

p dan dk =n₁+n₂−2.

b. Dalam hal σ₁≠σ₂

Untuk populasi normal dengan σ₁≠σ₂ teori di atas tidak berlaku dan teori

(13)

Dengan memisalkan s₁=σ₁ dan s₂ =σ₂ untuk sampel-sampel acak

berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal.

Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:

(I.14)

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 ) ( )

(

n s

n s z x x n

s

n s z x

x − − _γ + <µ −µ < − + _γ +

dengan _γ

2 1

z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ 2 1 _.

c. Observasi berpasangan

Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua

dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing µ_x dan µ_y. Diambil

sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, n₁=n₂ =n.

Diperoleh data sampel

(

x₁,x₂,K,x_n

)

dan

(

y₁,y₂,K,y_n

)

, dan bila data

observasi ini berpasangan maka

1

x berpasangan dengan y₁

2

x berpasangan dengan y₂

M

n

x berpasangan dengan y_n

Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata

y x B µ µ

µ = − , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu

1 1 1 x y

B = − , B₂ =x₂−y₂,…, B_n =x_n−y_n.

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari B₁, B₂,…, B_n, dihitung

rata-rata Bdan simpangan baku s_Bdengan menggunakan

n B

B =

∑

i dan

(

)

1

2 2

1 − − =

∑

n n

B B

n

s_B i

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan µ_B adalah

s s _< _< ₊

(14)

dengan t_p diperoleh dari daftar distribusi Student dengan =

(

1+γ

)

2 1

p dan

(

−1

)

= n

dk .

Contoh (Sudjana)

Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I

dilakukan 50 kali yang menghasilkan x = 60,2 dan ₁ s₁2= 24,7. Cara II dilakukan

60 kali dengan x₂= 70,4 dan s₂2= 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95%

mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.

Penyelesaian

Diketahui x = 60,2 ; ₁ s₁2= 24,7

x₂= 70,4 ; s₂2= 37,2

Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.

(

)

(

1 0,95

)

0,975 2

1 1

2

1 ₊ ₌ ₊ ₌

= γ

p ; dk=50+60−2=108

Karena kedua populasi normal dan memiliki σ₁=σ₂ =σ tetapi besarnya tidak

diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

53 , 31 2 60 50 2 , 37 1 60 7 , 24 1 50 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 = − + − + − = − + − + − = n n s n s n s

Maka interval kepercayaan

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 . ) ( 1 1 . ) ( n n s t x x n n s t x

x − − _p + <µ −µ < − + _p +

60 53 , 31 50 53 , 31 . ) 2 , 60 4 , 70 ( 60 53 , 31 50 53 , 31 . ) 2 , 60 4 , 70

( − −t₀_,₉₇₅_;₁₀₈ + <µ₁−µ₂ < − +t₀_,₉₇₅_;₁₀₈ +

(70,4−60,2)−

(

1,984

) ( )

.1,08 <µ1−µ2 <(70,4−60,2)+

(

1,984

) ( )

.1,08

8,06<µ1−µ2 <12,34

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari

kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

(15)

diambil sebuah sampel acak berukuran n₁ dan n₂. Proporsi untuk peristiwa

yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah

1 1 1

n x

p = dan

2 2 2

n x

p = dengan

1

x dan x₂menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.

Akan ditentukan interval taksiran untuk

(

π₁−π₂

)

dengan menggunakan

pendekatan oleh distribusi normal asalkan n₁ dan n₂cukup besar.

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih

(

π₁−π₂

)

adalah

(I.16)

(

)

(

)

2 2 2 1

1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 1

1 1 2 1 2 1

n q p

n q p z

p p n

q p

n q p z

p

p − − _γ + <π −π < − + _γ +

dengan q₁ =1−p₁ dan q₂ =1− p₂ sedangkan _γ

2 1

z diperoleh dari daftar

normal baku untuk peluang γ 2

1 _.

Contoh (Sudjana)

Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700

pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325

pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95%

mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran

dan menyukainya.

Penyelesaian

Diketahui

persentase pemudi yang menyukai pameran 100% 65%

500 325

1 1

1= = × =

n x

p

persentase pemuda yang menyukai pameran 100% 57%

700 400

2 2

2= = × =

n x p

Jadi, q₁=1−p₁=1−65%=35% dan q₂=1− p₂=1−57%=43%

(16)

(

)

(

)

2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 n q p n q p z p p n q p n q p z p

p − − _γ + <π −π < − + _γ +

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

700 43 , 0 57 , 0 500 35 , 0 65 , 0 57 , 0 65 , 0 700 43 , 0 57 , 0 500 35 , 0 65 , 0 57 , 0 65 , 0 95 , 0 . 2 1 2 1 95 , 0 . 2

1 + < − < − + +

−

− z π π z

(

0,65−0,57

) ( ) (

− 1,96 0,0284

)

<π₁−π₂ <

(

0,65−0,57

) ( ) (

+ 1,96 0,0284

)

0,024<π₁−π₂<0,136

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan

pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval

yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

LATIHAN

1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan

kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika:

a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan

kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien

kepercayaan 95%.

b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan

kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;

63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%.

2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138,

175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,

tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat.

3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi.

Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45

Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63

Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika:

(17)

c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.

4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi

tanaman padi sbb:

Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.

Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2.

Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,,

taksirlah selisih rata-ratanya.

5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin

produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran

100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah

lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua

(18)

BAB II

PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan

Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil

kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan

kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis.

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan

pengecekannya.

Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya

mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis

statistik.

Contoh hipotesis

a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.

b. 25 % masyarakat termasuk golongan A.

c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian

sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk

menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian

hipotesis.

2. Dua Macam Kekeliruan

Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti

bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya

menerima atau menolak hipotesis saja.

(19)

a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,

b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis Keadaan Sebenarnya

Kesimpulan

Hipotesis Benar Hipotesis Salah

Terima Hipotesis BENAR SALAH

(Kekeliruan tipe II)

Tolak Hipotesis SALAH

(Kekeliruan tipe II)

BENAR

Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat

kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α(alpha) maka disebut pula

kekeliruan αdan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β

(beta) dikenal dengan kekeliruan β.

α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering disebut taraf nyata.

Jika αdiperkecil, maka βmenjadi besar dan demikian sebaliknya.

Harga α yang biasa digunakan adalah α =0,01 atau α=0,05.

Misalnya, dengan α=0,05 atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi)

5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak

hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin

bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan

bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah

dengan peluang 0,05.

3. Langkah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau

menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan

perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan

(20)

Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat

dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua

pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya

berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang

dinyatakan dengan A.

Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan

kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan

hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis.

Bila menguji parameter θ (θ dapat berupa rata-rata µ, proporsi π,

simpangan baku σ , dll), maka:

a. Hipotesis mengandung pengertian sama

Pengujian sederhana lawan sederhana

1) H : θ =θ₀

A : θ=θ₁

dengan θ₀,θ₁ dua nilai berbeda yang diketahui.

Pengujian sederhana lawan komposit

2) H : θ =θ₀

A : θ≠θ₀

3) H : θ =θ₀

A : θ>θ₀

4) H : θ =θ₀

A : θ<θ₀

b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan

komposit)

H : θ≤θ₀

(21)

c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan

komposit)

H : θ≥θ₀

A : θ<θ₀

Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang

perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan,

disebut hipotesis nol H₀ melawan hipotesis tandingannya H₁, yang

mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. H₁ harus

dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

Pasangan H₀ dan H₁ yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

θ θ

atau

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 1

0 0

: H

θ θ

atau

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

θ θ

Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, χ2, F

atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data

sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf

nyata αatau disebut ukuran daerah kritis.

Peran hipotesis tandingan H₁ dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai

berikut:

1) Jika H₁ mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung

(22)

α

2

1 _{. Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis}

dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan

dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya

diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan

oleh α.

Kriteria yang digunakan: terima H₀ jika harga statistik yang dihitung

berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak H0.

2) Jika H₁ mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah

(23)

Harga d (pada contoh gambar ddinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh

dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α,

menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H₀.

Kriteria yang digunakan: tolak H₀ jika statistik yang dihitung berdasarkan

sampel tidak kurang dari d, selain itu terima H₀.

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3) Jika H₁ mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah

kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α.

Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2)

di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.

Kriteria yang digunakan: terima H₀ jika statistik yang dihitung berdasarkan

penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak H₀.

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.

Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah:

1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan.

2. Tentukan besarnya taraf nyata α.

3. Tentukan kriteria pengujian.

4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang

diambil.

5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah H₀ berdasarkan hasil 3 dan 4.

4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ

dan simpangan baku σ. Untuk menguji parameter rata-rata µ, diambil

(24)

a. Dalam hal σ diketahui

Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

µ µ

dengan µ₀ sebuah harga yang

diketahui.

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α.

3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika − ₍₋_α₎< < ₍₁₋_α₎

2 1 1

2

1 z z

z , selainnya tolak H₀.

Dengan ₍₁₋_α₎

2 1

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang

(

1−α

)

2

1 _.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(II.1)

n x z= −_σµ0

dengan x adalah rata-rata sampel, µ₀ nilai yang diketahui, σ adalah

simpangan baku populasi.

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar

800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah.

Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata

diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan

baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan

95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.

Penyelesaian

(25)

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

800 :

H

800 :

H

1 0

µ µ

2. Taraf signifikansi α= 5%.

2 1 1

2

1 z z

z

₍ ₎ ₍₁ ₀_,₀₅₎

2 1 05

, 0 1 2

1 − < < −

−z z z Æ 96−1,96<z<1,

2 1

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

1−α

)

2

1 _.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

94 , 0

50 60

800 792

0 = − =− −

=

n x z

σµ

5. Kesimpulan : karena z_hitung =−0,94 terletak dalam daerah penerimaan

0

H maka H₀ diterima. Jadi, µ=800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu

masih 800 jam.

b. Dalam hal σ tidak diketahui

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka

digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s.

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

µ µ

Terima H0_jika− 1−12α < < 1−12α

t t t

(26)

Dengan _α

2 1 1−

t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang α

2 1

1− dan dk =n−1.

(II.2)

n s x t= −µ0

(II.3)

(

)

1

2

− − =

∑

n x x

s i

dengan x adalah rata-rata sampel, µ₀ nilai yang diketahui, s adalah

simpangan baku sampel.

Contoh

Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan

baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah

dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah

atau belum.

Penyelesaian

Diketahui x= 792 ; n = 50 ; s = 55

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

800 :

H

800 :

H

1 0

µ µ

Terima H0_jika 1−12α 1−12α < < −t t t

dengan dk = 50 - 1 = 49

₍ ₎ ₍ ₎

05 , 0 1 2 1 05

, 0 1 2

1 − < < −

−t t t Æ −2,01<t<2,01

(27)

029 , 1

50 55

800 792

0 = − =− −

=

n s x

t µ

5. Kesimpulan : karena t_hitung =−1,029 terletak dalam daerah penerimaan

0

H maka H₀ diterima. Jadi, µ=800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu

masih 800 jam.

5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ: Uji Satu Pihak

Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah

sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik xdan s.

Uji Pihak Kanan

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 1

0 0

: H

µ µ

Tolak H₀ jika z≥z₀_,₅₋_α, selainnya H₀ diterima.

Dengan z₀_,₅₋_α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang

(

0,5−α

)

.

menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).

b. Dalam hal σ tidak diketahui

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka

(28)

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 1

0 0

: H

µ µ

TolakH₀ jika t≥t₁₋_α, selainnya H₀ diterima.

Dengan t₁₋_α diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang 1−α dan dk=n−1.

menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).

Contoh

Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi

memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika

rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan

apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata

rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko

5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan

labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?

Penyelesaian

Diketahui x= 16,9 ; n = 20 ; σ = 2,3, µ₀=16

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

> =

16 : H

1 0

µ µ

(29)

65 , 2

20 3 , 2

16 9 , 16

0 = − = −

=

n x z

σµ

5. Kesimpulan : karena z_hitung =2,65> z₀_,₅₋_α =1,64 terletak pada daerah kritis

maka H₀ ditolak. Jadi, µ>16. Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan

risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.

Uji Pihak Kiri

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

µ µ

Tolak H₀ jika z≤−z₀_,₅₋_α, selainnya H₀ diterima.

Dengan z₀_,₅₋_α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang

(

0,5−α

)

.

b. Dalam hal σ tidak diketahui

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

µ µ

(30)

Dengan t₁₋_α diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang

α

−

1 dan dk=n−1.

menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).

Contoh

Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak

sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,

23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat

rata-rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah

pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.

Penyelesaian

Diketahui x= 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; µ₀= 5

Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui:

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

< =

5 : H

1 0

µ µ

Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat

tidak akan mengeluh.

Tolak H₀ jika t≤−t₁₋_α Æ 72−t₁₋_α =−t₁₋₀_,₀₅ =−1, dengan dk = 23 - 1 = 22

398 , , 2

23 2 , 0

5 9 , 4

0 = − =− −

=

n s x

t µ

5. Kesimpulan : karena t_hitung =−2,398<−t₁₋_α =−1,72 terletak pada daerah kritis

maka H₀ ditolak. Jadi, µ<5. Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut

(31)

6. Uji Hipotesis Proporsi π: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π.

Untuk menguji parameter proporsi π, diambil sebuah sampel acak berukuran

n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar

n x

.

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

π π

dengan π₀ sebuah harga yang diketahui.

2 1 1

2

1 z z

z , selainnya tolak H₀.

2 1

peluang

(

1−α

)

2

1 _.

(II.4)

(

)

n n x z

0 0

0

1 π

π π

− − =

dengan

n

x _{adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan}

0

π adalah

proporsi yang diuji.

Contoh

Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah

sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki.

Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah

sama.

Penyelesaian

(32)

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0 1 0 0 : H : H π π π π yaitu ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 5 , 0 : H 5 , 0 : H 1 0 π π

2 1 1

2

1 z z

z

₍ ₎ ₍₁₀_,₀₅₎

2 1 05 , 0 1 2

1 − < < −

−z z z Æ 96−1,96<z<1,

(

)

(

)

1,68

4800 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 4800 2458 1 ₀ 0 0 = − − = − − = n n x z π π π

5. Kesimpulan :karena z_hitung =1,68 terletak dalam daerah penerimaan H₀maka

0

H diterima. Jadi, µ=0,5. Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin

tersebut adalah sama.

7. Uji Hipotesis Proporsi π: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan

⎩ ⎨ ⎧ > = 0 1 0 0 : H : H π π π π

Tolak H₀ jika z≥z₀_,₅₋_α.

Terima H₀ jika z<z₀_,₅₋_α.

Dengan z₀_,₅₋_α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

.

(33)

Uji Pihak Kiri

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

π π

Tolak H₀ jika z≤−z₀_,₅₋_α, selainnya terima H₀.

Dengan z₀_,₅₋_α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

.

Contoh

Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka

menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran

berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah

diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α=

5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita

suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.

Penyelesaian

Diketahui x = 40 n = 100

π₀ =60%=0,6

Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri:

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

π π

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

< =

6 , 0 : H

1 0

π π

(34)

Tolak H₀ jika z≤−z₀_,₅₋_α Æ z≤−z₀_,₅₋₀_,₀₀₅ Æ z≤−z₀_,₄₅ Æ z≤−1,64

Terima H₀ jika z>−z₀_,₅₋_α Æ z>−1,64

α

−

5 , 0

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)

(

)

(

)

4,08

100 6 , 0 1 6 , 0

6 , 0 100 40

1 ₀

0 0

− = −

− =

− − =

n n x z

π π

π

5. Kesimpulan: karena z_hitung =−4,08<−1,64=−z₀_,₅₋_α maka H₀ ditolak.

Jadi, π <π₀ . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita

menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.

8. Uji Hipotesis Varians σ2: Uji Dua Pihak

Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana

simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan

untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan

populasi berdistribusi normal dengan varians

σ

2 dan daripadanya diambil

sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya _s2_dihitung

dengan rumus:

(

)

1

2 2

− − =

∑

n x x

s i atau

(

)

1

2 2

2

− − =

∑

n n

x x

n

s i i

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≠ =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

σ σ

Terima H₀ jika 2

2 1 1 2 2

2

1_α χ χ _α

(35)

Dengan 2

2 1_α

χ dan 2

2 1 1 α

χ₋ diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat

dengan dk=n−1 dan masing-masing peluang 1₂α dan

(

1−1₂α

)

.

(II.5)

(

₂

)

0 2

2 1

σ

χ = n− s

(II.6)

(

)

1 2 2 − − =

∑

n x x

s i atau

(II.7)

(

)

) 1 ( 2 2 2 − − =

∑

n n x x n

s i i

Contoh

Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan

ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi

normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.

Penyelesaian

Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = 2 0 2 1 2 0 2 0 : H : H σ σ σ σ yaitu ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = 3600 : H 3600 : H 2 1 2 0 σ σ

Terima H₀ jika 2

2 1 1 2 2 2

1 _α χ χ _α

χ < < ₋ dengan dk =n−1=50−1=49

2 _.₀_,₀₅

2 1 1 2 2 05 , 0 . 2

1 <χ <χ−

χ Æ 2

975 , 0 2 2 025 ,

0 χ χ

χ < <

32,4< χ2 <71,4

(

)

(

)(

)

174 , 41 025 , 3 1 50 1 2

2 = − = − =

σ

(36)

5. Kesimpulan :karena χ2 =41,174 terletak dalam daerah penerimaan H₀maka

0

H diterima. Jadi, σ2 =3600. Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata

5%.

9. Uji Hipotesis Varians σ2: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

σ σ

Tolak H₀ jika 2 1 2

α

χ

χ ≥ − , selainnya terima H0.

Dengan χ₁2₋_α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan

1

− =n

dk dan peluang

(

1−α

)

.

menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

Uji Pihak Kiri

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

< =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

σ σ

Tolak H₀ jika χ2 ≤χ_α2, selainnya terima H₀.

Dengan χ_α2 diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk=n−1

(37)

menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

Contoh (Walpole)

Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi

hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel

acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf

nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!

Penyelesaian

Diketahui σ₀= 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

σ σ

yaitu

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> =

81 , 0 : H

2 1

2 0

σ σ

Tolak H₀ jika χ2 ≥χ₁2₋_α, selainnya terima H₀.

2 16,919

05 , 0 . 2 1 =

χ dengan dk =n−1=10−1=9

(

)

(

)(

)

0 , 16 81

, 0

44 , 31 1 10 1

2 0

2

2 = − = − =

σ

χ n s

5. Kesimpulan : karena 16 2_.₀_,₀₅ 16,919

2 1 2 = <χ =

χ terletak dalam daerah

penerimaan H₀ maka H₀ diterima. Jadi, σ2 =0,81. Artinya, tidak ada alasan

meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.

10.Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi.

(38)

akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya

selisih rata-rata dan selisih proporsi.

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan

rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ₁dan σ₁ untuk populasi

pertama, µ₂dan σ₂untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah

sampel acak dengan ukuran n₁ dan n₂ dari masing-masing populasi. Rata-rata

dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x₁, s₁dan x₂, s₂.

Akan diuji tentang rata-rata µ₁ dan µ₂.

a. Dalam hal σ1=σ2 =σ dan σ diketahui

a. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

2 1 1

2 1 0

: H

µ µ

b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α.

c. Kriteria pengujian.

Terima H0_jika− 12(1−α)< < 12(1−α)

z z z

, selainnya tolak H0_.

Dengan ₍₋_α₎

1 2 1

peluang 1₂

(

1−α

)

.

d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(II.8)

2 1

1 1

n n

x x z

+ − =

σ

e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ1=σ2 =σ tetapi σ tidak diketahui

⎩ ⎨ ⎧

≠ = ₂ 1 0

: H

µ µ

(39)

Terima H₀ jika _α _α

2 1 1 2

1

1− < < −

−t t t , selainnya tolak H₀.

Dengan _α

2 1 1−

t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang 1−1₂α dan dk =n₁+n₂−2.

(II.9)

2 1

1 1

n n s

x x t

+ − =

(II.10)

(

)

(

)

2 1 1

2 1

2 2 2 2 1 1 2

− +

− + − =

n n

s n s n s

Contoh (Sudjana)

Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk

jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam.

Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi

makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut

Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7

Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua

makanan tersebut sama baiknya atau tidak!

Penyelesaian

Diketahui dari data di atas x_A= 3,22 ; x_B= 3,07 ; s2_A= 0,1996 ; s2_B= 0,1112.

Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun

sama besar.

Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ₁ =σ₂ =σ tetapi σ tidak diketahui

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

2 1 1

2 1 0

: H

µ µ

(40)

Terima H₀ jika _α _α

2 1 1 2

1

1− < < −

−t t t dengan dk=n₁+n₂−2=11+10−2=19

α

α ₁ 1₂

2 1

1− < < − −t t t Æ

05 , 0 . 2 1 1 05 , 0 . 2 1

1− < < −

−t t t Æ −2,09<t<2,09

Simpangan baku gabungan

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n

s diperoleh s = 0,397.

(

)

0,862

10 1 11 1 397 , 0 07 , 3 22 , 3 1 1 2 1 2 1 = + − = + − = n n s x x t

5. Kesimpulan : karena −2,09<t_hitung =0,862<2,09 terletak dalam daerah

penerimaan H₀ maka H₀ diterima. Jadi, µ₁=µ₂. Artinya, kedua macam

makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama,

sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.

c. Dalam hal σ1≠σ2 dan keduanya tidak diketahui

Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan.

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik

t′.

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 2 1 1 2 1 0 : H : H µ µ µ µ

Terima H₀ jika

2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 w w t w t w t w w t w t w + + < ′ < + +

− , untuk harga t yang

lain H₀ ditolak.

Dengan 1 2 1 1 n s w = ;

(41)

m

t_β_, diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan

m dk= .

(II.11) 2 2 2 1 2 1 2 1 n s n s x x t + − = ′

Contoh (Sudjana)

Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah

kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari

rata-rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing

dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi x₁= 9,25 kg ; x₂=

10,4 kg ; s₁= 2,24 kg ; s₂= 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan

varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana

hasilnya!

Penyelesaian

Diketahui x₁= 9,25 kg ; x₂= 10,4 kg ; s₁= 2,24 kg ; s₂= 3,12 kg.

Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun

sama besar.

Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ₁≠σ₂ dan keduanya tidak diketahui

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = berbeda yang tekan daya rata -rata kualitas dengan barang an menghasilk proses kedua ; : H sama yang tekan daya rata -rata kualitas dengan barang an menghasilk proses kedua ; : H 2 1 1 2 1 0 µ µ µ µ

Terima H₀ jika 11 2 2 11 2 2

(42)

2509 , 0 20 0176 , 5 1 2 1

1= = =

n s

w ; 0,4867

20 7344 , 9 2 2 2

2 = = =

n s w

(

)

( )

(

_.₀_,₀₅

)

_,(₂₀₁) 0,975;19 2,09 2 1 1 1 , 2 1 1 1

1 == = =

=t ₋ ₋ t ₋ ₋ t t

n

α

(

1 1₂

)

,( 1)

(

1 1₂.0,05

)

,(201) 0,975;19 2,09 2

2

= =

=

=t ₋ ₋ t ₋ ₋ t t n α Sehingga 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 w